РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЭКОНОМИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ (ЕГЭ 2015) Презентация учителя математики высшей категории МБОУ СОШ №10 с УИОП ЩМР МО Скрябиной Галины Вячеславовны Что необходимо знать и понимать при решении задач на проценты: • • • • • • 1%-это одна сотая часть чего-либо; За 100% принимаем ту величину, с которой сравниваем; Формулы для подсчёта процентов: если величину S увеличить на а%, то получим S(1+0,01а); если величину S уменьшить на а%, то получим S(1-0,01а); если величину S дважды увеличить на а%, то получим S(1+0,01а)2; • если величину S дважды уменьшить на а%, то получим S(1-0,01а)2. Формула вычисления сложных процентов. An А0 (1 р n ) , где An будущая стоимость, А0 текущая стоимость, p100 процентная ставка за расчётный период (день, месяц, год,…); n- количество расчётных периодов. Вывод формулы вычисления сложных процентов: Для вычисления значения за один период воспользуемся формулой для вычисления числа, которое на заданный процент больше от исходного числа A1 A0 (1 p ) 100 Для второго периода A2 A1 (1 p p 2 ) A0 (1 ) 100 100 ……. Для n-ого периода An An 1 (1 p p n ) A0 (1 ) 100 100 Что необходимо знать и понимать при решении задач на погашение кредита равными долями Пусть размер кредита S. Процент банка равен а%, а ежегодная выплата по кредиту равна Х. Тогда через год после начисления процентов и выплаты суммы X размер долга равен: S( 1+0,01а ) - X. Обозначим р= 1+ 0,01а. Тогда через два года размер долга составит: (Sр – X)р-X Через три года: ((Sр – X)р-X)р – X. Через четыре года (((Sр – X)р-X))р – X)р – X. ...через п лет Sрп- X(рп-1+….р3+р2+р+1). Для подсчета величины в скобках иногда применяется формула суммы n членов геометрической прогрессии. Здесь b1 1, q a Формула для суммы n членов геометрической прогрессии: n b1 (1 q ) Sn 1 q Размер долга через n лет X (1 а ) Sа 1 а n n ЗАДАЧА № 1. В июле планируется взять кредит на сумму 8 052 000 рублей. Условия его возвращения таковы: -каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; -с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга. Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами ( то есть за четыре года? ) РЕШЕНИЕ: А=8 052 000 рублей ДОЛГ остаток 1, 2(1, 2 А в) 1,2А выплаты в 1,2А-в 1, 23 А 1, 24 А 1, 23 в 1, 22 в 1, 2в 1, 22 в 1, 2в в в в 1, 22 А 1, 2в в 1, 23 А 1, 22 в 1, 24 А 1, 23 в 1, 2в в 1, 22 в 1, 2в в 1, 2 А 1, 2 в 1, 2 в 1, 2в в О 4 3 2 1, 24 А в 1, 23 1, 22 1, 2 1 Посчитаем сумму 4-ёх членов геометрической прогрессии, где первый член -1; знаменатель – 1,2 1, 2 А 2, 2 2, 44 в 4 1, 24 А 1, 24 8О52ООО в 2, 2 2, 44 2, 2 2, 44 в= 3110400 Ответ: 3 110 400 рублей ЗАДАЧА №2 В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: -каждый январь долг возрастает на х% по сравнению с концом предыдущего года; -с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга. Найдите число х, если известно, что если каждый год выплачивать по 777 600 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 1 317 600 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года. РЕШЕНИЕ: А-сумма кредита к=1+х/100 ДОЛГ кА выплаты в к кА в в кА-в 3 к в кв 2 в к Ак в к А кв в кв в 3 остаток 2 в 2 к Ак в 4 к Ак в кв 3 2 к Ак в 4 3 к 2 в кв в к 4 А к 3в к 2в кв в О 2 к А кв в О 4 3 2 к А 777 6ОО к к к 1 2 к А 1 317 6ОО к 1 к2 13176к 2 7776к 2 7776 к 2 1, 44 х 1 1, 2 1ОО 777 6ОО к 1 к 2 1 1 317 6ОО к 1 54ООк 2 7776 к=1,2 х=2О Ответ: х=20% ЗАДАЧА № 3 В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на 5 лет. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплати ть часть долга; - в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. Сколько млн рублей составила общая сумма выплат после погашения кредита? РЕШЕНИЕ долг июль 10 8 6 4 2 долг январь 1,1*10 1,1*8 1,1*6 1,1*4 1,1*2 1,1*8-6 1,1*6-4 1,1*4-2 1,1*2 выплаты 1,1*10-8 0 Посчитаем все выплаты: 1,11О 8 1,1 8 6 1,1 6 4 1,1 4 2 1,1 2 1,11О 8 6 4 2 8 6 4 2 1,1 3О 2О 33 2О 13 Ответ: 13 млн рублей ЗАДАЧА № 4 В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на некоторый срок. Условия возврата таковы: -каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; -с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; -в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину -меньше долга на июль предыдущего года. На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платёж по кредиту не превысил 1,8 млн руб.? РЕШЕНИЕ n – срок выплаты кредита. долг (июль) выплата остаток 6 млн 7, 2 6(n 1) n ... 6 n 0 6 n 1 n 6 n 1 n Так как самая большая выплата – это первая, то остальные можно не считать. 6 n 1 7, 2 1,8 n 7,2n-6n+6≤1,8n 0,6n≥6 n≥10 Ответ: на 10 лет ЛИТЕРАТУРА А.В. Семёнов, И.В.Ященко и др. Как получить максимальный балл по ЕГЭ. Москва. «Интеллект-Центр», 2015 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!