Лекция 6. Игры с природой: принятие решений в условиях риска 16.10.2014
реклама
Лекция 6. Игры с природой: принятие решений в условиях риска 16.10.2014 1 6.1. Критерии оптимальности в условиях риска 6.2. Критерий Ходжа-Лемана 6.3. Критерий Гермейера-Гурвица 2 3.3.Принятие Принятие решений в условиях 6.1 решений в условиях риска риска Критерии оптимальности в условиях риска: ► критерий Байеса; ► критерий Лапласа; ► критерий максимальной вероятности; ► критерий Гермейера. 3 6.1 Принятие решений в условиях риска 1.1 Критерий Байеса относительно выигрышей Предположим, что игроку А известны не только состояния П1, П2,…Пn в которых случайным образом может находиться природа, но и вероятности (q1, q2,…qn) наступления этих состояний, при этом ∑qj = 1. 4 6.1 Принятие решений в условиях риска Матрицу выигрышей игрока А и вероятности состояний природы П можно представить в виде общей матрицы: Пj Аi А1 А = А2 … Аm qj П1 П2 … Пn a11 a21 … am1 q1 a12 a22 … am2 q2 … … … … … a1n a2n … amn qn 5 6.1 Принятие решений в условиях риска Чистую стратегию Аi можно определить как случайную величину со следующим законом распределения Ai q ai1 q1 ai2 q2 … … ain qn Математическое ожидание данной случайной величины n Bi q j aij , i 1,2,..., m j 1 Или средне взвешенное выигрышей i-ой строки матрицы А с весами (q1, q2,…qn). 6 6.1 Принятие решений в условиях риска Критерий Байеса относительно выигрышей позволяет выбрать максимальный из ожидаемых элементов матрицы доходности при известной вероятности возможных состояний природы: n B max q j aij i j 1 7 6.1 Принятие решений в условиях риска 1.2 Критерий Байеса относительно рисков Матрицу рисков игрока А и вероятности состояний природы П можно представить матрицей: Пj П1 П 2 Аi А1 r11 r12 R = А2 r21 r22 … … … Аm rm1 rm2 qj q1 q2 … Пn … … … … … r1n r2n … rmn qn 8 6.1 Принятие решений в условиях риска Показателем эффективности стратегии Аi по критерию Байеса относительно рисков является математическое ожидание рисков, расположенных в i-ой строке матрицы R. n B q j rij , i 1,2,..., m r i j 1 9 7.1 Принятие решений в условиях риска Критерий Байеса относительно рисков позволяет выбрать минимальное значение из средних рисков при известной вероятности возможных состояний природы: n r B min q j rij i j 1 Критерии Байеса относительно выигрышей и относительно рисков эквивалентны, то есть по обоим критериям оптимальной будет одна и та же стратегия. 10 6.1 Принятие решений в условиях риска 2.1 Критерий Лапласа относительно выигрышей Вероятность состояний природы оценивается субъективно как равнозначные. qj = n-1 ∑qj = ∑n-1 = 1 Этот принцип называется – принцип недостаточного основания Лапласа. 11 6.1 Принятие решений в условиях риска Имеется игра с природой, в которой игрок А обладает m чистыми стратегиями Аi, природа П может случайным образом находиться в одном из n своих состояний Пj, а матрица выигрышей игрока А задается следующим образом: Пj Аi А= А1 А2 … Аm qj П1 П2 … Пn a11 a21 … am1 a12 a22 … am2 … … … … a1n a2n … amn … qn=n-1 q1=n-1 q2=n-1 12 6.1 Принятие решений в условиях риска Показателем эффективности чистой стратегии Аi по критерию Лапласа относительно выигрышей является среднеарифметическое выигрышей при этой стратегии. n 1 Li aij , i 1,2,..., m n j 1 13 6.1 Принятие решений в условиях риска Критерий Лапласа относительно выигрышей предполагает выбор варианта стратегии с максимальной ожидаемой доходностью при равной вероятности наступления возможных стратегий природы. L max n 1 aij , i 1,2,..., m n j 1 14 6.1 Принятие решений в условиях риска 2.2 Критерий Лапласа относительно рисков Матрицу рисков игрока А и вероятности состояний природы П при критерии Лапласа относительно рисков можно представить матрицей: Аi R= Пj А1 А2 … Аm qj П1 П2 r11 r12 r21 r22 … … rm1 rm2 q1=n-1 q2=n-1 … Пn … … … … … r1n r2n … rmn qn=n-1 15 6.1 Принятие решений в условиях риска Показателем неэффективности чистой стратегии Аi по критерию Лапласа относительно рисков является среднеарифметическое рисков при этой стратегии. n 1 L rij , i 1,2,..., m n j 1 r i 16 6.1 Принятие решений в условиях риска Критерий Лапласа относительно рисков предполагает выбор варианта стратегии с минимальным риском при равной вероятности наступления возможных состояний природы. L min r 1 n rij , i 1,2,..., m n j 1 17 6.1 Принятие решений в условиях риска 3. Критерий максимальной вероятности Рассмотрим игру с природой размера m x n, где m ≥ 2 и n ≥ 2. Известны вероятности qj состояний природы Пj Максимальная вероятность обозначается следующим образом: q max max q j 1 j 1 18 6.1 Принятие решений в условиях риска Максимальную вероятность может иметь не одно состояние природы. А также максимальное значение может быть у всех состояний природы при равных вероятностях qj = n-1. Предположим, что состояния природы Пjκ, κ = 1,2,…σ, где σ – это номер состояний природы (столбцы), имеющих максимальную вероятность. 19 6.1 Принятие решений в условиях риска Показателем эффективности чистой стратегии Аi по критерию максимальной вероятности относительно выигрышей, является наибольший выигрыш из выигрышей при этой стратегии и при состояниях природы Пjκ κ = 1,2,…σ, имеющих максимальную вероятность qmax. Qi max aij , i 1,2,...m p 1 20 6.1 Принятие решений в условиях риска В связи с этим рассматривается матрица m x σ, которая получается путем исключения тех столбцов, у которых вероятности ниже максимального значения. Пj Аi А= А1 А2 … Аm qjκ Пj1 Пj2 … Пjσ a1j1 a2j1 … amj1 a1j2 a2j2 … amj2 … … … … a1jσ a2jσ … amjσ Q1p Q2p … qjσ= qmax Q mp qj1= qmax qj2= qmax … Qip 21 6.1 Принятие решений в условиях риска Ценой игры (Qp) по критерию максимальной вероятности относительно выигрышей будет наибольший элемент из показателей p эффективности Qi Q max Qi p p 1i m 22 6.1 Принятие решений в условиях риска Пример: Тип товара А1 А2 А3 П1 Спрос П2 П3 20 16 13 15 12 18 10 14 15 Найти оптимальную стратегию по критерию максимальной вероятности относительно выигрышей при вероятностях состояний природы q1 = 0,2; q2 = 0,3; q3 = 0,5. 23 6.1 Принятие решений в условиях риска Решение: max q max q j Находим максимальную вероятность 1 j 1 q max (0,2;0,3;0,5) 0,5 Максимальной вероятности соответствует состояние природы П3, следовательно матрица примет следующий вид Тип товара А1 А2 А3 qj П3 10 14 15 0,5 Qip 10 14 15 Qp = 15 Ответ: оптимальной стратегией по критерию максимальной вероятности относительно выигрышей является стратегия А3 24 6.1 Принятие решений в условиях риска 4. Критерий Гермейера относительно выигрышей Рассмотрим игру с природой размера (m ≥ 2) и (n ≥ 2) с матрицей выигрышей А Пj Аi А1 А = А2 … Аm qj П1 П2 … Пn a11 a21 … am1 q1 a12 a22 … am2 q2 … … … … … a1n a2n … amn qn 25 3.3.Принятие 6.1 Принятие решений решений в условиях в условиях риска риска По критерию Гермейера (АG) эффективность чистых стратегий определяется следующим образом: Выбрав чистую стратегию Ai, игрок А может получить выигрыш aij, если природа окажется в состоянии Пj. Но при этом природа может оказаться в этом состоянии с вероятностью qj = p(Пj). Поэтому игрок А может получить свой выигрыш (aij) только с вероятностью qj. В связи с этим рассматривается так называемый элемент Гермейера для этого выигрыша – aij qj. 26 6.1 Принятие решений в условиях риска Матрица Гермейера состоит из элементов Гермейера и выглядит следующим образом: Пj П1 П2 … Пn a11 q1 a12 q2 … a1n qn А2 a21 q1 a22 q2 … a2n qn … … am2 q2 … Аm … am q1 … … amn qn qj q1 q2 … qn Аi А1 АG = 27 6.1 Принятие решений в условиях риска При выборе стратегии игрок А предполагает, что природа будет находиться в самом неблагоприятном для него состоянии, при котором элемент Гермейера будет являться самым минимальным среди всех элементов матрицы Гермейера соответствующие выбранной стратегии. Этот элемент называется показателем эффективности чистой стратегии Аi по критерию Гермейера относительно выигрышей: Gi min (aij q j ), i 1,2,...m 1 j n 28 6.1 Принятие решений в условиях риска Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Гермейера относительно выигрышей является максимальное значение среди показателей эффективности чистой стратегии Аi по критерию Гермейера относительно выигрышей: G max Gi 1 i m 29 6.1 Принятие решений в условиях риска Так же ценой игры в чистых стратегиях по критерию Гермейера относительно выигрышей можно назвать максимином матрицы Гермейера относительно выигрышей: G max min (aij q j ) 1im 1 j n 30 6.1 Принятие решений в условиях риска Пример: Тип товара А1 А2 А3 П1 Спрос П2 П3 20 16 13 15 12 18 10 14 15 Найти оптимальную стратегию по критерию Гермейера относительно выигрышей при вероятностях состояний природы q1 = 0,2; q2 = 0,3; q3 = 0,5. 31 6.1 Принятие решений в условиях риска Решение: Строим матрицу Гермейера с элементами aij qj Тип товара А1 А2 А3 П1 Спрос П2 П3 4 3,2 2,6 4,5 3,6 5,4 5 7 7,5 Находим минимальный выигрыш игрока А по всем стратегиям по формуле Gi min (aij q j ) 1 j n G1 = min (4; 4,5; 5) = 4; G2 = min (3,2; 3,6; 7) = 3,2; G3 = min (2,6; 5,4; 7,5) = 2,6. G max min (aij q j ) max( 4;3,2;2,6) 4 1im 1 j n Ответ: оптимальной стратегией по критерию Гермейера относительно выигрышей является стратегия А3 32 Задача для самостоятельного решения Производитель премиальных кондитерских изделий ежедневно изготавливает и продает от одного до трех эксклюзивных пирогов. Срок годности пирога ограничен: если пирог не продан за один день, его приходится утилизировать (стоимость утилизации — 500 руб.). Если спрос на пироги превышает их фактически произведенное количество, недостающие пироги обязательно нужно произвести, но это придется делать в сверхурочное время. При нормальном производственном цикле себестоимость одного пирого составляет 5000 руб., при сверхурочной работе — 7000 руб. Все пироги реализуются по цене в 10 000 руб. Вероятности того, что дневной спрос составит 1, 2 и 3 пирога, равны соответственно 0,4, 0,5 и 0,1. Выбрать оптимальную стратегию производства тортов. 34 6.2. Критерий Ходжа-Лемана Критерий Ходжа-Лемана относительно выигрышей Пj П1 П2 Аi А1 a11 a12 А = А2 a21 a22 … … … Аm am1 am2 qj q1 q2 … Пn … … … … … a1n a2n … amn qn Критерий Ходжа-Лемана относительно выигрышей опирается одновременно на критерий Вальда и критерий Байеса. 35 6.2. Критерий Ходжа-Лемана При определении оптимальной стратегии по этому критерию вводится параметр (λ) достоверности информации о распределении вероятностей состояний природы q = (q1, q2,…,qn), значение, которого находится в интервале [0, 1]. Если степень достоверности велика, то доминирует критерий Байеса, в противном случае критерий Вальда. 36 6.2. Критерий Ходжа-Лемана Показателем эффективности чистой стратегии Аi по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей (HL) является: HLi = λBi(q) + (1 – λ)Wi, i = 1,2,…,m 37 6.2. Критерий Ходжа-Лемана где Bi(q) – показатель эффективности стратегии Аi по критерию Байеса относительно выигрышей с вектором q = (q1, q2,…,qn) распределения вероятностей состояний природы, который определяется по формуле: n Bi q j aij , i 1,2,..., m j 1 Wi – показатель эффективности стратегии Аi по критерию Вальда, который определяется по формуле: Wi min aij j 38 6.2. Критерий Ходжа-Лемана При любом показателе 0,1 доверия игрока А распределению вероятностей q = (q1, q2,…,qn) состояний природы показатель эффективности стратегии Аi по критерию Ходжа-Лемана (HLi): HLi ≥ Wi HLi ≤ Bi 39 6.2. Критерий Ходжа-Лемана Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей является максимальное значение среди показателей эффективности чистой стратегии Аi по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей: HL max( HLi ) max(Bi ( q ) ( 1 )Wi ) 1 i m 40 6.2. Критерий Ходжа-Лемана Критерий Ходжа-Лемана применим в следующих случаях: ► имеется информация о вероятностях состояний окружающей среды, однако эта информация получена на основе относительно небольшого числа наблюдений и может измениться; ► принятое решение теоретически допускает бесконечно много реализаций; ► при малом числе реализации допускается некоторый риск. 41 6.2. Критерий Ходжа-Лемана Пример: Тип товара А1 А2 А3 П1 Спрос П2 П3 20 16 13 15 12 18 10 14 15 Найти оптимальную стратегию по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей при λ = 0,6 и при вероятностях состояний природы q1 = 0,2; q2 = 0,3; q3 = 0,5. 42 6.2. Критерий Ходжа-Лемана Решение: Вычислим средние выигрыши по критерию Байеса B1 (20 0,2) (15 0,3) (10 0,5) 13,5 B2 (16 0,2) (12 0,3) (14 0,5) 13,8 B3 (13 0,2) (18 0,3) (15 0,5) 15,5 По критерию Вальда (Wi) W1 = 10; W2 = 12; W3 = 13 Найдем оптимальную стратегию по критерию Ходжа-Лемана по формуле HLi = λBi(q) + (1 – λ)Wi, i = 1,2,…,m HL1= (0,6 13,5) + (1 - 0,6) 10 = 8,1 + 4 = 12,1 HL2 = (0,6 13,8) + (1 – 0,6) 12 = 8,28 + 4,8 = 13,08 HL3 = (0,6 15,5) + (1 – 0,6) 13 = 9,3 + 5,2 = 14,5 HL =max( λBi(q) + (1 – λ)Wi) = max(12,1; 13,08; 14,5) = 14,5 Ответ: оптимальной стратегией по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей является стратегия А3 43 6.2. Критерий Ходжа-Лемана Критерий Ходжа-Лемана относительно рисков Пj Аi А1 R (HL) = А2 … Аm qj П1 П2 … Пn r11 r21 … rm q1 r12 r22 … rm2 q2 … … … … … r1n r2n … rmn qn Критерий Ходжа-Лемана относительно рисков опирается одновременно на критерий Байеса и критерий Сэвиджа. 44 6.2. Критерий Ходжа-Лемана Показателем неэффективности чистой стратегии Аi по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков (HLr) является: HL B (q) (1 ) S i , i 1,2,..., m r i r i 45 6.2. Критерий Ходжа-Лемана где Bi(q) – показатель неэффективности стратегии Аi по критерию Байеса относительно рисков с вектором q = (q1, q2,…,qn) распределения вероятностей состояний природы, который определяется по формуле: n Bir q j rij j 1 Si – показатель неэффективности стратегии Аi по критерию Сэвиджа с вектором q = (q1, q2,…,qn) распределения вероятностей состояний природы, который определяется по формуле: Si max rij j 46 6.2. Критерий Ходжа-Лемана Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков является минимальное значение среди показателей неэффективности чистой стратегии Аi по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков: HL min( HL ) min( B (q) (1 ) Si ) r r i r i 47 5.1. Критерий Ходжа-Лемана Критерии оптимальности чистых стратегий по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей и относительно рисков не эквивалентны. 48 6.2. Критерий Ходжа-Лемана Пример: Тип товара А1 А2 А3 П1 Спрос П2 П3 20 16 13 15 12 18 10 14 15 Найти оптимальную стратегию по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков при λ = 0,6 и при вероятностях состояний природы q1 = 0,2; q2 = 0,3; q3 = 0,5. 49 6.2. Критерий Ходжа-Лемана Решение: Построим матрицу рисков. Тип товара А1 А2 А3 П1 0 4 7 Спрос П2 3 6 0 П3 5 1 0 Найдем критерий Байеса относительно рисков B1r (0 0,2) (3 0,3) (5 0,5) 3,4 B3r (7 0,2) (0 0,3) (0 0,5) 1,4 B2r (4 0,2) (6 0,3) (1 0,5) 3,1 Найдем критерий Сэвиджа S1 = 5; S2 = 6; S3 = 7 Найдем оптимальную стратегию по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков: HLr 1 = (0,6 3,4) + (1 – 0,6) 5 = 2,04 + 2 = 4,04 HLr 2 = (0,6 3,1) + (1 – 0,6) 6 = 1,86 + 2,4 = 4,26 HLr 3 = (0,6 1,4) + (1 – 0,6) 7 = 0,84 + 2,8 = 3,64 HLr = min (4,04; 4,26; 3,64) = 3,64 Ответ: оптимальной стратегией по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков является стратегия А3 50 6.3. Критерий Гермейера-Гурвица Критерий Гермейера-Гурвица относительно выигрышей Данный критерий представляет собой критерий Гурвица относительно матрицы Гермейера. Пj АG = П1 П2 … Пn Аi А1 a11 q1 a12 q2 … a1n qn А2 … Аm qj a21 q1 a22 q2 … … am q1 am2 q2 q1 q2 … … … … a2n qn … amn qn qn При этом если 0 ≤ λ ≤ 1, то λ это показатель оптимизма игрока А, тогда показателем пессимизма игрока будет 0 ≤ (1 – λ) ≤ 1. 51 6.3. Критерий Гермейера-Гурвица Показателем эффективности чистой стратегии Аi по критерию Гермейера-Гурвица относительно выигрышей (GH) является: GHi = (1 – λ)Gi + λMi, i = 1,2,…,m 52 6.3. Критерий Гермейера-Гурвица где Gi – показатель эффективности стратегии Аi по критерию Гермейера относительно выигрышей с вектором q = (q1, q2,…,qn) распределения вероятностей состояний природы, который определяется по формуле: Gi min (aij q j ) 1 j n Mi – показатель эффективности стратегии Аi по критерию Гурвица, относительно матрицы Гермейера, который определяется по формуле: M i max (aij q j ) 1 j n 53 6.3. Критерий Гермейера-Гурвица Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Гермейера-Гурвица относительно выигрышей является максимальное значение среди показателей эффективности чистой стратегии Аi по критерию Гермейера-Гурвица относительно выигрышей: GH = max ((1 – λ)Gi + λMi), i = 1,2,…,m 54 6.3. Критерий Гермейера-Гурвица Пример: Тип товара А1 А2 А3 П1 Спрос П2 П3 20 16 13 15 12 18 10 14 15 Найти оптимальную стратегию по критерию ГермейераГурвица относительно выигрышей при λ = 0,6 и при вероятностях состояний природы q1 = 0,2; q2 = 0,3; q3 = 0,5. 55 6.3. Критерий Гермейера-Гурвица Решение: Строим матрицу Гермейера с элементами aij qj Тип товара А1 А2 А3 П1 4 3,2 2,6 Спрос П2 4,5 3,6 5,4 П3 5 7 7,5 Находим минимальный выигрыш игрока А по всем стратегиям по формуле G1 = min (4; 4,5; 5) = 4; G2 = min (3,2; 3,6; 7) = 3,2; G3 = min (2,6; 5,4; 7,5) = 2,6. Gi min (aij q j ) 1 j n Находим максимальный выигрыш игрока А по всем стратегиям по формуле М1 = max (4; 4,5; 5) = 5 М2 = max (3,2; 3,6; 7) = 7 М3 = max (2,6; 5,4; 7,5) = 7,5 M i max (aij q j ) 1 j n 56 6.3. Критерий Гермейера-Гурвица Найдем критерии Гермейера-Гурвица относительно выигрышей по каждой стратегии по формуле: GHi = (1 – λ)Gi + λMi GH1 = (1 – 0,6) 4 + 0,6 5 = 1,6 + 3 = 4,6 GH2 = (1 – 0,6) 3,2 + 0,6 7 = 1,28 + 4,2 = 5,48 GH3 = (1 – 0,6) 2,6 + 0,6 7,5 = 5,54 Найдем критерий Гермейера-Гурвица для данной задачи GH = max ((1 – λ)Gi + λMi) GH = max (4,6; 5,48; 5,54) = 5,54 Ответ: оптимальной стратегией по критерию ГермейераГурвица относительно выигрышей является стратегия А3 57 Критерий Байеса n B max q j aij i j 1 Критерий Лапласа 1 n L max aij n j 1 q max max q j 1 j 1
