Министерство науки и образования РФ Томский

Министерство науки и образования РФ
Томский политехнический университет
Институт природных ресурсов
Кафедра:геоэкологии и геохимии
Формула Байеса.
Физический смысл и примеры
расчётов.
Выполнила: студентка гр.2Г00,
Довыдова Е.А.
Проверила:преподаватель,
Тарбокова Т.В.
Томск 2011
Формула Байеса — одна из основных теорем элементарной
теории вероятностей, которая позволяет определить
вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза)
при наличии лишь косвенных тому подтверждений, которые
могут быть неточны.
Полученную по формуле вероятность можно далее уточнять,
принимая во внимание данные новых наблюдений.
Названа по имени установившего её английского
математика Т. Бейеса
То́мас Ба́йес (1702 — 17 апреля 1761) — английский математик и
пресвитерианский священник, член Лондонского королевского
общества (1742).
Математические интересы Байеса
относились к теории вероятностей.
Он сформулировал и решил одну из
основных задач этого раздела
математики (теорема Байеса).
Работа, посвящённая этой задаче,
была опубликована в 1763 году, уже
после его смерти. Формула Байеса,
дающая возможность оценить
вероятность событий эмпирическим
путём, играет важную роль в
современной математической
статистике и теории вероятностей.
Формула Байеса:
где
P(A) — априорная вероятность гипотезы A ;
P(A | B) — вероятность гипотезы A при наступлении события B
(апостериорная вероятность);
P(B | A) — вероятность наступления события B при истинности
гипотезы A;
P(B) — вероятность наступления события B.
Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по
известному факту события вычислить вероятность того, что оно было
вызвано данной причиной.
События, отражающие действие
«причин», в данном случае обычно
называют гипотезами, так как они —
предполагаемые события,
повлекшие данное. Безусловную
вероятность справедливости
гипотезы называют априорной
(насколько вероятна причина
вообще), а условную — с учетом
факта произошедшего события —
апостериорной (насколько вероятна
причина оказалась с учетом данных
о событии).
Важным следствием формулы Байеса является формула полной
вероятности события
— вероятность наступления события B, зависящего от ряда
гипотез Ai, если известны степени достоверности этих гипотез
(например, измерены экспериментально);
Пример №1:
Пусть вероятность брака у первого рабочего p1 = 0,9,
у второго рабочего — p2 = 0,5,
а у третьего — p3 = 0,2.
Первый изготовил n1 = 800 деталей,
второй — n2 = 600 деталей,
а третий — n3 = 900 деталей.
Начальник цеха берёт случайную деталь, и она оказывается
бракованной. Спрашивается, с какой вероятностью эту деталь изготовил
третий рабочий?
Cобытие B — вероятность брака детали, событие Ai — деталь произвёл
рабочий i. Тогда P(Ai) = ni / N, где N = n1 + n2 + n3, а P(B | Ai) = pi. По
формуле полной вероятности
По формуле Байеса получим:
Пример №2:
Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит
два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном
выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5; для
третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что
выстрелы произведены первым стрелком.
Решение.
Возможны три гипотезы:
- на линию огня вызван первый стрелок,
- на линию огня вызван второй стрелок,
- на линию огня вызван третий стрелок.
Так как вызов на линию огня любого стрелка
равновозможен, то
В результате опыта наблюдалось событие В - после произведенных
выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого
события при сделанных гипотезах равны:
по формуле Байеса находим вероятность гипотезы
опыта:
после
Спасибо за внимание!