Тема урока. Подготовила учитель математики ГБОУ СОШ № 196 Г. Москва

Всероссийский интернет-конкурс педагогического творчества
(2013/14 учебный год)
Тема урока.
Решение задач с помощью дробнорациональных уравнений.
8 класс.
Подготовила учитель математики
ГБОУ СОШ № 1968
Литвинчук Нина Николаевна.
Г. Москва
Наглядность и оборудование.
• Проектор, экран, компьютер.
• Раздаточный материал: алгоритм решения
дробно-рациональных уравнений, задачи.
• Памятки решения квадратных уравнений.
• Таблица квадратов.
Организация урока.
•
•
•
•
Подготовка учащихся к работе на уроке.
Приветствие.
Раскрытие темы урока.
Подготовка к активной умственной
деятельности на основном этапе урока.
• Контроль и самопроверка знаний.
• Подведение итогов урока.
Цели урока.
• Обобщить, углубить знания школьников по
изучаемой теме.
1. Развитие творческих способностей
учеников путем решения задач, развитие
логического мышления.
• Побуждение учеников к самоанализу своей
учебной деятельности.
Цели урока.
• Продолжить формирование навыка
решений квадратных уравнений по
формуле.
• Совершенствовать навык составления
уравнения по условию задачи, умение
проверять соответствие найденного
решения
условиям задачи
Пожелания учащимся.
1.
Увеличить объем своих знаний на
уроке.
2. Смело высказывать свое мнение,
приводить свои способы решения задач,
сомневаться, и даже ошибаться в чем-то.
3. Сделать себе установку: « Я все могу, все
решу».
Эпиграф урока
« Знание только тогда знание,
когда оно приобретено усилиями
своей мысли, а не памятью»
Л.Н. Толстой
Проверка внимания
• На руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 10
руках?
• Двое играли в шашки четыре часа. Сколько
часов играл каждый из них?
• Экипаж, запряженный тройкой лошадей,
проехал за один час 15 км. С какой
скоростью бежала каждая лошадь?
Повторение решения квадратных
уравнений.
ах 2  вх  с  0
Д  в 2  4ас
1) Если Д  0, уравнение имеет 2 различных корня.
2) Если Д0, уравнение не имеет корней.
3) Если Д  0, уравнение имеет 1 корень.
Теорема Виета.
• Теорема Виета дает нам дополнительную
информацию о корнях квадратного
уравнения. На первый взгляд это может
показаться сложным, но даже при
минимальной тренировке вы научитесь
«видеть» корни и буквально угадывать их
за считанные секунды.
Применение теоремы Виета.
• Рассмотрим приведенное квадратное
уравнение вида x2 + рx + q = 0. Предположим,
что это уравнение имеет действительные
корни x1 и x2. В этом случае верны следующие
утверждения:
• 1)x1 + x2 = −р. Другими словами, сумма корней
приведенного квадратного уравнения равна
коэффициенту при переменной x, взятому с
противоположным знаком;
• 2)x1 · x2 = q. Произведение корней квадратного
уравнения равно свободному коэффициенту.
Решите квадратные уравнения.
•
•
•
•
•
1)
2)
3)
4)
x2 − 9x + 14 = 0;
x2 − 12x + 27 = 0;
3x2 + 33x + 30 = 0;
−7x2 + 77x − 210 = 0.
Ответы.
•
•
•
•
•
1)
2)
3)
4)
x1 = 2; x2 = 7;
x1 = 3; x2 = 9;
x1 = −10; x2 = −1;
x1 = 5; x2 = 6.
Решение квадратных уравнений по формуле.
ах 2  вх  с  0
Д  в 2  4ас
1) Если Д  0, уравнение имеет 2 различных корня.
2) Если Д0, уравнение не имеет корней.
3) Если Д  0, уравнение имеет 1 корень.
Решение квадратного уравнения по
формуле.
х 2  10 х  39
х 2  10 х  39  0
Д  100  4  1  ( 39)  256
 10  16
х1 
3
2
 10  16
х2 
 13
2
Решите задачи.
Задача №1. Из города А в город В расстояние между которыми 120 км, выехали
одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости
второго. Поэтому он прибыл в город В на 2 ч раньше. Определите скорости
велосипедистов.
Задача №2. Из пунктов А и В навстречу друг другу одновременно вышли два
пешехода. Скорость первого на 1 км/ч больше скорости второго, поэтому он
прибыл в пункт В на 1час раньше, чем второй в пункт А.Найти скорости
пешеходов, если расстояние между пунктами А и В равно 20 км.
Задача №3. Катер собственная скорость которого 8 км/ч, прошел по реке
расстояние, равное 15 км, по течению и такое же расстояние против течения.
Найти скорость течения реки, если время, затраченное на весь путь, равно 4 ч.
Задача №1.
Условие
Из города А в город В, расстояние между которыми
120 км, выехали одновременно два велосипедиста.
Скорость первого на 3 км/ч больше скорости второго,
поэтому он прибыл в город В на 2 ч раньше.
Определите скорость велосипедистов.
В
А
120 км
Решение
Пусть х км/ч – скорость второго велосипедиста
S, км
, км/ч
t, ч
120
x 3
120
x
1 велосипедист
120
х+3
2 велосипедист
120
х
Известно, что второй велосипедист прибыл в город В раньше на 2 ч, чем первый.
В
А
120 км
Решение
Составим и решим уравнение:
120
120

2
х
х3
60
60

1
x x3
•
Умножим обе части этого уравнения на x(x+3)
60(x  3)  60x  x(x  3)
60x  180  60x  x 2  3x
x 2  3x  180  0
D  9  4 180  729  27 2
x1 
 3  27
 15
2
Число -15 противоречит смыслу задачи
Если х=12, то х(х+3)≠0, верно
12 км/ч – скорость второго велосипедиста
15 км/ч – скорость первого велосипедиста
Ответ: 12 км/ч; 15 км/ч.
x2 
 3  27
 12
2
Задача №2.
Условие
Из пунктов А и В навстречу друг другу одновременно
вышли два пешехода. Скорость первого на 1 км/ч
больше скорости второго, поэтому он прибыл в пункт В
на 1 ч раньше, чем второй в пункт А. Найдите скорости
пешеходов, если расстояние между пунктами А и В
равно 20 км.
А
В
Решение
S, км
, км/ч
t, ч
20
x 1
20
x
1 пешеход
20
х+1
2 пешеход
20
х
По условию задачи время движения первого пешехода на 1 ч меньше времени
движения второго.
А
В
Решение
Составим и решим уравнение:
20 20

1
х х 1
20(х  1)
20х
х(х  1)


х(х  1) х(х  1) х(х  1)
20(x  1)  20x  x(x  1)
20x  20  20x  x 2  x
x 2  x  20  0
D  1  4  20  81  9 2
1 9
4
2
1 9
x2 
 -5
2
x1 
Число -5 противоречит смыслу задачи
Если х=4, то х(х+1)≠0, верно
4 км/ч – скорость второго пешехода
5 км/ч – скорость первого пешехода
Ответ: 5 км/ч; 4 км/ч.
Физкультминутка.
•
•
•
•
•
•
Упражнение стоя.
Поднять руки вверх, отводя ногу назад.
Сделать вдох.
Вернуться в исходное положение.
Выдох.
Тоже самое другой ногой.
Задача №3.
Условие
Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошёл
по реке расстояние, равное 15 км, по течению и такое
же расстояние против течения. Найдите скорость
течения реки, если время, затраченное на весь путь,
равно 4 ч.
Решение
Пусть х км/ч – скорость течения реки.
S, км
, км/ч
t, ч
Против течения
15
8-х
По течению
15
8+х
15
8- x
15
8 x
Известно, что время, затраченное на весь путь, равно 4 ч.
Решение
Составим и решим уравнение:
15
15

4
8- х 8 х
15(8  х)
15(8 - х)
4(8 - х)(8  х)


(8 - х)(8  х) (8 - х)(8  х) (8 - х)(8  х)
15(8  х)  15(8 - х) 4(64 - х 2 )

2
64 - х
64 - х 2
15(8  x  8  x)  4(64 - х 2 )
15 16  4(64 - х 2 )
15  4  64 - х 2
х 2  64  60
х2  4
х 1  2
Число -2 противоречит смыслу задачи
Если х=2, то (8-х)(8+х)≠0, верно
2 км/ч – скорость течения реки
Ответ: 2 км/ч.
х2  2
Условие
• Расстояние между пристанями по реке
равно 21 км. Моторная лодка отправилась
от одной к другой и через 4 ч вернулась
назад, затратив 24 мин. на стоянку. Найти
собственную скорость лодки, если скорость
течения реки равна 2 км/ч.
Решение
Пусть х км/ч – собственная скорость моторной лодки.
S, км
, км/ч
t, ч
Против течения
21
х-2
По течению
21
х+2
21
x-2
21
x2
По условию задачи время, затраченное моторной лодкой на весь путь по реке, равно
36
3
18
4 ч - 24 мин.  3 ч 36 мин.  3 ч  3 ч  ч
60
5
5
Решение
Составим и решим уравнение:
21
21 18


х-2 х 2 5
7
7
6


х-2 х 2 5
7  5(х  2)
7  5(х  2)
6(х  2)(х  2)


5(х - 2)(х  2) 5(х  2)(х  2) 5(х  2)(х  2)
35(х  2)  35(х  2) 6(х 2 - 4)

5(х 2 - 4)
5(х 2 - 4)
35(х  2  х  2)  6(х 2 - 4)
70х  6х 2  24
6х 2  70х  24  0
3х 2  35х  12  0
D  352  4  3  (12)  1225  144  1369
х1 
35  37
1

6
3
х2 
1
3
Если х=12, то (х-2)(х+2)≠0, верно
12 км/ч – собственная скорость моторной лодки
Число  противоречит смыслу задачи
Ответ: 12 км/ч.
35  37
 12
6
Решение задач с самопроверкой.
Задачи на карточках.
• Составить уравнения к
условиям задач.
•
Карточки.
• Задача №1. Моторная лодка прошла против течения 24 км и
вернулась обратно, затратив на обратный путь на 20мин.
меньше, чем при движении против течения. Найти скорость
лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна
3 км/ч.
• Задача №2.Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми
60 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист.
Известно, что в час автомобилист проезжает на 90 км больше,
чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если
известно, что он прибыл в пункт В на 5 часов 24 минуты
позже автомобилиста.
• Задача №3. Два автомобиля отправляются в 420километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч
большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1час раньше
второго. Найти скорость автомобиля, пришедшего к финишу
вторым.
Подведение итогов урока.
• Что больше всего понравилось
на уроке?
• Какая задача больше всего
понравилась?
• Выставление оценок.
Домашнее задание.
• Составить карточку- задание из
двух задач на дробнорациональное уравнение.
• Решить ее дома.
Литература.
• Задачи по математике для внеклассной работы в 5-7
классах.Пособие для учителя. Сост.В.Ю.Сафонова. Под
редакцией Д.Б. Фукса, А.Л.Гавронского.М;МИРОС,1993.
• Алгебра.8 класс.учеб.для общеобр.учр. Ю.Н.Макарычев,
Н.Г.Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова.Под редакцией
С.А. Теляковского.
• 100 логических задач. Пособие для учителей математики.Т
амбовский гос. универ. К.А. Рупасов.
• Учебные сайты.