ЛОГИКА Карпенко И.А.

ЛОГИКА
Карпенко И.А.
Что такое логика?
нормативная наука о
формах и приемах
интеллектуальной
познавательной
деятельности,
осуществляемой с
помощью языка
Что такое познание и зачем?
• получение новых знаний о
мире
• познание ради понимания
• в основе познание –
удивление (Аристотель)
• виды познания
Виды познания
чувственное познание
рациональнее познание
Чувственное познание
Достоверность?
формы:
• ощущение
• восприятие
• представление
Что такое груша?
Рациональное познание
формы:
• понятие
• суждение
• теория
Что такое язык?
знаковая система,
предназначенная для
фиксации, хранения,
передачи, обработки …
информации
Что такое знак?
БЗГРРРБ
• значение знака
• смысл знака
материальный объект, выступающий для
некоторого интерпретатора в качестве
представителя какого-то другого предмета
Виды языков
• естественные (русский,
английский, китайский,
испанский…)
• искусственные (азбука
Морзе, шахматная
нотация, математика,
язык программирования,
нотная грамота….)
Виды языков
• объектные языки
• метаязыки
е2-е4
«ход белой королевской пешки через одно
поле»
···---···
«три точки, три тире, три точки»
«SOS – сигнал бедствия»
Приемы рационального познания
рассуждение
процедура пошагового
перехода от одних
утверждении, котоыре
называются посылками, к
другим, которые называются
заключениями
Что такое рассуждение?
Если Сократ человек, то он разумен
Сократ разумен
Следовательно, он человек
Если Сократ человек, то он разумен
Сократ человек
Следовательно, он разумен
Что такое логическая форма?
• содержание
рассуждения
• структура
рассуждения
Когда рассуждение правильно?
если его логическая форма
гарантирует, что при
истинных посылках
заключение будет
истинным
если при истинных
посылках не будет
ложного заключения
Алфавит классической логики высказываний
p, q, r, s, p , q , r … - пропозициональные
переменные (параметры простых предложений
естественного языка)
¬ − негация; ∧ − коньюнкция; ∨
− дизьюнкиця; ⊻ − строгая дизьюнкция; ⊃
− импликация; ≡ −эквиваленция; ∣ −
штрих Шеффера; ↓ − стрелка Пирса логические связки (параметры союзов
естественного языка)
( , ) – технические символы (скобки)
1
1
1
Примеры
(𝑝 ⊃ ¬𝑞)⋀(𝑞 ⊃ ¬𝑝)
𝑝 ⊃ (𝑞 ⋀ r)
𝑝 ≡ ((𝑞 ⋀ r) ⋀ s)
Истина и ложь
p
ил
pq
ии
ил
ли
лл
pqr
иии
иил
или
илл
лии
лил
лли
ллл
pqrs-?
2n
Определения логических связок (союзов)
p
¬p
pq
p⊻𝐪
pq
p↓𝐪
pq
p⊃𝐪
и
Л
ии
Л
ии
Л
ии
И
л
И
ил
И
ил
Л
ил
Л
ли
И
ли
Л
ли
И
лл
Л
лл
И
лл
И
pq
p∧𝐪
ии
И
ил
Л
pq
p≡𝐪
pq
p∣𝐪
ли
Л
ии
И
ии
Л
лл
Л
ил
Л
ил
И
pq
p∨𝐪
ли
Л
ли
И
ии
И
лл
И
лл
И
ил
И
ли
И
лл
Л
¬ 𝑝 ⊃ 𝑞 ∨ (𝑟 ∧ ¬ 𝑝)
pqr
¬
𝑝⊃𝑞
∨
(𝑟 ∧
¬ 𝑝)
ИИИ
Л
И
Л
Л
Л
ИИЛ
Л
И
Л
Л
Л
ИЛИ
И
Л
И
Л
Л
ИЛЛ
И
Л
И
Л
Л
ЛИИ
Л
И
И
И
И
ЛИЛ
Л
И
Л
Л
И
ЛЛИ
Л
И
И
И
И
ЛЛЛ
Л
И
Л
Л
И
Виды формул
• Выполнимые
• Тождественно-истинные
• Тождественно-ложные
Снова Сократ
Если Сократ человек, то он разумен
Сократ разумен
Следовательно, он человек
pq
𝑝⊃𝑞
𝑞
𝑝
ИИ
И
И
И
ИЛ
Л
Л
И
ЛИ
И
И
Л
ЛЛ
И
Л
Л
Снова Сократ
Если Сократ человек, то он разумен
Сократ человек
Следовательно, он разумен
pq
𝑝⊃𝑞
𝑝
𝑞
ИИ
И
И
И
ИЛ
Л
И
Л
ЛИ
И
Л
И
ЛЛ
И
Л
Л
Отношения между формулами
• Совместимость по истинности
• Совместимость по ложности
• Отношение логического
следования
Примеры
• Если человек не сумасшедший, то он узнает своих
родных. Этот человек сумасшедший. Значит, он не
узнает своих родных.
• Если я не приеду к тебе завтра, значит, наступил
конец света и Бог призвал меня к себе.
Следовательно, если Бог не призовет меня к себе,
то я обязательно приеду к тебе завтра.
• Если бы он ей не сказал, она ни за что бы не
узнала, а ни спроси она его, он бы хотя и знал, но
не сказал. Но она узнала. Значит, она его спросила.
Примеры
¬𝑝⊃𝑞
𝑝
_________
¬𝑞
Примеры
¬ 𝑝 ⊃ (𝑞 ∧ 𝑟)
_________
¬𝑟 ⊃𝑝
Примеры
¬ 𝑝 ⊃ ¬ 𝑞 ∧ (¬ 𝑟 ⊃ (𝑠 ∧ ¬𝑝))
𝑞
_________
𝑟
Парадокс лжеца
Житель острова, на
котором обитают только
лжецы, заявляет: «Я
лжец».
Он лжет или говорит
правду?
Трое жителей острова (А, B и C) разговаривали
между собой в саду. Проходивший мимо
незнакомец спросил у A: "Вы рыцарь или
лжец?" Тот ответил, но так неразборчиво, что
незнакомец не смог ничего понять. Тогда
незнакомец спросил у B: "Что сказал A?" "А
сказал, что он лжец", - ответил B. "Не верьте B!
Он лжет! - вмешался в разговор островитянин C.
Кто из островитян B и C рыцарь и кто лжец?
Предположим, что незнакомец задал A
другой вопрос: "Сколько рыцарей среди вас?"
И на этот вопрос A ответил неразборчиво.
Поэтому незнакомцу пришлось спросить у B:
"Что сказал A?" B ответил: "А сказал, что
среди нас один рыцарь". И тогда C закричал:
"Не верьте B! Он лжет!"
Кто из двух персонажей B и C рыцарь и кто
лжец?
В этой задаче два персонажа: A и B. Каждый
из них либо рыцарь, либо лжец. A
высказывает следующее утверждение: "По
крайней мере один из нас лжец".
Кто из двух персонажей A и B рыцарь и кто
лжец?
Способы правильных умозаключений
условно-категорические
𝑝⊃𝑞
𝑝
______
𝑞
𝑝⊃𝑞
¬𝑞
______
¬𝑝
Способы правильных умозаключений
разделительно-категорические
𝑝∨𝑞
¬𝑝
______
𝑞
𝑝∨𝑞
¬𝑞
______
𝑝
Способы правильных умозаключений
условно-разделительные умозаключения
Дилемма
Простая
Конструктивная
АС
BC
AB
C
Деструктивная
CA
CB
AB
C
Сложная
AC
BD
AB
CD
CA
DB
AB
CD
Основные законы
тождества
АA
исключенного третьего
AА
противоречия
 (A ∧  А)
Де Моргана
 (А  B)  ( A ∧  B)
Дунса Скота
(A ∧ А)  В
Пирса
((А  В)  А)  А)
…
Виды теорий
• содержательные
• формализованные
• формальные
Натуральное исчисление высказываний
1. Если идет дождь, то на улице сыро
2. Если на улице сыро, то все вымокли
3. Идет дождь
Следует ли из этого, что все вымокли?
4. На улице сыро – из 1,3
5. Все вымокли – из 2,4
Натуральное исчисление высказываний
1. Если идёт дождь, то на улице сыро
2. Неверно, что на улице сыро
Следует ли из этого, что дождь не идёт?
3. Дождь идёт - допущение
4. На улице сыро – из 1, 3
5. Неверно, что идёт дождь – из 2,4
𝑝⊃𝑞 ⊃( 𝑞⊃𝑟 ⊃ 𝑝⊃𝑟 )
1. 𝑝 ⊃ 𝑞 – посылка
2. 𝑞 ⊃ 𝑟 – посылка
3. 𝑝 – посылка
4. 𝑞 – 1,3 иск. ⊃
5. 𝑟 – 2,4 иск. ⊃
6. 𝑝 ⊃ 𝑟 – 3,4 введ. ⊃
7. 𝑞 ⊃ 𝑟 ⊃ 𝑝 ⊃ 𝑟 – 2,6 введ. ⊃
8. 𝑝 ⊃ 𝑞 ⊃ ( 𝑞 ⊃ 𝑟 ⊃ 𝑝 ⊃ 𝑟 ) – 1,7 введ. ⊃
𝑝⊃𝑞 ⊃( 𝑞⊃𝑟 ⊃ 𝑝⊃𝑟 )
1. 𝑝 ⊃ 𝑞 – посылка
2. 𝑞 ⊃ 𝑟 – посылка
3. 𝑝 – посылка
4. 𝑞 – 1,3 иск. ⊃
5. 𝑟 – 2,4 иск. ⊃
6. 𝑝 ⊃ 𝑟 – 3,4 введ. ⊃
7. 𝑞 ⊃ 𝑟 ⊃ 𝑝 ⊃ 𝑟 – 2,6 введ. ⊃
8. 𝑝 ⊃ 𝑞 ⊃ ( 𝑞 ⊃ 𝑟 ⊃ 𝑝 ⊃ 𝑟 ) – 1,7 введ. ⊃
𝑝 ⊃ 𝑞 ⊃ 𝑞 ⊃ 𝑝
1. 𝑝 ⊃ 𝑞 – посылка
2. 𝑞 – посылка
3. 𝑝 – посылка
4. 𝑝 – 3 иск. 
5. 𝑞 – 1,4 иск. ⊃
6.𝑝 – 2,5 введ.
7. 𝑝 – 6 иск. 
8. 𝑞 ⊃ 𝑝 – 2,7 введ. ⊃
9. 𝑝 ⊃ 𝑞 ⊃ 𝑞 ⊃ 𝑝 – 1,8 введ. ⊃
𝑝 ⊃ 𝑞 ⊃ 𝑞 ⊃ 𝑝
1. 𝑝 ⊃ 𝑞 – посылка
2. 𝑞 – посылка
3. 𝑝 – посылка
4. 𝑝 – 3 иск. 
5. 𝑞 – 1,4 иск. ⊃
6.𝑝 – 2,5 введ.
7. 𝑝 – 6 иск. 
8. 𝑞 ⊃ 𝑝 – 2,7 введ. ⊃
9. 𝑝 ⊃ 𝑞 ⊃ 𝑞 ⊃ 𝑝 – 1,8 введ. ⊃
Доказательство – это вывод из пустого
множества неисключённых посылок
Эвристики или помощь при наборе посылок
1 – я: в качестве посылки берется левая часть
импликации (антецедент) до тех пор, пока не
остается правая часть (консеквент), не
содержащая импликации
((А  В)  ((А  С)
((А  В)  ((А  С)   (А  А))
((А  В)  ((А  С)  (С  (А ∧ А)))
Эвристики или помощь при наборе посылок
2 – я: применяется строго после первой. В
качестве посылки берется отрицание
консеквента (доказательство от противного, цель
вывода – получение противоречия)
((А  В)  ((А  С)
С
((А  В)  ((А  С)   (А  А))
(А  А)
((А  В)  ((А  С)  (С  (А ∧ А)))
(А ∧ А)
Эвристики или помощь при наборе посылок
3 – я: применяется строго после первой и второй
эвристик к формулам вида: А  B
В качестве посылки можно взять А, В, А, В или
и то, и другое
После применения 3-й эвристики цель вывода
получение противоречия
Правила вывода
*С – последняя посылка в выводе
( A ∧  B)   (А  B)
1.  A ∧  B - посылка
2.  (А  B) - посылка
3. А  B - 2 иск. 
4.  A - 1 иск. ∧
5. В - 3,4 иск. 
6.  B - 1 иск. ∧
7.  (А  B) - 5,6 введ. 
8.  (А  B) - 7 иск. 
9. ( A ∧  B)   (А  B) – 1,8 введ. 
( A ∧  B)   (А  B)
1.  A ∧  B - посылка
2.  (А  B) - посылка
3. А  B - 2 иск. 
4.  A - 1 иск. ∧
5. В - 3,4 иск. 
6.  B - 1 иск. ∧
7.  (А  B) - 5,6 введ. 
8.  (А  B) - 7 иск. 
9. ( A ∧  B)   (А  B) – 1,8 введ. 
Теория понятий
Что такое «человек»?
Разумное существо
Прямоходящее существо
Животное, способное производить орудия труда
Животное, способное к членораздельной речи
Понятие – это мысль, которая
посредством указания на
некоторый признак выделяет
из универсума и обобщает в
класс предметы, обладающие
этим признаком
Изображение понятий
U - универсум
А - «живые организмы»
В – «живой организм,
обладающий разумом»
U
A
В
Примеры
Луна
Кошка
Кресло
Студент
Любовь
Содержание понятия –
отличительный признак (свойство)
на основании которого предметы
выделяются из универсума
Объем понятия – сами предметы в
универсуме, которые обладают
тем или иным отличительным
признаком
Виды понятий
Пустые – понятия, в объеме которых не
содержится ни одного элемента
• логически пустые
• фактически пустые
Непустые - понятия, в объеме которых
содержится по крайней мере один элемент
• единичные
• общие
Примеры
Герой комиксов графа Л.Н. Толстого
Человек, едущий в метро
Дерево, растущее на Марсе
Бактерия
Кентавр
Любимый мультфильм А.С. Пушкина
Круглый квадрат
Автор «Ромео и Джульетты»
Смерть
Другие виды понятий
• универсальные
• неуниверсальные
• положительные
• отрицательные
• относительные
• безотносительные
• собирательные
• несобирательные
• конкретные
• абстрактные
Отношения между понятиями
• Понятия А и В совместимы, если
пересечение их объемов не пусто (есть
общие элементы)
• Понятие А включается в понятие В, если
все элементы объема понятия А
содержатся в объеме понятия В
• Понятия А и В находятся в отношении
исчерпывания, если объединение их
объемов составляет весь универсум
Отношения между понятиями
А
В
В
А
А
А
В
В
Отношения между понятиями
U
А
U
А
В
А
В
В
Примеры
А - бабушка
В - мать
С - дочь
D - внучка
E – голова
Бабушки
U
С, D
E
В
А
Примеры
• стул, табуретка, мебель,
устройства для сидения
• самолет, НЛО, лётчик,
летательный аппарат,
Боинг-747, Юрий Гагарин
• квадрат, параллелограмм,
ромб, прямоугольник,
четырехугольник, трапеция,
равносторонний
прямоугольник
C – стул
D – табуретка
A – устройство
для сидения
B – мебель
U
С
B
A
D
U
А – самолет
В – НЛО
С – летчик
D – летательный
аппарат
Е – Боинг-747
F – Юрий Гагарин
D
A
E
C
.
F
B
E
А – квадрат
В – параллелограмм
С – ромб
D – прямоугольник
E – четырехугольник
F – трапеция
G – равносторонний
прямоугольник
C
F
A, G
D
Операции над понятиями
• Ограничение
• Обобщение
• Деление
Операции над понятиями
• Обобщение: человек, изучающий логику - человек,
изучающий какую-либо науку - человек, изучающий чтолибо – человек
• Ограничение: человек, изучающий логику - человек,
изучающий логику в ВУЗе - человек, изучающий логику
на первом курсе обучения в ВУЗе - человек, изучающий
логику на первом курсе обучения в НИУ-ВШЭ
• Деление понятия «человек»:
дихотомическое
женщина
по видоизменению основания
с высшим образованием
мужчина
без высшего образования
женщина
Примеры
•
•
•
•
•
•
•
квадрат
университет
книга
лекарство
замок
наряд
дружба
Силлогистика
Все люди разумны
S
P
Некоторые люди разумны
S
P
Ни одни человек не разумен
S
P
Некоторые люди не разумны
S
P
Категорические атрибутивные высказывания
AFFIRMO - утверждаю
Все S есть P - SaP
Некоторые S есть P - SiP
NEGO - отрицаю
Ни один S не есть P - SeP
Некоторый S не есть P - SoP
Виды высказываний
• Все S есть Р – общеутвердительные
(SаР)
• Все S не есть Р – общеотрицательные
(SеР)
• Некоторые S есть Р – частноутвердительные
(SiР)
• Некоторые S не есть Р – частноотрицательные
(SоР)
• а есть Р – единичноутвердительные
• а не есть Р – единичноотрицательные
Область истинности высказывания
Распределенность терминов
Термин в высказывании считается
распределенным, если и только если на всех
модельных схемах, где это
высказывание истинно, его объем полностью
заштрихован или полностью незаштрихован
• S + a P• S+ e P+
• S- i P• S- o P+
Логический квадрат
SaP SiP
SeP SoP PaS PiS PeS PoS
Включение S в P
И
И
Л
Л
Л
И
Л
И
Включение P в S
Л
И
Л
И
И
И
Л
Л
Объединение
И
И
Л
Л
И
И
Л
Л
Соподчинение
Л
Л
И
И
Л
Л
И
И
Перекрещивание Л
И
Л
И
Л
И
Л
И
Умозаключения по логическому квадрату
Все кошки – хищники
SaP – SiP
Некоторые кошки хищники
SaP - ¬SeP
Неверно, что все кошки не являются хищниками
SaP - ¬SoP
Неверно, что некоторые кошки не являются
хищниками
¬SaP - SoP
Некоторые кошки не являются хищниками
Остальные умозаключения по логическому квадрату
SeP SeP SeP ¬SeP SiP ¬SiP ¬SiP ¬SiP
SoP ¬SaP ¬SiP SiP ¬SeP SeP ¬SaP SoP
SoP ¬SoP ¬SoP ¬SoP
¬SaP SaP ¬SeP SiP
Другие непосредственные умозаключения
Обращение – это непосредственное
умозаключение, в котором субъект заключения
совпадает с предикатом посылки, а предикат
заключения – с субъектом посылки. Вывод
делается по схеме:
S–P
P–S
Другие непосредственные умозаключения
Превращение – это непосредственное
умозаключение, в котором субъект заключения
совпадает с субъектом посылки, а предикат
заключения является термином,
противоречащим предикату посылки.
Вывод делается по схеме:
S–P
S – ~P
Другие непосредственные умозаключения
Противопоставление – это непосредственное
умозаключение, в котором субъект и предикат
посылки в заключении меняются местами, и при
этом по крайней мере один из них заменяется на
противоречащий ему термин:
S–P
P – ~S
субъекту
S–P
~P – S
предикату
S–P
~P – ~S
субъекту и
предикату
Примеры
Произвести все возможные непосредственные
умозаключения со следующими
высказываниями:
•
•
•
•
Все деревья – растения
Ни один человек не является птицей
Некоторые мужчины разумны
Некоторые студенты не являются девушками
Все деревья растения
Обращение:
Некоторые растения – деревья (PiS)
Превращение:
Все деревья не являются не растениями (Se~P)
Противопоставление субъекту:
Некоторые растения не являются не деревьями (Po~S)
Противопоставление предикату:
Ни одно не растение не является деревом (~PеS)
Противопоставление S и P
Все не растения являются не деревьями (~Pа~S)
Все виды обращений, превращений и
противопоставлений
Простой категорический силлогизм
В состав любого силлогизма входят три термина
– S, Р и М.
S (меньшим термином) называется субъект
заключения
Р (большим термином) называется предикат
заключения
М (средним термином) называется термин,
имеющийся в обеих
посылках
Пример
Все марсиане – бактерии
Ни одна бактерия не знает любви
Все любящие – не марсиане
PaM
MeS
SeP
Является ли силлогизм правильным???
Фигуры силлогизмов
Каково общее число модусов?
Условия правильности силлогизма
• Средний термин должен быть распределен по
крайней мере в одной из посылок
• Если термин распределен в заключении, он
должен быть распределен и в посылке
• По крайней мере одна из посылок должна быть
утвердительным суждением
• Если обе посылки утвердительные, то и
заключение должно быть утвердительным
• Если одна из посылок отрицательная, то и
заключение должно быть отрицательным
Примеры
• Все дельфины — киты. Ни одна рыба не
является китом. Следовательно, ни одна рыба
не является дельфином
• Некоторые пираты не носят кольцо в носу.
Индийские танцовщицы носят кольцо в носу.
Следовательно, некоторые индийские
танцовщицы не пираты
• Все козероги очень упрямы. Ни один упрямец
не легковерен. Следовательно, ни один
легковерный человек не козерог
Энтимемы
Энтимема – это простой категорический
силлогизм, в котором отсутствует либо посылка,
либо заключение
Может быть корректной и некорректной
Примеры
• Некоторые ученые объективны. Ни один
ребенок не ученый
• Все растения живые. Ни одно растение не
животное
• Все комары – насекомые. Некоторые пауки не
насекомые
• Медь — проводник, потому что все металлы
проводники
• Некоторые книги увлекательны, значит,
некоторые книги полезны