Готовимся к ГИА (из опыта работы).

Электронный тематический
сборник по математике и его
роль в подготовке учащихся к
государственной (итоговой)
аттестации
«Уже в школе дети должны
образовательные стандарты.
получить возможность раскрыть
Требования к результатам
свои способности, подготовиться к должны включать не только знания,
жизни в высокотехнологичном
но и умение их применять.»
конкурентном мире.
(Национальная образовательная
Этой задаче должны
инициатива «Наша новая школа»)
соответствовать обновленные
Модернизация
школьного
образования,
реализуемая в настоящее время в рамках проектов
«Разработка, апробация и внедрение федеральных
государственных стандартов общего образования
второго поколения» (Стандарт) и «Наша новая
школа» на первое место выдвигает требования к
результатам образования, которые должны быть
значимы за пределами системы образования.
Цель российского школьного образования XXI
века – создание условий для самореализации
ученика в учебном процессе, формирование у
школьника
готовности
быть
субъектом
продуктивной, самостоятельной деятельности на
всех этапах своего жизненного пути.
Муниципальное общеобразовательное учреждение гимназия № 11
Г. Железнодорожный
Электронный тематический сборник по математике
для подготовки к ГИА
ученицы 8а класса
Сорокиной Марины Валентиновны
2010-2011 учебный год
Содержание
Алгебра
Раздел 1. Алгебраические дроби
Геометрия
Раздел 1. Треугольники
Раздел 2. Многоугольники
Введение
Электронный тематический сборник по математике помогает школьникам
анализировать свои знания по каждой теме и дает возможность
систематизировать их для подготовки и успешной сдачи
государственного экзамена. В сборник включены не только объяснения
математических терминов, но и задачи с примерами решений, поэтому
его можно также использовать для изучения и закрепления новой темы.
Также в нём подробно описываются всевозможные варианты решения
задач, с которыми мы можем встретиться при сдаче государственной
(итоговой) аттестации (ГИА). Этот сборник должен помочь школьникам
не только понять новую тему, но и закрепить её практически.
Раздел 1. Алгебраические дроби
P
Определение. Алгебраической дробью называют выражение
Q
где P и Q – многочлены; P – числитель алгебраической дроби, Q –
знаменатель алгебраической дроби.
Многочлен можно считать частным случаем алгебраической дроби.
,
Раздел 1. Сокращение алгебраических дробей. Вынесение общего множителя
за скобки
Задание 1а. Сократите дробь:
x  2b
x 2  2bx
Задание 1б. Сократите дробь:
a 2  2ab
2b 2  ab
Решение: выносим общий множитель
x в знаменателе за скобки:
Решение: выносим за скобки
общий множитель a – в числителе,
b – в знаменателе:
x  2b
x( x  2b)
a(a  2b)
b(2b  a)
Сокращаем на общий множитель
Ответ:
1
x
x  2b
Сокращаем противоположные множители
a  2b и 2b  a
Так как множители противоположные,
значение дроби будет отрицательным.
Ответ: 
a
b
Раздел 1. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Задание 2а. Сложите дроби
с одинаковыми знаменателями:
Задание 2б. Выполните действие:
3x x

y y
3x  a
x  3a

( x  a) 2 ( x  a) 2
Решение: при сложении дробей с
одинаковыми знаменателями
числители складывают, а
знаменатель оставляют тот же:
3x  a
x  3a 3x  a  x  3a 4 x  4a 4(x  a)
4





2
2
2
2
2
(x  a) (x  a)
(x  a)
(x  a)
(x  a)
xa
По примеру предыдущего задания выносим общий
множитель 4 за скобки после сложения числителей
двух дробей и сокращаем на общий множитель x  a
Ответ:
4
xa
Решение: при вычитании дробей
с одинаковыми знаменателями из
числителя уменьшаемого
вычитают числитель
вычитаемого, а знаменатель
оставляют тот же:
3x x 3x  x 2 x
 

y y
y
y
Ответ:
2x
y
Раздел 1.Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными
знаменателями
Задание 3а. Сложите алгебраические
дроби:
1 a2

a2
a
выражение в дробь: 5 x 
Решение: находим наименьшее общее
кратное знаменателей –
Умножаем вторую дробь на
a2
a
Теперь мы привели дроби к общему
знаменателю и можем выполнить сложение
1 a  2 1 a(a  2) 1  a 2  2a (a  1) 2

 2


a2
a
a
a2
a2
a2
В числителе мы видим формулу сокращенного
умножения – квадрат разности.
Ответ:
Задание 3б. Преобразуйте данное
(a  1) 2
a2
1
x
Решение: 5x мы можем
представить в виде дроби:
5x
1
Тогда мы находим НОК знаменателей –
Приводим дроби к наименьшему
общему знаменателю и выполняем
сложение.
x
1 5x 1 5x 2 1 5x 2  1
5x  
 
 
x 1 x
x
x
x
2
5
x
1
Ответ:
x
Раздел 1. Умножение и деление алгебраических дробей
Чтобы умножить две алгебраические дроби нужно перемножить числители и знаменатели дробей.
Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, надо умножить первую на обратную второй.
Задание 4б. Представьте в виде
дроби частное:
Задание 4а. Выполните умножение:
3a 2 b 3

2
b
a
a 2  b 2 ab  b 2
:
a  3b 2a  6b
Решение: записываем дроби
под общей дробной чертой
и производим сокращение.
3a 2 b 3 3a 2  b 3
  2
 3ab
2
b
a
b a
Ответ:
3ab
Решение: умножаем первую
дробь на дробь, обратную
второй и производим
вычисления.
(a  b )( 2a  6b) (a  b)( a  b)2(a  3b) 2(a  b)


(a  3b)( ab  b 2 )
(a  3b)b(a  b)
b
2
2
Ответ:
2(a  b)
b
Задание 4в. Представьте в виде
дроби:
a 2  4b3
a 2b

3ab 2 a 2  2ab
Решение: записываем
дроби под общей чертой
и производим сокращение.
(a 2  4b3 )  a 2b a(a 2  4b3 )
a 2  4b3


3ab 2 (a 2  2ab) 3ab(a  2b) 3b(a  2b)
Ответ:
a 2  4b3
3b(a  2b)
Раздел 1. Возведение алгебраической дроби в степень
Чтобы возвести дробь в степень, нужно отдельно возвести в эту степень числитель,
и отдельно − знаменатель
Задание 5а. Представьте в виде дроби:
 b 
 2
a 
2
b
b
 
 2  4
a
a 
2
Ответ:
b
a4
2
2
Решение:
2
Задание 5б. Упростите выражение:
4
 4a  b
 3 
 b  8a
Решение: сначала возводим первую дробь в степень,
Потом производим умножение дробей.
4
16a 2  b 4 2a
 4a  b
 6
 2
 3 
b  8a
b
 b  8a
2
Ответ:
2a
b2
Раздел 1. Степень с отрицательным целым показателем
Если n – натуральное число, и
Задание 6а. Вычислите:
 1
 
 3
2
1
an
Задание 6б. Представьте в виде
дроби:
7a b c
Решение:
, возводим дробь
2
 1
 3
      9
 3
 1
Ответ: 9.
7a 3
Ответ:
b7c
a
1
понимают n
a
Задание 6в. Упростите выражение:
6 x 5 y 7  2,5 x 7 y 6
Решение: возведем каждую дробь
в степень и выполним умножение:
3
7a
7a b c  7
bc
3  7 1
в степень
2
,то под
3 7 1
Решение: пользуясь формулой
a n 
a0
n
6 x 5 y 7  2,5 x 7 y 6 
6 y 7  2,5x 7
2y


15
x
x5 y 6
Ответ:
15 x
2y
Раздел 1. Первые представления о решении рациональных уравнений
1 x 9
а)
 1
x4 x
Задание 7. Решите уравнение:
б)
x
3
 1
x6 x
Решение: сначала перенесем разность из правой части в левую часть. Затем выполним вычисления в
левой части. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю.
1 x 9
1 x 9
 1  0


1
а)
x4 x
x4 x
1 x 9
x(1  x)  9( x  4)  x 2  4 x  x 2  9 x  36  x 2  4 x  4 x  36
 1 


x4 x
x( x  4)
x( x  4)
x( x  4)
x  9
Ответ: -9
x
3
 1
б) x  6 x
x
3
 1  0
x6 x
x
3
x 2  3( x  6)  x( x  6) x 2  3x  18  x 2  6 x 3( x  6)
 1 


x6 x
x( x  6)
x( x  6)
x( x  6)
x  6
Ответ: -6.
 4 x  36
0
x( x  4)
 4( x  9)
0
x( x  4)
Раздел 1. Допустимые для дроби значения
Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю.
Дробь не имеет смысла, если её знаменатель равен нулю
Задание 8. Определите, какая пара значений является недопустимой для дроби
2a 2  3ab  b5
3b  a
а)
 1
1; 
 3
1
3  1  0
3
Значит эта пара значений
является недопустимой
для дроби.
Ответ: А.
б)
3;1
1 3  3  6
6  0
Значит эта пара значений
является допустимой
для дроби.
в)
 3;1
1 3  3  6
60
Значит эта пара значений
является допустимой
для дроби.
г)
1 
 ;1
3 
1
2
3 1   2
3
3
2
2 0
3
Значит эта пара значений
является допустимой
для дроби.
Раздел 1. Равенство треугольников.
Признаки равенства треугольников:
Первый признак
( по двум сторонам
и углу между ними)
Второй признак (по
двум углам и
прилежащей к ним
стороне)
Третий признак (по
трем сторонам)
Если AB  A1B1 , AC  A1C1 , A  A1 ,
Если BC  B1C1 , B  B1 , C  C1,
то ABC  A1B1C1
Если AB  A B , BC  B C , BC  B C AC  A C ,
то ABC  A1B1C1
то ABC  A1B1C1
1 1
1
1
1
1,
1
1
Раздел 1. Равенство треугольников
Дано: АC, BD – отрезки
AC  BD  O
AO  OC
A  C
Доказать: AOB  COD
Доказательство: рассмотрим
AO  OC (по усл.)
A  C (по усл.)
BOA  COD (верт.)
AOB
и COD
AOB  COD (2 пр.)
Раздел 1. Свойства равнобедренного треугольника
В равнобедренном
треугольнике углы
при основании равны.
12
В равнобедренном треугольнике
биссектриса, проведенная к
основанию, является медианой
и высотой
AD – медиана, биссектриса и высота
ABC
3 4
B  C
Раздел 1. Свойства прямоугольного треугольника
1-ое свойство:
2-ое свойство:
Сумма 2-ух острых углов
Катет прямоугольного
прямоугольного треугольника треугольника, лежащий
равна 90
против угла в 30, равен
половине гипотенузы
3-е свойство:
Если катет прямоугольного
треугольника равен половине
гипотенузы, то угол,
лежащий против этого катета,
равен 30
30
A  C  90
BC 
1
AC
2
A  30, если
BC 
1
AC
2
Раздел 1. Признаки и свойства треугольников
Задание 2. Укажите номера неверных утверждений:
1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника,
то такие треугольники равны. – Неверно, т.к. равенства двух сторон недостаточно для
равенства двух треугольников.
2) В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно
биссектрисой треугольника. – Верно (2-ое св. равнобедренного треугольника).
3) Каждая сторона треугольника больше суммы двух других сторон. – Неверно.
4) В прямоугольном треугольнике сумма углов равна 90 градусов. – Неверно, теорема
«Сумма углов треугольника равна 180 градусам» справедлива для любых треугольников.
Ответ: №1,3,4.
Раздел 1. Треугольники
Задание 1. Один острый угол прямоугольного треугольника на 32 градуса больше
другого. Найдите больший острый угол.
Дано: ABC
С  90
B  A  32
Найти:  B
Решение: пусть A  x, B  x  32
A  B  90 (по 1-ому св.)
С  90 ( по усл.)
2x= 58
x  29
B  x  32
Ответ:
61
B  61
x+x+32= 90
Раздел 2. Многоугольники
Свойства многоугольников:
1) сумма углов выпуклого n-угольника равна (n  2) 180
2) сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360
Раздел 2. Четырехугольники.
Параллелограмм
( противоположные
стороны попарно параллельны)
Прямоугольник
(все углы
прямые)
Квадрат
(все стороны
равны)
Свойства
1) все углы квадрата
прямые
2) диагонали квадрата
равны, взаимно
перпендикулярны,
точкой пересечения
делятся пополам
и делят углы квадрата
пополам
Трапеция
(две стороны параллельны, две
нет)
Ромб
(все стороны
равны)
Общие свойства:
1) в параллелограмме противоположные стороны и углы равны.
2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
1)
Свойство:
диагонали прямоугольника равны
Свойство:
диагонали ромба
взаимно перпендикулярны
и делят его углы пополам
Муниципальное общеобразовательное учреждение гимназия №11
г. Железнодорожный
Электронный тематический сборник
по математике
для подготовки к ГИА
ученика 8 а класса
Бусырева Егора Константиновича
2010 - 2011 учебный год
Введение
стр. 3
Алгебра
Тема 1. Алгебраические дроби.
стр. 4 - 18
Тема 2.
Геометрия
Тема 1. Треугольники
стр. 19 - 23
Многие думают, что всегда успеют подготовиться к
экзамену. Чтобы хорошо сдать государственную (итоговую)
аттестацию (ГИА), необходимо начинать трудиться заранее:
решать задачи по алгебре, геометрии, повторять теоремы и
свойства.
Зная типы задач, которые будут на экзаменах, вы будете
более спокойнее и увереннее в своих решениях и ответах .
Алгебра.
Тема 1. Алгебраические дроби
Задача 1
Какая пара значений (a; b) из четырех, указанных ниже,
является недопустимой для дроби
2
5
2a – 3ab+b
3b-a
А (1, 1/3)
Б(3; -1)
В(-3; 1)
Решение:
Дробь не существует при b= 1/3 и a = 1
Ответ: А.
Г(1/3; 1)
Задача 2
2
a – 2ab
2b2 –ab
Сократите алгебраическую дробь
А. a
b
Б.
a – 2b
2b + a
Решение:
2
a – 2ab  a(a – 2b)
2
2b - ab
b(2b – a)
Oтвет: Г.

В.
 a
b
a
b
Г.
a
b
Задача 3
Какое из написанных равенств является тождеством?
1
2
X
x +1

3x
4x + 4
3
X
X +1

x(x – 1)
(x +1)2
2
X
x +1

X
x(x +1)
4
X
X +1

xy
xy +1
A. Первое; Б. Второе; В. Третье; Г. Четвертое.
Решение:
X
x +1

3x
4x + 4
Приведем дроби к общему
знаменателю
x  4/
2
X
 x + 4x
x +1
4x + 4
x + 4x  3x
Неверно
4x + 4
4x + 4
X
x +1
2
X
x(x +1)

Приведем дроби к общему знаменателю
2
x/
X
x +1

X

x(x +1)
X
x(x +1)
X
x(x +1)
Ответ: Б.
Верно
Задача 4
2
X
x +у
Упростите выражение
А. 2(x – y)

Б. x + y
В. x - y
Решение:
2
X
x +у

Ответ: В.
2
у
x +у

2
у
x +у
2
x-у
x +у
2

Г.
2 2
xу
x +у
( x – у)(x + у) 
x +у
x-y
Задача 5
3 1
Расположите числа a = 0,75, b = ( )
4
в порядке возрастания.
А. a, b, c.
Б. b, c, a.
В. c, a, b.
Решение:
(
(
3 1
) (
4
3 2 
) (
4
4
1
 1
)
3
3
4 2  16  1 7
)
3
9
9
Ответ: Г.
с=
(
Г. a ,c ,b.
3 2
)
4
Выполните сложение дробей
Задача 6
2
x5
2
x/

2
1 
x3
2+x
x5
2
Oтвет: 2 +5x
x
Задача 7
5/
3x 
14y
2/
2x  19x
35y
70у
Oтвет:
19x
70у
Задача 8
2/
3/
2x
33b

7x 
22b
25x
66b
Oтвет: 25x
66b
Задача9
6x
25-x 2
x 5/

1 
6x
1
 6x - 1
6x - 1


x +5 (5-x)(5+x) (x +5)(x – 5) (5-x)(5+x) 25 - x2
Oтвет:
6x - 1
25 - x 2
Задача 10
3y /
4x /
5
2 3
6xy

3
3 2
8xy
Ответ: 20x +3 9y
24xy 3

20x + 9y
3 3
24xy
Задача 11
2
2
x – 4y
Сократите алгебраическую дробь: 2
x – 4xy + 4y2
Решение:
2
2
x – 4y
2
x – 4xy + 4y2

x + 2y
Ответ:
x – 2y
(x – 2y)(x + 2y)
(x – 2y)2

x + 2y
x – 2y
Задача 12
2
Представьте в виде дроби:
x – 16
x2– 5x
:
2
x+4
x2 - 25
Pешение:
2
x – 16
x 2– 5x
:
2
x + 4  (x – 4)(x + 4)(x – 5)(x + 5)  (x – 4)(x + 5)
x2 - 25
x( x – 5)x(x + 4)
x2
+ 5)
Oтвет: (x – 4)(x
2
x
Задача 13
1 2
x
Выполните действия:
2
(x + 3) x - 9
:

x-9
x2 - 9
Решение:
1 2
x
2
(x + 3) x - 9
:
x  3/




x (18 – 6x)
x(x – 3)(x + 3)

–9
 (x – x3)(x
+ 3)
x/
(x – 3)
x(x + 3)
Oтвет:
x - 9  (x – 3)(x + 3)
x2 - 9
x(x + 3) 2
x–9
(x – 3)(x + 3)
6
x+3


6x (3 – x)
x(x – 3)(x + 3)
2

2
x (x – 6x +9 - x + 9)
x(x – 3)(x + 3)


6
x+3
Задача 14
Упростите выражение:
Решение:
(
5 4
km n
3m2 n4
) (

2
Oтвет:
6
km
9
3
km
3m
(
)
)
km n
3m2 n4
2
2
2
5 4
2

6
km
9
Задача 15
Найдите корни уравнения:
y/
y
y-4
y 4/
y ( y  4) /
 2
y
2

1
2
y – 2y +8 – y + 4y
y(y – 4)
2(y +4) 
y(y – 4)
y+4=0
y = -4
Oтвет: -4
0

0
y
y-4
 2
y

1
Задача 16
3
Вычислите: ( -0,25)
3
3
()
( -0,25) = - 1  -64
4
Ответ:
-64
Геометрия
Задача 1
B
C
Дано:
ABCD – трапеция;
B=4 A
D
A
Решение:
o
A
Пусть

B  180
o
A = x, тогда
(односторонние)
B = 4x
Cоставим уравнение:
o
Найти:
B
x +4 x = 180
o
5 x = 180
o
X = 36
o
36 * 4 = 144
o
Oтвет: 144
Задача 2
B
Дано:
ABC
С 90
o
o
B
A
C
Решение:
A

B

o
C  180
A + 32
Найти: B
A


B
o
Пусть
o
90
A = x, тогда
o
B = (x +32)
Cоставим уравнение:
x + x + 32 = 90
2x = 58
o
x = 29
o
o
o
29 + 32 = 61
o
Oтвет: 61
Задача 3
а) Укажите номера неверных утверждений
б) укажите номера верных утверждений.
1) Если стороны одного треугольника соответственно равны двум
сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2) В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к
основанию, является одновременно биссектрисой и высотой.
3) Каждая сторона треугольника больше суммы двух
других сторон.
4) В прямоугольном треугольнике сумма углов равна 90
градусам.
а) 1, 3, 4.
б) 2.
Задание 4
Дано:
B
C
OBA и
ODC
AO = OC
A
C
Доказать:
O
OBA 
D
A
Доказательство:
Рассмотрим
A
OBA и
ODC :
C (по условию)
AO = OC ( по условию)
BOA 
DOC (вертикальные)
OBA 
ODC
=>
(по второму признаку
равенства треугольников)
ODC
Великое благо тому,
кто научился учиться.
Менандр