Оптика ( квантовая)

оптика
Тепловое излучение
Любое тело, имеющее температуру Т > 0 - излучает энергию в виде
электромагнитных волн. Так как в нагретых телах часть внутренней энергии
вещества может превращаться в энергию излучения.
Это излучение называют тепловым излучением.
Если нагретые излучающие тела окружить непроницаемой для излучения
оболочкой, то по истечении некоторого времени в системе «излучающие тела +
излучение в полости» установится термодинамическое равновесие.
Способность теплового излучения находиться в равновесии с излучающим
телом отличает тепловое излучение от всех других видов излучения тел.
Излучение, находящееся в равновесии с излучающим телом, будем называть
равновесным. Поэтому равновесному излучению можно приписать температуру тела,
с которым оно находится в равновесии, распространив при этом законы равновесной
термодинамики на тепловое излучение.
Такое равновесное состояние системы устойчиво. Тепловое излучение
изотропно и неполяризованно.
Тепловое излучение имеет непрерывный спектр.
Все другие виды свечения (излучения света), возбуждаемые за счет любого
другого вида энергии, кроме теплового, называются люминесценцией.
Все виды люминесценции являются неравновесными.
оптика
Тепловое излучение
Тепловое излучение
Если на какое либо тело падает поток излучения Ф0, то часть
и его характеристики этого потока поглотится – Ф1, часть потока пройдет через
тело – Ф2 , часть отразится телом – Ф3 .
  1   2   3 ,
1  2  3
1


,
0 0 0
1  a  b  c.
Здесь a – коэффициент поглощения, b – коэффициент пропускания (прозрачности),
с – коэффициент отражения.
В зависимости от коэффициентов a, b, с все тела можно разделить на модели:
1. Абсолютно черные, а = 1.
2. Абсолютно прозрачные, b =1.
3. Абсолютно белые, с = 1.
Для реальных тел все эти коэффициенты зависят от температуры Т и
частоты  (длины волны λ) падающего излучения.
В теории теплового излучения особую роль играет коэффициент поглощения – а.
Тепловое излучение
Характеристикой процесса поглощения телами излучения
Тепловое излучение
и его характеристики служит спектральная поглощательная способность тела a,T,
которая равна:

a ,T 
d 
,
d 
где d - падающий поток излучения, d поглощающий телом.
a,Т
1.0
a,Т = 1
- абсолютно черное тело.
a,Т = const < 1 - абсолютно серое тело.
- реальное тело.
0
1
2

a,Т = 0 - абсолютно белое тело.
оптика
Тепловое излучение
Энергия dR , излучаемая единицей поверхности нагретого
Тепловое излучение
и его характеристики тела в единицу времени в диапазоне частот от  до  + d 
называется излучательностью (энергетической светимостью)
и определяется:
dR  rd.
Энергию r, приходящуюся на единичный интервал частот, называют
спектральной плотностью излучательности (испускательной способностью) тела.
Спектральная плотность излучательности является функцией частоты и
температуры r = r(,T). Будем использовать принятое в теории теплового излучения
обозначение: r(,T)  r,T.
Излучательность тела с единицы поверхности тела по всему диапазону
частот

RT   r ,T d.
0
Связь между спектральными плотностями излучательности по шкале
частот и шкале длин волн определяется следующим выражением
r ,T  r ,T 
d
2c
 r ,T  2 .
d

[RТ] = Вт/м2, [r,T] = Дж/м2, [rλ,T] = Вт/м2·м.
Тепловое излучение
Закон Кирхгофа Мысленно проведем следующий эксперимент.
В теплоизолированной полости находятся три нагретых, излучающих реальных тела.
Пусть тела находятся в вакууме, следовательно обмен
энергией может происходит только за счет излучения.
Термодинамическое равновесие установится и в
полости, стенки которой выполнены из любого
материала, в том числе и абсолютно черного, и
поддерживаются при некоторой неизменной температуре.
В этом опыте с равновесным тепловым
излучением равновесие в системе может установиться
только в случае, если каждое тело, в том числе и
абсолютно черное, излучает в единицу времени столько
же энергии, сколько оно поглощает.
Далее, это означает, что тела, интенсивнее поглощающие излучение какой-либо
частоты, будут это излучение интенсивнее и испускать.
В соответствии с этим принципом детального равновесия отношение
спектральной излучательности и поглощательной способности одинаково для всех
тел, включая абсолютно черное тело, и при данной температуре является
универсальной функцией частоты (длины волны).
Больцман, применив термодинамический метод к исследованию теплового
излучения, показал, что этот метод справедлив только для абсолютно черного тела.
ВОЛНОВАЯ
ОПТИКА
Тепловое излучение
Закон Кирхгофа Этот закон теплового излучения  закон Кирхгофа  установлен в
1859г. Густавом Кирхгофом при рассмотрении термодинамических
закономерностей равновесных систем с излучением. Его можно записать в виде
Или
 r ,T

a
  ,T
  r ,T
 
 a
1   ,T
  r ,T
 
 a
 2   ,T

r*,T
  ... 
 f , T .

1
3
 r ,T

a
  ,T
  r ,T
 
 a
1   ,T
  r ,T
 
 a
 2   ,T

r*,T
  ... 
   , T .

1
3
Индексы 1, 2, 3, ... соответствуют различным телам.
Из закона Кирхгофа следует, что универсальные функции f(,T) и (,Т) есть
*
спектральные плотности излучательности r ,T , r*,T абсолютно черного тела по
шкале частот и длин волн, соответственно.
В теории теплового излучения характеристики абсолютно черного тела
имеют универсальный характер.
Следствия из закона Кирхгофа. Из всех тел, нагретых до одинаковой температуры:
1. Больше всего излучает абсолютно черное тело.
2. Больше всего поглощает абсолютно черное тело.
Тепловое излучение
Модель
Из закона Кирхгофа следует, что знание спектральной плотности
абсолютно
излучательности абсолютно черного тела и спектральной
черного тела
поглощательной способности любого реального тела позволяет
определить энергию, излучаемую этими телами в любом диапазоне частот или длин
волн.
В
природе
нет
Поэтому
идеального
абсолютно
возникла
черного тела, например,
настоятельная
сажа (a = 0,98) или
необходимость
в
платиновая чернь имеют
теоретическом
поглощающую способность
нахождении
этой
a,T
≈ 1, но только в
универсальной
ограниченном
интервале
функции, а также в
частот, поэтому такие тела
экспериментальном
мало
пригодны
для
исследовании
экспериментального
закономерностей
исследования.
излучения
Такую модель в 1862 г. предложил сам Кирхгоф – это полость с
абсолютно черного очень малым отверстием, которая близка по своим свойствам
тела.
абсолютно черному телу.
Луч, попавший внутрь, после многократных отражений обязательно
поглощается, причём луч любой частоты.
Тепловое излучение
Экспериментальные
Качественный вид спектральных кривых излучения
закономерности излучения абсолютно черного тела рассмотрим на рисунках.
абсолютно черного тела
*
r
3200 K
*
 ,T
r ,T
Т3 > T2 > T1
4
3
2
2400 K
1
1600 K
1 2 3

4
2
3  ,10 см
Видимая часть спектра
Закон
Из измерения площадей под экспериментальными кривыми
Стефана-Больцмана была
получена
экспериментальная
зависимость
излучательности абсолютно черного тела (АЧТ) от температуры


- закон Стефана-Больцмана.
RT   r*,T d   r*,T d  T 4
0
0
0
1
 = 5,6686108 Вт/(м2К4) – постоянная
Стефана-Больцмана.
ВОЛНОВАЯ
ОПТИКА
Тепловое излучение
Закон
Для реальных тел закон Стефана-Больцмана выполняется
Стефана-Больцмана лишь качественно, то есть с ростом температуры
энергетические светимости всех тел увеличиваются.
Получим для реальных тел зависимость излучательности от температуры,
используя закон Кирхгофа и Стефана-Больцмана.


r ,T  a ,T r*,T

R   a ,T r*,T d   a ,T T 4 d  T 4  a ,T d  AT T 4 .
0

0
0
Коэффициент AT   a ,T d  1 называется
интегральной поглощательной
способностью тела. 0
Значения АТ, в общем случае зависящие от температуры, известны для
многих технически важных материалов.
Для реальных нечерных тел можно ввести понятие эффективной
радиационной температуры Тр, которая определяется как температура абсолютно
черного тела, имеющего такую же излучательность, что и реальное тело.
Действительно, для реального тела R = Tp4 = AT T4.
Отсюда находим, что Tp  T 4 AT .
Так как АТ < 1, то и Тр < T.
Радиационную температуру сильно нагретых раскаленных тел можно
определить с помощью радиационного пирометра (рассмотрим позже).
Тепловое излучение
Закон смещения Вина
В 1893 г. немецкий физик В. Вин теоретически рассмотрел
термодинамический процесс сжатия излучения, заключенного в полости с идеально
зеркальными стенками.
С учетом изменения частоты излучения за счет эффекта Доплера при
отражении от движущегося зеркала Вин пришел к выводу, что спектральная
плотность излучательности АЧТ должна иметь вид
 
r*,T   3 f 
.
T 
Здесь f  некоторая функция, конкретный вид которой термодинамическими
методами установить нельзя.
Переходя в этой формуле Вина от частоты к длине волны, в соответствии с
правилом перехода r,T d = r,T d, получим
*
 ,T
r
4

2c 

5
 2c 
f
.
 T 
В функцию f температура входит в виде произведения T. Это позволяет предсказать
*
. Она достигает максимума на длине волны m,
некоторые особенности функции r ,T •
которая при изменении температуры тела изменяется так, чтобы выполнялось
условие m T = const.
ВОЛНОВАЯ
ОПТИКА
Тепловое излучение
Закон
смещения Вина
Таким образом, В. Вин сформулировал закон теплового излучения
– закон Вина
b где b = 2,898103 Км - постоянная Вина.
m  ,
T
Согласно закону длина волны m, на которую приходится максимум
спектральной плотности излучательности АЧТ, обратно пропорциональна его
абсолютной температуре.
Закон смещения Вина показывает, что при повышении температуры АЧТ
положение максимума его спектральной плотности излучательности смещается в
область коротких длин волн.
Для реальных тел закон Вина выполняется лишь качественно. С
ростом
температуры любого тела длина волны, вблизи которой тело излучает больше всего
энергии, также смещается в сторону коротких длин волн.
Это смещение, однако, уже не описывается простой формулой m = b/T, которую для
излучения реальных тел можно использовать только в качестве оценочной.
Из анализа своей функции Вин пришел к выводу, что
Второй
закон Вина максимальное значение спектральной плотности излучательности АЧТ
пропорционально температуре в пятой степени.
r*m ,T  C  T 5 ,
где С = 1,3105 Вт/(м3К5).
ВОЛНОВАЯ
ОПТИКА
Тепловое излучение
Дальнейшее развитие теории теплового излучения нашло
Формула
Релея- Джинса в работах Рэлея и Джинса (1900-1905 г.).
Они рассмотрели равновесное излучение АЧТ в замкнутой полости с
зеркальными
стенками
как
совокупность
пространственных
стоячих
электромагнитных волн. К стоячим волнам, образующимся в промежутке между
двумя стенками Рэлей применил один из основных законов статистической физики – закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы системы,
находящейся в равновесии. Каждой стоячей волне со своей собственной частотой
соответствует своя колебательная степень свободы (на одну колебательную степень
свободы приходится энергия равная kT). Они нашли выражение для спектральной
плотности излучательности АЧТ (Формула Рэлея-Джинса):
r*,T
2

kT.
2 2
4 c
Формула РэлеяДжинса
хорошо согласуется с экспериментальными
данными для излучения АЧТ в области малых частот или больших длин волн и
резко расходится с опытом для больших частот или малых длин волн излучения.
Тепловое излучение
Интенсивность
излучения
T=2100 K
Формула
Релея- Джинса
Отсюда
следует,
что
Рэлей-Джинс
формула
Релея-Джинса,
полученная строго на основе
классических представлений о
том, что любая физическая
величина, в том числе и энергия,
изменяется непрерывным образом,
 ,10 4 см
2
3
4
5
6
7
1
0
и
за
бесконечно
малый
промежуток времени ее изменение
Это приводит к тому, что


всегда
бесконечно
мало
–
kT
*
2
RT  r ,T d 

d  ,
противоречит опыту.
2 2

0
4 c

0
и, следовательно, тепловое излучение не является равновесным, а это противоречит
опыту.
Такой противоречивый результат, содержащийся в формуле Рэлея  Джинса,
вывод которой с точки зрения классической теории не вызывал сомнений, П.С.
Эренфест назвал «ультрафиолетовой катастрофой».
Классическая физика сделала все, что могла, но задача теплового излучения
решена не была – не получено выражение для универсальной функции.
ВОЛНОВАЯ
ОПТИКА
Тепловое излучение
Гипотеза о квантах.
«Ультрафиолетовая катастрофа» показала, что
Формула Планка
классическая физика содержит ряд принципиальных
внутренних противоречий, которые проявились в теории теплового излучения и
разрешить которые можно только с помощью принципиально новых физических
Такая физическая идея была сформулирована в 1900 г. М. Планком в виде
идей.
Согласно этой гипотезе:
гипотезы о квантах.
излучение испускается и поглощается веществом не непрерывно,
а конечными порциями энергии, квантами энергии.
Основное отличие квантовой теории излучения от классической
проявляется при расчете средней энергии излучения частоты . При высоких
частотах нарушается закон о равнораспределении энергии по степеням свободы в
равновесных системах.
Для этого Планк выбрал наиболее простую модель излучающей системы
(стенок полости) в виде гармонических
осцилляторов (электрических
диполей) со всевозможными собственными частотами.
Планк предположил, что при распределении энергии между осцилляторами
она (энергия) будет принимать не любые непрерывные значения, а лишь дискретные
значения, кратные целому числу некоторой порции (кванту) энергии ε0, которая
пропорциональна частоте 
  n 0 , n  1, 2, 3, ....
Тепловое излучение
Квант энергии равен
h
 0  h 
   ,
2
Формула Планка
здесь h = 2ħ  новая фундаментальная физическая константа, которую называют
постоянной Планка.
h  6,62 10 34 Дж  с 

квант действия.

34
  1,054 10
Дж  с 

Запишем спектральную плотность излучательности абсолютно черного тела
или функцию (формулу) Планка.

 f ( , T )  2 2 
4 c
3
*
 ,T
r
1
e

kT
.
1
Формула
Планка
находится
в
соответствии
с
результатами
экспериментальных исследований излучения АЧТ на всех частотах и при всех
температурах, и, следовательно, из нее следуют все законы теплового излучения.
Тепловое излучение
Спектр излучения Солнца
Планк
Тепловое излучение
Применение законов теплового излучения
I. Для создания тепловых источников света.
Как
следует
из
кривой
видности,
чувствительность
человеческого
глаза
к
различным длинам волн различна. При дневном
зрении наибольшая чувствительность для λ =
555 нм (зеленая линия).
Если в качестве источника взять АЧТ,
то по закону Вина:
T 
b
m
2,9 10 3

 5200 K.
6
0,555 10
Хотя К.П.Д. для АЧТ при температуре 5000÷6000 К равен 14 ÷ 15 %, но их нет,
а реальные тела такие температуры не выдерживают.
Поэтому, при создании источников учитываются важнейшие характеристики
источника света - спектральный состав его излучения и световая отдача.
В лампах накаливания используются вольфрамовая нить по двум причинам:
Тепловое излучение
Применение законов теплового излучения
а) ее тугоплавкость и большая стойкость к распылению при больших Т,
б) световая отдача у вольфрамовой нити, в видимой части спектра, значительно
больше, чем у АЧТ, нагретого до такой же Т.
Для повышения световой отдачи лампы и приближении спектрального
состава ее света к спектральному составу дневного света (λ ≈ 550 нм) нить делают в
виде спирали, а лампу заполняют инертным газом (аргоном или смесью криптона и
ксенона с добавлением азота).
Это позволило поднять температуру вольфрама до 3000 ÷ 3200 К.
Но при этих Т максимум спектральной плотности излучения лежит в области
инфракрасных волн (~ 1100 нм), поэтому все современные лампы накаливания
имеют К.П.Д. ~ 1 ÷ 2 %.
Люминесцентные источники света обладают в два-три раза большим К.П.Д.
II. Для измерения температуры (оптическая пирометрия).
1. Метод основанный на законе смещения Вина.
Если нам известна та длинна волны, на которую приходится максимум
спектральной плотности излучательности, то Т тела можно определить по формуле:
T 
2,8978 10 3

.
Измеряют Т солнца, звезд и т.д. Для серых тел измеряют так называемую цветовую Т.
Тепловое излучение
Применение законов теплового излучения
II. Для измерения температуры (оптическая пирометрия).
2. Метод основанный на законе Стефана-Больцмана.
Шкала миллиамперметра градуируется по излучению АЧТ прямо в К.
Поэтому для произвольного излучателя определяется так называемая
радиационная или энергетическая Т.
A
Si
mA
B
Радиационный пирометр
AB – светящаяся поверхность S – тела.
Si – крестообразная пластинка из
платиновой фольги с зачернённой
поверхностью. В пластинке термопара.
Тепловое излучение
Применение законов теплового излучения
II. Для измерения температуры (оптическая пирометрия).
3. Яркостный метод определения Т.
Нагретое тело
Нить накала
Принцип действия
его основан на визуальном
Фильтр сравнении
яркости
раскаленной нити лампы
пирометра
с
яркостью
изображения накаленного
испытуемого тела.
Равенство яркостей определяется
по исчезновению изображения
Г
нити
пирометра
на
фоне
изображения раскаленного тела.
Накал
нити
пирометра
регулируется реостатом, а шкала
Пирометр с исчезающей нитью
амперметра
проградуирована
прямо в Т.
Эффект Комптона
Эффект Комптона является результатом упругого рассеяния рентгеновского
фотона на свободном (или почти свободном) электроне, при этом происходит
увеличение длины волны рассеянного электромагнитного излучения.
Экспериментальная установка Комптона изображена на рисунке
Здесь РТ- рентгеновская трубка;
М – мишень рассеивателя;
- угол рассеяния излучения.
Длина
волны
рассеянного
излучения
определялась
с
помощью дифракции его на
кристалле.
Опытным
путем
Комптон
установил, что разность длин волн рассеянного
и падающего излучения почти не
зависит
от
материала
рассеивателя, а определяется
только величиной угла рассеяния
θ:
 = с (1 – cos ) - формула Комптона,
с = 2,4261012 м –
постоянная Комптона.
Эффект Комптона
Анализ собственных экспериментальных
результатов, а также идеи Планка и
Эйнштейна привели Комптона к выводу о
том, что рассеяние фотонов рентгеновского
излучения (не зависящее от химического
состава мишени) может происходить на
частицах, одинаковых в любом веществе.
Такими частицами являются электроны.
Так как энергия фотонов рентгеновского
излучения много больше энергии связи
электрона в атоме, то Комптон предположил, что рассеяние фотона происходит на
свободном электроне и это рассеяние будет упругим.
Таким образом, для теоретического описания открытого эффекта, Комптон
взял в основу чисто корпускулярные представления - рассеиваются две частицы:
фотон и электрон.
При упругом рассеянии выполняются два закона сохранения:
1. Закон сохранения импульса.
2. Закон сохранения энергии.
Эффект Комптона
Схема расчета

Pф

Pф
θ
е
Запишем закон сохранения импульса для
системы отсчета, связанной со свободным
электроном до столкновения частиц



Pф  Pф  Pe,

Pe
и закон сохранения энергии для релятивистского случая, так как энергия фотона
рентгеновского излучения сравнима или больше энергии покоя электрона
h  m0 c 2  h   mc 2 .
Здесь m0 и m – масса покоя и релятивистская масса электрона соответственно.
Эффект Комптона
Закон сохранения энергии преобразуем к виду
h  m0c 2  h   mc2 ,
Pфc  m0c 2  Pфc  Ee.
Ee  mc2 .
( Pф  P  m0c) 2  ( Ee / c) 2 .
Закон сохранения импульса преобразуем к виду



Pф  Pф  Pe,

 2
2
( Pф  Pф )  Pe .


2
2
2
Pф  2 Pф  Pф  Pф  Pe .
Вычитаем последнее равенство из
получим
2

E
m02 c 2  2 Pф Pф  2 Pф m0 c  2 Pф m0c  2 Pф Pф cos Θ  e2  Pe2 .
c
Правую часть этого равенства можно заменить на m02c2, используя связь
между энергией и импульсом релятивистского электрона, тогда
m02c 2  2Pф ( Pф  m0c  Pф cos Θ)  2Pф m0c  m02c 2 .
Эффект Комптона
Откуда находим P 
ф
1


Pф
1
Pф
m0 c
1

h
(1  cos Θ )
m0 c
.
.
(1  cos Θ)
Воспользовавшись тем, что Рф = h/,
получим
      
h
(1  cos Θ ).
m0 c
Здесь λс = h/m0c = 0,024 Ȧ - постоянная Комптона (комптоновская длина).
За открытие и объяснение этого эффекта квантовой оптики в 1927 г.
Комптон был удостоен Нобелевской премии по физике.
В диапазоне энергий квантов 0,110 МэВ комптон-эффект является
основным физическим механизмом энергетических потерь -излучения при его
распространении в веществе.
Поэтому комптоновское рассеяние широко используется в исследованиях
-излучения атомных ядер. Оно лежит в основе принципа действия некоторых
гамма-спектрометров.
Эффект Комптона
Обратный
При столкновении релятивистских электронов с фотонами они
комптон-эффект могут терять свою энергию, передавая её фотонам. Такой эффект
получил название обратного комптон-эффекта.
Рассмотрим этот эффект в предположении, что в результате упругого
столкновения с фотоном электрон останавливается.

Тогда, в системе отсчета, в которой
Pф
после столкновения с фотоном

θ
электрон
покоится,
законы
Pф
сохранения энергии и импульса
записываются в виде:

Pe
h  mc2  h  m0 c 2 .
Pф  Pe  Pф .
Полученные соотношения переходят в соотношения эффекта Комптона при замене 
на , а m0 на m. Поэтому, не повторяя выкладок, проведенных раньше, запишем
окончательную формулу для изменения длины волны фотона при рассеянии в виде
      
h
(1  cos Θ ).
m0 c
Именно обратным комптон-эффектом удается, в частности, объяснить возникновение
рентгеновского излучения космических объектов.