Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики Лаврова-Кривенко Я. В.

Элементы комбинаторики, теории
вероятностей и статистики
Лаврова-Кривенко Я. В.
ЕГЭ-2012 Задача №1
В секции айкидо занимаются 10 юношей и 4
девушки. Из них 2 юноши и 1 девушка
имеют 1 дан. Для проведения спаррингов
во время тренировки жеребьевкой
выбираются 1 юноша и 1 девушка. Какова
вероятность, что оба выбранных
спортсмена будут иметь первый дан?
Ответ:
2 1
  0,05
10 4
ЕГЭ-2012 Задача №2
В шестом классе учатся 28 человек. Из них 6
учащихся занимаются плаванием, а 4
учащихся – фехтованием, причем 3
занимаются и плаванием, и фехтованием
одновременно. Какова вероятность, что
случайным образом выбранный
шестиклассник из этого класса занимается
плаванием или фехтованием?
Ответ:
6+4–3=7
7 1
  0,25
28 4
ЕГЭ-2012 Задача №3
Найдите вероятность выпадения четного
числа очков при подбрасывании игрального
кубика.
Ответ:
Общее число исходов – 6
Число благоприятных исходов – 3
3
 0,5
6
ЕГЭ-2012 Задача №4
Подбрасываются две монеты. Найдите
вероятность того, что на обеих выпадет
герб.
Ответ:
Общее число исходов – 4
Число благоприятных исходов – 1
1
 0,25
4
ЕГЭ-2012 Задача №5
Из пяти отрезков, длины которых равны 2,
3, 5, 10 и 12 см, наугад выбирается один.
Найдите вероятность того, что длина этого
отрезка окажется более 5 см.
Ответ:
Общее число исходов – 5
Число благоприятных
исходов – 2
2
 0,4
5
ЕГЭ-2012 Задача №6
В ящике находится 10 одинаковых по форме
шаров, среди которых имеются 5 белых, 3
черных и 2 зеленых. Найдите вероятность
того, что вынутый наугад шар не окажется
зеленым.
Ответ:
5+3=8
8
 0,8
10
ЕГЭ-2012 Задача №7
В ящике находится 20 одинаковых по форме
шаров, среди которых имеются 2 синих, 5 белых, 9
красных и 4 зеленых. Найдите вероятность того,
что вынутый наугад шар окажется белым или
красным.
Ответ:
5 + 9 = 14
14
 0,7
20
ЕГЭ-2012 Задача №8
Подбрасывают два игральных кубика.
Найдите вероятность того, что сумма
выпавших очков окажется равной 4. Ответ,
используя правило округления представьте
в виде десятичной дроби, содержащей три
значащие цифры.
Ответ:
Общее число исходов – 36
Число благоприятных исходов – 3
3
1

 0,0833
36 12
ЕГЭ-2012 Задача №9 Демо
В сборнике билетов по биологии всего 25
билетов, в двух из них встречается вопрос о
грибах. На экзамене школьнику достаётся
один случайно выбранный билет. Найдите
вероятность того, что в этом билете не будет
вопроса о грибах.
Ответ:
25 – 2 = 23
23 92

 0,92
25 100
ГИА-2012 Задача №10
На тарелке лежат пирожки, одинаковые на
вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с вишней.
Петя наугад выбирает один пирожок.
Найдите вероятность того, что пирожок
окажется с вишней.
Ответ:
3 1 20
 
 0,2
15 5 100
ГИА-2012 Задача №11
Доля брака в производстве процессоров
составляет 0,05 %. С какой вероятностью
процессор только что купленного
компьютера окажется исправным?
Ответ:
0,05% = 0,0005
1 – 0,0005 = 0,9995
ГИА-2012 Задача №12
Из слова ЭКЗАМЕН случайным образом
выбирается одна буква. Какова вероятность
того, что она окажется гласной?
Ответ:
всего 7 букв
3 гласные буквы
3
7
ГИА-2012 Задача №13
Подбрасывают два кубика, какова
вероятность, что в сумме выпадет меньше 6
очков?
Таблица исходов сумм двух игральных кубиков
1 кубик/
2 кубик
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Ответ:
Всего исходов – 36
Благоприятных исходов – 10
10 5

36 18
ГИА-2012 Задача №14
Подбрасывают два кубика, какова
вероятность, что оба числа окажутся
меньше 5?
Ответ:
Всего исходов – 36
Благоприятных исходов – 16
16 4

36 9
ГИА-2012 Задача №15
В ящике 3 красных и 3 синих шара. Из него,
не глядя, вытаскивают друг за другом два
шара. Какова вероятность, что они будут
одного цвета?
Ответ:
Всего исходов 6 x 5 = 30
Благоприятных исходов 6 x 2 = 12
12 2
  0,4
30 5
Или: после того как вытащили 1 шар, второй
того же цвета можно вытащить с
вероятностью
2
5
ГИА-2012 Задача №16
Карточки с цифрами 1, 2, 3, 4, 5
перемешивают и выкладывают в ряд.
Какова вероятность, что получится четное
число?
Ответ:
Последняя цифра должна быть четной,
находим вероятность выпадения четной
цифры
2
5
ГИА-2012 Задача №17
Буквы слова АКТЕР перемешивают и
случайным образом выкладывают в ряд. С
какой вероятностью при этом получится
слово ТЕРКА?
Ответ:
Всего исходов – 5 x 4 x 3 x 2 = 120
Благоприятных исходов – 1
1
120
ГИА-2012 Задача №18
Буквы слова КУБИК перемешивают и
случайным образом выкладывают в ряд. С
какой вероятностью получится это же самое
слово?
Ответ:
Всего исходов – 5 x 4 x 3 x 2 = 120
Благоприятных исходов – 2, так как 2 буквы К
2
1

120 60
ГИА-2012 Задача №19
Два человека садятся в электричку, в
которой 8 вагонов. С какой вероятностью
они окажутся в разных вагонах, если
каждый из них выбирает вагон случайным
образом?
Ответ:
Пусть первый человек уже сел в один вагон,
значит вероятность, того что второй сядет в
другой вагон
7
8
ГИА-2012 Задача №20
Одновременно бросают 3 монеты. С какой
вероятностью выпадет хотя бы один орел?
Ответ:
Возможных исходов – 8
ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР
Благоприятных исходов – 7
7
8





Основные статистические понятия для ГИА
Среднее арифметическое числового ряда.
Медиана – число, стоящее в средине
упорядоченного числового ряда с нечетным
количеством членов.
Медиана – среднее арифметическое двух
чисел, стоящее в средине упорядоченного
числового ряда с четным количеством членов.
Размах числового ряда – разность между
наибольшим и наименьшим из этих чисел.
Мода числового ряда – число, встречающееся
в данном ряду чаще других (ряд чисел может
иметь более одной моды)
Дидактические материалы, задача №1
Игральная кость бросается до тех пор, пока
не выпадет 6 очков. Число бросков
записывается. Так, если при первом же
броске кости выпадает 6 очков, то пишется
1, если при втором, то 2, и т. п. Затем опыт
повторяется. В результате получается
последовательность, состоящая из
натуральных чисел. Какова вероятность
того, что следующий член
последовательности окажется равным 4?
Решение


Член последовательности будет равен 4, если лишь
при четвертом броске кости выпадет 6 очков, а при
первых трех бросках 6 очков не выпадает.
Вероятность выпадения 6 очков – 1
6

5
Вероятность того, что 6 очков не выпадет –
6
5 5 5 1 125
   
6 6 6 6 1296
Дидактические материалы, задача №2
В корзине находится 6 белых и 8 черных
носков. Найдите вероятность того, что пара
носков, которые достают наугад, окажется
одноцветной.
Решение
А1 – первый черный носок;
А2 - второй черный носок;
В1 - первый белый носок;
В2 - второй белый носок;
Р(А1А2) + Р(В1В2) =
8 7 6 5 4 7 3 5 43
       
14 13 14 13 7 13 7 13 91
вероятность суммы несовместных событий
Дидактические материалы, задача №3
Какова вероятность того, что взятая наугад
кость домино окажется «дублем», если
известно, что сумма очков на этой кости
является четным числом?
Решение
Из 28 костей домино 16 имеют четную
сумму очков, из них 7 дублей.
7
16
Основные формулы


Число перестановок:
Число размещений:

Число сочетаний:

Вероятность:
Рn  1 2  3  n  1 n  n!
Аnm  nn  1n  2   n  m  1 
Anm
n!
С 

Pm m!n  m !
P  A 
m
n
m
n
P AB  P A PB / A
P A  B  P A  PB  P AB

Вероятность двух независимых событий
P AB  P A PB

Вероятность двух несовместных событий
P A  B  P A  PB
n!
n  m!