reshx
реклама
Задача 1 Дан прямоугольный параллелепипед 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 , 𝐴𝐵 = 8, 𝐴𝐷 = 21, 𝐴𝐴1 = 7√7. Точка 𝑀 лежит на отрезке 𝐵𝐶1 , точка 𝑁 лежит на отрезке 𝐵𝐷, прямые 𝐴𝑀 и 𝐴1 𝑁 пересекаются. Определите тангенс угла между прямой 𝐷1 𝑀 и плоскостью 𝐵𝐶𝐶1 , если 𝐵𝑁: 𝑁𝐷 = 3: 7. 𝐷1 𝐶1 𝐿 𝐴1 𝐵1 𝑀 𝐷 𝑁 𝐴 𝐶 𝐾 𝐵 Решение: У: Построим прямоугольный параллелепипед 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 , как расположена точка 𝑁? О: Точка 𝑁 расположена на отрезке 𝐵𝐷 так, что 𝐵𝑁: 𝑁𝐷 = 3: 7. У: Каково взаимное расположение прямых 𝐴𝑀 и 𝐴1 𝑁? О: По условию прямые 𝐴𝑀 и 𝐴1 𝑁 пересекаются. У: Как эти прямые расположены в пространстве? О: Лежат в одной плоскости. У: Какая прямая и точка этой плоскости уже построены? О: Прямая 𝐴𝐴1 и точка 𝑁. У: Построим сечение параллелепипеда этой плоскостью. Пересечение какой грани с этой плоскостью можем построить? О: В нижней грани соединим точки 𝐴 и 𝑁, точку пересечения прямых 𝐵𝐶 и 𝐴𝑁 обозначим 𝐾. У: По какой прямой сечение пересекает плоскость боковой грани 𝐴𝐴1 𝐷1 𝐷? О: По прямой 𝐴𝐴1 . У: Каково будет взаимное расположение прямой 𝐴𝐴1 и прямой, по которой плоскость 𝐴𝐴1 𝑁 пересекает плоскость 𝐵𝐵1 𝐶1 ? О: Боковые грани 𝐵𝐵1 𝐶1 𝐶 и 𝐴𝐴1 𝐷1 𝐷 параллельны, следовательно, прямая, по которой плоскость 𝐴𝐴1 𝑁 пересекает плоскость 𝐵𝐵1 𝐶1 , параллельна прямой 𝐴𝐴1 . У: Построим в плоскости 𝐵𝐵1 𝐶1 𝐶 прямую 𝐾𝐿 параллельную прямой 𝐴𝐴1 , точка 𝐿 – точка пересечения прямых 𝐾𝐿 и 𝐵1 𝐶1 . По какой прямой пересекаются плоскость 𝐴𝐴1 𝑁 и плоскость верхнего основания? О: 𝐿𝐴1 . У: Что можно сказать о положении точки 𝑀? О: Она принадлежит построенному сечению и, по условию, точка 𝑀 лежит на отрезке 𝐵𝐶1 . Следовательно, точка 𝑀 является точкой пересечения построенного сечения 𝐴𝐴1 𝐿𝐾 и отрезка 𝐵𝐶1 , то есть отрезки 𝐿𝐾 и 𝐵𝐶1 пересекаются в точке 𝑀. У: Какой угол является углом между прямой 𝐷1 𝑀 и плоскостью 𝐵𝐶𝐶1 ? О: Угол между прямой 𝐷1 𝑀 и плоскостью 𝐵𝐶𝐶1 – это угол между прямой 𝐷1 𝑀 и её проекцией на плоскость 𝐵𝐶𝐶1 . У: Какой отрезок является проекцией прямой 𝐷1 𝑀 на плоскость 𝐵𝐶𝐶1 ? О: Отрезок 𝑀𝐶1 . У: Значит, тангенс какого угла нужно найти? О: Нужно найти тангенс угла 𝐷1 𝑀𝐶1 . У: В каком треугольнике содержится этот угол? О: В треугольнике 𝐷1 𝐶1 𝑀. У: Что можно сказать об угле 𝐷1 𝐶1 𝑀? О: Угол 𝐷1 𝐶1 𝑀 прямой. У: Почему? О: Прямая 𝐷1 𝐶1 перпендикулярна плоскости 𝐵𝐶𝐶1 , следовательно, перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости, а значит и прямой 𝑀𝐶1 . У: Как найти тангенс угла 𝐷1 𝑀𝐶1 ? О: Треугольник 𝐷1 𝐶1 𝑀 – прямоугольный, следовательно, искомый тангенс угла равен отношению длин отрезков 𝐷1 𝐶1 и 𝑀𝐶1 . У: Длина какого из этих отрезков неизвестна? О: Длина отрезка 𝑀𝐶1 . У: Частью какого отрезка является отрезок 𝑀𝐶1 ? О: Отрезка 𝐵𝐶1 . У: Из подобия каких треугольников можно найти, в каком отношении точка 𝑀 делит отрезок 𝐵𝐶1 ? О: Из подобия треугольников 𝐵𝐾𝑀 и 𝐶1 𝐿𝑀. У: Почему эти треугольники подобны? О: Они прямоугольные и углы 𝐵𝑀𝐾 и 𝐶1 𝑀𝐿 равны как вертикальные. У: Отношение длин каких сторон нужно найти? О: 𝑀𝐶1 и 𝑀𝐵. У: Какой отрезок имеет длину равную длине одной из соответствующих сторон 𝐿𝐶1 ? О: Отрезок 𝐾𝐶. У: Значит, чему равна сумма длин соответствующих сторон 𝐵𝐾 и 𝐿𝐶1 ? О: Длине стороны параллелепипеда 𝐵𝐶. У: Значит, чему равно отношение, в котором точка 𝐾делит сторону 𝐵𝐶? О: Коэффициенту подобия ∆𝐵𝐾𝑀 и ∆𝐶1 𝐿𝑀, отношению длин 𝑀𝐶1 и 𝑀𝐵. У: Из подобия каких треугольников можно найти, в каком отношении точка 𝐾 делит отрезок 𝐵𝐶? О: Из подобия треугольников 𝐴𝑁𝐷 и 𝐾𝑁𝐵, так как 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷. У: Почему эти треугольники подобны? О: Углы 𝐴𝑁𝐷 и 𝐾𝑁𝐵 равны как вертикальные, углы 𝑁𝐷𝐴 и 𝑁𝐵𝐾 равны как накрест лежащие при параллельных прямых 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 и секущей 𝐷𝐵. У: Отношение длин каких сторон нужно найти? О: 𝐵𝐾 и 𝐴𝐷. У: Найдем коэффициент подобия треугольников 𝐴𝑁𝐷 и 𝐾𝑁𝐵. О: 𝑘 = 𝐵𝑁: 𝑁𝐷 = 3: 7. У: Значит, в каком отношении точка 𝐾 делит отрезок 𝐵𝐶? О: 𝐵𝐾: 𝐾𝐶 = 3: 4. У: Значит, в каком отношении точка 𝑀 делит отрезок 𝐵𝐶1 ? О: 𝐵𝑀: 𝑀𝐶1 = 3: 4. У: Найдем длину диагонали боковой грани 𝐵𝐶1 . О: По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника 𝐵𝐶𝐶1 : 𝐵𝐶1 = √𝐵𝐶 2 + 𝐶𝐶1 2 = √212 + (7√7)2 = 28. У: Найдем длину отрезка 𝑀𝐶1 . О: Так как 𝐵𝑀: 𝑀𝐶1 = 3: 4, то длина отрезка 𝑀𝐶1 составляет 4 отрезка 𝐵𝐶1 . Следовательно, 𝑀𝐶1 = 𝐵𝐶1 = 16. 7 У: Чему равен искомый тангенс угла? О: искомый тангенс равен 𝐷1 𝐶1 𝑀𝐶1 = 8 16 1 = . 2 4 7 длины 1 Ответ: . 2
