(...В представленной на сайте версии готовой работы изменены числовые данные.... получения данной работы с корректными величинами или заказа подобной новой...

1
(...В представленной на сайте версии готовой работы изменены числовые данные. Для
получения данной работы с корректными величинами или заказа подобной новой курсовой
работы, обратитесь на www.diplomant-spb.ru ...)
Тема x. Линейные цепи постоянного тока
Задача x
1
2
R3
J2
J4
R1
E1
R4
i1
R2
i2
E4
Ex = x В; Ex = x В; Rx = xx Ом; Rx = xx Ом; Rx= x Ом; Rx = x Ом; Rx = x Ом.
Определение токов в цепи методом контурных токов
Уравнения:
−𝐸𝑥 + 𝑖𝑥𝑅𝑥 + (𝑖𝑥 − 𝑖𝑥)𝑅𝑥 = 𝑥
(𝑖𝑥 − 𝑖𝑥)𝑅𝑥 + 𝑖𝑥𝑅𝑥 + (𝑖𝑥 − 𝑖𝑥)𝑅𝑥 + 𝐸𝑥 = 𝑥
−𝐸𝑥 + (𝑖𝑥 − 𝑖𝑥)𝑅𝑥 + 𝑖𝑥𝑅𝑥 = 𝑥
Подставим значения:
𝑥𝑥𝑖𝑥 − 𝑥𝑥𝑖𝑥 − 𝑥 = 𝑥
−𝑥𝑥𝑖𝑥 + 𝑥𝑥𝑖𝑥 − 𝑥𝑖𝑥 + 𝑥 = 𝑥
−𝑥𝑖𝑥 + 𝑥𝑥𝑖𝑥 − 𝑥 = 𝑥
Решение системы уравнений:
𝑖𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 А
𝑖𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 А
𝑖𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 А
Ток через резистор Rx:
𝐼𝑥 = 𝑖𝑥 − 𝑖𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 − 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 А
i3
R5
2
Ток через резистор Rx:
𝐼𝑥 = 𝑖𝑥 − 𝑖𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 − 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 = −𝑥, 𝑥𝑥𝑥 А
Определение токов в цепи методом узловых потенциалов
Уравнения (Ux,Ux – потенциалы в узлах x,x):
𝐸𝑥 − 𝑈𝑥 𝑈𝑥 𝑈𝑥 − 𝑈𝑥
=
+
𝑅𝑥
𝑅𝑥
𝑅𝑥
𝑈𝑥 − 𝑈𝑥 𝑈𝑥 − 𝐸𝑥 𝑈𝑥
=
+
𝑅𝑥
𝑅𝑥
𝑅𝑥
Подставим значения:
−𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑈𝑥 + 𝑥, 𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑈𝑥 − 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑈𝑥
𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑈𝑥 − 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑈𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑈𝑥 − 𝑥, 𝑥
Решение системы уравнений:
𝑈𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥 В
𝑈𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥 В
Значения токов:
𝑖𝑥 =
𝑖𝑥 =
𝐸𝑥 − 𝑈𝑥 𝑥 − 𝑥, 𝑥𝑥
=
= 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 А
𝑅𝑥
𝑥𝑥
𝑈𝑥 − 𝑈𝑥 𝑥, 𝑥𝑥 − 𝑥, 𝑥𝑥
=
= 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 А
𝑅𝑥
𝑥
𝑖𝑥 =
𝑈𝑥 𝑥, 𝑥𝑥
=
= 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 А
𝑅𝑥
𝑥
𝐼𝑥 =
𝑈𝑥 𝑥, 𝑥𝑥
=
= 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 А
𝑅𝑥
𝑥𝑥
Ток через резистор Rx:
Ток через резистор Rx:
𝐼𝑥 =
𝑈𝑥 − 𝐸𝑥 𝑥, 𝑥𝑥 − 𝑥
=
= −𝑥, 𝑥𝑥𝑥 А
𝑅𝑥
𝑥
Значения токов, вычисленные по методу узловых потенциалов, совпадают со значениями,
вычисленными по методу контурных токов.
Баланс мощности
Мощность, отдаваемая источниками:
𝑃И = |𝑖𝑥| ∙ |𝐸𝑥| + |𝐼𝑥| ∙ |𝐸𝑥| = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 ∙ 𝑥 + 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 ∙ 𝑥 = 𝑥. 𝑥𝑥 Вт
3
Мощность, выделяемая на резисторах:
𝑃 = 𝑖𝑥 𝑥 ∙ 𝑅𝑥 + 𝐼𝑥 𝑥 ∙ 𝑅𝑥 + 𝑖𝑥 𝑥 ∙ 𝑅𝑥 + 𝐼𝑥 𝑥 ∙ 𝑅𝑥 + 𝑖𝑥 𝑥 ∙ 𝑅𝑥
= 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 𝑥 ∙ 𝑥𝑥 + 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 𝑥 ∙ 𝑥𝑥 + 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 𝑥 ∙ 𝑥 + 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 𝑥 ∙ 𝑥 + 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 𝑥 ∙ 𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥 Вт
Задача x
Исходная схема
R3
J1
R1
E3
J1
R2
R4
Jx = x А; Ex = -x В; Rx = x Ом; Rx = x Ом; Rx= x Ом; Rx = xx Ом.
Определение тока, протекающего через резистор Rx, методом наложения
Эквивалентная схема для частичного тока, создаваемого источником тока Jx:
J1
J2
J1
R2
J4
R4
Уравнения для определения частичного тока через Rx (Jx, Jx– частичные токи через резисторы
Rx,Rx):
𝐽𝑥 ∙ 𝑅𝑥 = 𝐽𝑥 ∙ 𝑅𝑥
𝐽𝑥 + 𝐽𝑥 = 𝐽𝑥
Решение уравнений:
Подставим значения:
𝐽𝑥 = 𝐽𝑥
𝑅𝑥
𝑅𝑥 + 𝑅𝑥
𝐽𝑥 = 𝐽𝑥
𝑅𝑥
𝑅𝑥 + 𝑅𝑥
4
𝐽𝑥 = 𝑥
𝑥
= 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 А
𝑥 + 𝑥𝑥
Эквивалентная схема для частичного тока, создаваемого источником напряжения Ex:
R3
E3
R2
J4
R4
Частичный ток через Rx:
𝐼𝑥 =
𝐸𝑥
−𝑥
=
= −𝑥, 𝑥𝑥𝑥 А
𝑅𝑥 + 𝑅𝑥 𝑥 + 𝑥𝑥
Полный ток через Rx:
𝐽𝑥 + 𝐼𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 − 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 А
Определение тока, протекающего через резистор Rx, методом
эквивалентного генератора
Эквивалентная схема для определения напряжения холостого хода UXX:
5
E3
J1
J1
Uxx
R2
Напряжение холостого хода
𝑈ХХ = 𝐽𝑥 ∙ 𝑅𝑥 + 𝐸𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑥 − 𝑥 = 𝑥𝑥 В
Эквивалентная схема для определения тока короткого замыкания JКЗ:
J1
JКЗ
J2
J1
R2
R3
E3
JКЗ
Как видно из эквивалентной схемы,
𝐽𝑥 + 𝐽𝑥 = 𝐽КЗ
Так как резистор Rx подсоединен параллельно источнику напряжения, то ток Jx равен
𝐽𝑥 =
𝐸𝑥 −𝑥
=
= −𝑥, 𝑥𝑥𝑥 А
𝑅𝑥
𝑥
Тогда
𝐽КЗ = 𝐽𝑥 + 𝐽𝑥 = 𝑥 − 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 А
Выходное сопротивление эквивалентного генератора равно
6
𝑅ВЫХ =
𝑈ХХ
𝑥𝑥
=
= 𝑥, 𝑥 Ом
𝐽КЗ 𝑥, 𝑥𝑥𝑥
Ток через резистор Rx:
𝐼𝑥 =
𝑈ХХ
𝑥𝑥
=
= 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 А
𝑅ВЫХ + 𝑅𝑥 𝑥 + 𝑥𝑥
Значение тока через Rx, вычисленное по методу эквивалентного генератора, совпадает со
значением, вычисленным по методу наложения.
7
Тема x. Цепи синусоидального тока
Задача x
L
IL
IC
IR
e
C
R
𝑒 = 𝑥𝑥 sin(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑡 + 𝜋) = −𝑥𝑥 sin(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑡)
 = xxxx рад/с;  = xxx = ; L = x,x Гн; С = x,x мкФ; R = xxxx Ом.
Определим токи и напряжения в цепи мо методу комплексных амплитуд.
Запишем уравнение по методу узловых потенциалов (U – напряжение на резисторе):
𝐸−𝑈
𝑈
= 𝑗𝜔𝐶𝑈 +
𝑗𝜔𝐿
𝑅
Здесь
𝐸 = 𝑥𝑥𝑒 𝑗𝜋 = −𝑥𝑥
Подставим значения:
−𝑥𝑥 − 𝑈
𝑈
= 𝑗 ∙ 𝑥𝑥𝑥𝑥 ∙ 𝑥, 𝑥 ∙ 𝑥𝑥 −𝑥 ∙ 𝑈 +
𝑗 ∙ 𝑥𝑥𝑥𝑥 ∙ 𝑥, 𝑥
𝑥𝑥𝑥𝑥
или
𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑗 + 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑗𝑈 = 𝑗𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑈 + 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑈
Решение уравнения:
𝑈 = 𝑥, 𝑥𝑥 + 𝑗𝑥, 𝑥𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑒 𝑗𝑥,𝑥𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑒 𝑗𝑥𝑥° В
Мгновенное значение напряжения на резисторе:
𝑢 = 𝑥, 𝑥𝑥 sin(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑡 + 𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑥, 𝑥𝑥 sin(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑡 + 𝑥𝑥°) В
Напряжение на катушке:
𝑈𝐿 = 𝐸 − 𝑈 = −𝑥𝑥 − 𝑥, 𝑥𝑥𝑒 𝑗𝑥,𝑥𝑥 = −𝑥𝑥, 𝑥 − 𝑗𝑥, 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥, 𝑥𝑒 −𝑗𝑥,𝑥𝑥 = 𝑥𝑥, 𝑥𝑒 −𝑗𝑥𝑥𝑥° В
Мгновенное значение напряжения на катушке:
𝑢𝐿 = 𝑥𝑥, 𝑥 sin(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑡 − 𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥, 𝑥 sin(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑡 − 𝑥𝑥𝑥°) В
8
Ток через катушку:
𝐼𝐿 =
𝐸 − 𝑈 −𝑥𝑥 − 𝑥, 𝑥𝑥𝑒 𝑗𝑥,𝑥𝑥
=
= 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒 𝑗𝑥,𝑥𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒 𝑗𝑥𝑥𝑥°
𝑗𝜔𝐿
𝑗 ∙ 𝑥𝑥𝑥𝑥 ∙ 𝑥, 𝑥
Мгновенное значение тока через катушку:
𝑖𝐿 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 sin(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑡 + 𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 sin(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑡 + 𝑥𝑥𝑥°) А
Ток через конденсатор:
𝐼𝐶 = 𝑗𝜔𝐶𝑈 = 𝑗 ∙ 𝑥𝑥𝑥𝑥 ∙ 𝑥, 𝑥 ∙ 𝑥𝑥 −𝑥 ∙ 𝑥, 𝑥𝑥𝑒 𝑗𝑥,𝑥𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒 𝑗𝑥,𝑥𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒 𝑗𝑥𝑥𝑥° А
Мгновенное значение тока через конденсатор:
𝑖𝐶 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥 sin(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑡 + 𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥 sin(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑡 + 𝑥𝑥𝑥°) А
Ток через резистор:
𝐼𝑅 =
𝑈 𝑥, 𝑥𝑥𝑒 𝑗𝑥,𝑥𝑥
=
= 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑒 𝑗𝑥,𝑥𝑥 А
𝑅
𝑥𝑥𝑥𝑥
Мгновенное значение тока через резистор:
𝑖𝑅 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 sin(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑡 + 𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 sin(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑡 + 𝑥𝑥°) А
Топографическая диаграмма
Im
UL
U
e
Re
9
Задача x
R
A
C
L
V
Напряжение на входе: U = x В (действующее значение), частота f = xxx Гц.
R = xxxx Ом; L = x,x Гн; С = x,x мкФ.
Показания приборов
Модуль импеданса цепи
𝑍 = √𝑅 𝑥 + (𝜔𝐿 −
𝑥
𝑥 𝑥
𝑥
) = √𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥 + (𝑥𝑥𝑥𝑥 ∙ 𝑥, 𝑥 −
)
= 𝑥𝑥𝑥𝑥 Ом
𝜔𝐶
𝑥𝑥𝑥𝑥 ∙ 𝑥, 𝑥 ∙ 𝑥𝑥 −𝑥
Действующее значение тока (показания амперметра):
𝐼=
𝑈
𝑥
=
= 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 А
𝑍 𝑥𝑥𝑥𝑥
Действующее значение напряжения (показания вольтметра):
𝑉 = 𝑈 − 𝐼 ∙ 𝑅 = 𝑥 − 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 ∙ 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥 В
Активная потребляемая мощность
𝑃 = 𝐼 𝑥 ∙ 𝑅 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥 ∙ 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 Вт
10
Тема x. Резонанс
Задача x
Последовательный колебательный контур имеет параметры:
R = xxx Ом; L = xx мГн; С = x,xx мкФ.
Резонансная частота
Резонансная частота в контуре с потерями равна
𝜔Р = √𝜔𝑥𝑥 − 𝛿 𝑥
Здесь
𝜔𝑥 =
𝛿=
𝑥
√𝐿𝐶
𝑅
𝑥𝐿
Получаем:
𝜔𝑥 =
𝑥
√𝑥𝑥 ∙
𝛿=
𝑥𝑥 −𝑥
∙ 𝑥, 𝑥𝑥 ∙
𝑥𝑥 −𝑥
= 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥
рад
с
𝑥𝑥𝑥
рад
= 𝑥𝑥𝑥𝑥
−𝑥
𝑥 ∙ 𝑥𝑥 ∙ 𝑥𝑥
с
𝜔Р = √𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥 = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑓Р =
рад
с
𝜔Р
= 𝑥𝑥𝑥𝑥 Гц
𝑥𝜋
Добротность
𝑄=
𝜔𝑥 𝐿 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 ∙ 𝑥𝑥 ∙ 𝑥𝑥 −𝑥
=
= 𝑥, 𝑥𝑥
𝑅
𝑥𝑥𝑥
Полоса пропускания:
∆𝜔 =
𝜔𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥
рад
=
= 𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑄
𝑥, 𝑥𝑥
с
∆𝑓 =
∆𝜔
= 𝑥𝑥𝑥𝑥 Гц
𝑥𝜋
Частоты, при которых напряжения на конденсаторе и катушке
индуктивности максимальны
11
Запишем выражения для напряжений на конденсаторе UC и катушке UL при подаче на контур
напряжения U:
𝑈𝐶 = 𝑈
𝑍𝐶
𝑥
=𝑈
𝑅
𝑍𝐿
𝑅 + 𝑍𝐶 + 𝑍𝐿
𝑍𝐶 + 𝑥 + 𝑍𝐶
𝑈𝐿 = 𝑈
𝑍𝐿
𝑥
=𝑈
𝑅
𝑍
𝑅 + 𝑍𝐶 + 𝑍𝐿
+𝑥+ 𝐶
𝑍𝐿
𝑍𝐿
То есть искомые напряжения максимальны, когда минимальны модули знаменателей в
выражениях для UC и UL:
|
|
𝑅
𝑍𝐿
+ 𝑥 + | = √𝑥 − 𝑥𝜔 𝑥 𝐿𝐶 + 𝜔 𝑥 𝐿𝑥 𝐶 𝑥 + 𝜔 𝑥 𝑅 𝑥 𝐶 𝑥
𝑍𝐶
𝑍𝐶
𝑅
𝑍𝐶
𝑥
+ 𝑥 + | = √𝑥 − 𝑥𝜔 𝑥 𝐿𝐶 + 𝜔 𝑥 𝐿𝑥 𝐶 𝑥 + 𝜔 𝑥 𝑅𝑥 𝐶 𝑥
𝑍𝐿
𝑍𝐿
√𝜔 𝑥 𝐿𝑥 𝐶 𝑥
Будем искать нужные частоты, приравняв производные по частоте нулю.
Для напряжения на конденсаторе:
𝑑(−𝑥𝜔 𝑥 𝐿𝐶 + 𝜔 𝑥 𝐿𝑥 𝐶 𝑥 + 𝜔 𝑥 𝑅 𝑥 𝐶 𝑥 )
=𝑥
𝑑𝜔
или
−𝑥𝜔𝐿𝐶 + 𝑥𝜔 𝑥 𝐿𝑥 𝐶 𝑥 + 𝜔𝑅 𝑥 𝐶 𝑥 = 𝑥
Запишем это уравнение через x и :
−𝑥
𝜔
𝜔𝑥
𝜔
𝑥
+
𝑥
=𝑥
𝑥
𝑥 + 𝑥𝛿
𝜔𝑥
𝜔𝑥
𝜔𝑥𝑥
или
−𝑥 +
𝜔𝑥
𝛿𝑥
+
𝑥
=𝑥
𝜔𝑥𝑥
𝜔𝑥𝑥
Решение:
𝜔𝐶𝑚𝑎𝑥 = √𝜔𝑥𝑥 − 𝑥𝛿 𝑥 = √𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥 − 𝑥 ∙ 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥 = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑓С𝑚𝑎𝑥 =
рад
< 𝜔Р
с
𝜔𝑚𝑎𝑥
= 𝑥𝑥𝑥𝑥 Гц
𝑥𝜋
Для напряжения на катушке:
𝑑
(𝑥 − 𝑥𝜔 𝑥 𝐿𝐶 + 𝜔 𝑥 𝐿𝑥 𝐶 𝑥 + 𝜔 𝑥 𝑅 𝑥 𝐶 𝑥 )⁄
𝜔 𝑥 𝐿𝐶 = 𝑥
𝑑𝜔
12
или
−
𝑥(−𝑥𝜔 𝑥 𝐿𝐶 + 𝑥 + 𝜔 𝑥 𝑅 𝑥 𝐶 𝑥 )
=𝑥
𝜔 𝑥 𝐿𝑥 𝐶 𝑥
Приравняем нулю числитель и запишем через x и :
−𝑥 +
𝜔𝑥
𝛿 𝑥 𝜔𝑥
−
𝑥
=𝑥
𝜔𝑥𝑥
𝜔𝑥𝑥
Решение:
𝜔𝐿𝑚𝑎𝑥 =
𝜔𝑥𝑥
√𝜔𝑥𝑥 − 𝑥𝛿 𝑥
=
𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥
√𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥
𝑓𝐿𝑚𝑎𝑥 =
−𝑥∙
𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥
𝜔𝐿𝑚𝑎𝑥
= 𝑥𝑥𝑥𝑥 Гц
𝑥𝜋
= 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥
рад
> 𝜔Р
с
13
Задача x
R = xxx Ом; L = x мГн; С = x нФ.
Определение резонансных частот
Первая схема резонансной цепи
L
C
R
Резонансную частоту определяем из условия равенства нулю мнимой части входного импеданса.
Входной импеданс в первой схеме равен
𝑍= 𝑥
𝑗𝜔𝐿 +
𝑥
𝑥
𝑗
𝑅 − 𝜔𝐶
𝜔 𝑥 𝐿𝑥 𝐶 𝑥 𝑅 + 𝑗(𝜔𝐿 − 𝜔 𝑥 𝐿𝑥 𝐶 + 𝜔 𝑥 𝐿𝑅 𝑥 𝐶 𝑥 )
=
𝑥 − 𝑥𝜔 𝑥 𝐿𝐶 + 𝜔 𝑥 𝐿𝑥 𝐶 𝑥 + 𝜔 𝑥 𝑅 𝑥 𝐶 𝑥
Уравнение для резонансной частоты:
𝜔𝐿 − 𝜔 𝑥 𝐿𝑥 𝐶 + 𝜔 𝑥 𝐿𝑅 𝑥 𝐶 𝑥 = 𝑥
Решение:
𝜔Р𝑥 =
𝑥
√𝐿𝐶 − 𝑅 𝑥 𝐶 𝑥
=
𝜔𝑥𝑥
√𝜔𝑥𝑥 − 𝑥𝛿 𝑥
Здесь
𝜔𝑥 =
𝑥
√𝐿𝐶
=
𝛿=
𝑥
√𝑥 ∙ 𝑥𝑥 −𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥𝑥 −𝑥
= 𝑥, 𝑥𝑥 ∙ 𝑥𝑥 𝑥
рад
с
𝑅
𝑥𝑥𝑥
рад
=
= 𝑥 ∙ 𝑥𝑥 𝑥
−𝑥
𝑥𝐿 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥𝑥
с
Подставим значения:
𝜔Р𝑥 =
(𝑥, 𝑥𝑥 ∙ 𝑥𝑥 𝑥 )𝑥
√(𝑥, 𝑥𝑥 ∙
𝑥𝑥 𝑥 )𝑥
𝑓Р𝑥 =
Вторая схема резонансной цепи
− 𝑥 ∙ (𝑥 ∙
𝑥𝑥 𝑥 )𝑥
= 𝑥, 𝑥𝑥 ∙ 𝑥𝑥 𝑥
𝜔Р𝑥
= 𝑥𝑥, 𝑥 кГц
𝑥𝜋
рад
с
14
L
C
R
Входной импеданс во второй схеме равен
𝑍=
𝑥
𝑥
𝑗𝜔С + 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿
𝑅 + 𝑗(𝜔𝐿 − 𝜔 𝑥 𝐿𝑥 𝐶 − 𝜔 𝑥 𝐿𝑅 𝑥 𝐶 𝑥 )
=
𝑥 − 𝑥𝜔 𝑥 𝐿𝐶 + 𝜔 𝑥 𝐿𝑥 𝐶 𝑥 + 𝜔 𝑥 𝑅 𝑥 𝐶 𝑥
Уравнение для резонансной частоты:
𝜔𝐿 − 𝜔 𝑥 𝐿𝑥 𝐶 + 𝜔𝐶𝑅 𝑥 = 𝑥
Решение:
𝜔Р𝑥 =
√𝐿𝐶 − 𝑅 𝑥 𝐶 𝑥
= √𝜔𝑥𝑥 − 𝑥𝛿 𝑥
𝐿𝐶
Подставим значения:
𝜔Р𝑥 = √(𝑥, 𝑥𝑥 ∙ 𝑥𝑥 𝑥 )𝑥 − 𝑥 ∙ (𝑥 ∙ 𝑥𝑥 𝑥 )𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥 ∙ 𝑥𝑥 𝑥
𝑓Р𝑥 =
𝜔Р𝑥
= 𝑥𝑥, 𝑥 кГц
𝑥𝜋
Резонансная частота перестраивается в полтора раза.
рад
с
15
Тема x. Цепи с взаимной индуктивностью
Задача x
Две индуктивно связанные катушки включены последовательно друг с другом и с конденсатором.
Lx = xx мГн; Lx = xx мГн; С = x,x мкФ. Резонансная частота  = xxxxx рад/с.
Определим коэффициент связи и способ включения (согласно или встречно) катушек для
заданной резонансной частоты.
Резонансную частоту определяем из условия равенства нулю мнимой части входного импеданса.
Импеданс вычислим как отношение приложенного к цепи напряжения U к току в цепи I.
Согласное включение катушек
Уравнение цепи:
𝑈 = 𝑈𝐿𝑥 + 𝑈𝐿𝑥 + 𝑈𝐶
Здесь
𝑈𝐿𝑥 = (𝑗𝜔𝐿𝑥 + 𝑗𝜔𝑀)𝐼
𝑈𝐿𝑥 = (𝑗𝜔𝐿𝑥 + 𝑗𝜔𝑀)𝐼
𝑈𝐶 = −
𝑗
𝐼
𝜔𝐶
Тогда
𝑈 = [𝑗𝜔𝐿𝑥 + 𝑗𝜔𝑀 + 𝑗𝜔𝐿𝑥 + 𝑗𝜔𝑀 −
𝑗
]𝐼
𝜔𝐶
Импеданс равен
𝑍=
𝑈
𝑗
= 𝑗𝜔𝐿𝑥 + 𝑗𝜔𝑀 + 𝑗𝜔𝐿𝑥 + 𝑗𝜔𝑀 −
𝐼
𝜔𝐶
Тогда уравнение резонанса выглядит так:
𝜔(𝐿𝑥 + 𝐿𝑥 + 𝑥𝑀) −
𝑥
=𝑥
𝜔𝐶
или
𝜔 𝑥 (𝐿𝑥 + 𝐿𝑥 + 𝑥𝑀)𝐶 = 𝑥
Находим взаимную индуктивность M:
𝑥 𝑥
𝑥
𝑥
𝑀 = ( 𝑥 − 𝐿𝑥 − 𝐿𝑥) = (
− 𝑥𝑥 −𝑥 − 𝑥𝑥 −𝑥 ) = −𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 Гн
𝑥
𝑥 𝜔 𝐶
𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥𝑥 −𝑥
Взаимная индуктивность отрицательна, то есть согласное включение не подходит.
16
Встречное включение катушек
Уравнение цепи:
𝑈 = [𝑗𝜔𝐿𝑥 − 𝑗𝜔𝑀 + 𝑗𝜔𝐿𝑥 − 𝑗𝜔𝑀 −
𝑗
]𝐼
𝜔𝐶
Импеданс равен
𝑍=
𝑈
𝑗
= 𝑗𝜔𝐿𝑥 − 𝑗𝜔𝑀 + 𝑗𝜔𝐿𝑥 − 𝑗𝜔𝑀 −
𝐼
𝜔𝐶
Уравнение резонанса:
𝜔(𝐿𝑥 + 𝐿𝑥 − 𝑥𝑀) −
𝑥
=𝑥
𝜔𝐶
или
𝜔 𝑥 (𝐿𝑥 + 𝐿𝑥 − 𝑥𝑀)𝐶 = 𝑥
Находим взаимную индуктивность M:
𝑀=
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
(− 𝑥 + 𝐿𝑥 + 𝐿𝑥) = (−
+ 𝑥𝑥 −𝑥 + 𝑥𝑥 −𝑥 ) = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 Гн = 𝑥, 𝑥𝑥 мГн
𝑥
𝑥
𝜔 𝐶
𝑥
𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥𝑥 −𝑥
Таким образом, нужно использовать встречное включение катушек.
Определим коэффициент связи k:
𝑘=
𝑀
√𝐿𝑥 ∙ 𝐿𝑥
=
𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥
√𝑥𝑥 −𝑥 ∙ 𝑥𝑥 −𝑥
= 𝑥, 𝑥𝑥𝑥
17
Задача x
I
R
M
U
I1
I2
L1
L2
Lx = xx мГн; Lx = xx мГн; R = xx Ом; k = x,x. Входное напряжение U = xx В (действующее значение),
частота  = xxxx рад/с.
Определим токи в цепи для согласного включения
Уравнения цепи:
𝑈 = 𝑈𝐿 + 𝑈𝑅
𝐼 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑥
Здесь
𝑈𝐿 = (𝑗𝜔𝐿𝑥 + 𝑗𝜔𝑀) ∙ 𝐼𝑥 = (𝑗𝜔𝐿𝑥 + 𝑗𝜔𝑀) ∙ 𝐼𝑥
𝑈𝑅 = 𝑅 ∙ 𝐼
Получаем x уравнения:
𝑈 = (𝑗𝜔𝐿𝑥 + 𝑗𝜔𝑀) ∙ 𝐼𝑥 + 𝑅 ∙ 𝐼
𝐼 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑥
(𝑗𝜔𝐿𝑥 + 𝑗𝜔𝑀) ∙ 𝐼𝑥 = (𝑗𝜔𝐿𝑥 + 𝑗𝜔𝑀) ∙ 𝐼𝑥
Подставим значения:
𝑀 = 𝑘√𝐿𝑥 ∙ 𝐿𝑥 = 𝑥, 𝑥√𝑥 ∙ 𝑥𝑥 −𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥𝑥 −𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 Гн = 𝑥𝑥 мГн
Тогда уравнения запишутся как
𝑗𝑥𝑥, 𝑥 ∙ 𝐼𝑥 = 𝑗𝑥𝑥, 𝑥 ∙ 𝐼𝑥
𝐼 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑥
𝑥𝑥 = 𝑗𝑥𝑥, 𝑥 ∙ 𝐼𝑥 + 𝑥𝑥 ∙ 𝐼
Решением этой системы из трех уравнений является
I0.7170874487 0.9591457076 j, I10.3133836014 0.4191685918 j,
I20.4037038473 0.5399771157 j
I = x,xxx  j·x,xxx А; I x= x,xxx  j·x,xxx А; Ix = x,xxx  j·x,xxx А.
Действующее значение тока в неразветвленной части цепи:
𝐼 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 − 𝑗𝑥, 𝑥𝑥𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑒 −𝑗𝑥,𝑥𝑥 А
То есть действующее значение тока равно x,xx А.
18
Определим токи в цепи для встречного включения
Теперь
𝑈𝐿 = (𝑗𝜔𝐿𝑥 − 𝑗𝜔𝑀) ∙ 𝐼𝑥 = (𝑗𝜔𝐿𝑥 − 𝑗𝜔𝑀) ∙ 𝐼𝑥
Наши x уравнения принимают вид:
𝑗𝑥𝑥, 𝑥 ∙ 𝐼𝑥 = 𝑗𝑥𝑥, 𝑥 ∙ 𝐼𝑥
𝐼 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑥
𝑥𝑥 = 𝑗𝑥𝑥, 𝑥 ∙ 𝐼𝑥 + 𝑥𝑥 ∙ 𝐼
Решением этой системы из трех уравнений является
I = x,xxx  j·x,xxx А; I x= x,xxx  j·x,xxx А; Ix = x,xxx  j·x,xxx А.
Действующее значение тока в неразветвленной части цепи:
𝐼 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥 − 𝑗𝑥, 𝑥𝑥𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑥𝑥𝑒 −𝑗𝑥,𝑥𝑥 А
То есть действующее значение тока равно x,xx А.