Решение показательных неравенств. Необходимые умения. Знать свойства степеней с рациональным показателем и уметь преобразовывать выражения содержащие степени и корни. Уметь решать рациональные неравенства методом интервалов. http://ta- shah.ucoz.ru/load/egeh/egeh_s3/s3_1_reshenie_racionalnykh_neravenstv_ metodom_intervalov/15-1-0-85 Понимать значение понятий: система, совокупность. Уметь решать системы и совокупности. http://ta-shah.ucoz.ru/load/egeh/egeh_s3/s3_2_sistemy_i_sovokupnosti/15-1-0-86 Следует помнить, что неравенство является показательным, если основание степени больше нуля и не равно единице. 09.05.2016 2 Некоторые методы решения показательных неравенств. Назад Простейшие показательные неравенства Сведение неравенства к простейшему Метод введения новой переменной Разложение на множители Сведение к равносильной совокупности Метод рационализации (замены множителей) Простейшие показательные неравенства Методы Неравенство вида a f(x)< a g(x), где а>0 и а≠1, называется показательным Решение основано на следующем свойстве показательной функции: - функция у=ах возрастает, если а>1 - функция у=ах убывает, если 0<а<1 a f ( x ) a g( x ) Таким образом: f(x)<g(x) при а>1 09.05.2016 f(x)>g(x) при 0<а<1 4 Простейшие показательные неравенства Пример 1. 23 4 x 5 23 3 x 8 23 1 4 x 5 3x 8 Ответ : x 13 Пример 3. 3 ,14 1 4 x 2 5 3 x 2 4 x2 3 x 7 0 7 4 4 x 2 5 3 x 2 1 7 Ответ : ; 1; 4 Методы Пример 2. 0 ,234 x 5 0 ,233 x 8 0 0 ,23 1 4 x 5 3x 8 Ответ : x 13 Пример 4. 3 3 5 3 3 5 6 6 27 25 3 4 x 5 3 3 5 3 x 8 3 1 5 4 x 5 3x 8 Ответ : x 13 5 Свойства Сведение неравенства к простейшему Пример 5. 3 3 3 x 2 4 ,5 x 2 4 ,5 x 2 4 3 Методы 1 27 30 ,5 3 3 3 3 x 2 4 3 x2 1 0 1 Ответ : 1 ;1 1; Свойства Методы Сведение неравенства к простейшему Пример 6. 10 3 x 3 2 x 0 , 81 3 3 x 3 2 x 10 81 32 100 1 3 x 3 4 x 2 10 9 9 10 2 2 1 ( 3x2 3 ) 4 x 2 3 x2 3 8 x 3 x2 8 x 3 0 2 10 9 1 3 x2 3 2 10 9 4x 1 3 3 1 Ответ : ;3 3 Свойства Методы Сведение неравенства к простейшему Пример 7. 5 x 1 2 x 2 8 10 x 5 x 1 2 x2 2 2 5 2 (5 2 ) 5 x2 3 x2 5 x 1( x 2 3 x 2 ) x 2 4 x 3 10 2 x 2 4 x 3 3 x2 3 5 x 1 2 x 2 3 2 x2 3 x2 2 x 2 3 x2 10 0 x2 4 x 3 0 x2 4 x 3 0 x2 3 x2 ) 1 x 2 3 ( x 2 3 x 2 ) x 2 4 x3 ( 2 (5 2 ) 3 1 1 1 3 Ответ : ( 1;3 ) 9 Свойства Методы Сведение неравенства к простейшему 1 16 Пример 8. 1 2 4 x 1 1 1 2 2 1 2 4x 4 x2 x 0 , 25 1 4 1 2 2 1 1 2 2 4x 4 x3 5 1 8 2 4x 5 4 3 5 8 1 2 3 4x 4 x3 5 4 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 x 1 5 4 4x 5 4 5 4 1 2 1 2 4x 4x 2 1 2 1 4 x 1 1 Ответ : x 4 10 Свойства Сведение неравенства к простейшему Пример 8. Методы 2 2 x 1 3 2 x 1 3 2 x 7 2 2 x 2 2 2 x 3 32 x 32 x 7 2 2 x 2 7 2 2 x 1 3 32 x 9 2 2 x 4 3 2 x 32 x 9 22 x 4 2x 3 9 2 3 2x 2 3 2x 2 2 Ответ : x 1 11 Свойства Метод введения новой переменной Пример 9. Методы 25 x 4 5 x 5 0 5 2x 45 5 0 x Замена : 5 x t 5 2 x t 2 t2 4t 5 0 ( t 5 )( t 1 ) 0 5 t 5 t 1 1 5 х 5 x 5 1 нет решений x 0 5 5 Ответ : x 0 Свойства Метод введения новой переменной Пример 10. Методы 25 x 4 5 x 5 0 5 2x Замена : 5 x t 5 2 x t 2 45 5 0 x t2 4t 5 0 ( t 5 )( t 1 ) 0 5 t 5 t 1 1 5 x 5 x 5 1 x R x 0 5 5 Ответ : x 0 Свойства Методы Метод введения новой переменной Пример 11. 5 5 12 x 143 12 x 2 5 5 12 x 143 12 x 144 5 5 t 143 144 t Замена : 12 x t 144 t ( t 144 ) 0 5 144 t 5 ( t 143 ) 0 5 144 t ( t 143 ) 0 t1 143t 143 0 5x 1 5 x 50 Ответ : x 0 Свойства Метод введения новой переменной Методы Пример 12. ( 19 6 10 ) x 6 ( 10 3 ) x 1 0 Заметим, что выражение ( 10 3 )2 x 6 ( 10 3 ) x 1 0 в первой скобке равно квадрату выражения, t2 6 t 1 0 находящегося во второй скобке ( t ( 3 10 )( t ( 3 10 )) 0 Замена : ( 10 3 ) x t 3 10 3 10 t 3 10 ( 10 3 ) x 3 10 x R x t 3 10 ( 10 3 ) 3 10 ( 10 3 ) x ( 10 3 )0 0 10 3 1 Ответ : x 0 Свойства Методы Метод введения новой переменной ( 3 2 2 )x ( 3 2 2 )x 6 0 Числа (a-b) и (a+b) 1 t 6 0 t 0 являются взаимно t 2-b2=1 обратными, если a t2 6t 1 0 (наш случай) ( t ( 3 2 2 )( t ( 3 2 2 )) 0 Замена : ( 3 2 2 ) x t Пример 13. 1 (32 2 ) t x 32 2 t 3 2 2 t 3 2 2 32 2 ( 3 2 2 ) x ( 3 2 2 )1 x 1 0 32 2 1 x 1 x 1 ( 3 2 2 ) ( 3 2 2 ) Ответ : ( ;1 ) ( 1; ) Свойства Разложение на множители Пример 14. Методы 8 x 3 4 x 2 x 2 12 0 2 3 x 3 2 2 x 4 2 x 12 0 Замена : 2 x t t 3 3 t 2 4 t 12 0 t 2 ( t 3 ) 4( t 3 ) 0 ( t 2 4 )( t 3 ) 0 ( t 2 )( t 2 )( t 3 ) 0 ( 2 x 2 )( 2 x 2 )( 2 x 3 ) 0 ( 2 x 2 )( 2 x 3 ) 0 2x 2 0 2 x 21 Ответ : x 1 Свойства Разложение на множители Методы Пример 15. 4 8 x 6 12 x 2 18 x 3 27 x 0 4 2 3 x 6 2 2 x 3 x 2 2 x 32 x 3 33 x 0 Замена : 2 x a 3x b 4a 6 a b 2ab 3b 0 3 2 2 3 2 a 2 ( 2 a 3b ) b 2 ( 2 a 3 b ) 0 ( 2a 2 b 2 )( 2a 3b ) 0 ( 2 2 2 x 3 2 x )( 2 2 x 3 3 x ) 0 ( 2 2 x 3 2 x ) 0 2 2 x 1 3 2 x 1 0 2 2 x 1 2 3 3 2 x 1 2 x 1 1 3 2 x 1 0 2 3 2 x 1 2 3 2x 1 0 0 Ответ : x 0 ,5 Свойства Разложение на множители Методы 3 3 x 3 2 x 1 3 x 1 1 0 Пример 16. 33 x 3 32 x 3 3 x 1 0 Замена : 3 x a a 3 3a 2 3a 1 0 ( a 3 1 ) ( 3a 2 3a ) 0 ( a 1 )( a 2 a 1 ) 3a( a 1 ) 0 ( a 1 )( a 2 a 1 3a ) 0 a1 0 ( a 1 )( a 2 2a 1 ) 0 a1 ( a 1 )( a 1 ) 0 3x 1 ( a 1) 0 3 x 30 Ответ : 2 3 x0 Свойства Сведение к равносильной совокупности Пример 17. ( x 4x ) 2 x 2 5 x ( x 4x ) 2 x 2 5 x 1 ( x 2 4 x )0 Если х2-4х≠1, то необходимо рассматривать два случая: x 4 x 1 2 x 5 x 0 2 0 x 4x 1 x 2 5 x 0 2 Методы Во первых, заметим, что если х2-4х=1, то неравенство выполнено; при х=0 - не имеет смысла x 2 5 решения 2 1) x 4 x 1 0 2 x 5x 0 ( x ( 2 5 ))( x ( 2 5 )) 0 x( x 5 ) 0 5 2 5 0 2 5 Свойства Сведение к равносильной совокупности Пример 17. ( x 4x ) 2 x 2 4 x 1 2 1) x 5 x 0 2 0 x 4x 1 x 2 5 x 0 x 2 5 x 1 5 Методы x 2 5 решения 2 5 2 5 0 2 0 x 4x 1 2) 2 x 5 x 0 ( x ( 2 5 ))( x ( 2 5 )) 0 x( x 4 ) 0 2 5 x( x 5 ) 0 5 0 4 2 5 Решение – объединение решений двух случаев Ответ : ( ;5 ] [ 2 5 ;0 ) [ 2 5 ; ) Свойства Метод замены множителей Методы Знак выражения hf-hg совпадает со знаком выражения (h-1)(f-g) Пример 17 (второй способ). ( x 4 x ) 2 ( x 4x ) 2 x 2 5 x x 2 5 x ( x 2 4 x )0 0 1 при х=0 - не имеет смысла ( x 2 4 x 1 )( x 2 5 x ) 0 x( x ( 2 5 ))( x ( 2 5 ))( x 5 ) 0 5 2 5 0 2 5 Ответ : ( ;5 ] [ 2 5 ;0 ) [ 2 5 ; ) Свойства Методы Спектр решения таких задач значительно расширится после изучения темы «Логарифмы» Мы сможем записывать решение, например, такого неравенства: 2x 3 Источники Мордкович А. Г. Задачник (профильный уровень) 11 класс Алтынов П. И. «Контрольные и зачетные работы по алгебре. 11 класс» Методы