ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ урок алгебры в 7 классе Киреева Н.А СОДЕРЖАНИЕ Квадрат суммы и квадрат разности Разность квадратов Математические диктанты (1, 2) Контрольная работа Тестовые задания КВАДРАТ СУММЫ И КВАДРАТ РАЗНОСТИ Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности Самостоятельная работа I вариант II вариант Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений Цели: вывести формулы сокращенного умножения и учить применять их при возведении в квадрат суммы или разности выражений. Объяснение нового материала: 1. При умножении многочлена на многочлен каждый член одного многочлена умножают на каждый член другого. Однако в некоторых случаях умножение многочленов можно выполнить короче, воспользовавшись формулами сокращенного умножения. 2. Возведем в квадрат сумму a + b. Выполним умножение (a b) 2 (a b)( a b) a 2 ab ab b 2 a 2 2ab b 2 . Значит, (a b) 2 a 2 2ab b 2 . (1) Тождество (1) называют формулой квадрата суммы. Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений 3. Формулировка формулы квадрата суммы: квадрат суммы равен сумме квадратов каждого из слагаемых плюс удвоенное произведение первого слагаемого на второе. 4. Возведем в квадрат разность a - b. Выполним умножение (a b) 2 (a b)(a b) a 2 ab ab b 2 a 2 2ab b 2 . Значит, (a b) 2 a 2 2ab b 2 . (2) Тождество (2) называют формулой квадрата разности. 5. Формулировка формулы квадрата разности: квадрат разности равен сумме квадратов каждого из слагаемых минус удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений Задание 1: решить устно примеры (а-е) a) ( x y) 2 ; б ) ( p q) 2 ; в) (b 3) 2 ; г ) (10 с) 2 ; д) ( y 9) 2 ; е) (9 y) 2 ; Задание 2: решить примеры в тетрадях a ) (a 11) 2 ; б ) (13 x) 2 ; в ) (0,4 m) 2 ; 1 г ) (2 x 3) ; д) (6 y 4 x) ; е) m 3n 4 2 2 2 2 1 ж ) ( x 3) ; з ) ( m 10) ; и ) 3a b . 3 2 2 Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности Цели: показать применение формул квадрата суммы и квадрата разности двух выражений при разложении на множители выражений; развивать логическое мышление учащихся. Проверка изученного материала. 1. Двое учащихся решают на доске номера из домашнего задания. 2. С остальными учащимися проводится устная работа: Представьте в виде многочлена : 1) (а 4) 2 ; 2) (а 7) 2 ; 3) (а 5) 2 ; 4) (а 5) 2 Сравните : 1) (а 8) 2 и (а 8) 2 ; 2) (а 16) 2 и (16 а) 2 Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности Работа по учебнику Формулы квадрата суммы и квадрата разности находят применение не только для возведения в квадрат суммы и разности, но и для разложения на множители выражений вида: 2 2 2 2 a 2ab b и а 2ab b Действительно, поменяв местами в этих формулах левую и правую части, получим: 2 2 2 2 2 2 a 2ab b (a b) ; a 2ab b (a b) ; Например : 1) 9 x 2 30 x 25 (3 x) 2 2 3 x 5 52 (3x 5) 2 2) a 2 20ab 2 100b 4 a 2 2 10 a b 2 (10b 2 ) 2 (a 10b 2 ) 2 Задание: Выполните упражнения из учебника Самостоятельная работа I вариант 1. Представьте в виде многочлена : а ) ( x 7) 2 ; б ) (5a 1) 2 ; в ) (10 4c) 2 ; г ) (3c a ) 2 ; д) (a 2 6) 2 ; е) (5a 8b) 2 . 2. Представьте многочлен в виде квадрата двучлена : 9 2 16 2 2 2 2 2 а ) 4a 4ab b ; б ) 9a 6ab b ; в ) a 2ab b ; 16 9 1 2 г ) a ab b 2 ; д) a 2b 2 2ab 1; е) b 2 2a 2b a 4 . 4 Самостоятельная работа II вариант 1. Представьте в виде многочлена : а ) ( x 6) 2 ; б ) (4a 1) 2 ; в ) (5a 8) 2 ; г ) (3b a ) 2 ; д) (a 2 7) 2 ; е) (2m 9n) 2 . 2. Представьте многочлен в виде квадрата двучлена : 4 2 9 2 2 2 2 2 а ) a 6ab 9b ; б )16a 8ab b ; в ) a 2ab b ; 9 4 1 2 г ) a ab b 2 ; д)1 2ab a 2b 2 ; е) a 4 2a 2b b 2 . 4 РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ Умножение разности двух выражений на их сумму Разложение разности квадратов на множители Самостоятельная работа I вариант II вариант Умножение разности двух выражений на их сумму Цели: вывести еще одну формулу сокращенного умножения и научить применять ее при умножении многочленов; развивать логическое мышление учащихся. Объяснение нового материала. 1. Рассмотрим еще одну формулу сокращенного умножения. Умножим разность a - b на сумму a + b: (a b)(a b) a 2 ab ab b 2 a 2 b 2 . Значит, (a b)( a b) a 2 b 2 . (1) 2. Тождество (1) позволяет выполнять сокращенно умножение разности любых двух выражений на их сумму. 3. Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений. Умножение разности двух выражений на их сумму 4. Решить примеры устно: а ) ( x y )( x y ); б ) ( p q )( p q); в ) (b a )(b a ); г ) ( p 5)( p 5); д) ( x 3)( x 3); е) (1 c)(1 c). 5. Разберем решение примеров: 1. Умножим разность 3x – 7y на сумму 3x + 7y. Воспользовавшись тождеством (1), получим: (3x 7 y)(3x 7 y) (3x) 2 (7 y) 2 9 x 2 49 y 2 . 2. Представим в виде многочлена произведение: (5a 2 b3 )(5a 2 b3 ) Применив тождество (1), получим: (5a 2 b3 )(5a 2 b3 ) (5a 2 ) 2 (b3 ) 2 25a 4 b6 Задание: Выполните упражнения из учебника Разложение разности квадратов на множители Цели: вывести формулу разности квадратов и научить применять ее при разложении на множители многочлена; рассмотреть применение этой формулы для рационального нахождения значения выражения, повторить основное свойство дроби при сокращении дробей. Проверка изученного материала (устная работа). 1. Сформулировать правила квадрата суммы, квадрата разности двух выражений и правило умножения разности двух выражений на их сумму. 2. Выполните умножение: а) (b 8)(8 b); б ) (5 x 2 1)(1 5 x 2 ); в) (3c 3 2d )( 2d 3c 3 ). Разложение разности квадратов на множители Работа по учебнику. 1. Поменяем местами правую и левую части в тождестве (a b)( a b) a 2 b 2 . Получим : a 2 b 2 (a b)( a b). Это тождество называют формулой разности квадратов. 2. Правило разложения разности квадратов на множители: разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы. 3. Рассмотрим примеры применения формулы разности квадратов: 1. Разложим на множители выражение: 36 а 2 . Так как 36 62 , то 36 а 2 62 а 2 (6 а)(6 а). 2. Представим в виде произведения двучлен 49 x 2 16 y 6 . Данный двучлен можно представить в виде разности квадратов. Получим: 49 x 2 16 y 6 (7 x) 2 (4 y 3 ) 2 (7 x 4 y 3 )(7 x 4 y 3 ). 4. Задание: Выполните упражнения из учебника Самостоятельная работа I вариант 1. Разложите на множители : а ) 4 x 2 1; б )1 9a 2 ; в ) m 2 a 2 ; г ) n 2 b 2 ; д) a 2 16 y 2 ; е) 81x 2 y 2 . 2. Представьте в виде произведения : а ) 25 36 p 2 c 2 ; б ) (3 y ) 2 4; в ) (3 x 1) 2 (4 x 3) 2 ; 3 * . Разложите на множители : а ) x 2 n 9; б ) b 2 a 4 n ; в ) x 2 n y 2 n ; г ) 81a 8 n 16. Самостоятельная работа II вариант 1. Разложите на множители : а ) 9 p 2 4; б )1 25 x 2 ; в ) n 2 c 2 ; г ) x 2 y 2 ; д) 4 x 2 y 2 ; е)16a 2 b 2 . 2. Представьте в виде произведения : а )100 49 x 2 y 2 ; б ) (5 x) 2 9; в ) (2a 7) 2 (3a 5) 2 ; 3 * . Разложите на множители : а ) a 2 n 1; б ) x 2 y 4 n ; в ) a 4 n b 4 n ; г ) 49 x 6 n 25. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ ДИКТАНТ 1. 1. Представьте в виде многочлена стандартного вида произведение суммы х + 2 и разности х – 2. 2. Представьте в виде многочлена стандартного вида произведение разности 3a – 5b и суммы 5b + 3a. 3. Представьте в виде многочлена стандартного вида квадрат двучлена 3a + b. 4. Представьте в виде многочлена стандартного вида квадрат двучлена 3x 2 5 y 5. При возведении в квадрат некоторого двучлена получились слагаемые 49а 2 и 28ax Найдите третье слагаемое. 6. Найдите значение выражения 2012 7. Решите уравнение: ( x 3) 2 х 2 7 5 х МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ ДИКТАНТ 2. 1. Разложите на множители многочлен 2. Разложите на множители многочлен 4х2 9 1 49с 2 3. Разложите на множители многочлен 4 х 2 9 y 6 4. Найдите значение выражения 5. Представьте многочлен 119 2 109 2 a 2 10ab 25b 2 в виде квадрата двучлена 6. Представьте многочлен в виде квадрата двучлена 9 х 2 30 хy 25 y 2 Источники материалов: Ю.Н.Макарычев и др. «Алгебра - 7», М.: Просвещение, 2000. Т.М.Ерина УМК «Поурочное планирование по алгебре. К учебнику Ю.Н.Макарычева и др. «Алгебра. 7 класс», М.: «Экзамен», 2006.