1_Алгебра высказываний

Доцент каф. АОИ, к.т.н. Перемитина Татьяна Олеговна
Математическая логика
и теория алгоритмов
Алгебра высказываний
Алгебра высказываний
 Простые и сложные высказывания.
 Логические операций и их приоритет.
 Формулы алгебры высказываний.
 Построение таблиц истинности.
2
Высказывание
Высказывание – повествовательное предложение, для
которого имеет смысл говорить о его истинности или
ложности.
В
русском
языке
высказывания
повествовательными предложениями.
Москва – столица России
выражаются
Но не всякое повествовательное предложение является
высказыванием(не является высказыванием – субъективное
восприятие).
Каша – самое вкусное блюдо
Побудительные
и
вопросительные
высказываниями не являются.
Без стука не входить!
предложения
3
Простые высказывания
1, если высказыван ие A истинно,
 ( A)  
0, если высказыван ие A ложно.
  функция истинности,
 ( A)  логическое значение .
4
Задача 1
Среди следующих предложений выделить
те, которые являются высказываниями, и
установить, истинны они или ложны.
A. Сумма углов в треугольнике равна 180.
B. Летайте самолетами Аэрофлота!
C. Солнечная система насчитывает 12
планет.
D. Сегодня самый счастливый день.
5
Решение
A. Сумма углов в треугольнике равна 180.
B. Летайте самолетами Аэрофлота!
C. Солнечная система насчитывает 12
планет.
D. Сегодня самый счастливый день.
 ( A)  1;  (С )  0.
6
Сложные высказывания
Сложные (составные) высказывания
строятся из простых с помощью
логических операций.
Логические операции
убывания приоритета):
(в
порядке
, , , , 
7
Логические операции
Связка
Варианты символов
не
x; x
Наименование
операции
Отрицание
и
x & y; x  y ; x  y
Конъюнкция
или
x y
Дизъюнкция
Если,… то
x y
Импликация
тогда и только
тогда
x  y; x ~ y
Эквиваленция
8
Сложные высказывания
Введите необходимое число логических
переменных, запишите предложение в виде
формулы алгебры высказываний и укажите
приоритет логических операций
«Если я поеду автобусом и автобус
опоздает, то я пропущу назначенную
встречу».
9
Введение логических
переменных
«Если я поеду автобусом и автобус
опоздает, то я пропущу назначенную
встречу».
Х - «я поеду автобусом»,
Y – «автобус опоздает»,
Z – «я пропущу назначенную встречу».
10
Построение формулы
алгебры высказываний
«Если я поеду автобусом и автобус
опоздает, то я пропущу назначенную
встречу».
«Если Х и Y, то Z»
(Х &Y )  Z
11
Таблица истинности
логических операций
X
Y
X
X&Y
XY
XY
XY
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
12
Алгоритм построения
Подсчитать n – число переменных в выражении
Подсчитать общее число логических операций в выражении
Установить последовательность выполнения логических операций
Определить число столбцов в таблице
Заполнить шапку таблицы, включив в неё переменные и операции
Определить число строк в таблице без шапки: m =2n
Выписать наборы входных переменных
Провести заполнение таблицы по столбцам, выполняя логические
операции в соответствии с установленной последовательностью
13
Построение таблицы
истинности
(Х &Y )  Z
Число переменных n=3,
Число логических операций m=2:
1) X&Y,
2) (X&Y)→Z.
14
(Х &Y )  Z
Х
Y
Z
X&Y
(X&Y)→Z
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
15
Пример построения таблицы
истинности
X V ˥X
n = 1, m = 21 = 2.
Приоритет операций: ˥, V
Х
˥X
X V ˥X
0
1
1
1
0
1
16
Пример построения таблицы
истинности
X & ˥X
n = 1, m = 21 = 2.
Приоритет операций: ˥, &
Х
˥X
X & ˥X
0
1
0
1
0
0
17
Классификация формул
алгебры высказываний
 Выполнимые формулы
 Тождественно истинные формулы
(тавтологии)
 Тождественно ложные формулы
(противоречия)
18
Классификация формул
алгебры высказываний
К какому классу формул относится
формула
X&Y& ˥X ?
Шаг 1. Строим таблицу истинности.
Шаг 2. По последнему вектор-столбцу
таблицы определяем к какому классу
данная формула относится.
19
Пример построения таблицы
истинности
X&Y& ˥X
n = 2, m = 22 = 4.
Х
Y
˥X
X&Y
X&Y& ˥X
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
Формула X&Y& ˥X является
тождественно ложной.
20
Задача 2
Формализуйте, укажите
приоритет
логических операций, постройте таблицу
истинности, укажите к какому классу
формул алгебры высказываний относится:
«Если число делится на 2 и не делится на
3, то оно не делится на 6».
21
Решение
«Если число делится на 2 и не делится
на 3, то оно не делится на 6».
Х - «число делится на 2 »,
Y – «число делится на 3»,
Z – «число делится на 6».
22
Решение
«Если число делится на 2 и не делится
на 3, то оно не делится на 6».
«Если Х и неY, то не Z»
( Х & Y )  Z
( Х & Y )  Z
Х
Y
Z
˥Y
˥Z
X&˥Y
(X&˥Y) →˥Z
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
24
Задача 3
К какому классу формул относится
формула X V ˥X→Y?
а) Выполнимая;
б) Тождественно истинная;
в) Тождественно ложная.
25
Спасибо за внимание!
26