Сборник задач по электромагнетизму. авторы Аквилева О.В

Электричество
Основными законами электростатики, которые отрабатываются в процессе решения задач, являются закон Кулона взаимодействия точечных зарядов,
теорема Остроградского-Гауса и закон сохранения электрического заряда.
1. Закон Кулона и закон сохранения электрического заряда

По закону Кулона, сила взаимодействия F двух точечных зарядов q1 и
q2, находящихся в вакууме, прямо пропорциональна произведению зарядов и
обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, а также зависит от
электрических свойств среды.
Если заряды находятся в среде с диэлектрической проницаемостью ε
(ε>1), то сила взаимодействия между ними:


(1.1)
q1q2 r
,
F k
2
r r

где F – кулоновская сила, k – коэффициент пропорциональности.
k
1
4 0
 9 109
H  м2
Кл2
ε0 – диэлектрическая проницаемость в вакууме, (ε0 = 8,85∙10-12 Кл2/Н∙м);
ε – диэлектрическая проницаемость среды (ε >1),
r – расстояние между зарядами.
Кулоновские силы направлены по линии, соединяющей взаимодействующие заряды навстречу друг другу (разноименные заряды притягиваются) или
в противоположные стороны (одноименные отталкиваются).
Согласно закону сохранения электрического заряда в изолированной системе электрический заряд не изменяется, он может только перераспределяться,
переходя от одних тел к другим при их соприкосновении, т.е. сумма электрических зарядов остается постоянной.
N
q
i
i 1
4
 const
Примеры решения задач
Задача 1. Два точечных заряда, находясь в воздухе (ε = 1) на расстоянии
r1=20 см друг от друга, взаимодействуют с некоторой силой. На каком расстоянии r2 нужно поместить эти заряды в масле, чтобы получить ту же силу взаимодействия?
Дано:
r1=20 см
ε=1
r2 -?
Решение:
Согласно закону Кулона два точечных заряда в воздухе
q1 q 2
взаимодействуют с силой F1 
(1),
4 0  1 r12
а в масле – с такой же силой F2  F1 
q1 q 2
4 0  2 r22
(2).
Приравняв правые части уравнений (1) и (2), найдем r2  r1
1
. Расстоя2
ние не зависит ни от величины, ни от знака заряда. Диэлектрическая проницаемость воздуха ε1 = 1, а масла ε2 = 5. Подставив числовые значения, получим r2
= 8,94 см.
Ответ: r2 = 8,94 см.
Задача 2. Два шарика одинакового радиуса и массы подвешены на нитях
одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются. Какой заряд нужно
сообщить шарикам, чтобы сила натяжения нитей стала равной Т=98 мН? Расстояние от центра шарика до точки подвеса l = 10 см; масса каждого шарика m
= 5 г.
Дано:
Решение:
Y
Т=98 мН
После сообщения шарикам заряда q
l = 10 см
каждый из них отклонится от верти 

Т
m=5г
кали на угол α и остановится,
q-?
удерживаясь кулоновскими

Х
F

силами отталкивания.
mg
Поскольку условия равновесия для обоих
шаров одинаковы, рассмотрим один из них. По закону сохранения заряда, заряд q распределится на два шарика равномерно. Тогда каждый шарик получит
5

заряд q0= q / 2. На шарик действуют три силы: сила Кулона F , сила натяжения


нити T и сила тяжести mg .



Условие равновесия шарика F + T + mg =0
(II–й закон
Ньютона).
В проекции на оси:
ось х: F-T sinα = 0 (1),
ось у: T cosα –mg=0 (2).
Расстояние между шариками равно 2l sinα. Кулоновская сила определя-
q 02
ется формулой F 
(3). Выразим величину sinα. Из (2) следует
4 0 4l 2 sin 2 
2
mg
cos  
или
T
 mg 
 mg 
1  sin   
 , отсюда sinα= 1  

 T 
 T 
2
2
(4). Из (1) найдем
F = T sinα (5). Приравняв правые части уравнений (5) и (3) и разделив полуq02
ченное выражение на sinα, получим T 
. Подставив это выраже4 0 4l 2 sin 3 
ние в уравнение (4), выразим:
3

 mg  2 
7

q0  4l T 1  
   5,32 10 Кл.


T

 

Тогда заряд, сообщенный обоим шарикам, q = 2q0  1,1  10 6 Кл.
Ответ: q  1,1  10 6 Кл.
Задача 3. Найти силу, действующую на точечный заряд q1 = 5·10-7 Кл,
расположенный в центре полукольца радиуса r = 5 см, со стороны этого полукольца, по которому равномерно распределен заряд q2 = 3·10-7 Кл.
Дано
q1 = 5·10-7 Кл
q2 = 3·10-7 Кл
r = 5 см
F-?
Решение
1. Сделаем пояснительный чертеж
Y
d

r
q1

q2
6

dF
X
1. Искомую силу можно рассматривать как геометрическую сумму сил,
действующих со стороны заряда dq, расположенного на отрезке dl полукольца.



2
2
F   dF (1), где dF  dFx   dFy 
q2
 dl (2).
r
2. Так как заряд dq сосредоточен на элементарной длине полукольца dl ,
его можно считать точечным и взаимодействие заряда dq и q1 описывать закоdq 
ном Кулона.


1 q1  dq r
(3).
dF 
4 0 r 2 r
3. Найдем составляющие силы взаимодействия зарядов вдоль оси х и у.
Fx 

по полукольцу
dFx  
1 q1dq
1 q1q2
1 q1q2
sin


sin


d


sin   r  d 

4 0 r 2
4 0 r 2r
4 2 0 r 3 
1 q1q2 
qq

sin   d  21 2 2
2 
4 0 r 0
4  0 r
Аналогично,
Fy   dFy 
q1q2 
cos  d  0
4 2 0 r 2 0
1
4. Результирующая сила будет направлена по оси х.
F  Fx 
q1 q 2
4 2 0 r 2
1
1
5 10 7  3 10 7
F

 1,14 10 3 ( H )
2
12
4
4  3,14  8,85 10
25 10
Ответ: F  1,14 10 3 ( H ).
Задачи для самостоятельного решения
1.1. Два шарика одинакового радиуса и веса подвешены на нитях так,
что их поверхности соприкасаются. После сообщения шарикам заряда
q = 4∙10-7 Кл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на угол 600. Найти
вес шариков, если расстояние от точки подвеса до центра шарика равно 20 см.
7
1.2. Два шарика одинакового радиуса и веса подвешены на нитях так,
что их поверхности соприкасаются. Какой заряд нужно сообщить шарикам,
чтобы натяжение нити стало равным 0,098 Н? Расстояние от точки подвеса до
центра шарика равно 10 см. Вес каждого шарика равен 5∙10-3 кг.
1.3. Два точечных заряда, находясь в воздухе на расстоянии 20 см друг
от друга, взаимодействуют с некоторой силой. Какова эта сила, если в масле
для взаимодействия с такой же силой их надо поместить на 9 см друг от друга?
1.4. Построить график зависимости силы взаимодействия между двумя
точечными зарядами от расстояния между ними в интервале от 2 до 10 см через
каждые 2 см. Заряды равны соответственно 2∙10-8 Кл и 3∙10-8 Кл.
1.5. Два одинаковых по модулю и знаку точечных заряда, расположенных на расстоянии 3,0 м друг от друга в вакууме, отталкиваются с силой 0,4 Н.
Определить каждый заряд.
1.6. Найдите силу взаимодействия двух точечных электрических зарядов 1 нКл и 4 нКл в пустоте и керосине, если расстояние между ними 2 см.
1.7. Маленький шарик массой 2 г, подвешенный на тонкой шелковой
нити, несет на себе заряд 3·10-7 Кл. На какое расстояние снизу к нему следует
поднести другой маленький шарик с зарядом 5·10-7 Кл, чтобы натяжение нити
уменьшилось в 2 раза?
1.8. Два разноименных заряда 2·10-4 Кл и -8·10-4 Кл расположены на
расстоянии 1 м друг от друга. Какой величины и где надо поместить заряд q,
чтобы система зарядов находилась в равновесии?
1.9. Одинаковые металлические шарики, заряженные одноименно зарядами q и 4q, находятся на расстоянии х друг от друга. Шарики привели в соприкосновение. На какое расстояние их нужно раздвинуть, чтобы сила взаимодействия осталась прежней?
1.10. Два шарика весом 50 мН каждый подвешены на тонких шелковых
нитях длиной 5 м так, что они соприкасаются друг с другом. Шарикам сообщают одноименные заряды 80 нКл. Определить расстояние между центрами шариков, на которое они разойдутся после зарядки.
1.11. Два одинаковых шарика массой 20 мг каждый подвешены на нитях
длиной 0,2 м, закрепленных в одной точке подвеса. Один из шариков отвели в
сторону и сообщили ему заряд. После соприкосновения с другим шариком они
разошлись так, что нити образовали угол 600. Определить величину заряда, сообщенного первому шарику.
8
1.12. Два маленьких одноименно заряженных шарика радиусом 1 см
подвешены на двух нитях длиной 1 м. Заряды шариков 4·10-6 Кл. Нити, на которых подвешены шарики, составляют угол 900. Определить массу шариков.
1.13. Два маленьких одноименно заряженных шарика радиусом 1 см
подвешены на двух нитях длиной 1 м. Заряды шариков 4·10-6 Кл. Нити, на которых подвешены шарики, составляют угол 900. Определить диэлектрическую
проницаемость диэлектрика, если его плотность 0,8∙10 3 кг/м3 при условии, что
при погружении шарика в жидкий однородный диэлектрик угол между
нитями будет 600.
1.14. Два маленьких одинаковых металлических шарика с зарядами
2 мкКл и – 4 мкКл находятся на расстоянии 30 см друг от друга. На сколько изменится сила их взаимодействия, если шарики привести в соприкосновение и
вновь развести на прежнее расстояние?
1.15. Два маленьких одинаковых по размеру шарика, находясь на расстоянии 0,2 м, притягиваются с силой 4·10-3 Н. После того, как шарики были приведены в соприкосновение и затем вновь разведены на прежнее расстояние, они
стали отталкиваться с силой 2,25·10-3 Н. Определить первоначальные заряды
шариков.
1.16. Два одинаковых шарика массой 0,09 г каждый заряжены одинаковыми зарядами, соединены нитью и подвешены к потолку (рис.1). Какой заряд
должен иметь каждый шарик, чтобы натяжение нитей было одинаковым? Расстояние между центрами шариков 0,3 м.
q3
b
a
R
q2
r
q1
c
q1
q2
Рис.1
Рис.2
Рис.3
1.17. Шарик массой 4 г, несущий заряд q1 = 278 нКл, подвешен на нити.
При приближении к нему заряда q2 противоположного знака (рис.2) нить отклонилась на угол 450 от вертикального направления. Найти модуль заряда q2,
если расстояние r = 6 см.
9
1.18. Два одноименных заряда 0,7 нКл и 1,3 нКл находятся на расстоянии
6см друг от друга. На каком расстоянии между ними нужно поместить третий
заряд, чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд, была равна
нулю?
1.19. Два точечных заряда величиной 1,1 нКл находятся на расстоянии
17 см. С какой силой и в каком направлении они действуют на единичный положительный заряд, находящийся на расстоянии 17 см от каждого из них?
1.20. В центре квадрата расположен положительный заряд 250 нКл. Какой
отрицательный заряд надо поместить в каждой вершине квадрата, чтобы система зарядов находилась в равновесии?
1.21. Сила электрического взаимодействия (притяжения между ядром и
электроном) в атоме водорода 9,2·10-8 Н. Диаметр атома принять равным 10-8 см. На
основании этих данных определить заряд ядра.
1.22. Два точечных электрических заряда, из которых один в 4 раза
меньше другого, находятся в воздухе на расстоянии 30 см один от другого. Где
между ними следует поместить третий одноименный по знаку заряд, чтобы он
оставался в равновесии? Будет ли оно устойчивым?
1.23. В атоме водорода электрон движется по стационарной круговой орбите с угловой скоростью 1016 с-1. Определить радиус орбиты.
1.24. Одноименные заряды q1 = 0,2 мКл, q2 = 0,5 мКл и q3 = 0,4 мКл расположены в вершинах треугольника со сторонами а = 4 см, б = 5 см, с = 7 см
(рис.3). Определить величину и направление силы, действующей на заряд q3?
1.25. В вершинах шестиугольника помещены одинаковые положительные
заряды 10 нКл. Какой отрицательный заряд надо поместить в центре шестиугольника, чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд, была
равна нулю?
1.26. Проводящий шарик с зарядом 1,8·10-8 Кл привели в соприкосновение с двумя такими же шариками, один из которых имел заряд
- 0,3·10-8 Кл, а другой был не заряжен. Как распределятся заряды между шариками? С какой силой будут взаимодействовать два из них на расстоянии 5 см
друг от друга?
1.27. Докажите, что точечный заряд q и незаряженная заземленная стенка,
находящаяся на расстоянии а от заряда, взаимодействуют с силой такой же величины, как и два заряда +q и –q , находящиеся на расстоянии 2а друг от друга.
10
1.28. По теории Бора, электрон вращается вокруг ядра по круговой орбите
радиусом 0,53·10-10 м в атоме водорода. Определите скорость вращения электрона.
1.29.Два неподвижных положительных заряда по 1,6·10-19 Кл расположены на расстоянии d = 2·10-13 м друг от друга. Вдоль перпендикуляра, проходящего через середину отрезка, соединяющего эти заряды, движется электрон. В
какой точке этого перпендикуляра сила взаимодействия электрона и системы
неподвижных зарядов максимальна?
1.30. На шелковых нитях, образующих угол 600, подвешен шарик массой
10-3 кг. Снизу к нему подносят шарик с таким же зарядом, в результате чего сила натяжения нити уменьшается вдвое. Расстояние между шариками 10 -2 м.
Определить заряд каждого из шариков и силу натяжения нити в обоих случаях
(рис.4).

q
q
Рис.4
1.31. Как разделить заряд на проводящем шаре на три равные части?
1.32. Изменится ли частота колебаний заряженного эбонитового шарика,
подвешенного на шелковой нити, если снизу к нему поднести заряженный шарик противоположного знака?
1.33. Как изменится сила взаимодействия двух точечных зарядов, если
расстояние между ними уменьшили в 2 раза и поместили в среду с  = 5?
1.34. Сила взаимодействия двух точечных зарядов уменьшилась в 9 раз.
Что и как при этом могло измениться?
1.35. В ядре атома свинца 207 частиц. Вокруг ядра вращаются 82 электрона. Сколько протонов и нейтронов в ядре этого атома?
11
2. Напряженность электрического поля
Электрические заряды создают в пространстве вокруг себя электрическое
поле. На электрический заряд, помещенный в точку пространства, где есть
электрическое поле, действует сила.
Электрическое поле в каждой точке пространства характеризуется

напряженностью. Напряженностью электрического поля E в данной точке

называется отношение силы F , действующей на помещенный в эту точку точечный заряд q, к этому заряду:

 F
E .
(2.1)
q
Напряженность электрического поля – векторная величина, направление

которой совпадает с направлением силы F при q>0. Если известна напряженность электрического поля в данной точке, то согласно формуле (1) на помещенный в эту точку заряд q действует сила:


(2.2)
F  qE .
В диэлектриках электрическое поле характеризуется вектором электриче
ской индукции D , связанной с напряженностью электрического поля для изотропной среды соотношением:


D   0 E .
(2.3)

Напряженность электрического поля E , создаваемая в данной точке несколькими точечными зарядами, равна векторной сумме напряженностей, создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности (принцип суперпозиции):
  

(2.4)
E  E1  E2  ...  En .
Таким образом, если электростатическое поле создано конечным числом
электрических зарядов, то рассчитывать его напряженность следует, используя
закон Кулона и принцип суперпозиции.
В случае создания поля заряженными телами с постоянной линейной
плотностью (для нити), поверхностной плотностью (для цилиндрической, сферической или плоской поверхности) или объемной (для цилиндра, сферы или
плоскости) используют теорему Остроградского-Гаусса.
12
Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую
поверхность в εε0 раз меньше величины электрического заряда, находящегося
внутри этой поверхности.
 
N E   EdS , где NE – поток вектора напряженности


S
NE 
q
 0
.
(2.5)
Формулы для расчета напряженности и индукции электрических полей,
созданных зарядами, расположенными на телах разной геометрической формы,
приведены в таблице 1:
Таблица 1
Напряженность и индукция электрических полей созданных телами различных
конфигураций
Геометрическая
В
В
Кл
Кл
Евне,
Евнутри,
Dвне, 2
Dвнутри, 2
форма заряженм
м
м
м
ного тела
Точечный заряд
q
4r 2
Сфера
q
4r 2
q
4 0 r 2
q
4 0 r 2
_
_
0
0
q
4r 2
q
4 0 r 2
Сферический
конденсатор
0
0
Бесконечная
плоскость

2

2 0
_
_
Плоский конденсатор
0
0


 0
Бесконечный
цилиндр

2r

20 r
0
0
Бесконечная
нить

2r

20 r
_
_


20 r
2r
где ε – диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство вокруг заряда;
Цилиндрический
конденсатор
0
0
13
q
, S – площадь поверхности заS
σ – поверхностная плотность заряда:  
ряженного тела;
q
τ – линейная плотность заряда:   , l – длина заряженного тела.
l
Примеры решения задач
Задача 1. В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной
10 см находятся заряды 2∙10-5 Кл, 4∙10-5 Кл, -8∙10-5 Кл. Определить напряженУ
ность в точке А.
q2

Е1
Дано:
а = 0,1 м
q3=-8∙10-5 Кл
q2=4∙10-5 Кл
q1=2∙10-5 Кл
 =1
ЕА -?  А-?

Решение:
Е1 у
1. Сделаем пояснительный  
Е2 х Е1х
чертеж.
A
q3
Х

Е2

Е2 у
q1
a=r
2. Применим принцип суперпозиции полей.
Напряженность поля зарядов q1, q2, q3 в точке А равна векторной сумме
напряженностей полей, созданных в этой точке каждым зарядом в отдельности.
   
E  E1  E2  E3 . (1)
Напряженность поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r
от заряда, равна:
Е
q
r
.
4 0 r 2 r
(2)
3. Запишем Е А через компоненты Е х и Е у :
Е А = Е х + Е у . (3)
Е А  Е х2  Е у2
.
(4)
Проецируем (1) на оси х и у:
Е х = - Е1 cos   E 2 cos   E3
E y  E1 sin   E2 sin  .
14
(5)
Подставим (5) в(4). Напряженность результирующего поля в точке А будет равна:
E A  ( E1  E2 ) 2 sin 2   ( E1  E2 ) cos  E3  . (6)
2
Поскольку числовые значения векторов напряженностей неизвестны, их
нужно представить через заряды и расстояния. Напряженности полей зарядов
q1, q2, q3 в точке А равны:
q3
q1
q2
; Е2 
; Е3 
, так как  =1.
Е1 
2
2
4 0 r
4 0 r
4 0 (2r ) 2
Знак заряда учли, когда выполняли чертеж. Подставляя эти выражения в
формулу (6), будем иметь:
EA 
1
4 0 r 2
q  q1 q 2  q 
2
1
2
2
(q1  q 2 ) q3
4

q3
2
16
. (7)
4. Подставляя численное значение в формулы (9) и (10), найдем:
1
5 2
10
5 2



  12 10 10 В/м =
EA 
2

10

8

10

2
4

10
2
12
4  3,14  8,85  10  0,1
= 18∙103 В/м.
5. В каждой точке электростатическое поле характеризуется напряженностью Е , которая является его силовой характеристикой. Напряженность равна
геометрической сумме напряженностей слагаемых полей.
Ответ: Е А  18103 В/м.
Задача 2. На рисунке АА – заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотностью заряда   40 мкКл / м и В – одноименно заряженный шарик
с массой m  1 г и зарядом q  1 нКл . Какой угол  с плоскостью АА образует
нить, на которой висит шарик?
Дано:
Решение:
У
  40 мкКл / м
Заряженный шарик находится в
А
m 1 г
q  1 нКл
 -?
электрическом поле плоскости
АА. Напряженность поля


F

Т
A
Е
В
Х

mg
15

. На шарик действуют
2 0
три силы: электростатическая


сила F , сила натяжения нити Т

и сила тяжести mg .
 

Условие равновесия шарика F + Т + mg =0 или в проекциях на ось Х: F-
T sin  =0 (1), на ось У: T cos  -mg=0 (2). Электростатическая сила
F  Eq 
mg
q
(3). Из (2) найдем T 
. Подставляя это выражение в (1),
cos
2 0
получим F  mgtg
(4). Приравнивая правые части (3) и (4), найдем
q
q
; tg  0,23;   130 .
 mgtg , откуда tg 
2 0
2 0 mg
Ответ:   130 .
Задача 3. Заряд 15·10-9 Кл равномерно распределен по тонкому кольцу
радиусом R  0,2 м. Найти напряженность электрического поля в точке, находящейся на оси кольца на расстоянии 0,15 м от его центра.
Дано:
q  15 10 9 Кл
Решение:
1. Сделаем пояснительный чертеж.
R  0,2 м.
y
h = 0,15 м

dE

d E1

E- ?

dE1x

dE x

h
r
X
dq
R
dq
2. dq и dq - симметрично расположенные заряды, которые можно считать точечными. В этих условиях




1
dq r
dE 
 2  , a dE  dE .
4 0 r r
3. В проекциях на оси имеем
dE x  0 ,
dEy  dE cos , cos 
h
h
 2
.
r
h  R2
16
4. E   dE y 
l
5. E 
1
4 0

h
q
h
2
R
2

3
2 0
0,15 15 10 9

 dq 
4  3,14  8,85 10 12 0,15 2  0,2 2

3
hq
4 0 h  R
2
2

3
.
2
 1,3 10 3 В / м.
2
Ответ: E  1,3 10 3 В / м.
Задача 4. Три плоскопараллельные пластины, расположенные на малом
расстоянии друг от друга, равномерно заряжены с поверхностной плотностью
+3 · 10-8 Кл/м2, -5 · 10-8 Кл/м2, +8 · 10-8 Кл/м2. Найти напряженность поля в
точках, лежащих между пластинами, и с внешней стороны. Построить график
зависимости напряженности поля от расстояния, выбрав за начало отсчета положение первой пластины.
Дано:
 1  3 10 8 Кл / м 2
Решение:
Согласно принципу суперпозиции поле в любой
 2  5 10 8 Кл / м 2
точке будет создаваться всеми тремя заряженными
 3  8 108 Кл / м 2
пластинами.

E -?
 3 
E   Ei .
i 1
1. Сделаем пояснительный рисунок:
3
2
1
С
А
 
Е1 Е3
 
Е3 Е2
В

Е2

Е3
D

Е1

Е2
 
Е1 Е3
 
Е1 Е 2
Х
Для точки А: Е Ax   E1  E3  E 2 .
Для точки B:
Е Bx  E1  E3  E 2 .
Для точки C:
ЕCx  E1  E 2  E3 .
Для точки D:
Е Dx  E1  E3  E 2 .
17
2. Для вычисления надо знать зависимость напряженности электростатического поля от плотности заряда на плоскости. Воспользуемся теоремой
Остроградского-Гаусса.
Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность определяется зарядом внутри этой поверхности, деленным на произведение  0 .
 
1
Ф   EdS 
q.
 0
S
(1)
В качестве замкнутой поверхности выбираем цилиндр с площадью основания S и образующей, параллельной линиям напряженности поля (рис.5).


Е
S
S
Рис.5
Поток будет складываться из потока через боковую поверхность (ее линии напряженности не пронизывают) и через основания.
N E  N I  N II  N бок ,
N бок  0 , N I  N II   E  dS .
S
Из формулы (1) имеем
2 ES 
E
q
 0
, где q    S ,

.
2 0
Так как плоскости находятся в вакууме, то   1 и E 

.
2 0
3. Рассчитаем напряженность электрического поля в точках A,B,C,D.
E Ax 
1
 3 10 8  5 10 8  8 10 8   3,4 10 8 В / м ;
12
2  8,85 10
18
E Bx 
1
3 10 8  5 10 8  8 10 8   0 ;
12
2  8,85 10
E Cx 
1
3 10 8  5 10 8  8 10 8  5,6 10 3 В / м ;
12
2  8,85 10
E Dx 
1
3 10 8  5 10 8  8 10 8  3,4 10 3 В / м .
12
2  8,85 10




Е
2
1
3
ЕD
ЕВ
Х
-ЕС
-ЕА
Рис. 6
Поле заряженной плоскости является однородным. Напряженность поля в
каждой точке не зависит от расстояния. На каждой заряженной поверхности
вектор напряженности испытывает разрыв, величина скачка которого определяется отношением

(рис.6).
0
Ответ: E Ax  3,4 10 8 В / м , E Bx  0 , E Cx  5,6 10 3 В / м , E Dx  3,4 10 3 В / м .
Задачи для самостоятельного решения
1.
Найти напряженность электрического поля в точке, лежащей посредине между точечными зарядами q1 = 8 · 10-8 Кл и q2 = -6 ·10-9 Кл. Расстояние между зарядами равно r = 10 см;  = 1.
2.
Между зарядами +q и +4q расстояние равно 8 см. На каком расстоянии от первого заряда находится точка, в которой напряженность поля равна
нулю?
19
3.
Одинаковые по модулю, но разные по знаку заряды 18 нКл расположены в двух вершинах правильного треугольника. Сторона треугольника 2 м.
Определите напряженность поля в третьей вершине
треугольника.
4.
В вершинах правильного шестиугольника расположены положительные заряды. Найти напряженность электрического поля в центре шестиугольника при следующей комбинации зарядов. Величина каждого заряда q =
1,5 ·10-9 Кл. Сторона шестиугольника 3 см.
5.
Четыре заряда расположены в вершинах квадрата со стороной а.

Определить величину напряженности E в центре квадрата, если а) q1 =q2 = q3 =
= q4 = q; б) q1 = q2 = q3 = q, q4=- q; в) q1 = q2 = q, q3= q4=- q;
6.
Расстояние между двумя точечными зарядами и q1 = 7·10-9_Кл и
q2 = -14,7·10-9 Кл равно 5 см. Найти напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии 3 см от положительного заряда и 4 см от отрицательного.
7.
Найти силу, действующую на заряд в 0,6·10-9 Кл, если заряд помещен на расстоянии 2 см от заряженной нити с линейной плотностью заряда
2·10-9 Кл/см. Диэлектрическая проницаемость среды равна 6.
8.
Начертить на одном графике кривые зависимости напряженности
электрического поля от расстояния в интервале 1 r 5 см через каждый 1 см,
если поле образовано: 1) точечным зарядом в 33·10-9 Кл, 2) бесконечно длинной заряженной нитью с линейной плотностью заряда 1,67·10-8 Кл/см, 3) заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда в 2·10-9 Кл/см2.
9.
С какой силой электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на каждый метр заряженной бесконечно длинной нити, помещенной в это поле? Линейная плотность заряда нити 3·10-8 Кл/см и поверхностная плотность заряда на плоскости 2·10-9 Кл/см2.
10. С какой силой (на единицу длины) отталкиваются две одноименно
заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда в 3·10-8 Кл/см, находящиеся на расстоянии 2 см друг от друга.
11.
Две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда 1 = 2 = 10-7 Кл/см расположены на расстоянии a = 10 см друг от друга. Найти величину и направление напряженности результирующего электрического поля в точке, находящейся на расстоянии 10 см
от каждой нити.
20
12.
С какой силой (на единицу площади) отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда в 3·10-8 Кл/см2 ?
13. Металлическому шару радиусом 10 см сообщен заряд 10-7 Кл.
Найти напряженность электрического поля на расстоянии 5 см, 10 см, 30 см от
центра сферы. Построить график зависимости Еr  .
14. Расстояние между двумя длинными тонкими проволоками, расположенными параллельно друг другу, d = 16 см. Проволоки равномерно заряжены разноименными зарядами с линейной плотностью  = 150 мк Кл/м. Какова
напряженность поля в точке, удаленной на 10 см, как от первой, так и от второй
проволоки?
15. Прямой металлический стержень диаметром 5 см и длиной 4 м
несет равномерно распределенный по его поверхности заряд, равный 500 нКл.
Определить напряженность поля в точке, находящейся против середины стержня на расстоянии 1 см от его поверхности.
16. Тонкая нить несет равномерно распределенный по длине заряд
 = 2 мкКл/м. Вблизи средней части на расстоянии, малом по сравнению с ее
длиной и равном 1 см, находится точечный заряд 0,1 Кл. Определить силу, действующую на заряд.
17. Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными
пластинами, несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностной плотностями 1 = 1 нКл/м2 и 2 = 3 нКл/м2 . Определить напряженность поля: 1) между пластинами; 2) вне пластин. Построить график изменения напряженности вдоль линии, перпендикулярной пластинам. Как изменится график, если заряд 2 изменить на противоположный по знаку?
18. Две бесконечные пластины расположены под прямым углом друг к
другу и несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью 1 = 1 нКл/м2 и 2 = 2 нКл/м2 . Определить напряженность поля, создаваемого пластинами. Начертить картину силовых линий.
19. Две бесконечные плоскости, несущие одинаковый заряд, равномерно распределенные
по площади с поверхностной плотностью
2
 = 100 нКл/м , пересекаются под углом 600. Определить напряженность поля,
создаваемого плоскостями, и начертить картину электрических силовых линий.
21
20.
Две бесконечные параллельные пластины несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью 1=10 нКл/м2 и
2 = -30 нКл/м2 . Какова сила взаимодействия, приходящаяся на единицу площади пластин?
21. Между пластинами плоского конденсатора находится точечный заряд, равный 30 нКл. Поле конденсатора действует на заряд с силой 10 мН.
Определить силу взаимного притяжения пластин, если площадь каждой пластины 100 см2.
22.
Большая металлическая пластина несет равномерно распределенный заряд, равный 10 нКл/м2. На малом расстоянии от пластины находится точечный заряд, равный 100 нКл. Найти силу действующую на заряд.
23. Точечный заряд, равный 1 мкКл, находится вблизи большой равномерно заряженной пластины против ее середины. Вычислить поверхностную
плотность заряда пластины, если на точечный заряд действует сила 60 мН.
24. На вертикальной пластине достаточно больших размеров распределен электрический заряд с поверхностной плотностью

= 1 нКл/м2. На прикрепленной к пластине нити подвешен шарик массой 1 г, несущий заряд того же знака, что и пластина. Найти заряд шарика, если нить образует с вертикалью угол 300.
25. Бесконечная плоскость несет равномерно распределенный заряд с
поверхностной плотностью  = 1 нКл/м2. На некотором расстоянии от плоскости, параллельно ей расположен круг радиусом 10 см. Вычислить поток вектора
напряженности через этот круг.
26. Плоская квадратная пластина со стороной, равной 10 см, находится
на некотором расстоянии от бесконечной, равномерно заряженной
( = 1 нКл/м2) плоскости. Плоскость пластины составляет угол 300 с линиями
поля. Найти поток вектора индукции через эту пластину.
27. Точечный заряд q=5·10-9 Кл находится на расстоянии 3 см от проводящей заземленной стенки. Найти поверхностную плотность заряда, индуцированного на стенке в точке, ближайшей к заряду, и в точке, находящейся от
заряда на расстоянии 5 см. Каков общий заряд стенки?
28. В однородном электрическом поле с напряженностью 3 МВ/м, силовые линии которого составляют с вертикалью угол 300, висит на нити шарик
массой 2 г и зарядом 3,3 нКл. Определить силу натяжения нити.
29. Коаксиальный кабель имеет внутренний провод диаметром
d1 = 2 мм и свинцовую оболочку диаметром d2 = 8 мм. Относительная диэлектрическая проницаемость изоляции равна 4. Заряды внутреннего и наружного
22
провода противоположны по знаку. Линейная плотность зарядов
 = 3,14
·10-10 Кл/м. Определить напряженность поля в точке, находящейся от оси кабеля на расстоянии r1 = 3 мм и r2 = 8 мм (рис.7).
d1
d2
Рис. 7
30. Молекулу воды можно рассматривать как диполь длиной
l = 3,9·10-11 м с зарядами 1,6 ·10-19 Кл. Определить напряженность поля, созданного одной молекулой воды на расстоянии а = 3·10-9 м от середины диполя
в точке, лежащей на продолжении диполя и на перпендикуляре к нему.
31. Электрический заряд q2 находится в электрическом поле заряда q1 .
От чего зависит напряженность электрического поля в выбранной точке пространства?
32. Как изменится напряженность поля точечного заряда на расстоянии
а от него, если вблизи от заряда поместить проводящую заземленную пластину?
33. Чему равна сила, действующая на заряд, помещенный в центре равномерно заряженной сферы?
34. Чему равен поток вектора напряженности через замкнутую поверхность, если внутри нее сумма зарядов равна нулю, но есть поле, созданное
внешними зарядами?
35. Шар из диэлектрика заряжен с объемной плотностью ρ. Изобразите
графически зависимости напряженности поля от расстояния внутри шара.
23
3. Потенциал. Связь напряженности и потенциала
Потенциалом  какой-либо точки электростатического поля называется
величина, равная отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с
полем к величине этого заряда:

П
.
q0
(3.1)
Разностью потенциалов  между точками a и b электрического поля
называется отношение работы А, которую совершают электрические силы при
перемещении заряда q из точки a в точку b, к этому заряду:
A
.
q
 
(3.2)
Работа А, совершаемая электрическими силами при перемещении заряда
определяется по формуле:
A  q( a   b ) .
(3.3)
Потенциал электрического поля, создаваемого в данной точке несколькими точечными зарядами, равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности:
  1   2  ...   n .
(3.5)
Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля:
2  
 1   2   Ed l .
(3.6)
1

E   grad .
Если φa и φb – потенциалы точек a и b, лежащих на одной линии напряженности в однородном электрическом поле на расстоянии r друг от друга, то
напряженность электрического поля:
E
    .
a
b
(3.7)
r
Используя интегральную связь (3.6), получаем формулы для расчета потенциала и разности потенциалов электрических полей, созданных зарядами,
расположенными на телах разной геометрической формы (см. таблицу 2).
24
Таблица 2
Потенциал и разность потенциалов создаваемые телами различных конфигураций
Геометрическая
форма заряженного тела
 вне, В
 внутри, В
q
Точечный заряд
Сферический
конденсатор
const
q
const
Бесконечная
плоскость

q
-
40 r
q
40 r
Сфера
40 r

x
20
, R1  r  R2
const

, d1  d  d 2
 0
Бесконечный
цилиндр
-
 R  const
Бесконечная
нить
-
-
const
-
1 1
(  )
40 r1 r2
q 1 1
(  )
40 r1 r2
q
1 1
(  )
40 R1 R2

( x2  x1 )
2 0

d  Ed
0

r
ln 2
40 r1

r
ln 2
40 r1
-
Плоский конденсатор
Цилиндрический
конденсатор
1   2 , В

R
ln 2
40 R1
Примеры решения задач
Задача 1. В трех вершинах правильного шестиугольника со стороной
10 см находятся заряды  2 10 5 Кл ,  4 10 5 Кл ,  8 10 5 Кл . Определить потенциал в точке А.
Дано:
является
Решение:
энергетической
q1  2 10 5 Кл
Потенциал
характеристикой.
q 2  4 10 5 Кл
Потенциал результирующего поля равен алгебраической
q 2  4 10 5 Кл
сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым
q 3  8 10 5 Кл
из слагаемых полей.
  1  2  3
А  ?

q
4 0 r
, 1 
q1
4 0 r
25
, 2 
q2
4 0 r
, 3 
q3
4 0 r
.
А 
q 

 q1  q2  3 
4 0 r 
2
1
9  10 9 
8  10 5 
5
5
А 
 2  10  4  10 
  36  10 3 B
0,1 
2 
Ответ:  А  36  10 3 B
Задача 2. Электростатическое поле создано равномерно заряженной сферической поверхностью радиуса R. Заряд сферы q. Найти разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r1 и r2 от центра заряженной сферической поверхности. Записать выражение потенциала для точек
внутри и вне и построить график  r  .
Дано:
Решение:
q
R
1   2  ?
 -?
Рис. 8
Из условия симметрии следует, что силовые линии электростатического
поля заряженной сферы направлены радиально. По тем же причинам модуль
вектора напряженности Е должен быть одинаковым во всех точках, лежащих
на одном и том же расстоянии от центра заряженной сферы.
Если применить теорему Гаусса для определения Е , то получим, что
электростатическое поле вне заряженной сферической поверхности эквивалентно полю точечного заряда, равного общему заряду и расположенного в ее
центре, и вычисляется по формуле:
Е
q
40 r 2
. (1)
Внутри сферы поле отсутствует. В этом случае уравнение
E   grad . (2)
имеет вид:
26
d
. (3)
dr
Формулы (1), (3) позволяют полностью решить задачу.
Из последнего уравнения следует, что
Е
d   Edr, (4)
откуда
r2
1  2   Edr 
r1
q 1 1
  .
40  r1 r2 
Окончательно запишем:
1   2 
q
4 0 r1

q
4 0 r2
.
Найдем потенциал заряженной сферической поверхности:
п 
q
r
4 0 R
1
 R, r2    .
Потенциал вне сферы вычисляется по формуле:

q
4 0 r
r  R  .
На рис.8 изображен график  r  для заряженной сферической поверхности. Вне сферы потенциал поля убывает пропорционально
1
, где r – расстояние
r
от центра заряженной сферы до точки, в которой необходимо найти потенциал.
Внутри потенциал всех точек одинаков и равен потенциалу заряженной поверхности сферы.
Ответ: 1   2 
q
4 0 r1

q
4 0 r2
, 
q
4 0 r
.
Задача 3. Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами, находящимися на расстоянии d = 2 см друг от друга. К пластинам приложена разность потенциалов U = 120 В. Какую скорость  получит электрон под
действием поля, пройдя по линии напряженности расстояние r  3 мм ?
27
Дано:
d = 2 см
U = 120 В
Решение:
Для того, чтобы сообщить электрону кинетическую
Wk 
r  3 мм
 -?
энергию
m 2
, силы электрического поля должны совершить рабо2
ту A  e , где  - разность потенциалов между точками, находящимися на расстоянии r .
Напряженность поля E 

, где   Er . Тогда работа сил поля A  eEr или,
r
eUr m
U
eUr

учитывая, что E  , A 
. Поскольку A  Wk , то
, откуда
d
d
d
2
2

2eUr
 2,53  10 6 м/с.
md
Ответ:   2,53  10 6 м/с.
Задача 4. Электрон с некоторой скоростью влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от них. Напряженность поля в конденсаторе E  100 В / м ; расстояние между пластинами d  4 см . Через какое время t после того, как электрон влетел в
конденсатор, он попадет на одну из пластин? На каком расстоянии s от начала
конденсатора электрон попадет на пластину, если он ускорен разностью потенциалов U  60 B ?
Дано:
Решение:
1. Сделаем пояснительный чертеж.
E  100 В / м
d  4 см
U  60 B
t-? s -?
Вдоль горизонтальной оси движение электрона будет равномерным со


скоростью  x   0 , т.к. вдоль оси х на него действуют силы. При равномерном
движении координата х изменяется со временем х= 0 t. Вдоль оси у на элек28


трон действуют две силы: сила тяжести mg и сила электростатического поля F

= e Е . Сила тяжести mg  (9,1110 31  9,8) H на тридцать порядков меньше электростатической силы F  (1,6 10 19 10 2 ) H , и ею можно пренебречь. Под действием
электростатической силы движение электрона вдоль оси у будет равноускоренat 2 Ft 2 eEt 2
ным, а координата у изменяется со временем по закону y 
. От

2
2m
2m
dm
 48 нс . Пройдя разность потенциалов U, элекeE
трон за счет работы А сил электростатического поля приобретает кинетическую
сюда при у =
d
имеем
2
энергию, т.е. A  eU 
t
m 02
2eU
, откуда  0 
. Тогда через время t =48 нс он
2
m
упадет на пластину на расстоянии S   0 t  t
2eU
. Подставив числовые данные,
m
получим S=22 см.
Ответ: S=22 см.
Задача 5. Электрон влетает в плоский горизонтально расположенный
конденсатор параллельно его пластинам со скоростью  0  10 7 м / с . Напряженность поля в конденсаторе Е  10 кВ / м ; длина конденсатора l=5 см. Найти модуль и направление скорости  электрона при вылете его из конденсатора.
Дано:
 0  10 7 м / с
Решение:
1. Сделаем пояснительный чертеж.
Е  10 кВ / м
l=5 см
 -?  -?



Полная скорость электрона в момент вылета из конденсатора    х   у ,

 

где  х   0 , у  аt . В скалярной форме    x2   y2 . Поскольку a 
29
eE
l
,t 
, то
m
0
2
 eEl 
  1,33 10 7 м / с. Направление скорости  электрона определя  02  
 m0 
ется углом  . Из рисунка видно, что cos  =
0
;   410 .

Ответ:   1,33 10 7 м / с ,   41 0 .
Задача 6. Между двумя вертикальными пластинами на одинаковом расстоянии от них падает пылинка. Вследствие сопротивления воздуха скорость
пылинки постоянна и равна v1 = 2 см/с. Через какое время t после подачи на
пластины разности потенциалов U = 3 кВ пылинка достигнет одной из пластин?
Какое расстояние l по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину?
Расстояние между пластинами d = 2 см, масса пылинки
m = 2·10-9 г,
заряд ее q = 6,5·10-17 Кл.
Дано:
Решение:
v1 = 2 см/с
1. Сделаем пояснительный чертеж.
U = 3 кВ
d = 2 см
m = 2·10-9 г
q = 6,5·10-17 Кл
t-?
В отсутствие электрического поля mg  6rv1 . При наличии поля на пы

линку действует горизонтальная сила F  qE , которая сообщает пылинке
ускорение, но из-за сопротивления воздуха в горизонтальном направлении
также устанавливается движение с некоторой постоянной скоростью v2 , приv qE
чем qE  6rv2 . Из рисунка видно, что tg  1 
. Кроме того, отношение
v2 mg
vd
v2
d
d
d
 0,5 , откуда l  0,5v1  0,5mg
 2см , тогда v2  1  1см / с . Искомое
v1
l
v2
qE
2l
время найдем по формуле t 
l
. Подставляя числовые данные, получим t  1c.
v1
Ответ: t  1c.
Задачи для самостоятельного решения
3.1. При переносе заряда с земли в точку поля, потенциал которой
1000 В. была произведена работа 10-5 Дж. Найти величину заряда.
30
3.2. Напряженность однородного электрического поля между двумя
параллельными пластинами 10 кВ/м, расстояние между ними 5 см. Найти
напряжение между ними.
3.3. Какая работа совершается при перенесении точечного заряда в
2·10-8 Кл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии в 1 см от поверхности шара радиусом в 1 см с поверхностной плотностью заряда
=
10-9 Кл/см2 .
3.4. Шарик массой 1 г и зарядом 10-8 Кл перемещается из точки А, потенциал которой равен 600 В, в точку В, потенциал которой равен нулю. Чему
была равна его скорость в точке А, если в точке В она стала равной
20 см/сек?
3.5. На расстоянии r1 = 4 см от бесконечно длинной заряженной нити
находится точечный заряд q = 0,6·10-9 Кл. Под действием поля заряд перемещается до расстояния r2 = 2 см; при этом совершается работа
А = 5·106
Дж. Найти линейную плотность заряда нити.
3.6. Электрическое поле образовано положительно заряженной бесконечной нитью с линейной плотность заряда в 2·10 -9 Кл/см. Какую скорость получит электрон под действием поля, приблизившись к нити с расстояния в 1 см
до расстояния 0,5 см от нити?
3.7. Электрон под действием электрического поля увеличил свою скорость с 107 м/с до 3·107 м/с. Найти разность потенциалов между начальной и
конечной точками перемещения.
3.8. Около заряженной бесконечно протяженной плоскости находится
точечный заряд q = 0,6·10-9 Кл. Под действием поля заряд перемещается по силовой линии на расстояние 2 см; при этом совершается работа А = 5·10-6 Дж.
Найти поверхностную плотность заряда на плоскости.
3.9. В плоском горизонтально расположенном конденсаторе, расстояние
между пластинами которого d = 1 см, находится заряженная капелька массой m
= 5·10-11 г. При отсутствии электрического поля капелька вследствие сопротивления воздуха падает с некоторой постоянной скоростью. Если к пластинам
конденсатора приложена разность потенциалов U = 600 В, то капелька падает
вдвое медленнее. Найти заряд капельки.
3.10. Между двумя вертикальными пластинами вакуумного конденсатора
на одинаковом расстоянии от них падает пылинка. Через сколько времени по31
сле подачи на пластины разности потенциалов U = 3000 В пылинка достигнет
одной из пластин? Какое расстояние L по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину? Расстояние между пластинами d = 2 см, масса пылинки m
= 2·10-9 г, заряд ее q = 6,5·10-17 Кл.
3.11. Между двумя вертикальными пластинами, находящимися на расстоянии друг от друга, на нити висит заряженный бузиновый шарик, масса которого равна 0,1 г. После того как на пластины была подана разность потенциалов 1000 В, нить с шариком отклонилась на угол 100. Найти заряд шарика.
3.12. Мыльный пузырь с зарядом 2,22·10-10 Кл находится в равновесии в
поле горизонтального плоского конденсатора. Найти разность потенциалов
между пластинами конденсатора, если масса пузыря равна 0,01 г и расстояние
между пластинами 5 см.
3.13. Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины
до другой, приобретает скорость 108 см/сек. Расстояние между пластинами
5,3 мм. Найти: 1) разность потенциалов между пластинами, 2) напряженность
электрического поля внутри конденсатора, 3) поверхностную плотность заряда
на пластинах.
3.14. Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами,
находящимися на расстоянии 2 см друг от друга; разность потенциалов между
ними 120 В. Какую скорость получит электрон под действием поля; пройдя по
силовой линии в 3 мм?
3.15. Электрон, находящийся в однородном электрическом поле, получает ускорение, равное 1014 см/с2 . Найти: 1) напряженность электрического поля,
2) скорость, которую получит электрон за 10-6 с своего движения, если его
начальная скорость равна нулю, 3) работу сил электрического поля за это время, 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора.
3.16. Электрон летит от одной пластины плоского конденсатора до другой. Разность потенциалов между пластинами равна 3 кВ; расстояние между
пластинами 5 мм. Найти: 1) силу, действующую на электрон; 2) ускорение
электрона; 3) скорость, с которой электрон приходит ко второй пластине; 4) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора.
3.17. Электрон с некоторой начальной скоростью v0 влетает в плоский
конденсатор параллельно пластинам и на равном расстоянии от них. К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U=300 В. Расстояние между пластинами d = 2 см, длина конденсатора 10 см. Какова должна быть пре32
дельная начальная скорость v0 электрона, чтобы электрон не вылетел из конденсатора?
3.18. Положительный заряд равномерно распределен по поверхности шара радиусом 1 см. Поверхностная плотность заряда 10-9 Кл/м2. Какую работу
надо совершить, чтобы перенести положительный заряд 9·10-9 Кл из бесконечности на поверхность шара?
3.19. На расстоянии 16 см от центра равномерно заряженной сферы радиусом 11 мм напряженность электрического поля равна 77 В/м. Определить
потенциал сферы и поверхностную плотность заряда на сфере.
3.20. Эквипотенциальная линия проходит через точку поля с напряженностью 5 кВ/м, отстоящую от создающего заряда на расстоянии 2,5 см. На каком расстоянии от создающего поле заряда нужно провести другую эквипотенциальную линию, чтобы напряжение между линиями было U =25 В?
3.21. Расстояние между зарядами 10 нКл и –1 нКл равно 1,1 м. Найти
напряженность поля в точке на прямой, соединяющей заряды, в которой потенциал равен нулю.
3.22. Альфа-частица движется со скоростью  = 2·107 м/с и попадает в
однородное электрическое поле, силовые линии которого направлены противоположно направлению движения частицы. Какую разность потенциалов должна
пройти частица до остановки? Какой должна быть напряженность электрического поля, чтобы частица остановилась, пройдя расстояние s = 2 м?
3.23. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно пластинам и на равном расстоянии от них. Расстояние между пластинами 4 см, напряженность электрического поля в конденсаторе 1 В/см. 1) Через
какое время после того, как электрон влетел в конденсатор, он попадет в одну
из пластин? 2) На каком расстоянии от начала конденсатора электрон попадает
на пластину, если он был ускорен разностью потенциалов 60 В.
3.24. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор, параллельно его пластинам со скоростью v = 107 м/с. Напряженность поля в конденсаторе Е=100 В/см, длина конденсатора L = 5 см. Найти величину и направление скорости электрона при вылете из конденсатора.
3.25. Между двумя пластинами, расположенными горизонтально в вакууме на расстоянии 4,8 мм друг от друга, движется отрицательно заряженная
шарообразная капелька масла радиусом 1,4·10-5 м с ускорением
5,8 м/с2 по
33
направлению вниз. Сколько «избыточных» электронов имеет капелька, если ее
разность потенциалов между пластинами 1 кВ? Плотность масла 800 кг/м3.
3.26. Цилиндр радиусом 0,2 см и длиной 20 см равномерно заряжен с линейной плотностью τ = 5.10-5 Кл/м. Какова разность потенциалов между поверхностью цилиндра и точкой А, равноудаленной от концов цилиндра. Расстояние между точкой А и осью цилиндра 2.10 м2.
3.27. Заряженная частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов
.
5
6 10 В, приобрела скорость 5400 км/с. Определить массу частицы, если ее заряд равен 2е.
3.28. На отрезке прямого тонкого проводника равномерно распределен
заряд с линейной плотностью +10-8 Кл/см. Определить работу по перемещению
1
3
заряда 10 9 Кл из точки В в точку А (рис.9).

А
l
l
В
l
Рис.9.
3.30. Металлическому изолированному шару радиусом 10 см сообщили
заряд +5.10-6 Кл, а затем покрыли слоем диэлектрика (   2 ) толщиной 2 см.
Определить плотность наведенных зарядов на внешней и внутренней поверхностях.
3.31. Сравните потенциалы точек двух заряженных плоскостей (рис.10).

2

5
1
4
3
Рис.10
3.32. Как рассчитать работу силы по сближению двух точечных зарядов с
расстояния r1 до r2<r1?
3.33. В каком направлении будут перемещаться электрические заряды
при соединении двух заряженных проводников, если q1<q2, a 1 >  2 (рис.11)?
 q1 , 1
 q2 , 2
34
Рис.11
3.34. Как направлены линии напряженности изображенного поля
(рис.12)? В какой области напряженность больше?
1  2
1
2
Рис.12.
3.35. Напряженность электростатического поля в некоторой точке равна
нулю. Обязательно ли потенциал в этой точке равен нулю?
4. Электроемкость
Электрической емкостью (или просто емкостью) уединенного проводника
называют величину
q
С ,
(4.1)

где q – его заряд, φ - потенциал.
Формулы для расчета электроемкости тел различной геометрической
формы, приведены в таблице 3.
35
Таблица 3
Электроемкости тел различной геометрической формы
Геометрическая
форма заряженного
тела
Уединенный шар радиуса R
Плоский конденсатор
C, Ф
4 0 R
где ε – диэлектрическая проницаемость среды, в которую помещен шар
q
q

1  2 U
где q – заряд на одной из обкладок, U= φ1- φ2 – разность потенциалов между обкладками
0 S
d
Сферический конденсатор
Цилиндрический конденсатор
4 0 R1 R2
R2  R1
2 0 h
ln R2
R1
где S – площадь обкладки, ε – относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего
пространство между обкладками, d – расстояние между обкладками
R1,R2 – радиусы сфер, ε – относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между сферами
R1,R2 – радиусы цилиндров, h – длина конденсатора, ε
– относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между цилиндрами
Формулы для расчета последовательного и параллельного соединения
конденсаторов приводятся в таблице 4.
Таблица 4
Последовательное и параллельное соединение конденсаторов
Последовательное соединение
Параллельное соединение
1
1
1
1


 ... 
C C1 C 2
Cn
C = C1+C2+…+ Cn.
Плотность энергии электрического поля:
W 
E 2
.
8
(4.2)
Конденсатор с емкостью С, заряженный зарядом q до разности потенциалов U, обладает энергией
W
CU 2 q 2 qU


.
2
2C
2
36
(4.3)
Примеры решения задач
Задача 1. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого равно 5 мм, заряжен до разности потенциалов 6 кВ. Площадь пластин конденсатора равна 12,5 см2, пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см двумя способами:
1. конденсатор остается соединенным с источником напряжения;
2. перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения.
Найти:
а) изменение емкости конденсатора;
б) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов;
в) изменение объемной плотности энергии электрического поля.
Решение задачи проведем отдельно для 1 –го и 2 –го случая.
1-й случай: конденсатор остается соединенным с источником напряжения.
Дано:
d 1  5 10 3 м
d 2  10 2 м
  6 10 3 B
Решение:
1. Сделаем пояснительный чертеж

Е
+

Е
+
-
-
 1
S  12,5 10 4 м 2
С  ?
d1
d2
N E  ?
  ?
+
+
-
-
2. При раздвижении пластин конденсатора, присоединенного к источнику
тока, разность потенциалов между пластинами не изменяется и остается равной
ЭДС источника.
1   2   .
(1)
Так как
С
 0 S
d
 
q
,
C
37
,
(2)
(3)

,
(4)
d
то при раздвижении пластин конденсатора изменяется электроемкость конденсатора, а следовательно, и заряд на его пластинах, и напряженность поля конE
денсатора.
Это приводит к изменению потока напряженности:
N E  ES , (5)
а также к измерению объемной плотности энергии электрического поля:

 0 E 2
. (6)
2
3.
Пользуясь формулами (2)-(6), легко определить изменение величин:
емкости, потока напряженности сквозь площадь электродов, объемной плотности энергии электрического поля. Все величины, характеризующие конденсатор с расстоянием между пластинами d1 обозначаем с индексом “1”, а с расстоянием d2 – с индексом “2”. Получим следующие расчетные формулы:
C  C 2  C1 
 0 S
d2

 0 S
d1
 1 1
  0 S    ; (7)
 d 2 d1 
   
 1
1
    S     ; (8)
N E  N E  N E  E 2 S  E1 S  S 

d1 
 d2
 d 2 d1 
2
   2  1 
1
 0 E 22
2

 0 E12
2

2
 0    1
2
1 
 2  2 .
 d 2 d1 
(9)
4.
Подставим числовые значения в (7)-(9) и произведем расчет значений искомых величин:
1 
 1
С  8,85  10 12  12,5  10  4   2 
Ф  1,08  10 12 Ф  1,08 пФ ;
3 
5  10 
 10
1 
 1
N E  6  10 3  12,5  10  4   2 
 Вм  750 Вм;
5  10 3 
 10
8,85  10 12 6  10 3 
 
2
2
5.
 1
1


2
 10 2 
5  10 3 2


 Дж / м 3  4,5 Дж / м 3 .


Раздвижение пластин конденсатора при   const приводит к
уменьшению электроемкости ( С 
 0 S
d
), заряда на пластинах ( q  C ), энер-
38
гии электрического поля конденсатора ( W 
C  
) и потока вектора напря2
2
женности через площадь пластин ( N E  ES ). За счет работы внешних сил и
уменьшения энергии конденсатора происходит переход части заряда с пластин
конденсатора на электроды источника тока (его подзарядка).
Ответ: С  1,08 пФ , N E  750 Вм ,   4,5 Дж / м 3 .
2-й случай: перед раздвижением конденсатор отсоединяется от источника напряжения.
Дано:
d 1  5 10 3 м
Решение:
1. Сделаем пояснительный чертеж.

E
d 2  10 2 м
  6 10 3 B

Е
+
-
-
+
 1
S  12,5 10 4 м 2
С  ?
d2
d1
N E  ?
  ?
+
-
+
-
1.
При раздвижении пластин конденсатора, отключаемого от источника тока, заряд на пластинах измениться не может:
q1  q 2  q . (1)
Так как
q  C (2);
С
0 S
(3);
d
N E  ES (5),
E

d
(4);
то при этом изменяется электроемкость конденсатора, а следовательно, и разность потенциалов между пластинами. Напряженность электрического поля
конденсатора остается неизменной:
q

q  const ;
   const ;
E
 const .
S
 0
2.
Пользуясь формулами (1) – (5), запишем:
39
 0 S
 0 S
 1 1
  0 S    ;
d2
d1
 d 2 d1 
N E  N E  N E  E2 S  E1 S  ES  ES  0;
C  C 2  C1 
2

1
 
 0 E22
2
4. С  1,08 пФ ; N E  0;   0 .

 0 E12
 0.
2
5. Раздвижение пластин конденсатора при q  const приводит к уменьшению электроемкости ( С 
пластинами (  
 0 S
d
) и увеличению разности потенциалов между
q
). Поток вектора напряженности и объемная плотность
C
энергии конденсатора остаются постоянными ( N E  N E , 1   2 ). Энергия элек1
2
трического поля конденсатора W  V (поле однородное) при этом возрастает
(V2>V1,W2>W1). Увеличение энергии происходит за счет работы внешних сил
по раздвижению пластин.
Ответ: С  1,08 пФ , N E  0 ,   0 .
Задача 2. Какие изменения произойдут, если в заряженный плоский
конденсатор поместить два диэлектрика с  1   2 (рис.13)?
Рассмотрим случай, когда помещение диэлектрика можно произвести при
вертикальном заполнении пластин.


ε1
ε2
U
Рис.13
1. Такой конденсатор можно рассматривать как батарею из двух конденсаторов, соединенных параллельно (рис.14).
C1
ε1
ε2
40
C2
U
Рис.14.
С  С1  С2 ,
где С1 
 0 1
d
S
2 , (1)
а
С2 
 0 2
d
S
2 . (2)
0S
 1   2 .
2d
Сравним эту электроемкость с заданным конденсатором.
C
C0 
0S
d
C
,
C0
 1   2  . (3)
2
1
 1   2  раз.
2
2. Определим, как перераспределится заряд на конденсаторах.
Первоначальный заряд q0 определим из определения электроемкости.
q
С 0  0 => q 0  C 0U 0
U
В связи с тем, что заряженный конденсатор отсоединен от источника тока, то, по закону сохранения заряда, этот заряд q0 перераспределится между
двумя конденсаторами С1 и С2 при одинаковом на них напряжении.
При таком заполнении электроемкость увеличивается в
q1  C1U 1 
q 2  C 2U 1 
 0 1 S
2d
U1 ,
 0 1 S
2d
U2
q1 C1  1
причем q1  q 2  q0


q2 C2  2
Чем больше диэлектрическая проницаемость диэлектрика, тем больший
заряд будет на этом конденсаторе.
q1 
q0  2
1   2
и q2 
q0 1
.
1   2
3. В связи с изменением электроемкости получившейся батареи конденсаторов напряжение на батарее изменится.
41
С0 
q0
U
=> и U 
q0
.
C
Подставим (3) и получим:
U
U
2q0 ( 1   2 )
q
, где С 0  0 .
C0
U0
2q0 ( 1   2 )
U 0  2U 0 ( 1   2 ) .
q0
Напряжение увеличится в 2 1   2  раз.
4. Рассмотрим, изменится ли напряженность электростатического поля в
батарее конденсаторов.
Первоначально напряженность поля равна:
U0
U 2U 0
, E 
( 1   2 )  2 E0 ( 1   2 ) .
d
d
d
Напряженность поля в обоих конденсаторах будет одинаковой и в
E0 
2 1   2  раз больше первоначальной.
5. Поток вектора напряженности в каждом конденсаторе изменится:
S 2 E0 ( 1   2 ) S
,

2
2
N E  N E ( 1   2 ) .
NE  E
но
первоначально
N E  E0 S ,
0
поэтому
0
Поток вектора напряженности увеличится в  1   2  раз.
6.
Оценим энергию поля.
Первоначально объемная плотность энергии электрического поля
0 
 0 E02
 0 E02

, т.к. был задан воздушный конденсатор.
2
2
Теперь плотность энергии каждого конденсатора:
1
2E 

0
  2   0 1 4 E02  1   2   0 1
2

 4 1   2   10 .
2
2
2
1
2
2  4 1   2   20 .
2
Полная энергия:
  1  2  4 1   2  0 .
3
Энергия увеличится за счет возникновения поляризованных зарядов в диэлектриках.
Ответ: полная энергия увеличится.
42
Задачи для самостоятельного решения
4.1. Какой заряд надо сообщить шару диаметром 18 см, находящемуся в
масле, чтобы изменить его потенциал на 400 В?
4.2. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2 и
расстояние между ними 5 мм. К пластинам приложена разность потенциалов
300 В. После отключения конденсатора от источника напряжения, пространство между пластинами заполняется эбонитом. 1) Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения? 2) Какова емкость конденсатора
до и после заполнения? 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах
до и после заполнения?
4.3. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2 и
расстояние между ними 5 мм. К пластинам приложена разность потенциалов
300 В, пространство между пластинами заполняется эбонитом. 1) Какова будет
разность потенциалов между пластинами после заполнения? 2) Какова емкость
конденсатора до и после заполнения? 3) Какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения?
4.4.
Между пластинами плоского конденсатора, находящимися на расстоянии 1 см друг от друга, приложена разность потенциалов 300 В. В пространстве между пластинами помещается плоскопараллельная пластинка стекла
толщиной 0,5 см и плоскопараллельная пластинка парафина толщиной 0,5 см.
Найти: 1) напряженность электрического поля в каждом слое,
2) падение потенциала в каждом слое, 3) емкость конденсатора, если площадь пластин
100 см2 , 4) поверхностную плотность заряда на пластинах.
4.5. Между пластинами плоского конденсатора 3, находящимися на расстоянии 1 см друг от друга, приложена разность потенциалов 100 В. К одной из
пластин прилегает плоскопараллельная пластинка кристаллического бромистого талия ( = 173) толщиной 9,5 мм. После отключения конденсатора от источника напряжения пластинку кристалла вынимают. Какова будет после этого
разность потенциалов между пластинами конденсатора?
4.6. Найти емкость системы конденсаторов. Емкость каждого конденсатора равна 0,5 мкФ (рис.15).
С1
С3
43
Рис.15
4.7. Разность потенциалов между точками А и В равна 6 В. Емкость
первого конденсатора 2 мкФ, емкость второго 4 мкФ. Найти заряд и разность
потенциалов на обкладках каждого конденсатора (рис.16).
А
В
С1
С2
Рис.16
4.8. Разность потенциалов между точками А и В равна U. Емкости конденсаторов С1, С2, С3 известны. Определить заряды конденсаторов q1, q2, q3 и
разность потенциалов U1 между точками А и D (рис.17).
С2
А
C1
С1
C2
C1
В
D
С3
C1
C3
Рис.17
Рис.18
4.9. Определить емкость батареи конденсаторов, показанной на рис. 18,
если С1 = 4 мкФ, С2 = 10 мкФ, С3 = 2 мкФ .
4.10. В каких пределах может меняться емкость системы, состоящей из
двух конденсаторов, если емкость одного из конденсаторов постоянна и равна
3,33·10-9 Ф, а емкость другого может меняться от 2·10-11 Ф до 45·10-11 Ф ?
4.11. В каких пределах может меняться емкость системы, состоящей из
двух конденсаторов переменной емкости, если емкость каждого меняется от
10 пФ до 450 пФ?
44
4.12. Шар, погруженный в керосин, имеет потенциал 4500 В и поверхностную плотность заряда 1,2∙10-9 Кл/см2. Найти: 1) радиус, 2) заряд, 3) емкость, 4) энергию шара.
4.13. Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора
площадью 100 см2 каждая равна 280 В. Найти: 1) напряженность поля внутри
конденсатора , 2) расстояние между пластинами, 3) скорость, которую получит
электрон, пройдя в конденсаторе путь от одной пластины до другой, 4) энергию
конденсатора, 5) емкость конденсатора.
4.14. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами
которого 2 см, заряжен до потенциала 3000 В. Какова будет напряженность поля конденсатора, если, не отключая источника напряжения, пластины раздвинуть до расстояния в 5 см? Вычислить энергию конденсатора до и после раздвижения. Площадь пластин 100 см2.
4.15. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами
которого 2 см, заряжен до потенциала 3000 В. Какова будет напряженность поля конденсатора, если после отключения источника напряжения пластины раздвинуть до расстояния в 5 см? Вычислить энергию конденсатора до и после
раздвижения. Площадь пластин 100 см2.
4.16. Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и
расстоянием между ними в 1 мм заряжен до 100 В. Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм. Найти энергию конденсатора до и после раздвижения
пластин, если источник напряжения не отключается перед раздвижением.
4.17. Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и
расстоянием между ними в 1 мм заряжен до 100 В. Затем пластины раздвигаются до расстояния 25 мм. Найти энергию конденсатора до и после раздвижения
пластин, если источник напряжения отключается перед раздвижением.
4.18. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами
которого равно 5 мм, заряжен до потенциала 6 кВ. Площадь пластин конденсатора равна 12,5 см2. Пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см,
причем конденсатор остается соединенным с источником напряжения. Найти:
1) изменение емкости конденсатора; 2) изменение потока напряженности
сквозь площадь электродов; 3) изменение объемной плотности энергии электрического поля.
4.19. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами
которого равно 5 мм, заряжен до потенциала 6 кВ. Площадь пластин конденса45
тора равна 12,5 см2. Пластины конденсатора раздвигаются до расстояния 1 см,
причем, перед раздвижением конденсатор отключается от источника напряжения. Найти: 1) изменение емкости конденсатора;
2) изменение потока напряженности сквозь площадь электродов;
3) изменение объемной плотности энергии электрического поля.
4.20. Емкость плоского конденсатора равна 0,05 мкФ. Диэлектрик – фарфор. Конденсатор зарядили до разности потенциалов 600 В и отключили от источника напряжения. Какую работу нужно совершить, чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора? Трением пренебречь.
4.21. Конденсатор неизвестной емкости С1 заряжен до напряжения
U1 = 80 В. При параллельном подключении этого конденсатора к конденсатору
емкостью С2 = 60 мкФ, заряженному до напряжения U2 = 16 В, напряжение на
батарее становится 20 В, если конденсаторы соединить обкладками одного знака. Определить емкость С1.
4.22. Объемная плотность энергии электрического поля внутри заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком ( = 6,0) равна 2,5 Дж/м2
. Найти давление, производимое пластинами площадью 20 см2 на диэлектрик, а
также силу, которую необходимо приложить к пластинам для их отрыва от диэлектрика.
4.23. Пространство между обкладками плоского конденсатора, площадь
пластин которого S и расстояние между ними d, сплошь заполнено диэлектриком, состоящим из двух половин равных размеров, но с разной диэлектрической проницаемостью  1 и  2 . Граница раздела перпендикулярна обкладкам.
Найти емкость такого конденсатора (рис.19).
1
2
Рис.19
4.24. Емкость плоского воздушного конденсатора 900 пФ, расстояние
между пластинами 4·10-2 м, напряжение на пластинах 200 В. Определить:
а) напряженность поля между пластинами; б) силу взаимодействия пластин;
в) энергию поля конденсатора; г) объемную плотность энергии.
46
4.25. Определить энергию заряженного плоского конденсатора с твердым
диэлектриком по следующим данным: объем диэлектрика 10-3 м3, относительная диэлектрическая проницаемость   5 , напряженность поля в диэлектрике
106 В/м.
4.26. В схеме, изображенной на рисунке, емкость батареи конденсаторов
не изменяется при замыкании ключа К. Определить электроемкость конденсатора Сх (рис.20)?
А
С
2С
К
Сх
С
Рис.20
4.27. Конденсатору емкостью 2 мкФ сообщен заряд 1 мКл. Обкладки
конденсатора соединены проводником. Какова разность потенциалов между
обкладками конденсатора до разрядки и какое количество теплоты выделится
при его разрядке?
4.28. Пробивное напряжение для прессигипана толщиной 1 мм равно
18 кВ. Два конденсатора с изолирующим слоем из такого же материала соединены последовательно и включены в сеть с напряжением 30 кВ. Будут ли пробиты конденсаторы, если их электроемкости 1100 пФ и 400 пФ?
4.29. Батарея из двух последовательно соединенных конденсаторов с
емкостями 300 пФ и 500 пФ заряжена до разности потенциалов 12 кВ. Определить разности потенциалов на каждом конденсаторе и заряд на их обкладках.
4.30. Плоский воздушный конденсатор состоит из двух пластин площадью 200 см2 каждая, расположенных на расстоянии 0,3 см друг от друга. Какую
работу надо совершить, чтобы увеличить расстояние между ними до 0,5 см.
Конденсатор заряжен до напряжения 400 В и отключен от источника тока.
4.31. Найти электроемкость земного шара.
4.32. Два проводящих шара разного диаметра приводят в соприкосновение и заряжают. Затем их разводят на значительное расстояние друг от друга.
Будут ли одинаковы их потенциалы?
47
4.33. Заряженный конденсатор охлаждают, при этом диэлектрическая
проницаемость его изоляции и энергия уменьшается. Куда «исчезает» избыток
энергии?
4.34. Как изменится электроемкость плоского конденсатора, если между
его обкладками вставить проводящую пластину пренебрежимо малой толщины?
4.35. Конденсатор электроемкостью С, заряженный до разности потенциалов  , соединяют с таким же, но не заряженным конденсатором. Какое максимальное количество теплоты выделится в проводах, соединяющих конденсаторы?
48
5. Постоянный ток
Основными понятиями в цепях постоянного электрического тока остаются электрический заряд и стационарное электрическое поле. Характеристиками
последнего являются напряженность, разность потенциалов и ЭДС.
Разность потенциалов определяется работой кулоновских сил по перемещению единичного электрического заряда по цепи.
AF
1   2 
;
q
 
1   2   Eст dl .
k
(5.1)
(5.2)
l
Под ЭДС понимают работу сторонних сил по перемещению единичного
заряда.
AF

ст
;
(5.3)
   E ст dl .
(5.4)
q


l
Работу кулоновских и сторонних сил по перемещению единичного заряда
по участку цепи называют напряжением.
U
AF  AF
ст
K
q
;

 
U   Eст  E K dl .


(5.5)
(5.6)
l
Основным законом электрического тока является закон Ома.
Для неоднородного участка цепи
U 1   2   
– интегральная форма;

R
R



j   E K  Eст – дифференциальная форма,
I


(5.7)
(5.8)
 dI 
1
n – плотность тока,   – проводимость.
где j 
dS
R

U    2 
Если участок цепи однородный (  =0, Eст  0 ), то I   1
и
R
R


j  E K .
(5.9)
Под силой тока понимают скорость прохождения электрического заряда
через поперечное сечение проводника.
49
dq
.
(5.10)
dt
Сопротивление проводника зависит от его размеров и материала.
l
(5.11)
R .
s
Резисторы соединяются в цепь параллельно или последовательно. Законы
соединений являются следствием закона сохранения заряда и закона Ома.
Мощность электрического тока:
(5.12),
P  I .
Так как   IR  Ir для замкнутой цепи (при 1   2 ), то полезная мощI
ность выделяется на внешнем сопротивлении P1  I 2 R .
Эта мощность будет максимальной при R = r (r – сопротивление источника тока).
 r 
  
Pmax  
 r 2  .
4r
4r
rr
Коэффициент полезного действия электрической установки:
P
IU
IR
R
.
  полезн  1 

Pполн
IU I R  r  R  r
2
2
Последовательное соединение
2
(5.13)
(5.14)
Параллельное соединение
1. Iобщ=I1= I2=…= In
N
1. I общ   I i
i 1
2. U общ  U 1  U 2  ...  U n
2. U общ  U 1  U 2  ...  U n
3. Rобщ  R1  R2  ...  Rn
3.
4. P  I 2 Rобщ
4. P 
50
1
1
1
1


 ... 
Rобщ R1 R2
Rn
U2
Rобщ
Основными типами задач на электрический ток являются задачи на закон
Ома для неоднородного участка цепи и задачи на смешанное соединение резисторов.
Решение задач первого типа происходит на основе закона Ома для неоднородного участка в интегрированной форме. В этом случае используют следующее алгоритмическое предписание:
1.
Нарисовать схему заданной электрической цепи и указать полюса
всех источников тока и направление силы тока в цепи (от плюса источника тока к минусу).
2.
Для каждого источника тока указать направление вектора напряженности поля сторонних сил (от минуса к плюсу источника тока).
3.
Установить начало (точка 1) и конец (точка 2) неоднородного
участка цепи и выбрать направление его обхода (от точки 1 к точке 2).
4.
Силу тока считать положительной на выбранном участке, если
направление тока совпадает с направлением обхода участка.
5.
ЭДС считать положительной, если направление вектора напряженности поля сторонних сил совпадает с направлением обхода участка.
6.
Для выбранного участка применить закон Ома в интегральной форме, считая все входящие в него величины с соответствующим знаком.
При решении задач второго типа, выяснив способ включения резисторов,
использовать либо таблицу с законами соединений, либо закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме.
Примеры решения задач
Задача 1. Два источника с  1 =1,4 В и  2 =1,1 В и внутренними сопротивлениями
соответственно ri1 =0,3 Ом и ri 2 =0,2 Ом замкнуты разноименными полюсами
(рис.21). Определить разность потенциалов между точками 1 и 2.
Дано:
Решение

Е ст
+ ε1
1. В основе решения лежит закон
 1 =1,4 В
 2 =1,1 В
Ома в интегральной форме для
ri1 =0,3 Ом
неоднородного участка цепи
ri 2 =0,2 Ом
I
1   2  
r12
-
I
ri1
2
.
1
ri2
1   2  ?
-
51

εрис.21
2
Е ст +
Рис. 21
2. Так как в схеме нет узлов, то ток во всех участках цепи один и тот же.
Применим указанные выше правила знаков для неоднородного участка
1-  1 -2 и запишем для него закон Ома. Выберем обход участка по часовой
стрелке, то есть от точки 1 к точке 2. На этом участке направление тока проти
воположно направлению обхода, вектор Е ст также имеет направление, противоположное обходу. Следовательно, чтобы применить формулу (5.1) для данного участка, перед силой тока и перед ЭДС нужно поставить знак минус:
-I 
1   2  
r1
. (1)
3.Применим тот же алгоритм для участка 1-  2 -2: I 
1   2    2 . (2)
r2
4. Совместное решение (1) и (2) дает формулу (3).

1   2  
r1

1   2    2 ;
r2
 1   2 r2   1r2  1   2 r1   2 r1 ;
1   2 
 1r2   2 r1
r1  r2
. (3)
5. Подставляя числовые значения, получим:
1   2 
1,4 В  0,2 Ом  1,1 В  0,3 Ом
0,05

В  0,1 В
0,5 Ом
0,5
.
Ответ: 1   2  0,1 _ В ; 1   2 .
Задача 2. Четыре резистора сопротивлениями r1  4 Ом, r2  3 Ом, r3  12
Ом, r4  6 Ом, а также источник с   2 В и внутренним сопротивлением ri  1
Ом соединены по схеме, указанной на рис.22. Найти силу тока в цепи.
Дано:
r1  4 Ом,
Решение
б)
а)
r2  3 Ом,
r1
r3  12 Ом,  , ri
r3
r3
 , ri
r4  6 Ом,
 2 В
r1
r2
r4
r2
ri  1 Ом
I-?
52
r4
в)
г)
 , ri
r13
,
r123
ri
r2
r4
r4
Рис.22
В схеме (а) резисторы r1 и r3 соединены параллельно (рис.22б), затем к
ним последовательно включен резистор r2 (рис.22в), и, наконец, ко всему этому
участку включен резистор r4 (рис.22г).
Тогда r13 
r13 
r1  r3
;
r1  r3
4 12
 3 (Ом ) ;
16
r123  r13  r2 ,
r123  3  3  6(Ом) .
Общее внешнее сопротивление
rобщ 
r123  r4
66
; rобщ 
 3 (Ом) .
r123  r4
12
1.
Ток в цепи находим по закону Ома для замкнутой цепи:
I

rобщ  ri
,
где rобщ - сопротивление внешней цепи,
ri - внутреннее сопротивление.
I
2В
 0,5 ( А) .
3  1 (Ом )
Ответ: I  0,5 A .
53
Задача 3. Три гальванических элемента с электродвижущими силами
 1  2,5 В ,  2  2,2 В ,  3  3 В и внутренним сопротивлением по 0,2 Ом каждый
включены, как показано на рис.23, и замкнуты на внешнее сопротивление
R  4,7 Ом .
Определить количество теплоты, выделяющееся ежесекундно во
всей цепи.
Дано:
+ ε1
 1  2,5 В
Решение
-
- ε3
 2  2,2 В
3  3 В
А
В
I1
r1  r2  r3  0,2 Ом
С
I2
Iобщ
R  4,7 Ом
+
Iобщ
Q-?
+
ε2
-
R
Рис.23
1.
В схеме два узла А и В, где происходит разветвление токов.
2.
Согласно алгоритмическому предписанию найдем полюса источников тока и дополним рисунок направлением напряженности поля сторонних
сил и тока.
3.
Применим закон Ома для неоднородного участка цепи А-С.
Участок А-  1 -В:
I1 
 А   В    1 . (1)
I2 
 А   В    2 . (2)
r
Участок А-  2 -В:
r
Участок A-R-C-  3 -B:
I общ 
 А   В    3
Rr
4. Причем I общ  I1  I 2 . (4)
Из (1), (2) и (3) найдем  А   В .
 А   В  I1r   1 ;
54
. (3)

 А  В  I 2r   2
I1  I 2 
 2  1
r
;
 А   В  I1  I 2 R  r    3 ;
  1 

I 2 r   2   2 I 2  2
R  r    3 ;
r 

I2 
 3   2 r   2   1 R  r 
;
2 R  3r r
I2 
0,8  0,2  0,3  4,9
 0,81 (А);
9,4  0,6  0,2
I 1  0,81 
0,3
 0,68 (А);
0,2
I общ  0,13 ( А) .
5.
Ленца.
Найдем выделяющееся количество теплоты по закону Джоуля-


2
R  r  ;
Q  I 12 r  I 22 r  I общ
Q  0,31 Дж.
Ответ: Q  0,31 Дж.
Задачи для самостоятельного решения
5.1. Определить падение потенциала в сопротивлениях R1, R2, R3 , если
амперметр показывает 3_А; R1 = 4 Ом, R2 = 2 Ом, R3 = 4 Ом. Найти I1 и I3 - силу
тока с сопротивлениях R2, R3 (рис.24) .
R1
R2
А
Рис.24 R3
5.2. Элемент ЭДС в 1,1 В с внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут
на внешнее сопротивление 9 Ом. Найти: 1) силу тока в цепи, 2) падение потенциала во внешней цепи, 3) падение потенциала внутри элемента, 4) с каким
КПД работает элемент.
5.3. Элемент ЭДС в 1,1 В и внутренним сопротивлением в 1 Ом замкнут
на внешнее сопротивление 9 Ом. Построить график зависимости падения потенциала во внешней цепи от внешнего сопротивления. Внешнее сопротивление взять в пределах от 0 до 10 Ом через каждые 2 Ом.
55
5.4. Элемент с ЭДС в 2 В имеет внутреннее сопротивление 0,5 Ом.
Определить падение потенциала внутри элемента при силе тока в цепи 0,25 А.
Найти внешнее сопротивление цепи при этих условиях.
5.5. ЭДС элемента равна 6 В. При внешнем сопротивлении, равном
1,1 Ом, сила тока в цепи равна 3 А. Найти падение потенциала внутри элемента
и его сопротивление.
5.6.
В схеме сопротивление R = 0,5 Ом; 1=2=2 В, внутреннее сопро-
тивление этих элементов равны r1 = 1 Ом, r2 = 1,5 Ом. Найти разность потенциалов на зажимах каждого элемента (рис.25).
2
1
R
Рис.25
5.7.
В схеме  – батарея, ЭДС которой равна 20 В , R1 и R2 – реостаты.
При выведенном реостате R1 амперметр показывает силу тока в цепи 8 А; при
введенном реостате амперметр показывает 5 А. Найти сопротивление реостатов и падение потенциала на них, когда реостат R1 полностью включен. Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь (рис.26).
ε
……
R1
А
А
R2
Рис.26
5.8. Элемент, амперметр и некоторое сопротивление включены последовательно. Сопротивление сделано из медной проволоки длиной в 100 м и поперечным сечением в 2 мм2, сопротивление амперметра 0,05 Ом; амперметр показывает 1,43 А. Если же взять сопротивление из алюминиевой проволоки длиной
56
в 57,3 м и поперечным сечением в 1 мм2, то амперметр покажет 1 А. Найти
ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление.
5.9. Определить силу тока, показываемую амперметром. Напряжение на
зажимах элемента в замкнутой цепи равно 2,1 В; R =5 Ом, R2= 6 Ом, R3 =3 Ом.
Сопротивлением амперметра пренебречь (рис.27).

R1
R2
А
R3
Рис. 27
5.10. В схеме R2 = 20 Ом, R3 = 15 Ом и сила тока, текущего через сопротивление R2, равна 0,3 А. Амперметр показывает 0,8 А. Найти сопротивление R1
(рис.28).
R1
R2
А
R3
Рис.28
5.11. В схеме показана батарея с ЭДС, равной 100 В, R1 = R3 = 40 Ом,
R2 = 80 Ом и R4 = 34 Ом. Найти: 1) силу тока, текущего через сопротивление R2,
2) падение напряжения на этом сопротивлении. Сопротивлением батареи пренебречь (рис.29).
ε
R2
R1
R3
Рис.29
R4
57
5.12. В схеме показана батарея с ЭДС, равной 120 В, R3 = 20 Ом,
R4 = 25 м, падение потенциала на сопротивлении R1 равно 40 В. Амперметр показывает 2 А. Найти сопротивление R2. Сопротивлением батареи и амперметра
пренебречь (рис.30)
ε
А
R4
R2
R1
R3
Рис.30
5.13. В схеме показана батарея с ЭДС, равной 100 В, R1 = 100 Ом,
R2 = 200 Ом и R3 = 300 Ом. Какое напряжение показывает вольтметр, если его
сопротивление равно 2000 Ом? Сопротивлением батареи пренебречь (рис.31).
ε
R1
V
R2
R3
Рис.31
5.14. В схеме R1 = R2 = R3 = 200 Ом. Вольтметр показывает 100 В, сопротивление вольтметра равно 1000 Ом? Найти ЭДС батареи. Сопротивлением батареи пренебречь (рис.31).
5.15. От батареи, ЭДС которой равна 500 В, требуется передать энергию
на расстояние 2,5 км. Потребляемая мощность равна 10 кВт. Найти минимальные потери мощности в сети, если диаметр медных проводящих проводов равен
1,5 см.
5.16. От батареи, ЭДС которой равна 110 В, требуется передать энергию
на расстояние 2,5 км. Потребляемая мощность равна 10 кВт. Найти минималь58
ное сечение проводящих проводов, если потери мощности в сети не должны
превышать 1%.
5.17. Элемент, ЭДС которого равна 6 В, дает максимальную силу тока
3 А. Найти наибольшее количество тепла, которое может быть выделено во
внешнем сопротивлении за 1 мин.
5.18.Найти внутреннее сопротивление генератора, если известно, что
мощность, выделяемая во внешней цепи, одинакова при двух значениях внешнего сопротивления R1 = 5 Ом и R2 = 0,2 Ом. Найти КПД генератора в каждом
из этих случаев.
5.19. Элемент замыкают сначала на внешнее сопротивление R1 = 2 Ом, а
затем на внешнее сопротивление R2 = 0,5 Ом. Найти ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление, если известно, что в каждом из этих случаев, мощность,
выделяемая во внешней цепи, одинакова и равна 2,54 Вт.
5.20. Элемент, ЭДС которого  и внутреннее сопротивление r , замкнут на
внешнее сопротивление R. Наибольшая мощность во внешней цепи равна 9 Вт.
Сила тока, текущего при этих условиях в цепи, равна 3 А.Найти величины  и r
5.21. В схеме (рис.31)  – батарея, ЭДС которой равна 120 В, R3 = 30 Ом,
R2 = 60 Ом. Амперметр показывает 2 А. Найти мощность, выделяющуюся на
сопротивлении R1. Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь.
ε
А
R2
R1
R3
Рис. 31
5.22. Найти показание амперметра в схеме (рис.31). ЭДС батареи равна
100 В, ее внутреннее сопротивление равно 2 Ом, R1 = 25 Ом, R2 = 78 Ом. Мощность, выделяющаяся на сопротивлении R1 , равна 16 Вт. Сопротивлением амперметра пренебречь.
5.23. В схеме (рис.31) ,  – батарея, ЭДС которой равна 120В,
R1 = 25 Ом, R2 = R3 = 100 Ом. Найти мощность, выделяющуюся на сопротивлении R1. Сопротивлением батареи пренебречь.
59
5.24. Две электрические лампочки включены в цепь параллельно. Сопротивление первой лампочки 360 Ом, сопротивление второй 240 Ом. Какая из
лампочек поглощает большую мощность? Во сколько раз?
5.25. В схеме на рис.32 сопротивление R1 = 100 Ом, мощность, выделяемая на этом сопротивлении, Р = 16 Вт. КПД генератора 80%. Найти ЭДС генератора, если известно, что падение потенциала на сопротивлении R3 равно
40 В.
ε
R2
R3
R1
Рис.32
5.26. Какой электрический заряд пройдет по резистору за 10 секунд, если
сила тока за это время возросла равномерно от 0 до 3 А?
5.27. Участок цепи состоит из девяти резисторов сопротивлением 11 Ом
каждый. Определить сопротивление между точками А и В (рис.33).
А
В
Рис.33
5.28. Два гальванических элемента, два вольтметра с большими сопротивлениями и шкалами с нулем посередине подключены к резистору сопротивлением R (рис.34, а). При разомкнутом ключе вольтметры показывают напряжения 1,8 В и 1,4 В. При замыкании ключа их показания 1,4 В и 0,6 В. Каковы
будут эти показания, если у источника тока (2) переключить полюса и замкнуть
цепь (рис.34,б).
60
1
1
2
V
2
V
V
1
V
R
R
а
б
Рис.34
5.29. Четыре батареи с ЭДС 1 = 55 В, 2 = 10 В, 3 = 30 В, 4 = 15 В и внутренними сопротивлениями r1 = 0,3 Ом, r2 = 0,4 Ом, r3 = 0,1 Ом, r4 = 0,2 Ом включены в цепь с резисторами R1 =9,5 Ом, R2 = 19,6 Ом, R3 = 4,9 Ом. Найдите силу
тока через каждый источник тока (рис.35).
5.30. С каким КПД работает
свинцовый аккумулятор, ЭДС которого 2,15 В, если во внешней цепи с
сопротивлением R = 0,25 Ом идет ток
I = 5 А? Какую максимальную полезную мощность может дать аккумулятор во внешней цепи? Как при этом
изменится его КПД?
ε4
ε1
R2
R1
R3
ε3
ε2
Рис.35
5.31. Почему сопротивление амперметра должно быть мало по сравнению
с сопротивлением цепи, а сопротивление вольтметра велико по сравнению с
сопротивлением участка, на котором измеряется напряжение?
5.32. Изобразите графически зависимости от внешнего сопротивления
полезной, полной мощности и КПД источника.
5.33. Кусок стальной проволоки разрезали пополам и скрутили в один
жгут. Во сколько раз изменилось сопротивление проволоки?
5.34. Какими способами можно увеличить вдвое силу тока в цепи?
5.35. Как по данным, указанным на электрической лампочке, определить
ее сопротивление?
61
Магнетизм
6. Характеристики магнитного поля
Основным явлением электромагнетизма является взаимодействие токов.
Поэтому в качестве силовой характеристики магнитного поля используется
вектор магнитной индукции. Эта характеристика определяется из закона Ампера.
 

(6.1)
dF  Idl  B ;


dF  IdlB sin  , где   dlB .


Сила, действующая на элемент тока Idl длиной dl , находящейся в маг
нитном поле с индукцией B , равна векторному произведению элемента тока на
вектор индукции поля.
Из (6.1) модуль индукции магнитного поля можно найти по максимальной силе, действующей на единичный элемент тока.
dFmax
.
Idl
Единица измерения модуля индукции названа теслой.
B
H
Дж
Вс
1

1
 1 Тс .
A м
А  м2
м2
Основной закон, устанавливающий зависимость между силой тока и вектором магнитной индукции, носит название закона Био-Савара-Лапласа.
 

Idl  r
dB  0
.
(6.2)
r3

Вектор магнитной индукции, созданный элементом тока Id l проводника

в некоторой точке, определяемой радиус-вектором r , проведенным из элемента
тока, зависит только от элемента тока, положения точки относительно этого
элемента и от среды, в которой создается поле.
B  1


 0 – магнитная постоянная.
Н
.
А2
 – относительная магнитная проницаемость среды, которая показывает,

во сколько раз индукция магнитного поля в среде B больше, чем в вакууме.
 0  4 10 7

62
В
.
В0
Закон Био-Савара-Лапласа позволяет вычислять силовую характеристику
магнитного поля для токов различной конфигурации. Индукция магнитного поля, создаваемая бесконечно длинным проводником с током в точке на расстоянии а от него, равна:
B   0
I
.
(6.3)
I
,
2r
(6.4),
2a
Для кругового тока:
B   0
где r – радиус витка с током.
Индукция магнитного поля на оси соленоида равна:
B   0 In ,
(6.5),
где n –число витков на единице длины соленоида.
N
.
l
Вспомогательной величиной, характеризующей магнитное поле, является
n

вектор напряженности Н . Между напряженностью и вектором индукции существует простая взаимосвязь:


(6.6)
B  0 Н .
Первый тип задач на магнитное поле заключается в определении вектора
индукции или напряженности поля по закону Био-Савара-Лапласа (6.2) и методом суперпозиции:
N 

(6.7)
В рез   Вi .
i 1
Второй тип задач определяет действие магнитного поля на ток (6.1) и на
движущиеся электрические заряды.
Для определения сил взаимодействия двух параллельных проводников с
током используют закон Био-Савара-Лапласа (6.3) и закон Ампера (6.1).
I1 I 2 dl
.
2d
На рамку с током в магнитном поле действует механический момент, вызывающий поворот рамки в однородном магнитном поле.

 
М  рm  В ,
(6.8)
dF  0

где р m  магнитный момент рамки.
63

Сила, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле, называется
силой Лоренца.

 
(6.9)
Fл  q v  B .
 
Fл  qvB sin  , где   vB .
Закон полного тока:

Циркуляция вектора напряженности Н вдоль замкнутого контура равна
алгебраической сумме постоянных токов, охватываемых данным контуром.
N
 
(6.10)
H

d
l

 Ii .



i 1
L
Примеры решения задач
Задача 1. На рисунке изображены сечения двух прямолинейных бесконечно длинных проводников с токами. Расстояние между проводниками
АВ=10 см, токи I1=20 А, I2=30 А. Найти напряженность Н магнитного поля, вызванного токами I1 и I2 в точках М1, М2 и М3. Расстояния
М1А=2 см,
АМ2=4 см, ВМ3=3 см.
Дано:
АВ=10 см
I1=20 А
I2=30 А
М1А=2 см
А М2=4 см
ВМ3=3 см
Н1,Н2,Н3-?
Решение:
I1

Н 1В

Н 2А
.
М1 ,А
р
п

Н 1А

Н 2В

Н 3А
I2
М2
В
М3

Н 3В
Согласно принципу суперпозиции напряженности Н1,Н2,Н3 магнитного
поля в точках М1, М2 и М3 складываются из напряженностей, создаваемых то








ками I1 и I2. Н 1  Н 1А  Н 1В ; Н 2  Н 2А  Н 2В ; Н 3  Н 3А  Н 3В . Напряженность Н 
1
2а
, где а – расстояние от проводника с током до точки, в которой определяется
64
напряженность. Тогда Н 1А =
Н 2А 
Н 1В 
I2
 39,8 А / м ;
2   АВ  М 1 А
I1
 79,6 А / м;
2  М 2 А
Н 2В 
Н 3В 
I1
 159,2 A / м;
2  M 1 A
I2
I1
 79,6 А / м; Н 3А 
 24,5 А / м;
2   АВ  М 2 А
2   АВ  М 3 В 
I2
 159,2 А / м. Отсюда, с учетом рисунка,
2  М 3 В
Н1=
Н 1А - Н 1В =119,4 А/м; Н2= Н 2А + Н 2В =159,2 А/м; Н3= Н 3В  Н 3А =134,7 А/м.
Ответ: Н1=119,4 А/м, Н2=159,2 А/м, Н3=134,7 А/м.
Задача 2. Два круговых витка радиусом R = 4 см каждый расположены в
параллельных плоскостях на расстоянии d = 10 см друг от друга. По виткам
текут токи I1 = I2 = 2 А. Найти напряженность Н магнитного поля на оси витков
в точке, находящейся на равном расстоянии от них. Задачу решить, когда:
а) токи в витках текут в одном направлении; б) токи в витках текут в противоположных направлениях.
Дано:
Решение:
R = 4 см
Напряженность магнитного поля,
d = 10 см
создаваемого каждым из круговых
I1 = I2 = 2 А токов в точке М, равна
Н0 
На -? Нб -?
IR 2
2R
2
r
2

3
2
, где r =
d
 5 см .
2
I1
R
I2

2Н 0
М
Поскольку величины I, R и r для обоих витков одинаковы, то значение
напряженности по абсолютной величине для обоих витков будет равным, т.е.
Н01 = Н02. Согласно принципу суперпозиции результирующая напряженность
 

магнитного поля Н  Н 01  Н 02 . Если токи в витках текут в одном направлении,




то направления векторов напряженности Н 01 и Н 02 совпадают и Н  2Н 0 или
На =
IR 2
 12,2 А / м . Если токи текут в противоположных направлениях,
R  r 


то Н 01   Н 02 и Нб = 0.
2
3
2
Ответ: На=12,2 А/м, Нб = 0.
65
Задача 3. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U  6 кВ , влетает в однородное магнитное поле под углом   30 0 к направлению поля и движется по винтовой траектории. Индукция магнитного поля В  13 мТл . Найти
радиус R и шаг h винтовой траектории.
Дано:
Решение:
U  6 кВ
  30 0
В  13 мТл
R,h
-?
Разложим скорость электрона, влетающего в магнитное поле, по двум
направлениям: вдоль линии поля –  у и параллельно ему –  z . Составим два
уравнения. Сила Лоренца создает центростремительное ускорение, т.е.
m z
m z2
m 2
Be z 
 eU , а из рисунка
, откуда Be 
(1). Поскольку
R
2
R
z
1 m z2
, то eU 
(2). Разделим обе части уравнения (2) на квадраты

2 sin 2 
sin 
обеих частей уравнения (1). Получим
куда R 
sin 
B
m z2 R 2
U
R2
eU


;
, отB 2 e 2 2 sin 2 m 2 z2 B 2 e 2m sin 2 
2mU
 1 см . Шаг спирали найдем из соотношений 2R   z t и
e
h   y t , откуда h 
2R y
z
. Т.к.
y
 ctg  1,73 , то h=11 см.
z
Ответ: h=11 см.
Задача 4. По тороидальной катушке с числом витков 1000 течет ток 5 А.
Средний диаметр катушки d = 40 см, а радиус витков r = 5 см. Определить век66
тор индукции магнитного поля в точках, находящихся от центра тороида на
расстояниях а1 = 5 см и а2 = 20 см. Тороид намотан на железный сердечник с
магнитной проницаемостью  = 5000.
Дано:
N = 1000
I=2A
d =40 см,
r = 0,05 м
а1 = 0,05 м
а2 =0, 2 м
Решение:
 = 5000
B1 – ?
B2 - ?
1.
ля:
Воспользуемся связью двух силовых характеристик магнитного по-


B   0 Н .
2.
Для нахождения вектора индукции магнитного поля в некоторой
точке надо знать его напряженность в этой же точке. Воспользуемся законом
полного тока.
В качестве контура для циркуляции вектора напряженности выберем
окружности с центром в центре тороида и радиусами а1 и а2, проходящими через точки 1 и 2.
Окружность радиуса а1 не охватывает тока, поэтому
 N


H

d
l
  I i  0 , следовательно Н1 = 0 и В1 = 0.
 1
L
i1
Окружность радиуса а2 пересекает N витков с током, следовательно, циркуляция вектора напряженности через этот контур равна NI:
 N

H

d
l
  I i  NI ;
 2
L
i1
NI
H2 
, где L – длина окружности радиуса а2.
L
L  2a2 .




67
H2 
NI
NI
, а B2  0
.
2a2
2a 2
Производим вычисления:
H 1000  5 A
B2  5000  4  10 7 2
 25 Тл .
A 2  0,2 м
3.
Ответ: В1 = 0, В2 = 25 Тл.
Задачи для самостоятельного решения
6.1. Электрон движется в магнитном поле с индукцией 0,02 Тл по
окружности радиусом 1 см. Определить кинетическую энергию электрона.
6.2. На рисунке изображено сечение двух прямолинейных бесконечно
длинных проводников с током. Расстояние АВ между проводниками равно
10 см, I1 = 20 А, I2 = 30 А. Найти напряженность магнитного поля, вызванного
токами I1 и I2 в точках М1, М2 и М3 . Расстояния М1А = 2 см, АМ2 =4 см,
ВМ3 = 3 см (рис.36).
I1
I2
+
М1
+
М2
Рис.36
М3
6.3. На рисунке изображено сечение трех прямолинейных бесконечно
длинных проводников с током. Расстояния АВ = ВС = 5 см; I1 = I2 = I и I3 = 2I.
Найти точку на прямой АС, в которой напряженность магнитного поля, вызванного токами I1, I2, I3, равна нулю (рис.37).
I1
I2
I3
+
+
+
В
…
С…
…
Рис.37
…
…
6.4. На рисунке изображено сечение…трех прямолинейных бесконечно
… = ВС = 5 см; I1 = I2 = I и I3 = 2I.
длинных проводников с током. Расстояния АВ
…
Найти точку на прямой АС, в которой напряженность
магнитного поля, вы…
званного токами I1, I2, I3, равна нулю (рис.38).…
…
…
…
I1
I2
…I3
…
…+
+
+ 68
…
+
А
В
С
…
+
А
Рис.38
6.5. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены
перпендикулярно друг к другу и находятся в одной плоскости. Найти напряженность магнитного поля в точках М1 и М2, если I1 = 2 А, I2 = 3 А. Расстояние
АМ1 =А М2 = 1 см, ВМ1 =СМ2 =2 см (рис.39 ).
I1
 М1 А
C
 М2
В
I
Рис.392
Рис. 39
6.6. Проводник длиной 1 м расположен перпендикулярно силовым линиям горизонтального магнитного поля с индукцией 8 мТл. Какой должна быть
сила тока в проводнике, чтобы он находился в равновесии в магнитном поле? Масса проводника 8 · 10-3 кг.
6.7. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены
параллельно на расстоянии 10 см друг от друга. По проводникам текут токи
I1 = I2 = 5 А, в противоположных направлениях. Найти величину и направление
напряженности магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии 10 см от
каждого проводника.
6.8. Вычислить напряженность магнитного поля, создаваемого отрезком
АВ прямолинейного проводника с током в вакууме, в точке С, расположенной
на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 5 см от него. По
проводнику течет ток 20 А. Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 600.
6.9. Вычислить напряженность магнитного поля, создаваемого отрезком
АВ прямолинейного проводника с током, в точке С, расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 6 см от него. По проводнику
течет ток 30 А. Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 900.
69
6.10. Ток 20 А идет по длинному проводнику, согнутому под прямым углом. Найти напряженность магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе
этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии 10 см.
6.11. Ток I = 20 А, протекая по проволочному кольцу из медной проволоки сечением S = 1,0 мм2, создает в центре кольца напряженность магнитного
поля H = 180 А/м. Какая разность потенциалов приложена к концам проволоки,
образующей кольцо?
6.12. Найти напряженность магнитного поля на оси кругового контура на
расстоянии 3 см от его плоскости. Радиус контура 4 см, сила тока в контуре
2 А.
6.13. Напряженность магнитного поля в центре кругового витка радиусом 11 см равна 64 А/м. Найти напряженность магнитного поля на оси витка на
расстоянии 10 см от его плоскости.
6.14. Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 0,1 м друг от друга. По виткам текут токи I1
= I2 = 2 А. Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке, находящейся на равном расстоянии от них. Токи текут в одном направлении.
6.15. Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 0,1 м друг от друга. По виткам текут токи I1
= I2 = 2 А. Найти напряженность магнитного поля на оси витков в точке, находящейся на равном расстоянии от них. Токи текут в противоположных направлениях.
6.16. Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга. По виткам текут токи I1 =
I2 = 4 А. Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков. Токи текут в противоположных направлениях.
6.17. Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга. По виткам текут токи I1 =
I2 = 4 А. Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков в вакууме. Токи в витках текут в одном направлении.
6.18. Два круговых витка расположены в двух взаимно- перпендикулярных плоскостях так, что центры этих витков совпадают. Радиус каждого витка
2 см, и токи, текущие по виткам, I1 = I2 = 5 А. Найти напряженность магнитного
поля в центре этих витков.
70
6.19. В центре кругового проволочного витка создается магнитное поле
H при разности потенциалов U на концах витка. Какую нужно приложить разность потенциалов, чтобы получить такую же напряженность магнитного поля
в центре витка вдвое большего радиуса, сделанного из той же проволоки?
6.20. Бесконечно длинный провод образует круговую петлю, касательную к проводу. По проводу идет ток силой 5 А. Найти радиус петли, если известно, что напряженность магнитного в центре петли равна 41 А/м.
6.21. Катушка длиною 30 см состоит из 1000 витков. Найти напряженность магнитного поля внутри катушки, если ток, проходящий по катушке, равен 2 А. Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 0,8 мм. Витки
плотно прилегают друг к другу. Найти индукцию магнитного поля внутри катушки при силе тока в 1 А.
6.22. Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 0,8 мм. Витки
плотно прилегают друг к другу. Найти напряженность магнитного поля внутри
катушки при силе тока 1А.
6.23. Из проволоки диаметром 1 мм надо намотать соленоид, внутри которого напряженность магнитного поля должна быть равной 24000 А/м. Предельная сила тока в проволоке 6 А. Из какого числа витков будет состоять соленоид?
6.24. Металлический стержень длиной l = 0,15 м расположен параллельно бесконечно длинному прямому проводу. Сила тока в проводе I2 = 2 А.
Найти силу, действующую на стержень со стороны магнитного поля, которое
создается проводом, если сила тока в стержне I1 = 0,5 А. Расстояние от провода
до стержня R = 5 см.
6.25. Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите некоторого радиуса R. Найти отношение магнитного момента электрона к
величине момента импульса орбитального движения электрона. Как направле

ны эти вектора р m и L ? Считать массу и заряд электрона известными.
6.26. По медному стержню массой 0,14 кг, лежащему поперек рельсов,
расположенных друг от друга на расстоянии 0,3 м, проходит ток 50 А. Коэффициент трения скольжения по рельсам 0,6. Определить минимальную индукцию
магнитного поля, при которой проводник начнет скользить по рельсам.
71
6.27. По витку, имеющему форму квадрата со стороной а = 20 см, идет
ток 5 А. Определить напряженность магнитного поля в точке пересечения диагоналей и в одной из точек пересечения сторон.
6.28. По тонкому проводу течет ток 2 А. Чему равна напряженность магнитного поля в центре кольца радиусом 0,1 м? Какая сила будет действовать на
полукольцо в магнитном поле с индукцией 2 Тл, перпендикулярной его плоскости (рис.40)?
R
O
Рис. 40
6.29. В цилиндрическом магнетоне анод (А) представляет металлический цилиндр радиусом b = 1 см, а катод (К) – металлическую нить ничтожно
малого радиуса, расположенную по оси цилиндра. При анодном напряжении
100 В и индукции 6,7·10-3 Тл анодный ток стал равен нулю. Определить значение удельного заряда электрона (рис.41).
+ +
+
+
+ +
K
+
+
+
b
+
+
A
+ +
+
+ +
Рис.41
6.30. Два иона, имеющие одинаковый заряд и прошедшие одинаковую
ускоряющую разность потенциалов, влетели в однородное магнитное поле.
Первый ион движется по окружности радиусом 5 см, а второй – 2,5 см. Определить отношение масс ионов.
6.31. Определить направление силы, действующей на проводник с током
в магнитном поле (рис.42,43,44,45).
.
.
.
.
S
N
o
S
N
Рис.42
Рис.43
. . . . . .
. . . . .
. I. . . . .
. . . . . .
В
Рис. 44
72
о

В
Рис. 45
6.32. Как направлен магнитный момент кругового тока (рис.46)?
-
+
Рис.46
6.33. Как изменится индукция магнитного поля внутри медной трубы
при увеличении тока, текущего по трубе, в 2 раза?
6.34. Чем будут отличаться траектории движения электрона и протона,
влетающих в однородное магнитное поле с одинаковой скоростью перпендикулярно вектору индукции этого поля?
6.35. Какова форма траектории электрона, движущегося в совпадающих
по направлению электрическом и магнитном полях, в случаях, когда начальная
скорость электрона направлена вдоль полей и перпендикулярно к их линиям?
73
7. Работа и энергия магнитного поля
Магнитный поток, пронизывающий плоскую поверхность:
 

Ф  ВS , Ф = В S cos  ,
(7.1)
где  - угол между направлениями нормали к поверхности и вектором В.
Единица измерения магнитного потока Ф  1 Тл  м 2  1 Вб вебер  .
Работа при перемещении проводника, по которому течет ток:
А = I  Ф = I(Ф2 - Ф1),
(7.2)
где Ф2 – магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром в
конце перемещения, Ф1 –магнитный поток в начальный момент.
Энергия магнитного поля контура:
IФ LI 2
W

,
(7.3)
2
2
где L – индуктивность контура, которая зависит от формы, размеров про-
водника и от свойств окружающей среды.
Индуктивность катушки
N2
L  0
S,
l
(7.4)
где N – число витков обмотки,
S

d 2
– площадь поперечного сечения катушки,
4
– относительная проницаемость вещества, заполняющего все внут-
реннее пространство катушки.
Формула справедлива при l  d .
При наличии двух катушек их общая индуктивность определяется по
формуле:
L  L1  L2  2k L1 L2 ,
(7.5)
где L1L2 – коэффициент взаимной индукции,
k – коэффициент связи.
Знак перед этим коэффициентом определяется направлением токов в катушках (знак «+» берется при одном направлении магнитных полей катушек с
током).
Индуктивность системы определяется как коэффициент пропорциональности между магнитным потоком и силой тока.
Ф  LI .
74
Единица измерения индуктивности:
L  1 Вб
А
 1 Гн .
Примеры решения задач
Задача 1. Катушка гальванометра, состоящая из N=400 витков тонкой
проволоки, намотанной на прямоугольный каркас длиной l = 3 см и шириной
b = 2 см, подвешена на нити в магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл. По катушке течет ток I = 0,1 мкА. Найти вращающий момент М, действующий на катушку гальванометра, если плоскость катушки: а) параллельна направлению
магнитного поля; б) составляет угол   60 0 с направлением магнитного поля.
Дано:
N=400
Решение:
На каждый виток катушки действует вращающий момент
l = 3 см
М 0  BIS sin  . Тогда на всю катушку действует вращающий
b = 2 см
В= 0,1 Тл
момент М  NBIS sin  .
Площадь одного витка S = lb.
I = 0,1 мкА
а) М  BIlb sin  2 , М =2,4 ∙ 10-9 Н·м;
  60 0
М-?
б) М  BIlbN sin 60 0 , М = 1,2 ∙ 10-9 Н·м.
Ответ: Ма = 2,4 ∙ 10-9 Н·м, Мб = 1,2 ∙ 10-9 Н·м.
Задача 2. Двухпроводная линия состоит из двух медных проводов радиусом а  1 мм . Расстояние между осями проводов d  5 см . Определить индуктивность единицы длины такой линии.
Дано:
а  10 3 м
d  5 10 2 м
Решение:
1. Сделаем пояснительный чертеж

В1
У

В2
2a
L-?
1
х1
х2
2
Х
Рис. 47
d
75
2. Найдем индукцию магнитного поля в произвольной точке на оси х1
между этими проводниками, создаваемую одним проводником.
I
В1   0 
x1 .
2a 2
3. Вычислим магнитный поток, пронизывающий площадку длиной l
(вдоль проводников) и шириной dx, расположенную перпендикулярно плоскости чертежа. Так как магнитное поле неоднородно, то и поток будет непостоянным.
I
Для области от 0 до а: dФ1  В  dS   0 
l  dx ;
2a 2
a
 Il
Ilx  dx
Ila 2
,
Ф1    0 
 0 
 0
2
2
2a
2a 2
4
0
4. Для х2  a :
В  0 
I
2x
;
 0 Il d dx  0 Il d
  2 ln a .
2 a x
5. Суммарный поток, создаваемый магнитным полем одного проводника
с током:
 Il  1
d
Ф  Ф1  Ф2  0   ln  .
2  2
a
Но так как токи противоположны, то
2 Il  1
d
Ф рез  В1  В2 S и Ф рез  0   ln  .
2  2
a
 Il  1
d
Ф
6. Так как индуктивность системы L  , то L  0   ln  , а инI
l  2
a
дуктивность единицы длины в l раз меньше.
  1
d
L1  0   ln  .
 2
a
7. Вычислим
Гн
4  10 7
1
5  10 2 
Гн

м
.
L1 
 0,5  ln
  1,76  10 6
3

10 
м

Ф2 
Ответ: L1  1,76 10  6
Гн
.
м
76
Задачи для самостоятельного решения
7.1. Из проволоки длиной 20 см сделан квадратный контур. Найти вращающий момент сил, действующий на контур, помещенный в однородное магнитное поле, индукция которого равна 0,1 Тл. По контуру течет ток силой 2 А.
Плоскость контура составляет угол в 450 с направлением магнитного поля.
7.2. Из проволоки длиной 20 см сделан круговой контур. Найти вращающий момент сил, действующий на контур, помещенный в однородное магнитное поле, индукция которого равна 0,1 Тл. По контуру течет ток силой 2 А.
Плоскость контура составляет угол в 450 с направлением магнитного поля.
7.3. Катушка гальванометра, состоящая из 400 витков тонкой проволоки, намотанной на прямоугольный каркас длиной 3 см и шириной 2 см, подвешена на нити в магнитном поле, индукция которого 0,1 Тл. По катушке течет
ток силой 10-7 А. Найти вращающий момент, действующий на катушку гальванометра, если плоскость катушки параллельна направлению магнитного поля.
7.4. Катушка гальванометра, состоящая из 400 витков тонкой проволоки, намотанной на прямоугольный каркас длиной 3 см и шириной 2 см, подвешена на нити в магнитном поле, индукция которого 0,1 Тл. По катушке течет
ток силой 10-7 А. Найти вращающий момент, действующий на катушку гальванометра, если плоскость катушки составляет 600 с направлением магнитного
поля.
7.5. Круговой контур помещен в однородное магнитное поле так, что
плоскость контура перпендикулярна силовым линиям поля. Напряженность
магнитного поля 150 кА/м. По контуру течет ток силой 2 А. Радиус контура
2 см. Какую работу нужно совершить, чтобы повернуть контур на 90 0 вокруг
оси, совпадающей с диаметром контура?
7.6. В однородном магнитном поле, индукция которого 0,5 Тл, равномерно движется проводник длиной 10 см. Сила тока в проводнике 2 А. Скорость движения проводника 20 см/с и направлена перпендикулярно направлению магнитного поля. Найти работу по перемещению проводника за 10 с движения.
7.7. Максимальный вращающий момент, действующий на рамку площадью 1 см2, находящуюся в магнитном поле, М = 2 мкН·м. Сила тока в рамке
0,5 А. Найти индукцию магнитного поля.
7.8. Рамка площадью 400 см2 помещена в однородное магнитное поле с
индукцией 0,1 Тл так, что нормаль к рамке перпендикулярна линиям индукции.
77
При какой силе тока на рамку будет действовать вращающий момент
20 мкН·м?
7.9. Рамка площадью 200 см2помещена в однородное магнитное поле,
индукция которого 0,1 Тл, так, что нормаль к рамке составляет угол 300 с вектором магнитной индукции. Сила тока в рамке 10 А. Найти вращающий момент, действующий на рамку.
7.10. Виток диаметром 0,2 м может вращаться вокруг вертикальной оси,
совпадающей с одним из диаметров витка. Виток установлен в плоскости магнитного меридиана, и сила тока в нем 10 А. Найти механический момент, который нужно приложить к витку, чтобы удержать его в начальном положении.
Горизонтальная составляющая магнитной индукции поля Земли 20 мкТл.
7.11. Проволочный контур в виде квадрата со стороной а = 10 см расположен в однородном магнитном поле так, что плоскость квадрата перпендикулярна линиям индукции магнитного поля. Индукция магнитного поля равна
2 Тл. На какой угол надо повернуть плоскость контура, чтобы изменение магнитного потока через контур составило  Ф = 10 мВб.
7.12. Рамка площадью 16 см2 вращается в однородном магнитном поле,
делая n = 2 об/с. Ось вращения находится в плоскости рамки и перпендикулярна силовым линиям магнитного поля с индукцией 10 -5 Тл. Найти: а) зависимость потока магнитной индукции, пронизывающего рамку, от времени; б)
наибольшее значение потока магнитной индукции. В начальный момент времени рамка перпендикулярна магнитному потоку.
7.13. Протон разгоняется в электрическом поле с разностью потенциалов
1,5 кВ, попадает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям. Определите индукцию магнитного поля, если движение происходит в вакууме. Масса протона равна 1,7 · 10-27 кг. В магнитном поле он движется по дуге радиусом 56 см.
7.14. Электрон начинает двигаться в электрическом поле из состояния
покоя и, пройдя разность потенциалов 220 В, попадает в однородное магнитное
поле с индукцией 0,005 Тл, где он движется по окружности радиусом 1 см.
Определите массу электрона.
7.15. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов 600 В, влетает в однородное магнитное поле с магнитной индукцией 0,3 Тл и движется по
окружности. Будет ли изменяться энергия протона при движении в этом магнитном поле?
78
7.16. По проводящей шине длиной 10 м течет ток силой 7000 А. Какова
индукция однородного магнитного поля, силовые линии которого перпендикулярны шине, если на нее действует сила Ампера величиной 126 кН?
7.17. На провод обмотки якоря электродвигателя при силе тока 20 А действует сила 1 Н. Определите магнитную индукцию в месте расположения провода, если длина провода 20 см.
7.18. Виток радиуса 5 см, по которому течет постоянный ток, расположен
в магнитном поле так, что его плоскость перпендикулярна линиям магнитной
индукции. Индукция магнитного поля равна 0,1 Тл. Какую работу надо совершить, чтобы повернуть контур на 900 вокруг оси, совпадающей с его диаметром, если ток в контуре постоянен и равен 3 А.
7.19. Определить работу, совершаемую при перемещении проводника
длиной 0,2 м, по которому течет ток 5 А, в перпендикулярном магнитном поле
напряженностью 80 кА/м, если перемещение проводника 0,5 м.
7.20. Виток радиусом 10 см, по которому течет ток 20 А, помещен в магнитное поле с индукцией 1 Тл так, что его нормаль образует угол 600 с направлением силовых линий. Определить работу, которую нужно совершить, чтобы
удалить виток из поля.
7.21. Определить энергию магнитного поля соленоида, содержащего
500 витков, которые намотаны на картонный каркас радиусом 2 см и длиной
0,5 м, если по нему идет ток 5 А.
7.22. Через катушку радиусом 2 см, содержащую 500 витков, проходит
постоянный ток 5 А. Определить индуктивность катушки, если напряженность
магнитного поля в ее центре 10 кА/м.
7.23. Найдите энергию магнитного поля соленоида, в котором при силе
тока 10 А возникает магнитный поток 0,5 Вб.
7.24. Сила тока в катушке уменьшилась с 12 до 8 А. При этом энергия
магнитного поля катушки уменьшилась на 2 Дж. Какова индуктивность катушки и энергия ее магнитного поля в обоих случаях?
7.25. Размеры катушки изменили так, что ее индуктивность увеличилась
в 2 раза. Силу тока в катушке уменьшили в 2 раза. Как изменилась энергия магнитного поля катушки?
7.26. Какую минимальную работу совершает однородное магнитное поле
с индукцией 1,5 Тл при перемещении проводника длиной 0,2 м на расстояние
0,25 м? Сила тока в проводнике 10 А. Направление перемещения перпендику79
лярно вектору магнитной индукции и направлению тока. Проводник расположен под углом 300 к вектору магнитной индукции.
7.27. Какова энергия магнитного поля в катушке длиной 50 см, имеющей
10000 витков диаметром 25 см без сердечника, если по ней течет ток 2 А?
7.28. На один сердечник намотаны две катушки с индуктивностями
0,5 Гн и 0,7 Гн. Если катушки соединить так, что токи в них пойдут в противоположных направлениях, то индуктивность системы станет равной нулю.
Найдите коэффициент взаимной индукции системы.
7.29. На круглом деревянном цилиндре имеется обмотка из медной проволоки массой 0,05 кг. Расстояние между крайними витками, равное 60 см,
много больше диаметра цилиндра. Сопротивление обмотки 30 Ом. Какова ее
индуктивность?
7.30. Средний диаметр железного кольца 15 см, площадь сечения 7 см2.
На кольцо навито 500 витков провода. Определить магнитный поток в сердечнике при токе 0,6 А.
7.31. В каком случае поворот рамки с током в магнитном поле совершается без совершения работы?
7.32. Чему равна работа силы, действующей на электрон, движущийся в

однородном магнитном поле с индукцией В ?
7.33. Как можно экранировать магнитное поле?
7.34. В соленоид, по которому течет постоянный ток, вносят железный
сердечник, заполняющий всю внутреннюю часть соленоида. Как изменится
энергия магнитного поля, плотность энергии, напряженность магнитного поля
и индукция в сердечнике?
7.35. Магнитная стрелка, помещенная около проводника с током, отклонилась. За счет какой энергии совершена работа, необходимая для поворота
стрелки?
7.36. Как обеспечивается малая индуктивность реостатов?
7.37. На гладкой поверхности стола лежит железный гвоздь. Если вблизи
гвоздя поместить сильный магнит, то гвоздь притянется к нему. Почему? Как
объяснить наличие кинетической энергии гвоздя перед ударом о магнит?
7.38. Как по графику определить значения В и Н, соответствующие максимальному значению магнитной проницаемости?
80
8. Электромагнитная индукция
При изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную некоторым контуром, в этом контуре индуцируется ЭДС ε (ЭДС индукции), равная скорости изменения магнитного потока:
dФ
,
(8.1)
dt
где dФ – изменение магнитного потока, dt - промежуток времени, в те-
 
чение которого произошло это изменение, а знак минус отражает правило Ленца.
Если магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром, изменяется вследствие изменения тока, протекающего по этому контуру, то в
контуре индуцируется ЭДС, которую называют ЭДС самоиндукции. При постоянной индуктивности L ЭДС самоиндукции выражается следующим образом:
dФ
dI
,
(8.2)
 L
dt
dt
где dI –изменение тока за время d t.
Значение ЭДС, возникающей на концах проводника длиной l , движущегося в магнитном поле с индукцией В со скоростью  :

(8.3)
  l VB ,   Вl sin  ,
 
 
где  - угол между направлениями векторов B и  .
Примеры решения задач
Задача 1. Круговой проволочный виток площадью S = 0,01 м2 находится
в однородном магнитном поле, индукция которого В = 1 Тл. Плоскость витка
перпендикулярна к направлению магнитного поля. Найти среднюю ЭДС индукции  ср , возникающую в витке при отключении поля в течение времени
= 10 мс.
Дано:
Решение:
 ср  
dФ
SdB

. Поскольку индукция В
dt
dt
S = 0,01 м2
Имеем
В = 1 Тл
уменьшается от 1 Тл до 0, В  (0  1)  1 Тл.
t = 10 мс
Подставляя числовые данные, получим  ср  1 В .
 ср - ?
Ответ:  ср  1 В .
81
t
Задача 2. В однородном магнитном поле, индукция которого В = 0,1 Тл,
равномерно вращается катушка, состоящая из N = 100 витков проволоки.
Частота вращения катушки n = 5 с-1; площадь поперечного сечения S = 0,01 м2.
Ось вращения перпендикулярна к оси катушки и направлению магнитного поля. Найти максимальную ЭДС индукции  max во вращающейся катушке.
Дано:
В = 0,1 Тл
N = 100
n = 5 с-1
S = 0,01 м2
Решение:
Рассмотрим один
виток рамки. При
равномерном вращении
вокруг оси ОО с
 max - ?
угловой скоростью ω
О

B


n
магнитный поток
через его площадь будет меняться О
по закону Ф = ВS cos α (1),
где S – площадь рамки; α - угол
между нормалью к плоскости и

вектором В . Считая, что при t = 0 α = 0, имеем   t . Индуцируемая в витке
dФ
 Ф 
ЭДС индукции  i  lim  
(2). Поскольку Ф(t)=ВS cos α = BS cos

t 0 
t 
dt
t
(согласно (1)), то, дифференцируя эту функцию и помня, что
d (cost )
  sin t , получим  i  BS sin t (3). Индуцируемая в N витках
dt
ЭДС будет в N раз больше:   N i  NBS  sin t   m sin t , где  m - макси-
мальное значение (амплитуда) ЭДС индукции:  m  NBS  (4). Следовательно,
при равномерном вращении рамки в однородном магнитном поле в ней возникает переменная синусоидальная ЭДС самоиндукции. Подставляя в (4) значение угловой скорости   2n , где n – частота вращения рамки, получим
 m  2nNBS  3,14 В.
Ответ:  m  3,14 B.
82
Задача 3. Через катушку, индуктивность которой L  21 мГн , течет ток,
изменяющийся со временем по закону I=I0sinωt, где I0=5 А, ω=
2
и Т=0,02 с.
T
Найти зависимость от времени t: а) ЭДС  самоиндукции, возникающей в катушке; б) энергии W магнитного поля катушки.
Дано:
Решение:
L  21 мГн
а) ЭДС самоиндукции определяется формулой  с   L
I=I0 sinωt
I0=5 А
По условию, ток изменяется со временем по закону:
I=I0 sinωt (2).
Т=0,02 с
Подставляя(2) в (1), получаем  с   L
 ( t), W(t)-? где  
dI
dt
(1).
d
( I 0 sin t )   LI 0 cos t ,
dt
2
, тогда  c  33 cos100t .
T
б) Магнитная энергия контура с током W 
с учетом (2), W 
LI 2
или,
2
LI 2 sin 2 t
, W  0,263 sin 2 100t .
2
Ответ:  c  33 cos100t , W  0,263 sin 2 100t .
Задачи для самостоятельного решения
8.1. Катушка диаметром 10 см, имеющая 500 витков, находится в магнитном поле. Чему будет равно среднее значение ЭДС индукции в этой катушке, если индукция магнитного поля увеличивается в течение 0,1 с 0
до
2 Вб/м2.
8.2. Круговой проволочный виток площадью 100 см2 находится в однородном магнитном поле, индукция которого 1 Вб/м2. Плоскость витка перпендикулярна направлению магнитного поля. Чему будет равно среднее значение
ЭДС индукции, возникающее в витке при выключении поля в течение 0,01 с?
8.3. В однородном магнитном поле, индукция которого равна 0,1 Тл,
равномерно вращается катушка, состоящая из 100 витков проволоки. Катушка
делает 5 об/с. Площадь поперечного сечения катушки 100 см2. Ось вращения
перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля. Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся катушке.
8.4. В однородном магнитном поле, индукция которого равна 0,8 Тл,
равномерно вращается рамка с угловой скоростью 15 рад/с. Площадь рамки
83
150 см2. Ось вращения находится в плоскости рамки и составляет 30 0 с направлением силовых линий магнитного поля. Найти максимальную ЭДС индукции
во вращающейся рамке.
8.5. В однородном магнитном поле, индукция которого равна 0,1 Тл,
равномерно вращается катушка, состоящая из 200 витков проволоки. Период
обращения катушки равен 0,2 с. Площадь поперечного сечения катушки 4 см2.
Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля.
Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся катушке.
8.6. Квадратная рамка из медной проволоки сечением 1 мм2 помещена в
магнитное поле, индукция которого меняется по закону В = В 0 sin t, где
В0 = 0,01 Тл,  = 2/Т и Т = 0,02 с. Площадь рамки 25 см2. Плоскость рамки
перпендикулярна к направлению магнитного поля. Найти зависимость от времени и наибольшее значение: 1) магнитного потока, пронизывающего рамку,
2) ЭДС индукции возникающей в рамке, 3) силы тока, текущего по рамке.
8.7. Через катушку, индуктивность которой равна 0,021 Гн, течет ток
изменяющийся со временем по закону I = I0 sin t, где I0 = 5 А,  = 2/Т
и
Т = 0,02 с. Найти зависимость от времени: 1) ЭДС самоиндукции, возникающей
в катушке, 2) энергии магнитного поля катушки.
8.8. Две катушки имеют взаимную индуктивность, равную 0,005 Гн. В
первой катушке сила тока изменяется со временем по закону I = I0 sin t,
где I0 = 10 А,  = 2/Т и Т = 0,02 с. Найти: 1) зависимость от времени ЭДС, индуцируемой во второй катушке, 2) наибольшее значение этой ЭДС.
8.9. За время 5 мс в соленоиде, содержащем 500 витков, магнитный поток равномерно убывает от 7 мВб до 3 мВб. Найти величину ЭДС индукции в
соленоиде.
8.10. Катушка длиной 20 см и диаметром 3 см имеет 400 витков. По катушке идет ток силой 2 А. Найти: 1) индуктивность этой катушки, 2) магнитный поток, пронизывающий площадь ее поперечного сечения.
8.11. Из какого числа витков проволоки состоит однослойная обмотка
катушки, индуктивность которой 0,001 Гн? Диаметр катушки 4 см, диаметр
проволоки 0,6 мм. Витки плотно прилегают друг к другу.
8.12. Соленоид длиною 50 см и площадью поперечного сечения 2 см2
имеет индуктивность 2∙10-7 Гн. При какой силе тока объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна 10-3 Дж/м3?
84
8.13. Сколько витков имеет катушка, индуктивность которой
L = 0,001 Гн, если при силе тока I = 1 А магнитный поток создаваемый одним
витком Ф = 0,2∙10-5 Вб.
8.14. Две катушки намотаны на один общий сердечник. Индуктивность
первой катушки 0,2 Гн, второй - 0,8 Гн; сопротивление второй катушки 600 Ом.
Какой ток потечет во второй катушке, если ток в 0,3 А, текущий в первой катушке, выключить в течение 0,001 с?
8.15. Рамка, имеющая форму равностороннего треугольника, помещена в
однородное магнитное поле с индукцией 0,08 Тл. Перпендикуляр к плоскости
рамки составляет с направлением магнитного поля угол 300. Определить длину
стороны рамки, если известно, что среднее значение ЭДС индукции, возникающей в рамке при выключении поля в течение времени  t = 0,03 с,
 i = 10 м
В.
8.16.
Магнитный поток, пронизывая
Ф,10 3 Вб
катушку, изменяется со временем, как
Φ
показано на рисунке. Построить график
зависимости ЭДС индукции, наводимой
в катушке, от времени. Каково
0
0,1 максимальное
0,3
0,4 t,c
значение ЭДС индукции,
если в катушке 400 витков провода (рис.47)?
Рис. 47
8.17. Проводник длиной 0,5 м движется со скоростью 5 м/с перпендикулярно силовым линиям в однородном магнитном поле, индукция которого
8 мТл. Найти разность потенциалов, возникающую на концах проводника.
8.18. Найти разность потенциалов, возникающую между концами крыльев самолета ТУ-104, размах крыльев которого 36,5 м. Самолет летит горизонтально со скоростью 900 км/ч, вертикальная составляющая вектора индукции
магнитного поля Земли 5 · 10-5 Тл.
8.19. Проволочный виток радиусом 4 см и сопротивлением 0,01 Ом
находится в однородном магнитном поле с индукцией 10-2 Тл. Плоскость контура составляет угол 300 с линиями поля. Какой заряд пройдет по витку, если
магнитное поле будет равномерно убывать до нуля?
8.20. Чему равна индуктивность катушки, если за время 0,5 с сила тока в
цепи изменилась от 10 А до 5 А, а наведенная при этом ЭДС на концах катушки – 25 В?
85
8.21. Соленоид содержит 1000 витков. Площадь сечения сердечника
10 см , по обмотке течет ток, создающий поле с индукцией 1,5 Тл. Найти среднюю ЭДС самоиндукции, возникающую в соленоиде, если силу тока уменьшить до нуля за 500 мкс.
8.22. При изменении силы тока в соленоиде от 2,5 А до 14,5 А его магнитный поток увеличился на 2,4 мВб. Соленоид имеет 800 витков. Найти среднюю ЭДС самоиндукции, которая возникает в нем, если изменение силы тока
происходит в течение времени 0,15 с. Найти изменение энергии магнитного поля в соленоиде.
8.23. Индуктивность рамки 40 мГн. Чему равна средняя ЭДС самоиндукции, наведенная в рамке, если за время 0,01 с сила тока в рамке увеличилась на
0,2 А? На сколько при этом изменился магнитный поток, создаваемый током в
рамке?
8.24. Катушка индуктивности диаметром 4 см, имеющая 400 витков медной проволоки сечением 1 мм2, расположена в однородном магнитном поле,
индукция которого направлена вдоль оси катушки и равномерно изменяется со
скоростью 0,1 Тл/с. Концы катушки замкнуты накоротко. Определить количество теплоты, выделяющейся в катушке за 1 с. Удельное сопротивление меди
равно 1,7 · 10-8 Ом · м.
8.25. Проволочный виток, площадь которого 102 см2, разрезан в некоторой точке, и в разрез включен конденсатор емкостью 10 мкФ. Виток помещен в
однородное магнитное поле, силовые линии которого перпендикулярны к плоскости витка. Индукция магнитного поля равномерно изменяется со скоростью
2
В
 5 10 3 Тл / с . Определить заряд конденсатора.
t
8.26. В центре плоской круглой рамки, состоящей из 50 витков радиусом
20 см каждый, расположена маленькая рамка, состоящая из 100 витков площадью 1 см2 каждый. Эта рамка вращается вокруг одного из диаметров первой
рамки с постоянной угловой скоростью 300 рад/с. Найти максимальное значение возникающей ЭДС индукции, если в обмотке первой рамки идет ток 10 А
(рис. 48).
++++++++
++++++++
++++++++
++++++++
+ ++++++
++++++++
++++++
I

В
Рис. 48
86
+++++++
+++++++
+ +++++
+++++++
++++++
8.27. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым током 20 А на
расстоянии 1 см находятся две шины, параллельные току. По шинам поступательно перемещается проводник длиной 0,5 м. Скорость его 3 м/с постоянна и
направлена вдоль шин. Найти разность потенциалов на концах проводника
(рис.49).
.
.
+
+
+
+
a
+
l

В
. . . . . . . .
+
+
+
+
+
+


+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + +

В
Рис. 49
8.27. Медный обруч массой 5 кг расположен в магнитном поле индукцией 32·10-3 Тл. Какой электрический заряд пройдет по обручу, если его повернуть на 900 в магнитном поле? В начальный момент плоскость обруча перпендикулярна вектору индукции магнитного поля.
8.28. Виток радиусом 5 м расположен так, что плоскость его перпендикулярна вектору индукции магнитного поля. Индукция изменяется по закону
В  5  10 2 t (Тл). Определить работу индуцируемого электрического поля по перемещению электронов по витку.
8.29. В переменном магнитном поле находится короткозамкнутая катушка сопротивлением 10 Ом и индуктивностью 0,02 Гн. При изменении магнитного потока на 10-3 Вб ток в катушке изменяется на 2·10-3 А. Какой заряд прошел
по виткам катушки за это время?
8.30. Определить направление индукционного тока в медном кольце при
введении в него магнита северным полюсом.
8.31. Внутри однородного проводящего кольца равномерно убывает магнитный момент. Какой будет разность потенциалов между двумя любыми точками кольца?
8.32. Почему при колебаниях металлического маятника между полюсами
электромагнита маятник сильно тормозит свое движение?
8.33. Определите направление напряженности поля сторонних сил при

движении проводника в постоянном магнитном поле со скоростью V (рис.50).
87

В

V
Рис.50
8.34. Почему сердечник трансформаторов собирают из тонких изолированных друг от друга листов стали?
88
Ответы к задачам для самостоятельного решения
1.1. 15,6 г; 1.2. 1,1·10-6 Кл; 1.5. 7,8·10-6 Кл/м2; 1.6. 9·10-5 Н, 4,5·10-5 Н;
1.7. 0,37 м; 1.8. 2·10-4 Кл; 1.9. 1,25 r; 1.10. 22,6 см; 1.11. 45,3 нКл; 1.12. 7,2·103
кг; 1.13. 2; 1.14. 0,9 Н; 1.15. q1=  2,6  10 7 Кл; q2=  6,7  10 8 Кл; 1.16. 9,4·10-8 Кл;
1.17. 56,4 нКл; 1.18. на расстоянии 3,5 см от большего заряда; 1.19. 204 Н;
1.20.
263 пКл; 1.21. 1,6·10-19 Кл; 1.22. в 20 см от большего заряда;
1.23. 1,4·10-10 м; 1.24. 0,9 МН; 1.25. 18,2 пКл; 1.26. 0,5·10-8 Кл; 9·10-9 Н;
1.28. 2,1·106 м/с; 1.30. 7,5·10-8 Кл; 5,8·10-3 Н; 2,9·10-3 Н;
2.1. 50,4 кВ/м; 2.2. 2 см; 2.3. 40,5 В/м; 2.4. 60 кВ/м, 0, 30 кВ/м;
2.5. 112 кВ/м; 2.6. 20,1 мкН; 2.8.3,4 Н/м; 2.9. 8,1 Н/м; 2.10. 3,12 МВ/м;
2.11. 5,1 Н/м; 2.12. 0, 9·104 В/м; 104 В/м; 2.13. 43,2 мВ/м; 2.14. 64,2 кВ/м;
2.15. 0,36 Н; 2.16. 113 В/м; 226 В/м; 2.17. 127 В/м; 2.18. 5,65 кВ/м; 9,8 кВ/м;
2.19. 17 мкПа; 2.20. 4,92 мН; 2.21. 56,5 мкН; 2.22. 1,06 мкКл/м2; 2.23.15 мкКл;
2.24. 1,78 кВ/м; 2.25. 2,5 мКл; 2.27. 2,9·10-2 Н; 1,2·10-2 Н; 2.28.1880 В/м; 0;
2.29. 1,4 МВ; 0,7 МВ;
3.1. 10-8 Кл; 3.2. 500 В; 3.3. 113 мкДж; 3.4. 16,7 см/с; 3.5. 3,7 мкКл/м;
3.6. 296·107 м/с; 3.7. 2,3 кВ; 3.8. 6,7 мкКл/м2; 3.9. 4,1·10-18 Кл;
3.10. 64 мс,
2 см; 3.11. 1,73 нКл; 3.12. 22 кВ; 3.13. 4,7 нКл/м2;
3.14. 2,53·106 м/с;
3.15. 5,7 В/м; 106 м/;, 4,5·10-19 Дж; 2,8 В; 3.16. 9,6·10-14 Н; 1,05·1017 м/с2;
3,24·107 м/с; 3.17. 3,64·107 м/с; 3.18. 1,13·10-9 Дж; 3.19. 179,2 В; 3.20. 31,2 мм;
21 мм; 3.21. 990 В/м; 3.22. 4,2 МВ; 3.23. 48 нс; 22 см; 3.24.  410; 3.25. 1,1·103;
3.26. 4,5·107 В; 3.27. 1,3·10-26 кг; 3.29. 2,5·10-5 Кл/м2; 1,38·10-5 Кл/м2;
4.1. 8,8 нКл; 4.2. 115 В; 4.3. 531 нКл/м2; 1,38 мкКл/м2; 17,7 пФ;
531 нКл/м2; 4.4 15 кВ/м; 45 кВ/м; 75 В; 225 В; 26,6 пФ; 0,8 мкКл/м2;
4.5. 1,8 кВ;
4.6.
0,33 мкФ;
4.7.
2 В;
4 В;
8 мкКл;
4.8.
q1 
C1 C2  C3 U
C1C3U
U C2  C3 
C1C2U
; q2 
; q3 
;U 1 
.
C1  C2  C3
C1  C2  C3
C1  C2  C3
C1  C2  C3
4.9.2,5 мкФ;
4.10. от 22 пФ до 475,5 пФ; 4.11. от 5 пФ до 225 пФ; 4.12. 7 мм; 7 нКл; 1,55 пФ;
15,8 мкФ; 4.13. 56 кВ/м; 5 мм; 107 м/с; 692 нДж; 1,77 пФ; 4.14. 20 мкДж;
8 мкДж; 60 кВ/м; 4.15. 150 кВ/м; 20 мкДж; 50 мкДж; 4.16. 443 мкДж;
17,8 мкДж; 4.17. 443 мкДж; 11,1 мкДж; 4.18. 1,1 пФ; 750 В/м; 48 МДж/м3; 4.19.
4.24. 5 кВ/м; 4,5·10-4 Н; 18 мкДж; 1,1·10-4 Дж/м3;
89
0S
 1   2 ;
2d
4.25. 22·10-2 Дж; 4.26. С/2;
1,1 пФ; 0; 0; 4.20. 80 мкДж; 4.21. 4 мкФ; 4.22. -2,5 Па; 4.23. С 
4.27. 0,25 Дж; 500 В; 4.28. Да; 4.29. 7,5 кВ; 4,5 кВ; 22,5·10-7 Кл; 4.30. 71,2·107
Дж; 5.1. 2 А; 1 А; 5.2. 0,11 А; 0,99 А; 0,11 В; 0,9;
5.4. 0,125 В; 7,5 Ом; 5.5. 2,7 В; 0,9 Ом; 5.6. 0,66 В; 0; 1,33 А; 5.7. 2,5 Ом;
1,5 Ом; 75 В; 12,5 В; 5.8. 0,5 Ом; 2 В; 5.9. 0,2 А; 5.10. 0,4 А; 0,1 А; 60 Ом;
5.11. 32 В; 0,4 А; 5.12. 60 Ом; 5.13. 80 Ом; 5.14. 170 В; 5.15. 193 Вт;
5.16. 78 мм2; 5.17. 18 Дж; 5.18. 83%; 17%; 5.19. 1 Ом; 3,4 В; 5.20. 6 В; 1 Ом;
5.21. 60 Вт; 5.22. 1 А; 5.23. 16 Вт; 5.24. Лампочка с меньшим сопротивлением
потребляет в 1,5 раза больше; 5.25. 100 В; 5.26. 15 Кл; 5.27. 5 Ом; 5.28. 1,75 В, 1,5 В; 5.30. 42%; 6,45 Вт; 50%;
6.1. 0,56·10-15 Дж = 3,5 кэВ; 6.2. 199 А/м; 0; 183,7 А/м; 6.3. 3,3 см от т. А;
6.4. 1,8 см и 6,96 см правее т. А; 6.5. 8 А/м; 55,6 А/м; 6.6. 9,8 А; 6.7. 8 А/м;
6.8. 31,8 А/м; 6.9. 56,3 А/м; 6.10. 77,2 А/м;
6.11. 0,12 В; 6.12. 12,7 А/м;
6.13. 25,7 А/м; 6.14. 12,2 А/м; 6.15.0; 6.16. 37,7 А/м;
6.17. 62,3 А/м;
6.18. 177 А/м;
6.23. 4;
6.27. H 1 
6.30.
6.19. U 2  4U1 ; 6.20. 8 см; 6.21. 6,67 кА/м; 6.22. 1,25 кА/м;
4·10-4 Н;
6.24.
4I
a 2
 22,6
pm
1
e
 0 ;
L
2
m
6.25.
A
I
A
;H2 
 2,82 . 6.29.
м
м
2a 2
0,055 Тл;
6.26.
1,76·1011
Кл/кг
m1 1
 ;
m2 4
7.1. 3,5·10-4 Н·м; 6.28. 10 А/м; 2 Н;; 7.2. 4,5·10-4 Н·м; 7.3. 2,4·10-9 Н·м;
7.4. 1,2·10-9 Н·м; 7.5. 0,5 мДж; 7.6. 0,2 Дж; 7.7. 0,04 Тл; 7.8. 5 А; 7.9. 0,01 Н·м;
7.10. 6,28 мкН·м; 7.11. 600;
7.12. Ф = 1,6·10-8cos 4πt Вб; 1,6·10-8 Вб;
7.13. 10-4 Тл;
7.14. 9,1·10-31 кг;
7.15. 12 мм; 7.16. 1,8 Тл.17. 0,25 Тл;
7.18. 2,36·10-3 Дж; 7.19. 0,05 Дж; 7.20. 0,63 Дж; 7.21. 10 мДж; 7.22. 106 мГн;
7.23. 2,5 Дж; 7.24. 0,05 Гн; 3,6 Дж; 1,6 Дж; 7.25. уменьшается в 2 раза;
7.26. 375 мДж; 7.27. 204,5  ·10-8 Дж; 7.28. 0,6 Гн; 7.29. 5·10-4 Гн;
7.30. 7,98·10-4 Вб;
8.1. 78,5 В; 8.2. 1 В; 8.3. 3,14 В; 8.4. 0,09 В; 8.5.250 мВ; 8.6. 25 мкВб;
7085 мкВ;
2,5 А;
8.8.
 2  15,7 cos100t ,  2 max  15,7 B;
8.9.
400 В;
8.10. 3,55·10-6 Вб; 8.11. 380; 8.12. 1 А; 8.13. 500; 8.14. 0,2 А; 8.15. 10 см;
8.16. 4 В; 8.17. 20 мВ; 8.18. 0,46 В; 8.19. 2,5 мКл; 8.20. 2,5 Гн; 8.21. 3 кВ;
8.22. 12,8 В; 2·10-2 Дж;
8.23. 0,8 В;
8.24. 2,95·10-3 Вт; 8.25. 5·10-10 Кл;
8.26. 4,7·10-3 В; 8.27. 4,7·10-5 В; 8.28. 0,053 Кл; 8.29. 3,925 эВ; 8.30. 94·10-9 Кл.
90
Приложения
Приложение 1
Основные единицы измерения электрических и магнитных величин
Название единицы измерения
Кулон
Величина
Обозначение
Единица измерения
Заряд
Напряженность
электрического поля
Вектор электрической индукции
q
Кл

E
B
м
Вольт на метр

D
Кл
м2
Кулон на метр в
квадрате
Потенциал электрического поля

В
Вольт
Напряжение
U
В
Вольт
Электроемкость
Энергия электрического поля
Электрический ток
Сопротивление
проводника
Вектор магнитной
индукции
Вектор напряженности магнитного
поля
Магнитный поток
Индуктивность
С
Ф
Фарад
W
Дж
Джоуль
I
А
Ампер
R
Ом
Ом

B
Тл
Тесла
А
м
Ампер на метр
Вб
Гн
Вебер
Генри

H

Ф
L
91
Приложение 2
Некоторые физические постоянные
Заряд элементарный
e=1,60219117·10 -19 Кл
Масса покоя нейтрона
mn = 1,674920·10 -27 Кг
Масса покоя протона
mp = 1,672614·10 -27 Кг
Масса покоя электрона
me = 9,109558·10 -31 Кг
Диэлектрическая проницаемость в вакууме
ε0 = 8,85∙10-12 Кл2/Н∙м
Магнитная постоянная
μ = 4π∙10-7 Гн/м∙
Заряд  - частицы
q  2e  3,204 10 19 Кл
Масса  - частицы
m  6,644 10 27 кг
с  2,99792458 10 8 м / с
Скорость света в вакууме
Приложение 3
Множители для образования десятичных кратных и дольных единиц
Наименование
Множитель
Русское обозначение
Международное обозначение
экса
1018
Э
Е
гета
1015
П
Р
тера
1012
Т
Т
гига
109
Г
G
мега
106
М
М
кило
103
к
К
гекто
102
г
H
дека
10
да
Dа
деци
10-1
д
D
санти
10-2
с
С
милли
10-3
м
M
микро
10-6
мк

нано
10-9
Н
N
пико
10-12
П
P
фемто
10-15
Ф
F
92



В
Приложение 4
График зависимости индукции В от напряженности Н магнитного поля для некоторого сорта железа
Приложение 5
Диэлектрическая проницаемость диэлектриков
(безразмерная величина)
Воск
7,8
Парафин
2
Эбонит
2,6
Вода
81
Слюда
6
Парафинир. Бумага
2
Керосин
2
Стекло
6
Масло
5
Фарфор
6
Приложение 6
Удельное сопротивление проводников (при 0°С), мкОм-м
Алюминий
0,025
Нихром
1,00
Графит
0,039
Ртуть
0,94
Железо
0,087
Свинец
0,22
Медь
0,017
Сталь
0,10
93