3. Формулы полной вероятности

Теория вероятностей и
математическая статистика
Занятие 3.
Формулы полной вероятности,
Байеса и Бернулли
Преподаватель – доцент кафедры ВМ, к.ф.-м.н.,
Шерстнёва Анна Игоревна
Формула полной вероятности
Определение. Несовместные события B1, B2,…, Bn
образуют полную группу, если в результате испытания обязательно появится одно из этих событий .
p( B1 )  p( B2 )  ...  p( Bn )  p( B1  B2  ...  Bn )  1
Примеры.
1.
чёрные,
жёлтые
и белые
2. В ящике
вазе лежат
яблоки,
сливы,
грушишары.
и персики.
Из него наудачу вынимается один шар.
фрукт .
В1 – достали
выбрано чёрный
яблоко шар
достали жёлтый
В2 – выбрана
слива шар
В3 – достали
выбрана белый
груша шар
В
персик
B41,–Bвыбран
2, B3 образуют полную группу
B1, B2, B3 , B4 образуют полную группу
Пусть B1, B2,…, Bn – полная группа несовместных
событий.
И пусть событие A может наступить при условии появления одного из событий B1, B2,…, Bn.
Пример. В ящике 8 чёрных, 10 жёлтых и 7 белых шаров. Среди чёрных шаров 2 с дефектом, среди жёлтых
– 4, среди белых – 1. Наудачу вынимается один шар.
В1 – достали чёрный шар
8
чёрных
2
В2 – достали жёлтый шар
В3 – достали белый шар
10 жёлтых
25 4
А – появление шара с дефектом
Найдём р(А).
7
белых
1
7
p( A) 
25
2  4 1  7
Пусть B1, B2,…, Bn – полная группа несовместных
событий.
И пусть событие A может наступить при условии появления одного из событий B1, B2,…, Bn.
N
l1  l2  ...  ln l1  l2  ...  ln 
p( A) 

N N
N
N
A (l1)
В1 (m1)
A (l2)
В2 (m2)
…
mn l n
m1 l1 m2 l2




 ... 


N m1 N m2
N mn
A (ln)
Вn (mn)
 p( B1 ) pB1 ( A)  p( B2 )  pB2 ( A)  ... 
...  p( Bn )  pBn ( A)
p( A)  p( B1 ) pB1 ( A)  p( B2 )  pB2 ( A)  
...  p( Bn )  p Bn ( A)
– формула полной вероятности
p( A)  p( B1)  pB1 ( A)  p( B 2 )  pB2 ( A)  ...  p( B n )  pBn ( A)
Пример. Имеется 2 ящика с деталями. В первом 30 деталей, во втором – 20. Вероятность бракованной детали в первом ящике 0.2, а во втором – 0.1. Найти вероятность того, что наугад выбранная деталь окажется
бракованной.
В1 – деталь из первого ящика
В2 – деталь из второго ящика
30
деталей
0.2
А – деталь бракованная
50
20 деталей
Найдём р(А).
0.1
p( A)  p( B1 )  pB1 ( A)  p( B 2 )  pB2 ( A)
pB1 ( A)  0.2 pB2 ( A)  0.1
30
20
p( A)   0.2   0.1  0.16
50
50
30
p( B1 ) 
50
20
p( B2 ) 
50
Пример. Студент знает 10 из 25 экзаменационных
билетов. В каком случае шансы этого студента
получить знакомый билет выше: когда он подходит
тянуть билет первым или вторым?
А – получил
p2 ( A)  p( B1)  pB ( A)  p( B 2 )  pB ( A)
знакомый билет
10 9 15 10 10  9 15  10
1
10
p1 ( A) 
25
10 знает


25 24


25 24
2

   
25  24 24  25
1
B1
24
9 знает
p( B1 ) 
15 нет
pB1 ( A) 
10 знает
p( B2 ) 
14 нет
pB2 ( A) 
25
15 нет
B2
24
Шансы одинаковы.
10
25
9
24
15
25
10
24
Формулы Байеса
Пусть B1, B2,…, Bn – полная группа несовместных событий, A – событие, которое может наступить при условии появления одного из событий B1, B2,…, Bn.
Найдём вероятность события B1, при условии, что соl1
бытие A наступило.
l1
N


В
(m
)
p
(
B
)

1
1
A
1
A (l1)
l1  l2  ...  ln l1  l2  ...  ln
N
A (l2)
В2 (m2)
N
N
m1 l1

…
N m1


m1 l1 m2 l2
mn ln
В
(m
)
    ... 

n
n
A (ln)
N m1 N m2
N mn
p( B1 )  pB1 ( A)

p( B1 )  pB1 ( A)  p( B2 )  pB2 ( A)  ...  p( Bn )  pBn ( A)
N
p( B1 )  pB1 ( A)
p A ( B1 ) 
p( B1 )  pB1 ( A)  p( B2 )  pB2 ( A)  ...  p( Bn )  pBn ( A)
p( B2 )  pB2 ( A)
p A ( B2 ) 
p( B1 )  pB1 ( A)  p( B2 )  pB2 ( A)  ...  p( Bn )  pBn ( A)
p A ( Bi ) 
p( Bi )  pBi ( A)
p( B1 )  pB1 ( A)  p( B2 )  pB2 ( A)  ...  p( Bn )  pBn ( A)
– формулы Байеса
p( B1)  pB1 ( A)  p( B 2 )  pB2 ( A)  ...  p( B n )  pBn ( A)  p( A)
– формула полной вероятности
p( B1 )  pB1 ( A)
p A ( B1 ) 
p( B1 )  pB1 ( A)  p( B2 )  pB2 ( A)  ...  p( Bn )  pBn ( A)
Пример. Имеется 2 ящика с деталями. В первом 30 деталей, во втором – 20. Вероятность бракованной детали в первом ящике 0.2, а во втором – 0.1. Выбранная
наугад деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она из первого ящика.
В1 – деталь из первого ящика
30
деталей
0.2
В2 – деталь из второго ящика
50
А – деталь бракованная
20 деталей
0.1
p( B1деталь
)  pB ( Aокажет)
того,
что
p A ( B1 )  вероятность
? p A ( B1 ) 
p( B1ящика
)  pB ( A)при
 p( Bусловии,
ся
из
первого
2 )  pB ( A)
pB1 ( A)  0.2
что она
30 бракованная
20
p( B2 ) 
pB2 ( A)  0.1 p( B1 ) 
 p A ( B1 )  0.75
1
1
50
50
2
Пример. Студент пришёл сдавать экзамен, зная 10 из 25
экзаменационных билетов. Знание билета гарантирует
сдачу экзамена с вероятностью 0.9, незнание – с вероятностью 0.2. Студент сдал экзамен. Какова вероятность,
что ему попался незнакомый билет?
В
–
знакомый
билет
1
10 знает
0.9
В2 – незнакомый билет
25
А – сдал экзамен
15 нет
0.2
10
15
p( B2 ) 
p( B1 ) что студенту
вероятность,
25
25
Найти
p( B2 )  попался
pB ( A)
незнакомый
при
pB ( A)  билет,
0.9
pA ( B2 ) 
p( B1 )  pB ( A) условии,
p( B2 )  pB что
( A) он
0.2
pBсдал
( A) экзамен.
2
1
1
2
2
15 2
15

 0 .2
15  2
1
25
10
25

 15 2 10 9 
pA ( B2 ) 
15  2  10  9 4
15
10



 0 .2   0 .9
25 10 25 10
25
25
Формула Бернулли
Пусть производится n независимых испытаний, в
каждом из которых событие A может появиться, либо
не появиться.
Пусть в каждом испытании вероятность события A
p(A) = p.
Найдём вероятность того, что при n испытаниях событие A осуществится ровно k раз.
Обозначим эту вероятность pn(k).
p7(3) – вероятность того, что при 7 испытаниях
событие A появится ровно 3 раза
Пример. Имеется 5 ящиков деталей, вероятность
брака в каждом из них – 0.1. Какова вероятность, что
из пяти деталей, наугад выбранных по одной из
каждого ящика, три окажутся бракованные?
p5(3) – ?
A 0.1 брак
A 0.1
0.9 не брак
1
3
2
p5 (3)  0.1  0.9  k
2
0.9
0.9
1, 2, 3 – брак, 4, 5 – не брак
1, 2, 4 – брак, 3, 5 – не брак
2, 3, 4 – брак, 1, 5 – не брак
3
A 0.1 A 0.1 A 0.1
0.9
4
0.9
5
0.1  0.1  0.1  0.9  0.9  0.13  0.92
0.1  0.1  0.9  0.1  0.9  0.13  0.92
0.9  0.1  0.1  0.1  0.9  0.13  0.92
5!
3
k  C5 
(5  3)!3!
p5 (3)  0.13  0.953  C53
Найдём вероятность того, что при n испытаниях событие A осуществится ровно k раз.
pn(k) – ?
A p
A p
1– p
1
p5 (3)  0.1  0.9
3
53
1– p
…
2
A p
1– p
n
C
3
5
В общем виде аналогично получаем формулу:
pn (k )  p k  (1  p)n  k  Cnk
Обозначим через q  1  p . Тогда
pn (k )  p k  q n  k  Cnk – формула Бернулли
Пример. Вероятность попадания стрелком в мишень –
0.8. Какова вероятность, что при шести выстрелах он
два раза промахнётся?
0.8 – попадание
pn (k )  p k  qn  k  Cnk
q  1 p
0.2 – промах
п – количество выстрелов
k – количество промахов
р – вероятность промаха
n6
k 2
p  0.2
q  1  p  0.8
p6 ( 2)  0.22  0.862  C62
6!
2
4 5 6
p6 ( 2)  0.2  0.8 
 0.2  0.8 
 0.246
4!2!
2
2
4
Контрольные вопросы
1. Что такое полная группа событий?
2. Чему равна сумма вероятностей несовместных
событий, образующих полную группу?
3. В каких ситуациях применяют формулу полной
вероятности?
4. Приведите формулу полной вероятности.
5. В каких ситуациях применяют формулы Байеса?
6. Приведите формулы Байеса.
7. В каких ситуациях применяют формулу Бернулли?
8. Приведите формулу Бернулли.