А.Г. Кускочева, cтудент Горно-Алтайского государственного университета (г. Горно-Алтайск, Россия) ПОСТРОЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ИХ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ Статья посвящена построениям гиперболических поверхностей второго порядка и их использованию в практической жизни. Гиперболоид (от др.-греч. ὑπερβολή — гипербола, и εἶδος — вид, внешность) — это вид поверхности второго порядка в трёхмерном пространстве, задаваемый в декартовых координатах уравнением: x2 y2 z2 1 — однополостный гиперболоид (1), где a и b — дейa2 b2 c2 ствительные полуоси, а c — мнимая полуось. Гиперболоид имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью хОу. В 1) x2 y2 z2 1 . Это уравнение гиперболы на плоскости yOz, где b2 c2 действительная полуось – b, а мнимая полуось – c. поэтому 2 y2 1. a b2 Это уравнение на плоскости задает эллипс с полуосями a и b (рис.1). Найдем линию пересечения с плоскостью yOz. В этой плоскости x = 0, этой плоскости z = 0, поэтому Рис.1. Сечения однополостного гиперболоида двумя плоскостями Сечение плоскостью xOz также является гиперболой с уравнением 2 x z2 1 . Изобразим эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж, a2 c2 не будем отображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью yOz (рис.2). Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями z = ±h, h > 0. Уравнения этих линий: x2 a2 y2 b2 1 h2 c2 , z = ±h. Первое уравнение преобразуем к виду: x2 h2 a (1 2 ) c 2 a1 a 1 y2 h2 b (1 2 ) c , то 2 h2 b1 b 1 есть к виду x2 a12 y2 b12 1 (2), где h2 . Уравнение (2) является уравнением c2 c2 эллипса, подобного эллипсу в плоскости xOy, с коэффициентом подобия 1 , h2 и полуосями a1 и b1. Изобразим полученные сечения: c2 Рис.3. Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений Привычное для глаза изображение однополостного гиперболоида приведено на рисунке ниже: Рис.4. Однополостный гиперболоид Если в уравнении (1) a=b, то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости xOy, являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости yOz, вокруг оси Oz: Рис.5. Однополостный гиперболоид вращения 2) Двуполостным гиперболоидом называется 2 поверхность, x y z2 1 , где a a 2 b2 c2 и b — мнимые полуоси, а c — действительная полуось. Двуполостный гиперболоид имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатными плоскостями, координатными осями и началом координат. Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью xOy. В этой плоскости z=0, каноническое уравнение которой имеет вид (3) 2 x2 y2 1 . Координаты ни одной точки плоскости yOz не a2 b2 могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с поэтому y2 z2 1 . Это b2 c 2 уравнение гиперболы на плоскости yOz, где действительная полуось – c, а мнимая полуось – b. Построим эту гиперболу: плоскостью yOz. В этой плоскости x=0, поэтому Рис.6. Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью yOz Сечение плоскостью xOz также является гиперболой, с уравнением x2 z 2 2 2 1 . Изобразим эту гиперболу без асимптоты и уберем a c асимптоты в сечении плоскостью yOz (рис. 7). Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями z = ±h, h>0. Уравнения этих x2 y 2 h2 1 , z = ±h. Очевидно, что ни одна точка не может a2 b2 c2 удовлетворять этим уравнениям, если |h|<c. Если h = c или h = –c, то плоскость имеет с исследуемой поверхностью только одну точку (0; 0;c) или (0; 0; –c). Эти точки называются вершинами гиперболоида. Пусть |h|>c. Первое уравнение преобразуем к виду: линий: x2 y2 1 , то есть к виду (4): x2/a12 + y2/b12 =1, где 2 2 h h a 2 ( 2 1) b 2 ( 2 1) c c a1 a h2 1 , c2 b1 b h2 1 . Уравнение (4) является уравнением c2 эллипса, подобного эллипсу в плоскости xOy, с коэффициентом подобия h2 1 и полуосями а1 и b1. Изобразим полученные сечения: c2 Рис.7. Изображение двуполостного гиперболоида с помощью сечений Привычное для глаза изображение двуполостного гиперболоида приведено на рисунке 8: Рис.8. Двуполостный гиперболоид Если в уравнении (3) a = b, то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости xOy, являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости yOz, вокруг оси Oz (рис. 9). Рис.9. Двуполостный гиперболоид вращения Поверхности второго порядка часто используются в технике и архитектуре. Такие конструкции из стальных сетчатых оболочек были спроектированы инженером Владимиром Григорьевичем Шуховым, они представляют собой башни. Принцип устройства гиперболоидных башен Владимир Григорьевич использовал в сотнях сооружений: водонапорных башнях, опорах линий электропередачи, мачтах военных кораблей. Гиперболоидные конструкции наиболее широко используются в строительстве и вызывают всеобщий восторг. Для высоких сооружений основную опасность несёт ветровая нагрузка, а у решётчатой конструкции она невелика. Эти особенности делают гиперболоидные конструкции прочными, несмотря на невысокую материалоёмкость. Спустя годы гиперболические конструкции все более модернизируются и используются во всем мире в различных своих проявлениях. Современное общество восхищается творениями архитекторов, даже не подозревая, что всё это геометрия. Наука, которую некоторые людей считают абсолютно ненужной. Но стоит лишь немного углубиться в историю создания окружающих нас предметов и становится ясно, что геометрические образы являются основой мироздания. Литература 1. Ильин, В.А. Аналитическая геометрия [Текст] / В.А. Ильин, Э. Г. Позняк. – М.: Наука-физматлит, 1999. – 224 с. 2. Шухова, Е.М. Владимир Григорьевич Шухов. Первый инженер России [Текст] / Е. М. Шухова. – М.: МГТУ, 2003. – 368 с.