Симплекс

Основная задача
линейного
программирования
Симплекс-метод
Симплекс-таблица





Теперь мы в состоянии сформулировать алгоритм симплексметода для решения задач линейного программирования,
заданных в канонической форме. Обычно он реализуется в
виде так называемой симплекс-таблицы.
В первом столбце этой таблицы располагаются обозначения
переменных, входящих в базис.
Второй
столбец
коэффициенты
целевой
функции,
соответствующие переменным, входящим в базис.
Третий столбец - компоненты опорного плана.
В дополнительной строке в этом столбце пишется величина
Её легко вычислить перемножая числа из второго столбца и
третьего столбца и складывая их.
Симплекс-таблица



Далее идут столбцы, соответствующие всем переменным, и в
этих столбцах записываются координаты этих переменных в
рассматриваемом базисе. Заметим, что для базисных
переменных эти координаты имеют вид (0,0, ... ,0,1,0, ..., 0), где
единица стоит в той строке, где находится этота базисная
переменная.
В дополнительной строке сверху обычно выписывают
коэффициенты , соответствующие этим переменным в целевой
функции.
В дополнительной строке снизу пишутся величины ,
вычисляемые по формулам:
Симплекс-таблица


Заметим, что для векторов, входящих в
базис, эти разности всегда равны нулю.
Далее идут следующие этапы, связанные с
преобразованием этой таблицы. При ручном
счете каждый раз эту таблицу лучше
переписывать заново, при счете на ЭВМ
(который, естественно, всегда используется
при решении практических, а не учебных
задач), эта таблица просто преобразуется в
памяти ЭВМ.
Этап 1

Просматривается дополнительная
строка снизу, где записаны разности.
Если все эти разности меньше, либо
равны нулю, то план является
оптимальным
Этап 2


Если есть столбцы, где в нижней строке есть
величина больше нуля, то выбирается столбец с
максимальным значением этой величины. Индекс j
определит вектор, вводимый в базис.
Пусть max(zj-cj)=zl-cl, то есть в базис надо вводить
переменную xl. Назовем столбец, соответствующий
этой переменной, направляющим столбцом. В
дальнейшем мы будем направляющий столбец
помечать символом ⇒.
Этап 3


Просматривается направляющий столбец. Если все
ail<0, то значения целевой функции неограничены
снизу. Если есть ail>0, то находится min(i)(xi/ail), где
просматриваются лишь те дроби, для которых ail>0.
Пусть этот минимум достигается для akl. Тогда
именно переменная xk подлежит выводу из базиса.
Строка,
соответствующая
этой
переменной,
называется направляющей строкой. В дальнейшем
в примерах мы будем помечать ее символом ⇑.
Этап 4


После того, как определены направляющие столбец
и строка, начинает заполняться новая симплекстаблица, в которой на месте направляющей строки
будет стоять переменная xl. Обычно заполнение этой
новой таблицы начинается именно с направляющей
строки. В качестве компоненты опорного плана туда
пишется величина xk/akl.
Остальные элементы этой строки заполняются
величинами a’lj=akj/akl.
Этап 4


Обратите внимание на особую роль элемента akl, стоящего на
пересечении направляющей строки и направляющего столбца.
Именно на него делятся все бывшие элементы направляющей
строки. На месте бывшего элемента автоматически появляется
единица.
Написанные выше формулы для пересчета элементов
направляющей строки можно записать следующим правилом:
akl
Этап 5

Далее начинается пересчет всех остальных строк
таблицы, включая и дополнительную нижнюю строку
для компонент плана; для координат разложения по
базису; для дополнительной строки по следующему
правилу

Далее итерации продолжаются.
Пример

Решить задачу линейного
программирования
Исходная симплекс-таблица
Базис
⇒
сi
План
0
1
-3
0
2
0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x1
0
7
1
3
-1
0
2
0
x4
0
12
0
-2
4
1
0
0
x6
0
10
0
-4
3
0
8
1
0
0
-1
3
0
-2
0
⇑
Пример


Обратите внимание на то, что из-за
специфического вида системы ограничений в
столбец "план" просто переписался вектор
свободных членов системы ограничений.
Ну, а величины z0 и zj-cj приходится считать:
Первая итерация




Просматривая дополнительную строку мы видим, что в ней
всего
один
положительный
элемент
в
столбце,
соответствующем
переменной
x3.
Следовательно,
эту
переменную надо вводить в базис и этот столбец и будет
направляющим столбцом.
В этом направляющем столбце есть два положительных числа 4 и 3. Поэтому нужно рассмотреть два частных 12/4 и 10/3 и
выбрать из них наименьшее. Так как min ((12/4), (10/3))=3 и он
достигается на a43=4 , то этот вектор подлежит выводу из базиса
и соответствующая ему строка и будет направляющей строкой.
Заполним теперь новую симплекс-таблицу, следуя
сформулированным выше правилам.
Начинается заполнение, естественно, со второй строки (так как
она была направляющей), а затем пересчитываются все
остальные строки.
Полученная симплекс-таблица
Базис
⇒
сi
План
0
1
-3
0
2
0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x1
0
10
1
5/2
0
1/4
2
0
x3
-3
3
0
-1/2
1
1/4
0
0
x6
0
1
0
-5/2
0
-3/4
8
1
-9
0
1/2
0
-3/4
-2
0
⇑
Вторая итерация


Просматривая дополнительную строку мы вновь
видим в ней всего один положительный элемент это
1/2, стоящая в столбце x2. Следовательно, этот
вектор надо ввести в базис и этот столбец будет
направляющим.
В столбце, соответствующем x2, всего один
положительный элемент это 5/2в первой строке.
Поэтому первая строка будет направляющей и
переменная x1 должна быть выведена из базиса.
Новая симплекс-таблица
Базис
сi
План
0
1
-3
0
2
0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x2
1
4
2/5
1
0
1/10
4/5
0
x3
-3
5
1/5
0
1
3/10
2/5
0
x6
0
11
1
0
0
-1/2
10
1
-11
-1/5
0
0
-4/5
-12/5
0