Бесконечно убывающая геометрическая

Какая наука может быть более благородна,
более восхитительна, более полезна для
человечества, чем математика? Франклин
Мыслить последовательно, судить
доказательно, опровергать неправильные
выводы должен уметь всякий: физик и
поэт, тракторист и химик.
Э.Кольман
В математике следует помнить не формулы,
а процессы мышления.
В.П.Ермаков
Легче найти квадратуру круга, чем
перехитрить математика. Огастес де Морган
урок-соревнование
10 класс
I. Арифметическая и геометрическая
прогрессии. Вопросы
1. Определение арифметической прогрессии.
Арифметической
прогрессией
называется прогрессии.
2.
Формула n-го члена
арифметической
последовательность, каждый член которой, начиная со
3.
Формула
суммы
первых nчлену,
членов
второго,
равен
предыдущему
сложенному с одним
n
1
n
и тем
же
числом.
арифметической
прогрессии
.
n
1
a d


a

a


2
a

d
n

1
1
n
1
4. S
Определение
прогрессии.

nгеометрической
S 
n
a
a  a  d n  1
n
n
2
2
Геометрической
прогрессией
называется
5. Формула n-го члена геометрической прогрессии.
последовательность отличных от нуля чисел,
n 1каждый
b

b

q
bnФормула

b

q
,
b

0
член
которой,
начиная
со
второго,
равен
предыдущему
n

1
1
6.
суммы
первых
n
членов
геометрической
1
n
n
n же число
члену,
умноженному
на одноbи q
то
прогрессии
.
1

, q  1
Sn 
1
7. Какие формулы вы ещеq знаете?
1
II. Арифметическая прогрессия.
Задания
1. Арифметическая прогрессия задана формулой an = 7 – 4n
(-33)
Найдите a10.
2. В арифметической прогрессии a3 = 7 и a5 = 1.
Найдите a4 .
3. В арифметической прогрессии a3 = 7 и a5 = 1.
Найдите a17.
4. В арифметической прогрессии a3 = 7 и a5 = 1.
Найдите S17.
(4)
(-35)
(-187)
II. Геометрическая прогрессия.
Задания
5. Для геометрической прогрессии
найдите пятый член
2 2
2; ; ;...
3 9
2
 
 81 
6. Для геометрической прогрессии
найдите n-й член.
2 2
2; ; ;...
3 9
 1 n 1 
2

 3 


7. В геометрической прогрессии
b3 = 8 и b5 = 2.
8. В геометрической прогрессии
b3 = 8 и b5 = 2.
9. В геометрической прогрессии
b3 = 8 и b5 = 2.
Найдите b4.
Найдите b1 и q.
Найдите S5.
(4)
1

и
32


2

(62)
Обратимся к интернет источнику
ВИКИПЕДИЯ
Геометрическая прогрессия
https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрическая
_прогрессия
n 
1
0
n
2
определение:
Геометрическая прогрессия называется
бесконечно убывающей, если модуль её
знаменателя меньше единицы.
q 1
Задача №1
Является ли последовательность бесконечно
убывающей геометрической прогрессией, если
она заданна формулой:
10
а )bn  n
7
б )bn   4
n2
Решение: а)
b1 
10
7
10
b2 
49
10 10 1
q
: 
49 7 7
1
1
7
данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.
б)
данная последовательность не является бесконечно убывающей
геометрической прогрессией.
1
lim n  0
n 2
1

lim 1  n   1
n 
 2 
lim S n  1
n 
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
есть предел последовательности S1, S2, S3, …, Sn, … .
1 1 1
1
1
,

,
,

,...,
гдеb

1
,
q


Например, для прогрессии
1
3 9 27
3
имеем
Так как
n


1


1  1     

1 2
1 1 7
3   3 3  1  n


S1  1, S 2  1   , S3  1    ,..., S n 
      ,...
3 3
3 9 9
4 4  3
 1
1  
 3
n
3
 1
lim     0, то lim S n  .
n 
n 
4
 3
Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии
можно находить по формуле
S
b1
1 q
Выполнение заданий на ПК
Дополнительные задания
1. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической
прогрессии с первым членом 3, вторым 0,3.
2. №18 (1,3) учебник, стр. 138
3. №19 (1) учебник, стр. 138.
Вопросы
• С какой последовательностью сегодня
познакомились?
• Дайте определение бесконечно
убывающей геометрической прогрессии.
• Как доказать, что геометрическая
прогрессия является бесконечно
убывающей?
• Назовите формулу суммы бесконечно
убывающей геометрической прогрессии.
На дом:
• 1. Читать § 2 (с. 133-137)
• 2. № 18(2,4), № 19(2) – для всех,
№ 21(2,4) – для тех, кто желает
учиться на «4» и «5».
• Известный польский
математик Гуго Штейнгаус
шутливо утверждает, что
существует закон, который
формулируется так:
математик сделает это
лучше. А именно, если
поручить двум людям, один
из которых математик,
выполнение любой
незнакомой им работы, то
результат всегда будет
следующим: математик
сделает ее лучше.
Гуго Штейнгаус
14.01.1887-25.02.1972