Перманентные вращения гиростата-магнетика в магнитном поле В Е

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
2014
Вып. 2 (25)
УДК 531.38:538.31
Перманентные вращения
гиростата-магнетика в магнитном поле
Н. Н. Макеев
Институт проблем точной механики и управления РАН
Россия, 410028, Саратов, ул. Рабочая, 24
nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33
Рассматриваются свойства перманентных вращений гиростата, движущегося вокруг неподвижного полюса и обладающего магнитными свойствами, в стационарном однородном магнитном поле.
Ключевые слова: гиростат; магнитное поле; магнетик; перманентное вращение.
Введение
чным равенству (1). Очевидно, что механизм
намагничивания твёрдых тел при каждом из
этих эффектов различен.
При вращении объекта в стационарном
однородном МП с вектором напряжённости H
на него действует силовой момент [4]
Под магнетиками понимаются любые
материальные объекты, обладающие магнитными свойствами. Иначе, магнетики − это материальные объекты, наличие которых способно видоизменить или возбудить магнитное поле (МП) [1]. В качестве магнетиков
здесь рассматриваются ферромагнетики и
сверхпроводники − твёрдые тела, обладающие
свойством сверхпроводимости [1].
Известно, что даже предварительно не
намагниченный ферромагнетик при его вращении вокруг оси в МП становится намагниченным вдоль этой оси, а при вращении в
этом поле намагниченного ферромагнетика
его намагниченность вдоль оси вращения усиливается. Это физическое явление названо эффектом С.Барнетта [2]. При этом эффекте
собственный момент магнетика связан с его
угловой скоростью ω соотношением
I  Bω,
LM  (I  H) e ,
(2)
где вектор I определяется равенством (1), а
e – размерная единица (далее положено e = 1).
Пусть s – направляющий орт силовых
линий данного МП. Тогда H = H s и согласно
соотношениям (1), (2) получаем
LM  H ( B ω  s) .
(3)
Вектор-момент, определяемый равенством (3), является пондеромоторным силовым моментом [1], порождаемым данным
магнитным полем.
1. Основные предпосылки
(1)
Рассматривается движение в МП свободного от связей гиростата с заданным постоянным результирующим гиростатическим
моментом. Гиростат движется так, что его неизменяемая часть (тело-носитель) движется
вокруг неподвижного полюса О, неизменно
связанного с инерциальным пространством. С
телом-носителем гиростата неизменно связан
магнетик (тело-магнетик) заданной конфигурации с постоянными характеристиками.
где B – симметрический линейный оператор.
Сходное по характеру явление имеет
место и при вращении в МП сверхпроводящего твёрдого тела. Это вращение генерирует
МП, порождающее магнитный момент Лондона (эффект Ф. и Г.Лондонов) [3]. При этом
эффекте собственный магнитный момент магнетика определяется соотношением, аналоги© Макеев Н.Н., 2014
38
Перманентные вращения гиростата-магнетика в магнитном поле
Введём правые координатные ортобазисы с общим началом в полюсе О: базис
Z(Oz1z2z3), неизменно связанный с инерциальным конфигурационным пространством, и базис X(Ox1x2x3), оси которого направлены по
главным в полюсе О направлениям тензора
инерции гиростата.
Пусть s (s1, s2, s3) – направляющий орт
прямолинейных параллельных силовых линий
МП, устанавливающий ориентацию этих линий относительно базиса Z, неизменный в
этом базисе.
Обозначим: A  diag ( A1 , A2 , A3 ) − матрица тензора инерции гиростата в полюсе О;
ω (1 , 2 , 3 ) – абсолютная угловая скорость
носителя гиростата; k (k1 , k 2 , k3 ) − постоянный гиростатический момент относительно
полюса О, заданный в базисе X.
Предполагается, что на гиростат действует система внешних сил с заданным относительно базиса X результирующим моментом L (L1, L2, L3), постоянным в этом базисе.
Движение гиростата вокруг неподвижного полюса при данных предпосылках согласно равенству (3) определяется системой
уравнений
ω (t )  const  ω0 ,
(6)
где λ ≠ 0 – произвольный постоянный множитель. Состояние (6) называют также равномерным вращением [7, 8].
Постулируя возможность существования состояния (6) при данных предпосылках,
из уравнения (4) получаем
(ω  Aω)  (ω  k )  L  H (B ω  s),
(7)
при этом уравнение Пуассона-Эйлера (5)
тождественно удовлетворяется. В равенстве
(7) и всюду далее верхний нулевой индекс
при величинах ω, s опускается.
Равенство (7) приводится к виду
ω  (G   1H B ω)  L ,
(8)
где G  Aω  k – кинетический момент гиростата относительно полюса О,   ω  0 .
В силу соотношения (8) силовой момент
L ортогонален векторам-сомножителям данного векторного произведения. Следовательно, данный режим ПВ является одним из случаев движения гиростата под действием силового момента, ортогонального указанным векторам [9].
Под ПВ, происходящем в режиме авторегулирования, понимается движение гиростата, подчинённое условию (8). Этот термин
применяется по аналогии с известным термином Р.Граммеля “саморегулирование” [5; 8,
c. 154]. Данный режим движения, в зависимости от дополнительных ограничений, реализуется в ряде частных режимов, рассматриваемых далее.
Равенство (8), представленное в осях
базиса X, эквивалентно системе
  (ω  Aω)  (ω  k )  L  H (B ω  s), (4)
Aω
s  (ω  s)  0 .
ω   s0 ,
(5)
При H = 0, L ≠ 0 (внешнее МП отсутствует) уравнению (4) соответствует движение гиростата в режиме авторегулирования
(по Р.Граммелю [5]).
Система уравнений (4), (5) является аналитически замкнутой относительно векторфункций ω (t), s (t).
Поставим задачу: определить векторное многообразие угловых скоростей гиростата (ω-многообразие), на котором существуют
его возможные перманентные состояния, а
также условия их устойчивости. ■
Упомянутые здесь перманентные состояния ω0, s0 [6] рассматриваются далее как динамически равновесные состояния, отличные
от состояний статического равновесия.
g123  k32  k 23  L1
(1, 2, 3),
(9)
где обозначено
g1  m3  m2 ,
m1  A1  n1
(1, 2, 3),
n j   1HB j ( j  1, 2, 3), B  diag ( B1 , B2 , B3 ),
n  (n1 , n2 , n3 ) T .
Система уравнений (9) однозначно
определяет силовой момент L по заданной совокупности векторов (n, ω, k). Однако обратная зависимость не является однозначной: гомеоморфизм вида L (ω)  ω (L) в общем
случае (при регулярном режиме ПВ) не существует.
2. Перманентные вращения
в магнитном поле в режиме
авторегулирования
Под перманентным вращением (ПВ)
понимается равномерное движение гиростата,
при котором выполняются условия
39
Н. Н. Макеев
Введём условие
Режим ПВ, определяемый решением
(12), существует в области Ω при условиях
(13). Для каждой внутренней точки этой области существуют два различных вектора ω ,
совпадающих на ее границе. В частном случае, при котором k  0 , решение (12) вырождается и принимает вид
3
   g j Lj  0
(10)
j 1
и обозначим
G1  g 2 H 2  g 3 H 3
(1, 2, 3) ,
H j  F  2 g j k j L j ( j  1, 2, 3) ,
F
3


g j k j Lj,
j 1
3
g ,
3
j
( j  2  3).
H j 1
j 1
Из системы уравнений (9) при условии
(10) следует
1 
G1  g1 D
2  L1
(1, 2, 3) .
(12)
При этом имеют место тождества
3
g
j
3
m g
 0,
j
j 1
j
(13)
3
j
(15)


L  ( L1 , 0, 0) ˜; (0, L2 , 0) ˜; (0, 0, L3 ) ˜. (16)
Граница области Ω, уравнение которой
D  0 , является множеством гиперболоидов
вращения, каждый из которых определяется
фиксированными значениями параметров. Поверхность в Н-пространстве, соответствующая условию   0 , является асимптотическим конусом K второго порядка, разделяющим области на граничной поверхности
(D  0)   . В этих областях имеем   0 и
  0 . Условию   0 соответствуют двуполостные, а условию   0 – однополостные
гиперболоиды.
Решение (12) определяет непрерывное
(континуальное) множество осей ПВ гиростата в МП для общего (регулярного) случая,
совместимого с условиями (13). При этом величина  может быть найдена из уравнения
 (G
(14)
где ν − произвольный действительный параметр, E − единичная матрица. Вне МП условие (15) вырождается в условие центральной
кинетической симметрии гиростата.
Во втором случае множество векторов
L совпадает с одним из следующих:
Согласно равенствам (11) введём пространство параметров (H1, H2, H3) (H-пространство) и выделим в нём область Ω, определяемую условиями
4  2 2 
(1, 2, 3) ,
A   1H B   E,
 0.
D  0.
g 2 g 3 L1
если
j 1
  0,

где   0 . Решение в форме (14) порождает
множество изолированных осей ПВ (дискретное множество). При H  0 (т.е. вне МП) соотношения (14) переходят в известное решение Р. Граммеля для твердого тела [5].
Из соотношений (14) следует, что
  0 . В силу этого при   0 имеем
  L1 L2 L3  0 . На конусе K, где   0 , следует рассматривать два случая:   0 и   0 .
Первый из них может быть реализован, если
по крайней мере одна из величин g j  0 или
j
j 1
H
D  4 
1  
(11)
При этом для компонент перманентного вектора ω имеют место соотношения, соответственно
 j  0,  j 1 j  2  g j 1L j
( j  1, 2, 3; j  2  3).
(17)
Итак, в силу соотношений (16), (17) в
данном случае существует непрерывное (континуальное) множество осей ПВ, расположенных в главной координатной плоскости,
ортогональной вектор-моменту L .
Рассмотрим режим движения объекта,
при котором   0 . Пусть   0, L3  0 , в силу
чего имеем   0 . Тогда из уравнений системы (9) при H 1  H 2 следует
 j  (1) j 1 ( g3 L j )1Ф
 g j D ) 2 Lj 2 .
j 1
40
( j  1, 2),
Перманентные вращения гиростата-магнетика в магнитном поле
3  ( g3 L1 L2  k3 Ф)(H1  H 2 ) 1 ,
Ф  k1 L1  k2 L2 .
Вне МП (при H  0 ) равенство (23) вырождается в условие осевой кинетической
симметрии гиростата A1  A2 .
При ортогональном режиме управления
векторами k , L, когда f  0, из соотношений
(22) при k3  0 следует
(18)
Полученное решение (18) определяет
множество изолированных осей ПВ.
В случае, при котором H1  H 2 , решение системы (9) при   L3  0,   0 представимо соотношениями
(19)
 j  (1) j k j g31 j ( j  1, 2) ,
 j  (1) j k31L3 j
3  0.
   3    ( g1 k1 L1  g 2 k2 L2 ),
Если выполняется условие симметричности (15), то определяющее динамическое
уравнение (7) становится линейным относительно ω и принимает вид
что соответствует континуальному множеству
осей ПВ.
Решения, аналогичные множеству (19),
существуют и в случаях, при которых L1  0
или L2  0 . Таким образом, если L j  2  0 , то
(ω  k )  L.
Общее решение этого уравнения, согласно источнику [10], есть
при данных условиях имеем
 j   k j g j 11,  j 1  k j 1 g j 1,
ω  k 2 [ pk  (k  L)],
(20)
где k  k  0; p – произвольный действительный параметр. При данном режиме движения гиростата вектор скорости ω инвариантен относительно воздействия МП.
    j  2   ,
где значения индекса j фиксированы и, кроме того, имеем j  1, 2, 3; j  2  3. Соотношения (20) представляют единую аналитическую форму множества решений типа (19).
Пусть теперь L1  L2  0 . Тогда из
условия гироскопичности следует, что  3  0 ,
а из определяющей системы (9) имеем k3  0 .
В силу этого в результате получаем
1 
k12  L3
,
g 3 2  k 2
3  0.
3. Устойчивость перманентных
вращений
Устойчивость ПВ гиростата, исследуемая по первому приближению, определяется
не только параметрами заданного режима
движения гиростата, но и характером воздействия результирующего внешнего момента L,
обусловленного вариациями этого момента.
Эти вариации могут возникать при малых
возмущениях вектора ω в ПВ. Примем
структуру момента L , при которой в возмущенном движении вариация момента L равна
нулю.
Составляя на основе исходной динамической системы гиростата уравнение возмущённого движения (уравнение в вариациях) и
выделяя затем его линейную часть, в результате получим кубическое характеристическое
уравнение
(21)
Рассмотрим режим движения объекта,
при котором   0 . Для определенности примем g 3  0 , в силу чего g1  g 2  0 . Тогда из
системы (9) при g1Ф L3  0 следует
 j  v1[k j f  (1) j 1u L3 j ],
3   u 1 f
(22)
( j  1, 2),
где обозначено
u  g1 L3 , v  g1 , f  (k  L).
r0 q 3  r1q  r2  0,
Однозначное решение (22) определяет
множество изолированных осей ПВ; при этом
выполняется условие симметричности
m1  m2 .
( j  1, 2),
(24)
c заведомо положительным коэффициентом
r0, где обозначено
(23)
41
Н. Н. Макеев
r0 
2. Для решения (14) в случае, при котором момент L коллинеарен одной из главных
осей инерции гиростата, условие r2  0 (26)
выполняется. При этом выражения для величины r1 зависят от выбора главной оси инерции, коллинеарной моменту L . Если, в частности, L  ( L1 , 0, 0) ˜, то согласно соотношениям (17), (25) имеем
3

Aj ,
(25)
j 1
r1  
3
 A (g
j
j 1
 j  k j )( g j  2  j  k j ),
j 1
r2 
3

(g j  j2  k j2 ) 
j 1
3
 (g
j
 j 1  k j 1 )
j 1
( j  2  3).
Получим необходимые условия устойчивости данного ПВ, исходя из нестрогого
требования Re q ≤ 0, а не Re q < 0, как требуется обычно в регулярных случаях. Такой
подход вполне оправдан и применяется при
исследовании стационарных движений на
устойчивость [11, с. 71].
Выполнение данного нестрогого условия устойчивости в силу критерия Льенара–
Шипара [12, 13] сводится к соотношениям
r1  0,
r2  0.
r1   g1 ( A2 g3 22  A3 g 2 32 ) .
В силу этого выражения условие r1  0
(26) реализуется в области плоскости переменных 1 ,  2 с прямолинейными границами
1
 A g 2
2   3   3 2  ,
 A2 g 3 
существующими при выполнении одного из
условий: либо
m1  max (m2 , m3 ),
либо
m1  min (m2 , m3 ).
Для гиростата, находящегося вне МП,
последние условия сводятся к тому, что момент инерции A1 − либо наибольший, либо наименьший, соответственно.
3. Пусть   0, D  0,   0, k  0. Тогда решение (12) при условии (10) принимает
вид
(26)
В силу второго условия (26) характеристическое уравнение (24) имеет нулевой корень. Этот факт указывает на то, что начальное возмущение кинетического момента гиростата будет сохраняться постоянным.
Исследуем выполнение условий (26) в
различных режимах ПВ гиростата. В режиме
движения, определяемом решением (12),
условие r2  0 в Н-пространстве реализуется
лишь на гиперболоиде D  0 . Вычисляя выражение для величины r1 при D  0 , находим,
что условие r1  0 в Н-пространстве при
  0 соответствует некоторому эллиптическому конусу K1 .
Итак, область выполнения условий
устойчивости (26) расположена на гиперболоиде D  0 и ограничена линией пересечения этого гиперболоида с конусом K1 . При
этом в данной области реализуются оба случая,   0 и   0 .
Рассмотрим вопрос об устойчивости ПВ
гиростата в выделенных выше частных режимах, для которых были найдены аналитические решения.
 j  (2  L j )1 G j
( j  1, 2, 3)
(27)
и определяет континуальное множество осей
ПВ гиростата. Полагая k3  0 , находим
H1  H 2  0,
D  4  H12  0.
(28)
В этом случае область устойчивости ПВ
на Н-плоскости, определяемая ограничениями
(28), существует для H1  0 при   0 в виде
двух параллельных лучей. Данный режим ПВ
ввиду специфичности области устойчивости
имеет незначительный интерес.
В силу симметричности соотношений
системы (12) идентичные результаты имеют
место и тогда, когда k1  0 или k 2  0 .
Если для режима ПВ, определяемого решением (27), положить k1  k 2  0, k3  0 , то в
результате находим
1. Пусть k  0 (объект моделируется
твердым телом). Для соответствующего решения (14) согласно равенствам (25) получаем r2  0 . Это противоречит второму из условий (26). Отсюда следует неустойчивость изолированных осей ПВ в данном случае.
42
Перманентные вращения гиростата-магнетика в магнитном поле
 3  0 , а для условий (33), (34) получаем, соответственно, ω3 ≥ 0, ω3 ≤ 0.
Для режима (21) имеем r2  0 тождественно и в выражении для r1 (25) сумма содержит только два первых слагаемых. Множество устойчивых ПВ на плоскости переменных 1 , 2 расположено внутри области с
границей r1  0 , определяемой уравнением
H1  H 2   H 3  g3 k3 L3  F ,
D  4  F  0,
2
и условие устойчивости r1  0 (26) принимает
следующий вид:

 1  2 1 


3

j 1
( j  A j g j Lj 2 ;
j

0


j  1, 2, 3).
2
 A [g
4. При   0, D  0 решение (12) не существует. В этом случае имеет место какойлибо из режимов ПВ, определяемый соотношениями (18)−(22). Исследуем выполнение
условий устойчивости (26) в этих режимах.
В режиме (18), существующем при
условии
g1 k1 L1  g 2 k 2 L2  0,
(29)
ПВ неустойчиво, поскольку условие r2  0
противоречит ограничению (29).
Для режима (19) условие r2  0 тождественно удовлетворяется и область устойчивости ПВ в соответствии с условием (26)
определяется выражением
r1  A3 (k3  g13 )(k3  g 2 3 )  0.
j
(35)
 ( g j  2  g j  1 ) k j  j  k 2j ]  0.
Граничная кривая (35) при   0 есть
центральная линия второго порядка, которая
при условии
g1 g 2  0,
(36)
  g3 ( A1 k12 g13  A2 k22 g 23 )  0
(37)
является гиперболой, как и для гиростата,
находящегося вне МП. Условие (36) может
быть реализовано при выполнении одного из
ограничений
m3  min (m1 , m2 ), m3  max (m1 , m2 ).
(30)
Ограничение (37) не выполняется для
каждого следующего условия (или группы
условий):
(38)
m1  m2,
k1  k 2  0,
( j  1, 2).
В силу соотношения (30) интервалы
устойчивого по  3 ПВ определяются следующими выражениями. При выполнении одной из групп условий
m2  m3  m1 , m1  m3  m2
(31)
имеем
min (h1 , h2 )  3  max (h1 , h2 ).
(32)
m1  m2  m3 ,
k1  0, m1  m3 ,
k 2  0, m2  m3 ,
m1   m2  (  1) m3  0 (k2  0),
где обозначено
1
Если m3 > max M или m3 < min M , где
множество M = (m1, m2), то получаем либо
3  max (h1 , h2 ),
 2j 
j 1
Полагая g1 g 2  0 , обозначим
h j  (1) j g j 1k3
3 g3 j
 A k 2 3
   1 12  .
 A2 k 2 
(33)
При выполнении каждого из условий
(или группы условий) (38) (за исключением
третьей группы и последнего условия) граничная кривая (35) вырождается либо в прямую, либо в пару взаимно пересекающихся
прямых.
Если вместо условия (36) имеет место
ограничение
либо
3  min (h1 , h2 ).
(34)
Условия (31) для гиростата, находящегося вне МП, принимают вид, соответственно,
A2  A3  A1 , A1  A3  A2 .
При k3  0 множества устойчивых значений величины  3 изменяются: для условия
(32) интервал значений стягивается в точку
g1 g 2  0,
43
(39)
Н. Н. Макеев
а также
ω  ω*  1 ε ,
( A1 g 2  A2 g1 ) g 3   0,
(40)
где ε  (1 ,  2 ,  3 ) ˜ – вектор-параметр, характеризующий возмущение. В равенстве (42) и
всюду в дальнейшем звезда сверху относится
к величинам, вычисленным при H  0 , (т.е.
вне МП). При этих условиях имеем
то граничная кривая (35) является эллипсом.
Система условий (39), (40) удовлетворяется
при выполнении одной из групп приведённых
ранее ограничений (31).
В режиме (22) имеем r2  v и в силу
этого условие устойчивости r2  0 (26) не
может быть выполнено как противоречащее
ограничению v  g1   0 , при котором существует решение (22). Следовательно, ПВ
гиростата в данном режиме неустойчиво.
Таким образом, устойчивыми ПВ обладают лишь множества континуальных решений определяющей системы (9), порождающие континуальные множества осей ПВ.
Из полученных соотношений как частные случаи следуют результаты, относящиеся
к соответствующей задаче о ПВ гиростатамагнетика с неподвижной точкой, движущегося в режиме авторегулирования вне МП.
1* 
G1*  a32 D*
, G1*  a13H 2*  a21H 3*
2* L1
(1, 2, 3),
D*  4 * 
3
H
* *
j H j 1
( j  2  3),
j 1
H1*  F *  2a32 k1 L1 (1, 2, 3),   a13 a21 a32 ,
F* 
3
a
rs k j
L j (r  j  2, s  j  1),
j 1
 *  *, 1  (2 * L1 ) 1  ( 1  W1 ),
1  1 
a32
p1  q1 ,
D*
1 *
W1  a32
G1  D* ,
4. Влияние магнитного поля на
перманентное вращение магнетика
p1  2a13 a21   k1 L1 H1* ,
q1  (a13  a21 ) k1 L1.
Рассмотрим вопрос о влиянии однородного параллельного МП на характер ПВ гиростата. Для этого в качестве примера произведем оценку в линейном приближении полученных характеристик данного движения по
сравнению с аналогичными характеристиками
этого гиростата вне МП при остальных одинаковых условиях.
Допускаем, что МП, действующее на
гиростат, вызывает малое возмущение его ПВ.
Обозначив
Аналогичные зависимости имеют место
и для величин возмущений  2 ,  3 .
Из соотношения (42) следует, что под
воздействием МП вращение гиростата может
как ускоряться, так и замедляться в зависимости от знака компонент  j . Характерно, что в
МП, действующем при условиях
k1  0, D*  0, a13 k2 L2  a21 k3 L3 ,
имеет место  1  0 . В этом случае МП не влияет на значения величины 1 .
Для режима движения, при котором существует решение (14), при  *  0 имеем
aij  ai  a j (i, j  1, 2, 3),
1  n3  n2 (1, 2, 3),
считаем все параметры μj малыми возмущениями, причем
1   2 , 3 .
(42)
1  1* 
(41)

В соответствии с условием (41) в линейном по  j приближении будем учитывать
 j   *j 1 

L2 L3
2 *
1 ,

1
1  ( j  2, 3),
2a32 
где
только возмущение 1 . В силу этого в данном
приближении для решения (12) имеем
 *j  
44
*
,
a32  j L j
(43)
Перманентные вращения гиростата-магнетика в магнитном поле
причем
 *j  (a32 Ф) 1[k j f  (1) j 1 a32 L3  j L3 ],
a21 при j  2,
 a13 при j  3.
2
 j 3  (a32
Ф) 1 k j f
j  
Из соотношений (45) следует, что при
Из соотношений (43) видно влияние
МП на изменение компонент  j . В частно-
k j ( B3  B2 ) f Ф  0
уменьшается, а при  2  0 − увеличивается.
Итак, в общем случае, при B2  B3 , МП
воздействует на ПВ гиростата, изменяя величины компонент его угловой скорости. Исключение составляет отдельный случай обобщенной симметрии, определяемый магнитнокинетическим условием (15).
МП увеличивает величину 1 , а при  1  0 −
уменьшает. При
 2  ( B3  B2 )( A3  A2 )  0
МП уменьшает значения величин 2 , 3 , а
при  2  0 − увеличивает.
В режиме (16), (17) при L2  L3  0 в
линейном по 1 приближении имеем
где
Заключение
Перманентное движение механического
объекта является одним из видов его регулярного движения.
Перманентные вращения гиростата рассматриваются как его относительные равновесия (по Смейлу [14]), являющиеся орбитами
однопараметрической подгруппы группы Ли в
исходном фазовом пространстве. Эти равновесия являются также критическими точками
отображения кинетического момента гиростата на регулярном множестве его уровня [15].
Относительным равновесиям гиростата
соответствуют стационарные решения уравнения (7), определяющие два вида множеств
осей ПВ: множества изолированных осей (14),
(18), (22) и континуальные множества осей
(12), (17), (19)–(21), (27). Согласно п. 3 устойчивым ПВ гиростата соответствуют лишь
континуальные множества этих осей.
Характерно, что свойства ПВ гиростата,
движущегося в режиме авторегулирования
при воздействии МП, качественно идентичны
соответствующим свойствам его ПВ, происходящим вне МП [16]. Это обстоятельство является следствием изоморфности структур
моделей, применяемых в данных задачах.
(44)
1
1
q (1 )  a32
(1  a32
1 ).
Согласно равенству (44) при  2  0 ве-
личина 2 3 уменьшается, а при  2  0 под
воздействием МП увеличивается.
Для режима (18) при условии
 3  ( B3  B2 ) k1 L1  0
величина 3 под влиянием МП увеличивается, а при  3  0 − уменьшается.
При движении гиростата в режиме (19)
имеем
2  q ( 1 ) k2 .
Отсюда следует, что при  2  0 величина 2 уменьшается, а при  2  0 − увеличивается. При этом имеет место равенство
a32 k1 L1  a13 k 2 L2  k1 L1 1.
В режиме (22) находим оценку
 j  *j   j 3 1 ( j  1, 2),
( j  1, 2)
МП, воздействуя на движущийся гиростат,
уменьшает значения величин 1 , 2 , а при
условии противоположного смысла − увеличивает. При  2  0 значения величины 3
сти, при B3  B2 имеем ω  ω* ; здесь МП не
влияет на ПВ гиростата. Выбирая в равенствах (43) для определенности верхний знак,
получаем, что при
1  ( B3  B2 ) L2 L3  0
1  0, 2 3  q ( 1 ) L1 ,
( j  1, 2).
(45)
3   f L31q (1 ),
Список литературы
где
1. Тамм И.Е. Основы теории электричества.
М.: Наука, 1966. 624 с.
45
Н. Н. Макеев
2. Вонсовский С.В. Магнетизм. М.: Наука,
1971. 1032 с.
3. Киттель Ч. Введение в физику твёрдого
тела. М.: Наука, 1978. 792 с.
4. Голубков В.В. Момент сил в магнитном
поле // Космические исследования. 1972.
Т. 10, вып. 1. С. 20−39.
5. Граммель Р. Теория несимметричного гироскопа с реактивным приводом // Механика: периодический сб. переводов иностранных статей. 1958. № 6. С. 145−151.
6. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений. М.: Наука, 1988. 304 с.
7. Млодзеевский Б.К. О перманентных осях в
движении твёрдого тела около неподвижной точки // Тр. отд-ния физ. наук о-ва
любителей естествознания. 1894. Т. 7.
8. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. М.: Мир. 1974. 528 с.
9. Смольников Б.А. Движение твёрдого тела
под действием ортогонального момента //
Известия Академии наук CCCР. Механика
твёрдого тела. 1979. № 3. С. 30−36.
10. Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики: в 2 т. М.: Наука, 1972. Т. 1. 456 с.
11. Черноусько Ф.Л. Движение твёрдого тела
с полостями, содержащими вязкую жидкость. М.: Вычислительный центр АН
СССР, 1968. 231 с.
12. Lienard A., Chipart M.H. Sur la signe de la
partie reelle des Racines d`une equation algebrique // Journal Mathematique Pure Appl.
Series B. 1914. V. 10. P. 291−346.
13. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем: пер. с англ. М.: Наука,
1979. 300 с.
14. Смейл С. Топология и механика // Успехи
математических наук. 1972. Т. 27. № 2.
С. 77−133.
15. Арнольд В.И. Математические методы
классической механики. М.: Наука, 1974.
432 с.
16. Смольников Б.А., Степанова М.В. Перманентные вращения гиростата с самовозбуждением // Известия Академии наук
СССР. Механика твёрдого тела. 1981.
№ 3. С. 107−113.
Permanent rotations of a gyrostat-magnetic
in a magnetic field
N. N. Makeyev
Problems of Precision Mechanics and Control Institute Russian Academy of Sciences
Russia, 410028, Saratov, Rabochaya st., 24
nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33
The properties of a permanent rotations about a immobile pole of a gyrostat with magnetic qualities, moving in the stationary homogeneous magnetic field are considered in this article.
Key words: gyrostat; magnetic field; magnetic; permanent rotation.
46