Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке f ( x ) : [ a, b] R m min f (x) x[ a ,b ] M max f (x) x[ a ,b ] f ( x ) C[ a , b ] x0 , x1 [a, b] 2-я теорема Вейерштрасса m f ( x1 ) M f ( x0 ) max f (x) M f ( x0 ) x[ a ,b ] x 0 [ a, b ] a x 0 b x0 a? f max ? f (a) x0 b f (b) 0 ( f (x ) ? ? f (x) f ( x0 ) M x0 x0 x0 M ) f f ( x0 ) ? max M f (b) y f (b) y f (x) m f ( x0 ) x0 0 a f ( x0 ) b x Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения 1) x1 ,...xn 2) f ( x1 ),... f ( xn ), f (a), f (b) 3) - критические точки на ( a, b) m ?min f ( x1 ),... f ( xn ), f (a), f (b) M ?max f ( x1 ),... f ( xn ), f (a), f (b) Пример. a x Коробка наибольшей вместимости v(x) x(a 2 x) 2 ? a 0 x 2 ? Пример. Коробка наибольшей вместимости ? a x v(x) x(a 2 x) 2 1) критические точки v (x) 0 x ? ? (a 2 x) 2 4 x(a 2 x) (a 2 x)( a 6 x) ? (a 2 x)( a 6 x) x1 ? a 2 a 2 a (0, ) 2 0 x2 ? a 6 a (0, ) 2 Пример. Коробка наибольшей вместимости ? a x v(x) x(a 2 x) 2 1) 0 x a 2 a 6 критическая точка на x1 v (x) (a 2 x)( a 6 x) a (0, ) 2 2(a 6 x) 6(a 2 x) v (x) ? a v ( ) 6 ? ? 0 x1 ? v(x) a 6 a a 2( a 6 ) 6 ( a 2 ) 6 6 точка максимума для Пример. Коробка наибольшей вместимости ? x v(x) x(a 2 x) 2 1) 2) x1 a 6 0 x a 2 точка максимума 3 a a 2 2 2a ( a ) v( ) 6 3 27 6 ? v(0) 0? ? a v( ) ?0 2 a Пример. Коробка наибольшей вместимости ? a x v(x) x(a 2 x) 2 1) x1 2) a v( ) 6 3) a 6 0 x a 2 точка максимума 2a 3 27 a v(0) v( ) 0 2 vmax ? 2a 3 max ,0,0 27 a x 6 2a 3 27 ? Направление выпуклости и точки перегиба кривой Выпуклость кривой в точке M 0 направлена вниз 0 x ( x0 , x0 ) ( x0 , x0 ) f (x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) y f (x) y M0 0 x0 x 0 x0 f ' ( x0 ) касательная x Выпуклость кривой в точке M 0 направлена вверх 0 x ( x0 , x0 ) ( x0 , x0 ) f (x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) M0 y касательная y f (x) 0 x0 x 0 x0 x y f (x) выпуклость, направленная вверх (вниз) на ( a, b) f ' ( x) x ( a, b) график функции лежит не выше (не ниже) любой своей касательной M0 y f (x) точка перегиба кривой ( x0 , x0 ) выпуклость кривой меняется при переходе через y x0 вниз M0 y f (x) вверх 0 x0 x 0 x0 x выпуклость вниз y ? Y y Y вверх ? 0 sign y Y y Y 0 y Y y y f (x) M0 y Y 0 x0 x x y Y ?0 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) касательная ? y Y ? f ( x) [ f ( x ) f ' ( x )( x x )] Y 0 0 0 f ( x0 ) f [ x0 ( x x0 )] 2 f ( x ) ( x x ) ( x x ) f (x) 0 0 0 1! 2! ? 0 1 y Y ? f [ x0 ( x x0 )] ( x x0 ) 2 2 формула Тейлора f ( x0 ) непрерывна в x0 y Y ?0 f [ x0 ( x x0 )] ( x x0 ) 2 2 y Y f ( x0 ) 0 sign f ( x ) ? sign f [ x 0 0 0 0 1 0 ( x x0 )] 0 0 устойчивость знака непрерывной функции y Y y Y ?0 f [ x0 ( x x0 )] ( x x0 ) 2 2 f ( x0 ) sign y Y ? sign f ( x0 ) 0 0 f ( x0 ) sign f [ x 0 ( x x0 )] y Y ? 0 x x0 выпуклость вниз 0 1 M 0 ( x0 , f ( x0 )) y Y sign f ( x0 ) f ( x0 ) 0 выпуклость вниз ?0 sign y Y y Y 0 f ( x0 ) 0 выпуклость вверх M 0 ( x0 , f ( x0 )) y Y ? 0 M 0 ( x0 , f ( x0 )) Теорема 8 (необходимое условие точки перегиба). M 0 ( x0 , f ( x0 )) точка перегиба кривой y f (x) f ( x0 ) 0 M 0 ( x0 , f ( x0 )) точка перегиба кривой y f (x) нет ? O(0,0) y f ( x0 ) 0 да f ( x) x f (x) 4x yx 4 ? f (x) 12x ? 0 3 2 4 f (0) 0 x 0 O x x0 Теорема 9 (достаточный признак точки перегиба). y f (x) f (x) непрерывная в точке x0 x U ( x0 ) f ( x0 ) 0 f (x) меняет знак при переходе через f (x) ( x0 x 0 M 0 ( x0 , f ( x0 )) точка перегиба кривой y f (x) x0 ) x0 Доказательство: y f (x) f ( x0 ) 0 0 f (x) ( x0 sign sign f (x) ) x x f (x ) 0 M 0 ( x0 , f ( x0 )) 0 точка перегиба Задача. f ( x0 ) 0 y f (x) f ( x0 ) 0 M 0 ( x0 , f ( x0 )) точка перегиба 0 f (x) ( x0 f ( x0 ) 0 f (x) x0 ? U ( , x0 ) ) x0 y f (x) M 0 ( x0 , f ( x0 )) Oy касательная f (x) f ( x0 ) f ( x) x 2 1 3 x 3 ? 2 1 f (x) ? 9 x 3 5 f (x) 0 x ? x0 f (0) 1 3 y f (x) M 0 ( x0 , f ( x0 )) касательная f (x) 2 1 9 3 x5 O(0,0) Oy x0 точка перегиба ? f (x) f ( x0 ) f (0) f ( x) x 1 3 Достаточный признак точки перегиба y f (x) f (x) касательная в x U ( x0 ) f ( x0 ) 0 непрерывная в f (x) меняет знак при переходе через M 0 ( x0 , f ( x0 )) x0 может быть U ( x0 ) M 0 ( x0 , f ( x0 )) точка перегиба кривой y f (x) Oy