Физика (теоретический тур)

Муниципальный этап Всероссийской олимпиады по физике 2013 г.
Теоретический тур.
7 класс
Задача 1.
(10 баллов)
Из Санкт-Петербурга в сторону Москвы с интервалов в 10 минут вышли два электропоезда со скоростью 54 км/ч. Какую скорость имел встречный поезд, если он встретил второй поезд через 4 минуты после первого?
Задача 2.
(10 баллов)
Пятидесятиметровый бассейн шириной
20 м имеет профиль дна, показанный на рисунке: через каждый 12,5 м глубина бассейна
увеличивается на 1 м. Пустой бассейн начинают заполнять водой, наливая ее со скоростью 1000 литров в минуту. Построить график зависимости высоты h уровня воды над
самой глубокой частью дна бассейна от времени t и определить, через какое время бассейн заполнится водой.
Задача 3.
(10 баллов)
Ученик измерил плотность деревянного бруска, покрытого краской, и она оказалась
равной   600 кг/м3. Но на самом деле брусок состоит из двух частей, равных по массе,
плотность одной из которых в два раза больше плотности другой. Найдите плотности обеих
частей бруска. Массой краски можно пренебречь.
Задача 4.
(10 баллов)
Петя пользуется не совсем точной линейкой и весами. Результаты измерений могут быть как
больше, так и меньше настоящих значений. Однако, Пете известно, что при измерениях линейкой результат отличается от настоящего не больше, чем на 5 миллиметров; ошибка измерения на весах – не более 100 грамм. Петя получил следующие результаты: длина кирпича
240 мм, ширина 140 мм, высота 60 мм, вес 3 кг. Петя интересуется плотностью кирпича. Какой может быть настоящая плотность кирпича (укажите минимально и максимально возможное значение)?
Муниципальный этап Всероссийской олимпиады по физике 2013 г.
Теоретический тур.
Решение задачи.
7 класс
1. Из Санкт-Петербурга в сторону Москвы с интервалов в 10 минут вышли два электропоезда со скоростью 54 км/ч. Какую скорость имел встречный поезд, если он встретил второй поезд через 4 минуты после первого?
Решение 1.
(10 баллов)
Расстояние между электропоездами
1
s  vt  54   9 км.
6
Это же расстояние встречный поезд проходит за t1  4 мин со скоростью v  v1 . Следовательно,
s  vt   v  v1  t1 ,
откуда
v1 
v  t  t1 
 81 км/ч.
t1
1. Определено расстояние между поездами – 2 балл.
2. Определена относительная скорость встречного поезда – 4 балла.
3. Найдена скорость встречного поезда – 4 балла.
2. Пятидесятиметровый бассейн шириной
20 м имеет профиль дна, показанный на рисунке: через каждый 12,5 м глубина бассейна увеличивается на 1 м. Пустой бассейн
начинают заполнять водой, наливая ее со
скоростью 1000 литров в минуту. Построить график зависимости высоты h уровня
воды над самой глубокой частью дна бассейна от времени t и определить, через какое время бассейн заполнится водой.
Решение 2.
(10 баллов)
График:
Бассейн заполнится за 2500 минут = 41 час 40 минут.
1. Правильно построена скорость заполнения бассейна на каждом участке – по 5 балла.
2. Определено время заполнения бассейна – 5 балла.
3. Ученик измерил плотность деревянного бруска, покрытого краской, и она оказалась равной   600 кг/м3. Но на самом деле брусок состоит из двух частей, равных по массе, плотность одной из которых в два раза больше плотности другой. Найдите плотности обеих частей бруска. Массой краски можно пренебречь.
Решение 3
(10 баллов)
Пусть m - масса каждой из частей бруска,
1 и 2  1 / 2 - их плотности. Тогда части бруска имеют объемы m / 1 и m / 2 1 , а весь брусок массу 2m и объем 3m / 1 .
Средняя плотность бруска:

2m
2
 1.
3m / 1
3
Отсюда находим плотности частей бруска:
1 
3
3
 900 кг/м3, 2 
 450 кг/м3.
2
4
2m
– по 1 балл.
V
2. Определены объемы каждой части бруска m / 1 и m / 2 1 – 2 балла.
3. Определен весь объем бруска 3m / 1 – 2 балла.
4. Выражена средняя плотность бруска через 1 – 1 балла.
1. Определено, что средняя плотность бруска есть
5. Найдена плотность каждого бруска – по 2 балла.
4. Петя пользуется не совсем точной линейкой и весами. Результаты измерений могут быть
как больше, так и меньше настоящих значений. Однако, Пете известно, что при измерениях
линейкой результат отличается от настоящего не больше, чем на 5 миллиметров; ошибка измерения на весах – не более 100 грамм. Петя получил следующие результаты: длина кирпича
240 мм, ширина 140 мм, высота 60 мм, вес 3 кг. Петя интересуется плотностью кирпича. Какой может быть настоящая плотность кирпича (укажите минимально и максимально возможное значение)?
Решение 4.
(10 баллов)
Петя получит не фиксированный результат, а значения, лежащие в каком-то диапазоне, который и нужно оценить.
Плотность равна отношению массы к объему, и необходимо найти наибольшую и
наименьшую возможные плотности. Наибольшая плотность будет тогда, когда масса
наибольшая, а объем наименьший. Соответственно, наименьшая плотность будет при максимальном объеме и минимальной массе.
Обозначим длину, ширину и высоту кирпича, измеренный Петей a  24 см, b  14
см и c  6 см, соответственно. Если l  0,5 см – погрешность измерения, то настоящий
объем кирпича лежит в промежутке
Vmin   a  l  b  l  c  l   1744,875 см3,
Vmax   a  l  b  l  c  l   2309,125 см3.
Массу обозначим m  3000 г, а погрешность измерения массы m  100 г. Тогда
интервал возможных значений масс
mmin  m  m  2900 г,
mmax  m  m  3100 г.
Теперь несложно найти максимальную и минимальную плотности:
mmin
 1,26 г/ см3,
Vmax
m
 max  1,78 г/ см3.
Vmin
min 
max
1. Вывод о том, что наибольшая плотность будет тогда, когда масса наибольшая, а объем
наименьший и наоборот – 2 балла.
2. Определен минимальный объем – 1 балл.
3. Определен максимальный объем – 1 балл.
4. Определена максимальная масса – 1 балл.
5. Определена минимальная масса – 1 балл.
6. Определена минимальная плотность – 2 балл.
7. Определена максимальная плотность – 2 балла.
Муниципальный этап Всероссийской олимпиады по физике 2013 г.
Теоретический тур.
8 класс
1. (10 баллов) Хоттабыч летел за своей лампой на
квадратном ковре-самолете, сторона которого l  1 м,
толщина d  2 см, а плотность   2 г/см3. Увидев
Шайтаныча, он решив замаскироваться, приземлился в
лесу, плотно свернул ковер и поставил его в сугроб. Рулон оставил в снегу след площадью S  0,01 м2. Помогите Хоттабычу определить, какова средняя плотность
получившегося рулона.
2. (10 баллов) По круглой гоночной трассе из точки О в разные стороны стартуют
Петров и Алонсо. Скорость Алонсо V1 в два раза больше, чем скорость Петрова V2 . Гонка
закончилась, когда спортсмены одновременно вернулись в точку О. Сколько мест встреч,
отличных от точки О, было у гонщиков?
3. (10 баллов) На рисунке изображены рычаги, на которых имеются крючки, прикрепленные через одинаковые расстояния. Крючки пронумерованы от -3 до 3, причем 0 приходится на середину рычага. К некоторым крючкам прикреплено по нескольку грузов одинаковой массы. Имеется еще один такой же не подвешенный груз. К крючку с каким номером n
его нужно подвесить, чтобы рычаг находился в равновесии? Решите задачу для каждого из
трех случаев, представленных на рисунке.
4. (10 баллов) Поплавок для рыболовной удочки имеет объем V  5 см3 и массу
m  2 г. К поплавку на леске прикреплено свинцовое грузило, и при этом поплавок плавает,
погрузившись на половину своего объема. Найдите массу грузила M . Плотность воды
1  1000 кг/м3, плотность свинца  2  11300 кг/м3.
Муниципальный этап Всероссийской олимпиады по физике 2013 г.
Теоретический тур.
Решение задачи.
8 класс
1. (10 баллов) Хоттабыч летел за своей лампой на
квадратном ковре-самолете, сторона которого l  1 м,
толщина d  2 см, а плотность   2 г/см3. Увидев
Шайтаныча, он решив замаскироваться, приземлился в
лесу, плотно свернул ковер и поставил его в сугроб. Рулон оставил в снегу след площадью S  0,01 м2. Помогите Хоттабычу определить, какова средняя плотность
получившегося рулона.
Решение.
За время маскировки масса ковра-самолета не изменилась, поэтому найдем ее исходя
из исходных данных:
m  V  l 2d .
После маскировки ковер-самолет имеет объем, равный V '  Sl , следовательно, средняя плотность ковра равна
m l 2d ld
' 

 4 г/см3.
V'
Sl
S
1. Определен объем ковра – 1 балл.
2. Определена масса ковра – 1 балла.
3. Определен объем ковра после маскировки – 1 балла.
4. Определена средняя плотность рулона – 2 балла.
2. (10 баллов) По круглой гоночной трассе из точки О в разные стороны стартуют
Петров и Алонсо. Скорость Алонсо V1 в два раза больше, чем скорость Петрова V2 . Гонка
закончилась, когда спортсмены одновременно вернулись в точку О. Сколько мест встреч,
отличных от точки О, было у гонщиков?
Решение.
Машины едут по трассе навстречу друг другу. Если длина трассы S , то встреча произойдет тогда, когда
V1t  V2t  S ,
(1)
или в соответствии с условием задачи
3V2t  S .
(2)
Отсюда следует, что до первой встречи Петров проедет V2t 
V1t  2V2t 
S
, а Алонсо
3
2S
S
. К моменту второй встречи Петров проедет еще
, а к третьей встрече
3
3
проедет круг и вернется в точку О. Алонсо за это время проедет два круга, и гонка завершится. Таким образом, у гонщиков было два места встречи, отличных от точки О.
1. Введена длина трассы – 1 балл.
2. Записано условие встречи автомобилей (1) – 1 балла.
3. Записано условие встречи автомобилей (2) с учетом данных задачи – 2 балла.
4. Найдено место первой встречи – 2 балла.
5. Найдено место второй встречи – 1 балл.
6. Отмечено, что Петров проедет 1 круг, а Алонсо 2 круга – 1 балл.
7. Получен ответ – 2 балла.
3. (10 баллов) На рисунке изображены рычаги, на которых имеются крючки, прикрепленные через одинаковые расстояния. Крючки пронумерованы от -3 до 3, причем 0 приходится на середину рычага. К некоторым крючкам прикреплено по нескольку грузов одинаковой массы. Имеется еще один такой же не подвешенный груз. К крючку с каким номером n
его нужно подвесить, чтобы рычаг находился в равновесии? Решите задачу для каждого из
трех случаев, представленных на рисунке.
Решение.
Обозначим через m массу одного груза, l – расстояние между соседними крючками. Применим для каждого случая правило рычага:
(а) m  l  2m  2l  m  nl  0 , отсюда n  3 ,
(б) 3m  l  2m  3l  m  nl  0 , отсюда n  3 ,
(в) 2m  2l  m  3l  m  l  3m  3l  m  nl  0 , отсюда n  3 .
1. Если получен правильный ответ без уравнения моментов сил – по 1 баллу за каждый рычаг.
2. Записаны уравнения моментов сил и получено решение – по 3 балла за случаи (а) и (б), 4
балла – случай (в).
4. (10 баллов) Поплавок для рыболовной удочки имеет объем V  5 см3 и массу
m  2 г. К поплавку на леске прикреплено свинцовое грузило, и при этом поплавок плавает,
погрузившись на половину своего объема. Найдите массу грузила M . Плотность воды
1  1000 кг/м3, плотность свинца  2  11300 кг/м3.
Решение.
На систему, состоящую из поплавка и грузила, действуют направленные вниз силы
тяжести mg (приложена к поплавку) и Mg (приложена к грузилу), а также направленные
вверх силы Архимеда 1 gV / 2 (приложена к поплавку) и 1 gM /
лу). В равновесии сумма сил, действующих на систему равна нулю:
m  M  g 
Отсюда
1 gV
2

 2 (приложена к грузи-
1 gM
.
2
1V
m
2
M
 0,55 г.
1
1
2
1. Нарисован рисунок с приложенными к каждому телу силами – 3 балла.
2. Записана сумма сил, действующих на поплавок (с учетом силы натяжения со стороны лески) – 1 балл.
3. Записана сумма сил, действующих на грузило (с учетом силы натяжения со стороны лески) – 1 балл.
4. Исключена сила натяжения и записано условие равновесия системы – 2 балла.
5. Получено конечное выражение для массы грузила – 2 балла.
6. Получено числовое значение – 1 балл.
или
1. Нарисован рисунок с приложенными к каждому телу силами – 3 балла.
2. Записано условие равновесия системы – 4 балла.
3. Получено конечное выражение для массы грузила – 2 балла.
4. Получено числовое значение – 1 балл.
Муниципальный этап Всероссийской олимпиады по физике 2013 г.
Теоретический тур.
9 класс
1. (10 баллов) Крокодила Гену не пустили в автобус, но
он не отчаялся и решил его догнать. Автобус едет с остановками, крокодил Гена бежит за ним. Графики зависимости скоростей от времени показаны на рисунке: сплошной линией –
скорость крокодила, пунктиром – автобуса. Через какое время
Гена догонит автобус?
2. (10 баллов) Однажды у Дэвида Блейна сломались весы. Для взвешивания он решил
использовать гидравлический пресс. Он нанес сантиметровые риски
высоты на левую, узкую трубку гидравлического пресса; груз размещался на большом поршне справа. По сдвигу уровня воды в узкой
трубке измерялась масса груза. Не иначе, как благодаря уличной магии, кошка Дэвида Блейна оказалась весом 5 см. Найдите массу кошки в более привычных килограммах, если известно, что площади поршней пресса 0,1 м2 и
100 см2 соответственно, плотность воды 1000 кг/м3.
3. (10 баллов) У безумного экспериментатора Снейпа было три стакана: с молоком,
водой и быстродействующим ядом. Массы жидкостей равны. Ему было известно, что яд стоит правее молока. Он выпил половину правого стакана, затем нагрел средний стакан на 10 оС,
потом опрокинул и разлил треть жидкости из левого стакана, после чего нагрел его на 30 оС.
Отчаявшись сделать успешный эксперимент, он смешал все три жидкости. Помогите Снейпу
определить температуру получившейся смеси.
Начальная температура жидкостей 30оС, удельная теплоемкость воды cw  4200
Дж/кг  оС, молока cm  3900 Дж/кг  оС, яда c y  2500 Дж/кг  оС, теплоемкостью стакана и
тепловыми потерями пренебречь.
4. (10 баллов) Деревянная и металлическая однородные балки соединены, как показано на рисунке. Размеры, указанные на рисунке, составляют a  10 см, b  5 см, c  35 см. Темным цветом изображена металлическая балка. Известно, что вся конструкция может плавать, полностью погрузившись в воду. Какой угол составляет при этом длинная балка
с вертикалью?
Муниципальный этап Всероссийской олимпиады по физике 2013 г.
Теоретический тур.
10 класс
Муниципальный этап Всероссийской олимпиады по физике 2013 г.
Теоретический тур.
10 класс
1. (10 баллов) По территории стройки
проходит дорога, по которой с интервалом
t0  11 с движутся самосвалы. Двое рабочих
несут длинную трубу и должны пересечь с
ней дорогу. Трубу несут так, что она перпендикулярна дороге. С какой минимальной
скоростью придется двигаться рабочим, чтобы не помешать движению самосвалов?
Длина и ширина самосвала равны a  10 м и b  2 м соответственно. Скорость движения
самосвалов равна v  5 м/с. Длина трубы l  5 м.
2. (10 баллов) Схема, приведенная на рисунке, содержит и
пять одинаковых лампочек. Схема подключена к источнику постоянного напряжения. Расположите лампочки в порядке возрастания
яркости. Ответы обоснуйте.
3. (10 баллов) Имеется вертикальный шестигранный столб, ширина стороны столба a . На столб надевают цепочку, составленную из одинаковых легких пружин и одинаковых маленьких кубиков массы m . Острые
углы шестигранника спилены так, что каждый кубик касается маленькой плоской площадки на столбе, все углы
столба равны. Известно, что в пружинах возникла сила упругости, равная T . Коэффициент
трения кубиков о столб равен  . Столб начинают раскручивать. При каких значениях угловой скорости  цепочка начнет съезжать вниз? Ускорение свободного падения g .
4. (10 баллов) В цилиндрическом сосуде при температуре 0оС находится вода и кусок
льда, примерзший ко дну, причем уровень воды располагается на высоте h0  20 см от дна
сосуда, а лед не выступает над поверхностью воды. Когда содержимому сосуда сообщили
количество теплоты Q  60 кДж,   10 % льда расплавилось, а оставшаяся часть льда
всплыла на поверхность. На какой высоте h от дна сосуда оказался уровень воды в сосуде
после этого? Площадь поперечного сечения сосуда S  200 см2, плотность воды  w  1
г/см3, плотность льда
i  0,9 г/см3, удельная теплота плавления льда   332 Дж/г.
5. (10 баллов) Зеркальная дверь АО может вращаться
вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку О. Мальчик М и девочка D стоят перед
дверью,
как
показано
на
рисунке,
причем
o
o
AOM    30 , AOD    60 . На какой угол  в
направлении, указанном стрелкой, нужно повернуть дверь,
чтобы мальчик перестал видеть в ней изображение девочки?
Муниципальный этап Всероссийской олимпиады по физике 2013 г.
Теоретический тур.
10 класс
1. (10 баллов) По территории стройки
проходит дорога, по которой с интервалом
t0  11 с движутся самосвалы. Двое рабочих
несут длинную трубу и должны пересечь с
ней дорогу. Трубу несут так, что она перпендикулярна дороге. С какой минимальной
скоростью придется двигаться рабочим, чтобы не помешать движению самосвалов?
Длина и ширина самосвала равны a  10 м и b  2 м соответственно. Скорость движения
самосвалов равна v  5 м/с. Длина трубы l  5 м.
Решение.
За время t  11 секунд самосвал успевает отъехать на vt  55 метров. Длина самосвала 10 метров, следовательно, расстояние между самосвалами S  45 метров. А значит,
просвет на дороге освобождается не 11, а S / v  9 секунд.
Рабочие за это время должны пройти путь, равный сумме длины трубы l и ширины
самосвала b :
l  b  9u  u 
l b
 1 м/сек.
9
1. Найдено расстояние, которое проходит самосвал за 11 секунд – 1 балл.
2. Найден просвет между самосвалами – 2 балла.
3. Найден интервал времени, доступный для перехода дороги – 2 балла.
4. Найден путь, который должны пройти рабочие за это время – 2 балла.
5. Найдена скорость – 3 балла.
2. (10 баллов) Схема, приведенная на рисунке, содержит и
пять одинаковых лампочек. Схема подключена к источнику постоянного напряжения. Расположите лампочки в порядке возрастания
яркости. Ответы обоснуйте.
Решение.
Рассмотрим первый вопрос. Исходная схема (рис.1) эквивалентна схеме, изображенной на рис.2.
Ток через лампочку L5 максимален, так как она подключена непосредственно к ис-
точнику питания. Лампочка L5 горит ярче всех. Ток через L1 разветвляется: I1  I 2  I 4
(нумерация токов соответствует нумерации лампочек). Поэтому лампочка L1 горит ярче, чем
лампочки L2 , L3 и L4 .
В свою очередь I 4  I 2 , так как в нижней ветви сопротивление меньше, а напряжения
должны быть одинаковы, поэтому L4 горит ярче, чем L2 и L3 .
Итого: ярче всех горит L5 , затем L1 , затем L4 , и наименее ярко горят L2 и L3 .
1. Построена эквивалентная схема – 2 баллов.
2. Определена последовательность ламп – по 2 балла ( L2 и L3 горят одинаково).
3. (10 баллов) Имеется вертикальный шестигранный столб, ширина стороны столба a . На столб надевают цепочку, составленную из одинаковых легких пружин и одинаковых маленьких кубиков массы m . Острые
углы шестигранника спилены так, что каждый кубик касается маленькой плоской площадки на столбе, все углы
столба равны. Известно, что в пружинах возникла сила упругости, равная T . Коэффициент
трения кубиков о столб равен  . Столб начинают раскручивать. При каких значениях угловой скорости  цепочка начнет съезжать вниз? Ускорение свободного падения g .
Решение.
На все кубики действуют одинаковые силы. Рассмотрим какой-нибудь кубик. Силы, действующие на кубик, изображены на рисунке. Размерами кубика можно пренебречь, при этом можно считать, что вся его масса сосредоточена на расстоянии a от оси столба.
Выпишем второй закон Ньютона для кубика в проекции на
ось Oy :
откуда
N  2T sin   m 2a ,
N  T  m 2a .
Теперь рассмотрим условие равновесия кубика. чтобы цепочка не сползала вниз, сила
тяжести, действующая на кубик, должна уравновешиваться силой трения F :
F  mg ,
которая, в свою очередь, не может превзойти величину силы трения скольжения  N .
Предельный случай равновесия реализуется, когда F   N . Таким образом, цепочка
сползается, если
mg   N .
Поставляя полученное выражение для N , получаем следующее условие для  :
mg   T  m 2 a  ,
(1)
откуда

Если же
T
g
.

ma  a
(2)
T g
 , то цепочка станет съезжать даже на неподвижном столбе.
m 
1. Нарисован рисунок с указанием сил, действующих на кубик – 1 балл.
2. Найдена сила реакции на кубик со стороны столба – 1 балл.
3. Определено условие равновесия кубика mg   N – 2 балла.
4. Получено выражение для условия равновесия кубика (1) – 2 балла.
5. Получено выражение для частоты (2) – 2 балла.
6. Проведен анализ выражение и сформулировано условие, когда кубик будет съезжать даже
на неподвижном столбе – 2 балла.
4. (10 баллов) В цилиндрическом сосуде при температуре 0оС находится вода и кусок
льда, примерзший ко дну, причем уровень воды располагается на высоте h0  20 см от дна
сосуда, а лед не выступает над поверхностью воды. Когда содержимому сосуда сообщили
количество теплоты Q  60 кДж,   10 % льда расплавилось, а оставшаяся часть льда
всплыла на поверхность. На какой высоте h от дна сосуда оказался уровень воды в сосуде
после этого? Площадь поперечного сечения сосуда S  200 см2, плотность воды  w  1
г/см3, плотность льда
i  0,9 г/см3, удельная теплота плавления льда   332 Дж/г.
Решение.
Пусть m0 - начальная масса льда. Тогда примерзший ко льду лед вытеснит объем V0 



m0
i
.
m

, а образовавшаяся при
 вытеснит объем V 
100% 
w
 m0
 m0
таянии льда массой
вода займет объем V ' 
. Обозначив через Vw
100%
 w  100%
Всплывший лед массой m  m0 1 
начальный объем воды в сосуде, имеем
Sh0  Vw  V0 , Sh  Vw  V  V ' .
Из записанных равенств находим
h  h0 
m0  w  i
.
S  w i
Для определения начальной массы льда m0 воспользуемся уравнением теплового баланса:
Q

100%
m0 ,
откуда
m0 
Ответ:
h  h0 
Q 100%


.
100% Q  w  i 

 19 см.

S w i
1. Определен начальный объем льда V0 – 1 балл.
2. Определен объем воды, вытесненный всплывшим льдом – 1 балл.
3. Определен объем растаявшего льда – 1 балла.
4. Определен конечный уровень воды – 2 балла.
5. Определена масса растаявшей воды – 2 балла.
6. Получено конечное выражение и ответ – 3 балла.
5. (10 баллов) Зеркальная дверь АО может вращаться
вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку О. Мальчик М и девочка D стоят перед
дверью,
как
показано
на
рисунке,
причем
o
o
AOM    30 , AOD    60 . На какой угол  в
направлении, указанном стрелкой, нужно повернуть дверь,
чтобы мальчик перестал видеть в ней изображение девочки?
Решение.
Построение изображения D1 девочки D в повернутом
зеркале представлено на рисунке. Видно, что предельный угол поворота зеркала, при котором мальчик еще
видит изображение девочки, соответствует случаю, когда
точки M , O и D1 лежат на одной прямой. Используя
обозначения для углов, приведенных на рисунке, имеем
следующие равенства:        ,     2 ,
Из
этих
равенств
находим
2  2   .


2

 
2
. Ответ:
  90o 
 
2
 45o .
1. Построено изображение девочки в зеркале в предельном случае – 5 баллов.
2. Получено значение угла – 5 баллов.
(1-2 балла могут быть засчитаны за правильное построение изображения девочки).
Муниципальный этап Всероссийской олимпиады по физике 2013 г.
Теоретический тур.
11 класс
1. (10 баллов) Гепард, заметив антилопу, убегающую от него со скоростью v A  20 м/с,
начинает ее преследовать. Разгоняясь равноускоренно, он за
 1  4 с развивает скорость
vG  30 м/с, с которой бежит в течение  2  10 с. Затем, почувствовав перегрев своего тела,
гепард прекращает преследование, останавливаясь с тем же по модулю ускорением, что и
при разгоне. На каком максимальном расстоянии S max должны находиться друг от друга в
начальный момент эти животные, чтобы гепард мог полакомиться свежепойманной антилопой?
Замечание. Вследствие отсутствия потовых желез на теле и плохого отвода теплоты
через шкуру гепард не может развивать максимальную скорость (примерно 110 км/ч) в течение длительного времени без опасного для его организма перегрева.
2. (10 баллов) Горизонтально расположенный цилиндрический
сосуд с теплопроводящими стенками, заполненный аргоном плотностью   1,7 кг/м3, закрыт подвижным поршнем и находится в комнате. Площадь поршня равна S  400 м2. В сосуде ко дну на нити прикреплен шар объемом V  1000 см3, сделанный из тонкого нерастяжимого и теплопроводящего материала и заполненный гелием; масса шара
с гелием равна m  1,2 г. После того, как протопили печь, и воздух в комнате прогрелся,
поршень переместился вправо на расстояние h  3 см. Найдите изменение N силы
натяжения нити, удерживающей шар. Ускорение свободного падения g  10 м/с2.
3. (10 баллов) Два маленьких тела массы m бросают
из одной точки. Экспериментатор хочет добиться, чтобы
траектории тел были зеркально симметричны друг другу относительно лески OO ' , которая натянута под углом  к
горизонту. Для этого экспериментатор придал одному телу
заряд q , а другое оставил незаряженным. Начальные скорости составляют одинаковый угол
 с леской      и
лежат в одной вертикальной плоскости. Какое постоянное внешнее электрическое поле E
надо создать экспериментатору? Ускорение свободного падения равно g .
4. (10 баллов) Небольшой брусок массой m , несущий
положительный заряд q , удерживают на наклонной плоскости,
образующей угол  с горизонталью. Система находится в однородном магнитном поле с индукцией B , направленной перпендикулярно плоскости рисунка от нас. Брусок отпускают без
начальной скорости. Чему равна максимальная скорость бруска vmax , если коэффициент трения между бруском и наклонной плоскостью  ? Ускорение свободного падения g .
5. (10 баллов) Проволочный каркас, изображенный на рисунке,
состоит из фотосопротивлений, проводимость которых зависит от того, как они освещены. Изображенный треугольники равносторонние и
одинаковые, величина L известна. В тени сопротивление, приходящееся на единицу длины проволоки равно  , а на солнце  / 2 . Тень от
солнца движется со скоростью v как показано на рисунке. Построить
график зависимости сопротивления R  t  между точками А и В каркаса от времени t . В начальный момент времени вся система освещена и
граница тени пересекает точку В.
Муниципальный этап Всероссийской олимпиады по физике 2013 г.
Теоретический тур.
11 класс
1. (10 баллов) Гепард, заметив антилопу, убегающую от него со скоростью v A  20 м/с,
начинает ее преследовать. Разгоняясь равноускоренно, он за
 1  4 с развивает скорость
vG  30 м/с, с которой бежит в течение  2  10 с. Затем, почувствовав перегрев своего тела,
гепард прекращает преследование, останавливаясь с тем же по модулю ускорением, что и
при разгоне. На каком максимальном расстоянии S max должны находиться друг от друга в
начальный момент эти животные, чтобы гепард мог полакомиться свежепойманной антилопой?
Замечание. Вследствие отсутствия потовых желез на теле и плохого отвода теплоты
через шкуру гепард не может развивать максимальную скорость (примерно 110 км/ч) в течение длительного времени без опасного для его организма перегрева.
Решение.
Поместим начало системы координат в точку старта гепарда, а координатную ось направим вдоль прямой, по которой движутся животные. На рисунке изображены графики зависимости координат и
скоростей гепарда и антилопы от времени. Из рисунка x  x  t 
видно, что гепард догонит антилопу, если расстояние между животными в момент начала погони не превышает S max . В свою очередь,
S max находится из условия, что в тот момент, когда гепард догоняет
антилопу, одновременно с равенством координат достигается и равенство их скоростей (если в этот момент гепард не схватит антилопу, то в следующем он будет отставать).
Из рисунка v  v  t  видно, что время движения животных до момента, когда их скорости сравняются, равно
T  1   2   1    ,
при этом входящий в это время промежуток времени  может быть найден из отношения
vG
1

vA

,
которое следует из условия подобия треугольников на графиках v  v  t  . Отсюда
  1
vA
.
vG
Пути, пройденные гепардом и антилопой за время T , равны:
1
SG  vG  1   2   vA , S A  vA  21   2    .
2
Начальное расстояние между гепардом и антилопой равно разности их путей:
Smax  SG  S A .
Ответ:
Smax
1 vA2
 vG  1   2   vA  2 1   2  
1  86,7 м.
2 vG
1. Выполнен рисунок x  x  t  – 2 балла.
2. Выполнен рисунок v  v  t  – 2 балла.
3. Определено время, за которое гепард догонит антилопу – 2 балла.
4. Найдены расстояния, проходимые гепардом и антилопой – 2 балла.
5. Получен ответ – 2 балла.
2. (10 баллов) Горизонтально расположенный цилиндрический сосуд с теплопроводящими стенками, заполненный аргоном плотностью   1,7 кг/м3, закрыт подвижным поршнем и находится в комнате. Площадь поршня равна
S  400 м2. В сосуде ко дну на нити прикреплен шар объемом V  1000
см3, сделанный из тонкого нерастяжимого и теплопроводящего материала
и заполненный гелием; масса шара с гелием равна m  1,2 г. После того,
как протопили печь, и воздух в комнате прогрелся, поршень переместился
вправо на расстояние h  3 см. Найдите изменение N силы натяжения нити, удерживающей шар. Ускорение свободного падения g  10 м/с2.
Решение.
При перемещении поршня объем аргона изменился со значения Va  Sh  V до зна-
Va  S h
раз. В такое же количество раз уменьшилась
Va
Va
плотность аргона – в конце процесса она равна 
. Следовательно, выталкивающая
Va  S h
чения Va  S h , увеличившись в
сила, действующая на шар, уменьшилась на величину


Va
S h
S h
F     
gV  
gV .
 gV  
Va  S h 
Va  S h
S  h  h   V

На такую же величину уменьшилась и сила натяжения нити, удерживающей шар. Поэтому изменение этой силы равно
N   
S h
gV  103 Н,
S  h  h   V
если только оно не превышает по величине начальной силы натяжения нити, то есть если
шар в конце нагревания не ляжет на дно цилиндра.
Проверим это: вначале сила натяжения нити N была равна разности силы Архимеда
и веса шара с гелием:
N   V  m  g  5  103 Н  N .
Значит, нить в конце останется натянутой, и ответ справедлив.
1. Найдено абсолютное измерение объема – 1 балл.
2. Найдено относительное изменение объема – 1 балл.
3. Найдено относительное изменение плотности аргона – 2 балла.
4. Найдено изменение выталкивающей силы – 2 балла.
5. Указано, что изменение выталкивающей силы равно изменению силы натяжения и получен ответ – 2 балла.
6. Проведено проверка возможности шара остаться на весу – 2 балла.
3. (10 баллов) Два маленьких тела массы m бросают
из одной точки. Экспериментатор хочет добиться, чтобы
траектории тел были зеркально симметричны друг другу относительно лески OO ' , которая натянута под углом  к
горизонту. Для этого экспериментатор придал одному телу
заряд q , а другое оставил незаряженным. Начальные скорости составляют одинаковый угол
 с леской      и
лежат в одной вертикальной плоскости. Какое постоянное внешнее электрическое поле E
надо создать экспериментатору? Ускорение свободного падения равно g .
Решение.
На незаряженное тело действует сила F  mg , направленная вертикально вниз. На
заряженное тело действует сила F '  mg  qE . Чтобы удовлетворить условиям задачи, F '
должна быть симметрична силе F относительно OO ' .
Проектируя симметричные силы F ' и F на ось Ox , параллельную леске, получим
равенство
Fx  F 'x  mg x  mg x  qEx ,
где значок x означает проектирование. Отсюда E x  0 , и вектор E направлен перпендикулярно оси Ox .
Спроектируем силы на ось Oy перпендикулярную леске с учетом того, что E y  E :
Fy   F ' y  mg cos   mg cos   qE .
Отсюда следует ответ:
E
2mg cos 
.
q
1. Утверждение, что на тело должны действовать симметричные относительно лески силы –
2 балла.
2. Выбраны оси координат вдоль и перпендикулярно леске – 2 балла.
3. Записаны выражения сил, действующих на каждое тело – 2 балла.
4. Найдена проекция сил на направление лески и определено, что вектор напряженности
электрического поля направлен перпендикулярно леске – 2 балла.
5. Найдена проекция сил на направление, перпендикулярное леске и определено значение
напряженности электрического поля – 2 балла.
4. (10 баллов) Небольшой брусок массой m , несущий
положительный заряд q , удерживают на наклонной плоскости,
образующей угол  с горизонталью. Система находится в однородном магнитном поле с индукцией B , направленной перпендикулярно плоскости рисунка от нас. Брусок отпускают без
начальной скорости. Чему равна максимальная скорость бруска vmax , если коэффициент трения между бруском и наклонной плоскостью  ? Ускорение свободного падения g .
Решение.
Брусок движется под действием сил, изображенных
на рисунке, где mg - сила тяжести, N - нормальная составляющая силы реакции поверхности, Fmp - сила трения,
FL - сила Лоренца. При этом
Fmp   N , FL  qvB ,
где v - скорость бруска. Записывая уравнение движения в проекциях на направление
наклонной плоскости и на перпендикулярное ей направление, имеем:
ma  mg sin    N , N  mg cos  qvB .
С увеличение скорости бруска сила трения возрастает, что приводит к уменьшению
ускорения. При достижении максимальной скорости ускорение бруска обращается в нуль.
Полагая a  0 , получаем ответ:
vmax 
mg
 sin    cos  .
 qB
1. Выполнен рисунок и изображены силы, действующие на брусок – 3 балла.
2. Записаны уравнения проекций сил – 2 балла.
3. Отмечено, что максимальная скорость достигается при a  0 – 2 балла.
4. Получен ответ – 3 балла.
5. (10 баллов) Проволочный каркас, изображенный на рисунке,
состоит из фотосопротивлений, проводимость которых зависит от того, как они освещены. Изображенный треугольники равносторонние и
одинаковые, величина L известна. В тени сопротивление, приходящееся на единицу длины проволоки равно  , а на солнце  / 2 . Тень от
солнца движется со скоростью v как показано на рисунке. Построить
график зависимости сопротивления R  t  между точками А и В каркаса от времени t . В начальный момент времени вся система освещена и
граница тени пересекает точку В.
Решение.
Нарисуем эквивалентную схему, обозначив сопротивление каждой из проволок между
точками каркаса А и О через R2 , а проволок между точками каркаса В и О через R1 . Полное
сопротивление между точками А и В тогда
RAB 
R1  R2
.
2
Введем длину стороны треугольника a  2L / 3 , а также сопротивление одной стороны в темноте R0  a , тогда сопротивление одной стороны на солнце будет R0 / 2 .
Решение 1.
В начальный момент времени, когда весь каркас освещен,
R1  R2 
3 R0
R  R2 3
1
, RAB  1
 R0 .
2 2
2
4
Сразу после этого тень накрывает отрезок 1-2 и сопротивление R1 скачком увеличивается; соответственно, скачком увеличивается и R AB :
 
R1  R0 , RAB

2
R1  R2 1  3 
7
   1 R0  R0 .
2
2 4 
8
Далее тень двигается равномерно, значит и сопротивление конструкции меняется
(увеличивается) равномерно. В момент времени t 
2L
тень закроет всю систему, кроме отv
резка 3-4. При этом,
R  R2 1  3 5 
11
3
5
 3
 1
    R0  R0 .
R1  R0 , R2  R0 , RAB
2
2 2 4
8
2
4
И, наконец, далее тень накроет отрезок 3-4, и сопротивление еще раз увеличится скачком до значения
Решение 2.
3
 4
 2
RAB
 2 RAB
 R0 .
2
Введем скорость движения тень вдоль каркаса v0  2v / 3 .
Рассмотрим два отрезка времени:
1) Граница тени пересекает первый треугольник. Тогда второе сопротивление полностью освещено, а первое только частично:
R
v t
3
7
v t
 R v t 
R2  R0 , R1  0  v0t   0  0   R0  0 , R  R0  0 .
2
2 
2
8
4
4
 2
При этом за время t1  L / v тень дойдет до точки пересечения треугольников.
2) Граница тени пересекает второй треугольник. Первое сопротивление полностью
находится в тени, а второй лишь частично:
v0  t  t1  
 R v  t  t1    3
R
3
.
R1  R0 , R2  0  v0  t  t1     0  0
  R0 
4
2
2
2
 2
 4
При этом общее сопротивление
v  t  t1  
9
.
R  R0  0
8
4
Начальная и конечная точки находятся, как и в предыдущем решении.
1. Построена эквивалентная схема – 1 балл.
2. Определено сопротивление стороны треугольника – 1 балл.
3. Определено полное начальное сопротивление каркаса (на солнце) – 1 балл.
4. Определено полное конечное сопротивление каркаса (в тени) – 1 балл.
5. Указано, что в начальный и конечный момент времени сопротивление меняется скачком –
1 балл.
6. Определено сопротивление после того, как тень накрыла участок 1-2 – 1 балл.
7. Определено сопротивление до того, как тень накрыла участок 3-4 – 1 балл.
8. Построен график зависимости – 3 балла.