Разложение многочлена на множители Воробьева Н.Л.

Разложение
многочлена на
множители
Воробьева Н.Л.
Немного теории
Разложить многочлен на множители – это
значит представить его в виде
произведения.
Существует несколько способов
разложения:
 Вынесение общего множителя за
скобку
 Способ группировки
 С помощью формул сокращенного
умножения
Вынесение общего множителя
за скобку
Если все члены многочлена содержат общий
множитель, то этот множитель можно
вынести за скобки.
19а-38b= 19·а - 19·2b = 19(а – 2b)
3аb2 + 4bc3 = b·3a2+b·4c3=b(3a2+4c3)
Алгоритм нахождения общего
множителя нескольких одночленов
 Найти наибольший общий делитель
коэффициентов всех одночленов, входящих в
многочлен, - он и будет общим числовым
множителем (это относится к случаю с
целочисленными коэффициентами).
 Найти переменные, которые входят в каждый
член многочлена, выбрать для каждого из них
наименьший показатель степени.
 Произведение коэффициента и переменной,
найденных на первом и втором шагах, является
общим множителем, который следует вынести за
скобки.
Пример 1
Разложить на множители:
х4у3 – 2х3у2 + 5х2.
Воспользуемся сформулированным алгоритмом.
Наибольший общий делитель коэффициентов 1, -2 и 5 равен 1.
Переменная x входит во все члены многочлена с показателями
соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки x2.
Переменная y входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя
вынести за скобки.
Вывод: за скобки можно вынести x2. Получим:
х4y3 - 2x3y2 + 5x2=x2(x2y3 - 2xy2 + 5).
Способ группировки
Данный способ применяют к многочленам, которые
не имеют общего множителя для всех членов
многочлена.
Чтобы разложить многочлен на множители
способом группировки, нужно:
 Объединить члены многочлена в такие группы,
которые имеют общий множитель в виде
многочлена
 Вынести этот общий множитель за скобки
Пример 2
Рассмотрим пример: разложить на множители многочлен
xy-6+3y-2y
Первый способ группировки:
Второй способ группировки:
xy-6+3y-2y=(xy-6)+(3x-2y).
Группировка неудачна.
xy-6+3y-2y=(xy+3x)+(-6-2y)=x(y+3)-2(y+3)=(y+3)(x-2).
Третий способ группировки:
xy-6+3y-2y=(xy-2y)+(-6+3x)=y(x-2)+3(x-2)=(x-2)(y+3).
Ответ: xy-6+3y-2y=(x-2)(y+3).
Как видите, не всегда с первого раза группировка оказывается удачной.
Если группировка оказалась неудачной,
откажитесь от нее, ищите иной способ.
Разложение на множители с помощью
формул сокращенного умножения
Вспомним эти формулы:
a2-b2=(a-b)(a+b);
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);
a2+2ab+b2=(a+b)2;
a2-2ab+b2=(a-b)2.
Пример 3
Разложить на множители
1) x6-4a4. Воспользуемся первой формулой (разность
квадратов):
x6-4a4=(x3)2-(2a2)2=(x2-2a2)(x3+2a2).
2) a6+27b3. Воспользуемся третьей формулой (сумма
кубов):
a6+27b3=(a2)3+(3b)3=(a2+3b)((a2)2-a2·3b+(3b)2)=
=(a2+3b)(a4-3a2b+9b4).
3) a2-4ab+4b2. В этом примере дан трехчлен, для его
разложения на множители будем пользоваться пятой
формулой, если, конечно, убедимся в том, что трехчлен
является полным квадратом:
a2-4ab+4b2=a2+(2b)2-2·a·2b=(a-2b)2.
Пример 4
Найти значение числового выражения
532-472
612-392
Дважды воспользуемся формулой разности
квадратов:
532-472 = (53-47)(53+47) = 6·100 = 6 = 3
612-392 (61-39)(61+39) 22·100 22 11
Разложение на множители позволило нам
сократить дробь. Позднее мы оценим это и при
выполнении действий с алгебраическими дробями
Комбинации различных приемов
разложения на множители
В математике не так часто бывает, чтобы
при решении примера применялся только
один прием. Чаще встречаются
комбинированные примеры, где сначала
используется один прием, затем другой и
т.д.
Рассмотрим такой пример.
Пример 4
Разложить на множители многочлен
36a6b3-96a4b4+64a2b5
1) Вынесем за скобки 4a2b3. Получим:
36a6b3-96a4b4+64a2b5=4a2b3(9a4-24a2b+16b2).
2) Рассмотрим трехчлен в скобках: 9a4 - 2 4a2b + 16b2. Он является
полным квадратом, т.е.
9a4-24a2b+16b2=(3a2-4b)2.
3) Комбинируя два приема (вынесение общего множителя за скобки и
использование формул сокращенного умножения), получаем
окончательный результат:
36a6b3-96a4b4+64a2b5=4a2b3(3a2-4b)2.
Основные результаты
Вы познакомились со следующими
приемами разложения многочлена на
множители:
 вынесение общего множителя за скобки
 способ группировки
 использование формул сокращенного
умножения