КУБИЧНАЯ НЕЛИНЕЙНОСТЬ (3) nm i t ˆ , (2) ] exp[(i )(t t )] dt [ V nm nm nm E(t ) E( p ) exp( i pt ) p (3) nm (2) nm K nm exp[ i ( p q )t ] , p ,q [dn E(r )]K ml [d mE(r )]Kn l exp[i( p q r )t ] (nm p q r ) i nm l , pqr 1 P(3) (p q r ) N d(3) (p q r ) d (3) (t ) d (3) ( p ) exp( i pt ) p Pk(3) ( p q r ) hij ;( pqr ) (3) kjih ( p q r , r , q , p )E j (r ) Ei (q ) Eh ( p ) КУБИЧНАЯ НЕЛИНЕЙНОСТЬ (3) kjih ( p q r , r , q , p ) N Perm 3 nm l 1 (nm p q r ) i nm k (0) d mn d nj di l d lmh (0) ( mm ll ) [( m p q ) i m ][(lm p ) i lm ] k i d mn d nj d lm dhl (0) (0) ( ll ) [( m p q ) i m ][( l p ) i l ] ( k d mn djm d nli d lh ) [(n p q ) i n ][(l p ) i l ] ( k d mn djm d li d nlh ) [(n p q ) i n ][(nl p ) i nl ] (0) (0) ll (0) ll (0) nn Perm – все перестановки частот( p , q , r ) и одновременно индексов декартовых координат (h,i,j). Резонансы Локальное поле Лоренца На атомы действует не макроскопическое (усредненное по физически бесконечно малым объемам) поле, а микроскопическое («действующее») поле. Для разреженных сред различие между этими полями отсутствует. Для конденсированных сред связь между полями зависит от симметрии кристалла. В простейшем случае (изотропные среды и некоторые классы кристаллических решеток, см. Ч. Киттель. Введение в физику твердого тела) Eloc (1) 2 3 E Тогда в выражении для нелинейной поляризуемости появляются множители типа дроби на различных частотах. Диаграммная техника для матрицы плотности: О.В. Константинов, В.И. Перель. ЖЭТФ 39, 197 (1960) Свойства нелинейной восприимчивости Пример квадратичной нелинейности Pi (2) ( p q ) ijk(2) ( p q , p , q )E j (q ) Ek ( p ) jk ;( pq ) Взаимодействие волн с частотами Нужно задать 6 тензоров 1 , 2 и 3 1 2 ijk(2) (3 , 1, 2 ) ijk(2) (3 , 2 , 1 ) ijk(2) (1, 2 , 3 ) ijk(2) (1, 3 , 2 ) (2 , 1, 3 ) ijk(2) (2 , 3 , 1 ) (2) ijk . + 6 тензоров с изменением знака каждой частоты, итого 12 (комплексных) тензоров. В каждом из тензоров 3x3x3 = 27 компонент. Итого требуется знание 12 х 27 = 324 комплексных величин. Необходимо привлечение дополнительных соображений для уменьшения числа этих величин. Свойства квадратичной восприимчивости Вещественность полей Ei (t ) Ei (n ) exp( int ) Ei ( n ) exp(int ) Ei ( n ) Ei* (n ) Pi (t ) Pi (n m ) exp[ i (n m )t ] Pi ( n m ) exp[i (n m )t ] Pi ( n m ) Pi * (n m ) ijk(2) (p q , p , q ) ijk(2) (p q , p , q )* Свойства квадратичной восприимчивости Прозрачные среды (без поглощения) Затухание mn 0 Im ijk(2) 0 Полная перестановочная симметрия (перестановка всех частотных аргументов одновременно с перестанов индексов координат, например (2) ijk(2) (3 1 2 ) (2) ( ) jki 1 2 3 jki (1 2 3 ) ijk(2) (3 1 2 ) kij(2) (2 3 1 ) Эти соотношения можно вывести и из выражения для плотности электромагнитной энергии в прозрачной нелинейной среде. Симметрия Клейнмана Прозрачная среда, все частоты далеки от резонансных. Тогда частотная дисперсия слаба, ею можно пренебречь. Для квадратичной нелинейности в изотропном варианте P(t ) (2) E(t )2 С учетом анизотропии Pi (t ) ijk(2) E j (t ) Ek (t ) jk (2) не зависит от частоты. Тогда можно переставлять частотные индексы независимо от индексов координат, например ijk(2) (3 1 2 ) (2) jki (3 1 2 ) ikj(2) (3 1 2 ) (2) jik (3 1 2 ) (2) (2) kij (3 1 2 ) kji (3 1 2 ) Сокращенная запись Применяется, главным образом, в задаче генерации второй гармоники (ГВГ) dijk 1 (2) ijk 2 dijk dikj Pi (n m ) 2 dijk E j (n ) Ek (m ) jk ( mn ) (симметрия Клейнмана или ГВГ) d ijk d il jk 11 22 33 23, 32 31, 13 12, 21 l 1 2 3 4 5 6 Сокращенная запись d11 d12 dil d 21 d 22 d31 d32 Ввиду симметрии Клейнмана d13 d14 d15 d 23 d33 d 24 d34 d 25 d35 d16 d 26 d36 d12 d 26 , d14 d 25 Ввиду чего имеется только 10 независимых элементов d il Сокращенная запись Для ГВГ Px (2 ) d11 d12 P (2 ) 2 d y 21 d 22 Pz (2 ) d31 d32 Генерация суммарной частоты3 Px (3 ) d11 P ( ) 4 d y 3 21 Pz (3 ) d31 1 2 d12 d13 d14 d15 d 22 d 23 d 24 d 25 d32 d33 d34 d35 d13 d14 d15 d 23 d 24 d 25 d33 d34 d35 E ( ) 2 x 2 d16 E y ( ) 2 d 26 Ez ( ) d36 2 E y ( ) Ez ( ) 2 Ex ( ) Ez ( ) 2 E ( ) E ( ) x y E ( ) E ( ) x 1 x 2 E y (1 ) E y (2 ) d16 d 26 Ez (1 ) Ez (2 ) d36 E y (1 ) Ez (2 ) Ez (1 ) E y (2 ) Ex (1 ) Ez (2 ) Ez (1 ) Ex (2 ) Ex (1 ) E y (2 ) E y (1 ) Ex (2 ) Эффективная нелинейная восприимчивость При фиксировании направления распространения и поляризации излучения для генерации сумарной ча 3 1 2 P(2) 2deff E()2 Для ГВГ Величина P(3 ) 4d eff E (1 ) E (2 ) d eff выражается через нелинейные восприимчивости и углы, указывающие направление распространения и поляризации, в зависимости от симметрии кристалла. Характерные значения d il ~ (1 103 ) 109 CGSE Симметрия кристаллов Ч. Киттель. Введение в физику твердого тела. Ф. Цернике, Дж.. Мидвинтер. Прикладная нелинейная оптика. -свойство идеальных кристаллов совмещаться с собой при параллельных переносах, поворотах, отражениях или части или комбинации этих операций. Если F(r) – функция, описывающая какое-либо свойство объекта, а операция g(r) осуществляет преобразование координат всех точек объекта, то g является операцией или преобразованием симметрии, а F – симметричным g (r ) r, F (r ) F (r) объектом, если Трансляционная симметрия для трехмерных кристаллов T = na +mb + kc, n, m, k – целое число. Элементарная ячейка – параллелепипед b с а b Применение к элементарной ячейке трансляции покроет все пространство. Примитивная ячейка – частный случай элементарной ячейки, ее узлы – все точки решетки Симметрия трехмерных кристаллов 7 кристаллических систем (в зависимости от соотношений между длинами ребер элементарной ячейки и углами между ними), 14 решеток Браве, 32 точечных группы Элементы симметрии точечных групп Оси, n = 1, 2, 3, 4, 6. Плоскости зеркального отражения (в плоскости через точки решетки), m. r r (инверсия), Центр симметрии, совпадение кристаллической структуры при 1 Инверсионно-поворотные оси: совпадение кристаллической структуры с исходной после поворота вокруг оси и последующей инверсии,1,2 m, 3,4,6 Международные обозначения для точечных групп Ось (1, 2, 3, 4, 6-го порядков) X Инверсионно-поворотная ось Ось и перпендикулярная отражения X к ней плоскость X/m или Ось и перпендикулярная к ней двойная ось (одна или более) X2 Ось и параллельная ей плоскость отражения (одна или более) Xm Инверсионно-поворотная ось и перпендикулярная к ней двойная ось (одна или более) X2 Инверсионно-поворотная ось и параллельная ей плоскость отражения (одна или более) Xm Ось и плоскости отражения – перпендикулярная и параллельная оси Четырнадцать решеток Браве P – примитивная ячейка (в том числе R) C – с центрированными основаниями I – объемноцентрированная F – гранецентрированная X m ( X /m)m или X m m Симметрия кристаллов Система Триклинная (Р) a b c, b Моноклинная (P, C) a b c, / 2 b Ромбическая (P, C, I, F) a b c, b / 2 Тетрагональная (P, I) a b c, b / 2 Тригональная (R - ромбоэдр) a b c, b 2 / 3, / 2 Гексагональная (Р) a b c, b / 2, 2 / 3 Кубическая (P, I, F) a b c, b / 2 Краткое обозначение 1, 1 2, m, 2/m 222, mm2, mmm Полное обозначение 1, 1 2, m, 2 m 222, mm2, 2 2 2 m m m 4 4, 4 , 4/m, 422, 4mm, 4, 4 , , 422, 4mm, m 4 2m, 4/mmm 4 2 2 4 2m, m m m 2 3, 3 , 32, 3m, 3 m 3, 3 , 32, 3m, 3 m 6, 6 , 6/m, 622, 6mm, 6, 6 , 6 , 622, 6mm, m 6 m2, 6/mmm 6 2 2 6 m2, m m m 2 23, m3, 432, 4 3m, 3 , 432, 4 3m, 23, m3m m 2 4 3 m m Симметрия кристаллов Система Класс кристалла Триклинная 1 1 2 Моноклинная m Ромбическая Тетрагональная 2/m 222 mm2 mmm 4 4 Тригональная 4/m 422 4mm 4 2m 4/mmm 3 3 32 Симметрия 1 (инверсия). 3m 3m Гексагональная 6 6 E E, P P (2) 0 Кубическая 6/m 622 6mm 6 m2 6/mmm 23 m3 432 4 3m m3m Ненулевые элементы (2) Все элементы различны и 0 Все элементы = 0 xyz, xzy,xxy, xyx, yxx, yyy, yzz, yzx, yxz, zyz, zzy, zxy,zyx xxx, xyy, xzz, xzx,xxz,yyz, yzy, yxy, yyx, zxx, zyy, zzz, zzx, zxz Все элементы = 0 xyz, xzy, yzx, yxz, zxy, zyx xzx, xxz, yyz, yzy, zxx, zyy, zzz Все элементы = 0 xyz= - yxz, xzy= - yzx, xzx=yzy, xxz=yyz, zxx=zyy, zzz, zxy= - zyx xyz=yxz, xzy=yzx, xzx= - yzy, xxz= - yyz, zxx= - zyy, zxy=zyx Все элементы = 0 xyz= - yxz, xzy= - yzx, zxy= - zyx xzx=yzy, xxz=yyz, zxx=zyy, zzz xyz=yxz, xzy=yzx, zxy=zyx Все элементы = 0 xxx= - xyy= - yyz= - yxy, xyz= - yxz, xzy= = - yzx, xzx=yzy, xxz=yyz, yyy= - yxx= = - xxy= - xyx, zxx=zyy, zzz, zxy= - zyx Все элементы = 0 xxx= - xyy= - yyx= - yxy, xyz= - yxz, xzy= = - yzx, zxy= - zyx xzx=yzy, xxz=yyz, zxx=zyy, zzz, yyy= - yxx= = - xxy= - xyx Все элементы = 0 xyz= - yxz, xzy= - yzx, xzx=yxy, xxz=yyz, zxx=zyy, zzz, zxy= - zyx xxx= - xyy= - yxy= - yyx, yyy= - yxx= - xyx= - xxy Все элементы = 0 xyz=-yxz, xzy= - yxz, zxy= - zyx xzx=yzy, xxz=yyz, zxx=zyy, zzz yyy= - yxx= - xxy= - xyx Все элементы = 0 xyz=yzx=zxy, xzy=yxz=zyx Все элементы = 0 xyz= - xzy=yzx= - yxz=zxy= -zyx xyz=xzy=yzx=yxz=zxy=zyx Все элементы = 0