Уравнения и неравенства первой степени. 1.1. Решение уравнений первой степени в целых числах Определение. Уравнения вида ax by c , где a, b, c целые числа, отличные от нуля, решения которых ищутся в целых числах, называются неопределенными (или диофантовыми) уравнениями первой степени с двумя целочисленными переменными x и y . Решение диофантовых уравнений основано на следующих утверждениях. Теорема 1. Если НОД1( a ; b ), то существуют такие целые числа x и y , что имеет место равенство ax by d . Это равенство называется линейной комбинацией или линейным представлением наибольшего общего делителя двух чисел через сами эти числа. Теорема 2. Если в уравнении ax by 1 НОД ( a ; b ) = 1, то уравнение имеет, по крайней мере, одно целое решение. Справедливость этой теоремы следует из теоремы 1. Таким образом, чтобы найти одно целое решение уравнения ax by 1 , если НОД ( a ; b ) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел a и b . Теорема 3. Если в уравнении ax by c НОД ( a ; b ) = d > 1 и c не делится на d , то уравнение целых решений не имеет. Теорема 4. Если в уравнении ax by c НОД ( a ; b ) = d > 1 и c делится на d , то исходное уравнение равносильно уравнению a1 x b1 y 1 , в котором НОД( a1 ; b1 ) = 1 . Теорема 5. Если в уравнении ax by c , НОД ( a ; b ) = 1, то все целые x x0 c bt , , где x0 ; y0 y y0 c at , решения этого уравнения заключены в формулах: целое решение уравнения ax by 1 , t любое целое число. Приведенные теоремы позволяют установить следующее правило решения в целых числах уравнения ax by c , НОД ( a ; b ) = 1: 1) находится целое решение уравнения ax by 1 путем представления 1 как линейной комбинации чисел a и b (существуют и другие способы отыскания целых решений этого уравнения, например, при использовании цепных дробей); 2) составляется общая формула целых решений данного уравнения: x x0 c bt , y y0 c at где x0 ; y0 целое решение уравнения ax by 1 , t целочисленный параметр. НОД – наибольший общий делитель двух целых чисел, т.е. наибольшее целое число на которое делятся оба данных целых числа. 1 Придавая t определенные целые значения, можно получать частные решения данного уравнения: наименьшие по абсолютной величине, наименьшие положительные (если можно) и т. д. 1.1.1. Решите уравнения в целых числах: 2. y 5 x 12 3. 3x 5 y 0 4. 5 x 8 y 0 5. 2 x 3 y 13 6. 5 y 7 x 21 7. 7 x 13 y 71 8. 14 x 9 y 11 9. 2 x 3 y 7 10. 3x 4 y 11 11. 5 x 3 y 6 12. 7 x 4 y 3 1*. x 2 y 7 13. 7 x 5 y 12 14. 5 x 11 y 4 15*. 11x 8 y 73 16. 11x 7 y 31 1.1.2. Имеют ли следующие уравнения решения в натуральных числах: 17*. 2 x 6 y 25 18. 6 x 11y 48 19. 8 x 7 y 3 20. 9 x 6 y 17 21. 10 x 13 y 16 22. 13x 15 y 45 23. 8 x 6 y 12 24. 15 x 10 y 25 1.1.3. Решите уравнения в натуральных числах: 25 . 4 x 11y 47 26. 12 x 7 y 45 27. 11x 18 y 120 28. 15 x 49 y 11 29. 18 x 35 y 30 30. 45 x 27 y 117 * 31. 3x 2 y 37 5 3 32. x 15 y 3x 14 2 y 0,5 20 33. x 21 2 5 1.1.4. Найдите наименьшие натуральные решения уравнений: 34. 17 x 29 y 100 35. 13x 15 y 2 36. 52 x 64 y 388 37*. 16 x 25 y 1 38. 41x 36 y 187 39. 9 x 20 y 547 1.1.5. Решите в натуральных числах следующие системы уравнений: 2 x 5 y 5 2 y 3z 1 41*. x 5y 3 x 11z 7 45. 40. 44. 8 x 5 y 6 3 y 7 z 13 3x y z 14 4 x y 3z 30 43. 5 x 3 y z 28 7 x y 6 z 51 42. x 2 y 3z 20 2 x 14 y 7 z 341 46. 3x 5 y 4 z 37 10 x 4 y 9 z 473 1.1.6. Решите задачи. 47. Представьте число 200 в виде суммы двух различных целых положительных чисел, одно из которых делилось бы без остатка на 7, а другое – на 13, причем ни одно из них не делилось бы на 10. 48. Найдите два наименьших натуральных числа, разность которых равна 10, причем уменьшаемое делится на 8, а вычитаемое делится на 17. 49. Мастер делает за 1 час целое число деталей, большее 5, а ученик – на две детали меньше. Один мастер выполняет заказ за целое число часов, а два ученика вместе – на 1 час быстрее. Из какого числа деталей состоит заказ? 50. Все правильные несократимые дроби, числители и знаменатели которых двузначные положительные числа, упорядочили по возрастанию. 5 ? Между какими двумя последовательными дробями оказалось число 8 51. Все правильные несократимые дроби, числители и знаменатели которых двузначные положительные числа, упорядочили по возрастанию. 6 ? Между какими двумя последовательными дробями оказалось число 7 52. В Палатинской антологии содержится эпиграмма-задача: Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей, и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком. И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругой он обручился. С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей. (Пер. С. Н. Боброва) Сколько лет прожил Диофант?