Матрицы. Действия с матрицами.

Обобщение опыта на педагогическом портале ЦРПИ «Знание» http://pedznanie.ru
Матрицы. Действия с матрицами.
Секция: математика ЕН.01
Автор: Антипина Ирина Викторовна
преподаватель
ГБПОУ ВО КПГК
Содержание
Введение. Цель занятия…………………………………………………...2 - 3
1. Основные понятия………………………………………………………4 - 5
2.Действия над матрицами………………………………………………..6 - 9
2.1 Сложение матриц.
2.2 Умножение матриц на число.
2.3 Произведение матриц.
3.Практическое применение знаний студентов……………………..........10 - 11
Заключение
Список использованных источников
Введение
Алгебра – одна из составных частей современной математики. Название
алгебра происходит от названия книги арабского математика Мухаммеда аль
Хорезми «Ал-д жабр…».
Основной задачей алгебры было решение алгебраических уравнений, а так
же систем уравнений и как особо важный случай, систем линейных
уравнений. Для решения систем линейных уравнений были введены понятия
матрицы и определители, которые затем стали самостоятельными объектами
изучения. Указанный материал впоследствии стал относиться к высшей
алгебре.
Первые упоминания о матрицах дошли до нас ещё из Древнего Китая, а
так же и из работ древних арабских математиков. В те давние времена
матрицы называли «волшебными квадратами», и уже тогда стали зарождаться
правила сложения двух и более матриц. Уже некоторое время спустя в XXVII
в, когда появилась теория определителей, выдающийся математик Габриэль
Крамер опубликовал свое, по сей день известное и используемое «Правило
Крамера». Приблизительно в этот же период появился не менее популярный
«Метод Гауса». Ну а непосредственно введение самого термина «матрица» заслуга Джеймса Сильвестра. Термин появился в 1850 году.
Данная разработка занятия, посвященная теме «Матрицы. Действия над
матрицами», является частью дисциплины ЕН.01 Математика для
специальностей 080114 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям) и
230701 Прикладная информатика (по отраслям) в разделе Линейная алгебра.
Весь материал разбит на темы. Вначале приводится необходимый минимум
теоретических сведений, затем подробно разбираются примеры. После
примеров приводятся задания для самостоятельного решения. Так же
приведены задания для контроля знаний, умений и навыков.
Первая часть занятия посвящена основным понятиям. Матрицы уже
давно стали неотъемлемой частью решения многих математических задач и
вопросов. Происходит знакомство студентов с максимально широким кругом
понятий: матрица, квадратная матрица, треугольная матрица, единичная
матрица, нулевая матрица, транспонированная матрица, противоположная
матрица, элементы матрицы, элементы главной и побочной диагонали.
Во второй части подробно рассматриваются операции над матрицами. С
матрицами можно выполнять стандартные алгебраические операции:
сложение, вычитание, умножение, деление. Подразумевается как сложение,
умножение, вычитание матрицы с одним числом, отличным от нуля и так же
все эти операции между двумя матрицами. Однако их можно проделывать не
с любыми матрицами, а лишь теми, что соразмерны друг другу. Все эти
сведения общеизвестны и широко применяемы.
В третьей части даны задания для практического применения и
первичного контроля знаний и умений студентов.
Я выбрала данную тему, потому что в настоящее время существует ряд
обстоятельных руководств по линейной алгебре, предназначенных для
1
студентов средних и высших учебных заведений, но ощущается потребность
в таком изложении материала и подбора простых и конкретных примеров, что
бы студент со скромной математической подготовкой, смог легко применить
их на практике.
Цель занятия – просто и доходчиво на конкретных примерах изложить
материал, основные методы и приемы одного из разделов линейной алгебры.
Систематизировать знания студентов при изучении основных формул,
сформировать умения и навыки применения формул к решению заданий,
закрепить приемы и способы вычисления.
1. Основные определения. Свойства матриц.
Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную
таблицу, которая содержит m строк и n столбцов.
Матрица записывается в виде A =
, или
сокращенно A = ( ), где i = 1,2.3, …, m означает номер строки, j = 1, 2, 3, …,
n – номер столбца.
Матрицу А называют матрицей размера m×n и пишут
.
Числа
, составляющие матрицу, называются ее элементами.
Матрицы равны между собой, если равны соответствующие элементы
этих матриц, если
=
,
где i=1,2,3,…,m, j=1,2,3,…,n
Матрицы равны между собой, если равны соответствующие элементы
этих матриц, если
=
,
где i=1,2,3,…,m, j=1,2,3,…,n
Рассмотрим квадратную матрицу порядка n: A =
Элементы, стоящие на диагонали, идущей из левого верхнего
угла, образуют главную диагональ, а элементы, стоящие на диагонали,
идущей из правого верхнего угла, образуют побочную диагональ.
2
Пример. A =
квадратная матрица 3– го порядка.
Квадратичная матрица, у которой все элементы, кроме элементов
главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
Пример. A =
диагональная матрица n – го порядка.
Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной
диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.
Пример. E =
единичная матрица 3– го порядка.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.
Обозначается буквой О. Имеет вид О =
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы,
расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.
Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется
вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно).
A=
, B=(
).
Матрица, полученная из данной заменой каждой строки столбцом с тем
же номером, называется транспонированной к данной. Обозначается .
Транспонированная матрица обладает следующим свойством: ( )т = A
Пример. A =
,
=
Свойства матриц.
1. Переместительный закон сложения А+В=В+А,
2. Сочетательный закон сложения (А+В)+С=А+(В+С),
3. А+О=А;
3
4. Для любой матрицы А существует матрица –А, такая, что А+(-А)=0,
т.е. матрица, противоположная А;
5. 1∙А=А;
6.
α∙(А+В)=αА+αВ;
7. (α+β)∙А=αА+βА;
8.
α∙(βА)=(αβ)∙А.
где A, B, C – либо квадратные матрицы одного порядка n, либо
прямоугольные матрицы одного размера m n, и – числа.
2. Действия над матрицами.
2. 1. Сложение матриц.
Суммой двух матриц A = (aij) и B = (bij) называется матрица C = (cij),
элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В,
т.е. cij = aij + bij, где i = 1, 2, 3, …, m, j = 1, 2, 3, …, n.
Операция сложения вводится только для матриц одинаковых размеров.
Пример 1.
+
=
Аналогично определяется разность матриц.
Матрица – А = (-1) А называется противоположной матрице А.
Разность матриц А – В можно определить так: А – В = А + (– В )
2. 2. Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы на число k называется матрица kA, каждый
элемент которой равен kaij, где i= 1,2,3, …, m, j = 1,2,3, …,n, т.е. если
A=
, то kA=
Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число
всех элементов матрицы.
Пример. A =
, при k = 2 имеем 2A =
4
2.3. Произведение матриц.
Произведением матрицы Amn на матрицу Bnp называется матрица Cmp
такая, что сij = ai1 b1k + ai2 b2k + … + ain bnk, где i= 1,2,3, …, m, j = 1,2,3, …,p.
Операция умножения матриц вводится только для случая, когда число
столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы
Схематическое изображение:
  


    i
  


    


    
    


j
Чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i – ой строки и j – ого
столбца матрицы произведения, нужно все элементы i – ой строки (ai1, ai2, …,
ain) матрицы А умножит на соответствующие элементы j – ого столбца (b1k ,
b2k , …, bnj) матрицы В и полученные произведения сложить.
Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка. Пусть
A=
. Произведением этих матриц называется
,B=
матрица C = AB =
, т.е.
c11 =
c12 =
c21 =
c22 =
Пример1.
A=
. Найти: C = AB.
,B=
Решение:
C=
=
Рассмотрим умножение квадратных матриц третьего порядка. Пусть
A=
,B=
.
Произведением этих матриц называется матрица
C = AB =
, т. е.
с11 =
с12 =
с13 =
5
c21 =
c22 =
с23 =
c31 =
c32 =
c33 =
Пример 2.
A=
+
+
+
+
+
. Найти: C = AB.
, B=
Решение:
с11 =
с12 =
с13 =
c21 =
c22 =
с23 =
c31 =
c32 =
c33 =
=6
=2
= 1
+
=6
+
+
=1
=1
=8
+
+
= 1
=4
Ответ: C =
Свойства.
A (B C) = (A B) C
(A B) = ( A)B
A (B + C) = AB + AC
AB
(A + B) C = AC + AB
Практические задания в приложении.
Рефлексия.
6
BA
Контрольные вопросы.
1. Дайте определение матрицы.
2. Что называется матрицей – строкой? Матрицей – столбцом?
3. Какие матрицы называются прямоугольными? Какие квадратными?
4. Какие матрицы называются равными?
5. Что называется главной диагональю матрицы?
6. Какая матрица называется диагональной?
7. Какая матрица называется единичной?
8. Как найти сумму матриц?
9. Как найти произведение матрицы на число?
10.Как найти произведение матриц?
11.В чём состоит обязательное условие существования суммы матриц?
12.В чём состоит обязательное условие существования произведения
матриц?
13.Какими свойствами обладает произведение матриц?
Домашнее задание: №5, №7(б, д), №9.
7
Приложение 1.
Практические задания.
Задание 1. Сложить матрицы А и В, если:
2
4
 ,
а) A  
 1 3
1 3 

B  
 1  4
 1 2  3
 2  4 1
 , B  

2

4
3
3
0
2




б) A  
 2  1


в) A   3 5  ,
 0  8


Задание 2.
 1 0  3

B  
2 4 8 
 2 1 4 


Умножить матрицу A   0 5  3  на число k=3.
 2 1
0 

 0 1 5

 4 3 7
Задание 3. Найти матрицу, противоположную матрице А= 
Задание 4. Найти линейную комбинацию 3А-2В, если
 2 4 0 


A   1 5
1 ,
0
3  7 

 4 1  2


B  0  3 5 
 2 0  4


Задание 5. Вычислить линейную комбинацию матриц 2А-В, если
2  6 1
 ,
A  
 3 0 4
3 
 5 2

B  
 0 1  2
Задание 6. Вычислить линейную комбинацию матриц 2А+3В-С, если
 2  1
 ,
A  
3 4 
1 2 
 ,
B  
 0  4
  7  4

C  
 18  8 
Задание 7. Найти произведение матриц АВ, если:
3
 1
 1 1

B  
 3 1
 ,
б) A  
 2  3
5
1 
 2 0

B  
 0 1
 1 1 3


в) A   0 2 1  ,
 1 0 4


 3 1 0


B   0 1 1
 2 0 1


 ,
а) A  
 1 2 
0 1

2 1
г) A  
3 0

3 7

2

1
,
1

1 
 3 1


B   2 1
 1 0


 1 2


 2 1 0
 , B   2 1 
д) A  
 3 1 1
 2 2


8
Задание 8. Вычислить
1 2 1


A   2 1 0 ,
 1 2 3


а) C  A2  2 B ,
б) C  AB  BA , где
 4 1 1


B   4 2 0
1 2 1


 1 2


 2 1 0
 , B   2 0 
Задание 9. Найти 3 A  2B , если A  
 3 2 1
 3 1


Задания для самостоятельной работы.
Вариант №1.
1. Найти: (A-B)A+2B,
2. Найти:
если
A=
2(A+B)(2B-A) , если
A=
B=
B=
Вариант №2.
1. Найти:
(A-B)A+3B, если
2. Найти. (A+2B)(3A-B)
A=
A=
B=
B=
Заключение
В настоящее время существует множество пособий и руководств по
линейной алгебре, предназначенных для студентов средних и высших
учебных заведений.
В результате достижения цели – просто и доходчиво на конкретных
примерах изложить материал, основные методы и приемы одного из разделов
линейной алгебры. Систематизировать знания студентов при изучении
основных формул, сформировать умения и навыки применения формул к
решению заданий, закрепить приемы и способы вычисления. Было
переработано и переосмыслено множество учебных пособий и задачников
различных авторов. В результате был создан краткий курс на тему Матрицы.
Операции над матрицами.
9
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Список литературы
Просветов Г. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Задачи и
решения: Учебно- практическое пособие.2-е изд., доп. – М.:
Издательство «Альфа-Пресс», 2009. – 208 с.
Кирсанов А.А. Задачник-практикум по линейной алгебре. Матрицы.
Детерминанты. Системы линейных уравнений. Псков: ПГПИ, 2002.-56
с.
Гомонов, С.А. Математика. Линейная алгебра: Учебно-справочное
пособие / С.А. Гомонов. - М.: Форум, НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 144 c.
Горлач, Б.А. Линейная алгебра: Учебное пособие / Б.А. Горлач. - СПб.:
Лань, 2012. - 480 c.
Кочетков, Е.С. Линейная алгебра: Учебное пособие / Е.С. Кочетков,
А.В. Осокин. - М.: Форум, 2012. - 416 c.
Рудык, Б.М. Линейная алгебра: Учебное пособие / Б.М. Рудык. - М.:
НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 318 c
Электронный учебный комплекс 1С: Высшая школа. «Линейная
алгебра и аналитическая геометрия». При подборе задач и упражнений
использовались различные источники, в том числе известные
задачники:
1. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная
алгебра в вопросах и задачах. М.: Физматлит, 2002.
2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.:
Наука, 1978.
3. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. М.: Наука,
1975.
10