1. Тесты

1. Тесты
1. Для функции y 
1. 2
2.

2
3 x
tg основной период равен
5 2

3. 4
4. 
2. Для функции y  3 cos 8 x основной период равен

16
3
1. ;
2.
;
3.
;
4. 2 .
4
3
8
3. Укажите верную формулировку теоремы:
1. Произведение бесконечно малой и ограниченной последовательности есть бесконечно
малая последовательность.
2. Произведение бесконечно малой
ограниченная последовательность.
и
ограниченной
последовательности
есть
3. Сумма бесконечно малой и ограниченной последовательности есть бесконечно малая
последовательность.
4. Сумма бесконечно малой и ограниченной последовательности есть сходящаяся
последовательность.
4. Укажите верную формулировку теоремы:
1. Любая сходящаяся последовательность ограничена.
2. Любая ограниченная последовательность есть бесконечно малая последовательность.
3.
Любая
неограниченная
последовательность.
последовательность
есть
бесконечно
большая
4. Любая сходящаяся последовательность неограниченна.
5. Выберете верное утверждение.
1. Сумма двух неограниченных последовательностей может не быть неограниченной.
2. Сумма бесконечно большого числа бесконечно малых последовательностей есть
бесконечно малая последовательность.
3. Сумма двух бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая
последовательность.
4. Разность двух бесконечно больших последовательностей есть бесконечно малая
последовательность.
6. Число а – предел числовой последовательности
символическую запись этого определения
хп п1 .
Выберете верную
1.   0 n0 : n  n0 выполнено хп  а   .
2.   0 n0 : n  n0 выполнено хп  а   .
3.   0 n0 : n  n0 выполнено хп  а   .
4.   0 n0 : n  n0 выполнено хп  а   .
7. Укажите верную формулировку теоремы (критерий Коши)
1. Для того чтобы последовательность хп п1 была сходящейся необходимо и достаточно,
чтобы для любого   0 существовал такой номер n 0 , что n  n0 , т  n0 выполнено

хп  хт   .
2. Для того чтобы последовательность хп п1 была сходящейся необходимо, чтобы для

любого   0 существовал такой номер n 0 , что n  n0 , т  n0 выполнено хп  хт   .
3. Для того чтобы последовательность хп п1 была сходящейся необходимо и достаточно,
чтобы для любого   0 существовал такой номер n 0 , что n  n0 , т  n0 выполнено

хп  хт   .
4. Для того чтобы последовательность хп п1 была сходящейся необходимо и достаточно,
чтобы для любого   0 и любого номера n 0 , что n  n0 , т  n0 выполнено

хп  хт   .
8. Сопоставьте виды последовательностей и символические записи, определяющие их.
1. lim  n  0
1.   0 n0 : n  n0 выполнено  п   .
2. lim х n  
2.   0 n0 : n  n0 выполнено xп   .
3. lim х n  а
3.   0 n0 : n  n0 выполнено хп  а   .
4. lim х n  
4.   0 n0 : n  n0 выполнено хп   .
n 
n 
n
n  
9. Сопоставьте виды пределов функции в точке и символические записи, определяющие
их.
1. lim f ( x)  A
х  х0
1.   0     0 : x : 0  x  x0   выполнено f x  A   .
2. lim f ( x)  
х  х0
2.   0    0 : x : 0  x  x0   выполнено f x   .
3. lim f ( x)  
х  х0
3.   0    0 : x : 0  x  x0   выполнено f x   .
4. lim f ( x)  
х  х0
4.   0    0 : x : 0  x  x0   выполнено f x   .
10. Какие последовательности являются бесконечно малыми?





 п 2  2п 
 п 2  2п 
 п 2  3п 
 п 2  2п 
 п 3  2п 
1. 
 ; 2. 
 ; 3. 
 ; 4. 
 ; 5. 
 ; 6.
3
3
2
п
 п
 п 1

 п 1
 п  п 1
 п
 п 1
 п
 п 1

 п 2  3п 

 .
3
 п  п 1
1. 2 и 4
2. 1 и 6
3. 1 и 3
4. 5 и 6
11. Какие последовательности являются бесконечно большими?





 п 2  2п 
 п 2  3п 
 п 2  3п 
 п 2  2п 
 п 3  2п 
1. 
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.;
6.

 .







3
3
2
3
 п
 п 1
 п  п 1
 п
 п 1
 п
 п 1
 п  п 1
1. 1 и 6
2. 1 и 4
3. 3 и 5
4. 2 и 6
12. Расставьте последовательности в порядке возрастания их пределов


1  2  3  ...  п 
 п 3  2п 
1. 
 ; 2. 
 ; 3.
3
4
 3п  п 1
9
п

1

 п 1

 2п 2  2п 
 3 6
 ; 4.

 п 1
п

 п 2  2п 

 .
 2п
 п 1
1. 2; 1; 4; 3.
2. 1; 2; 3; 4.
3. 3; 1; 2; 4.
4. 3; 4; 1; 2.
13. Сопоставьте виды пределов функции в бесконечно удаленной точке и символические
записи, определяющие их.
1. lim f ( x)  A
х  
1.   0    0 : x : х   выполнено f x  A   .
2. lim f ( x)  A
х  
2.   0    0 : x : х   выполнено f x  A   .
3. lim f ( x)  
х 
3.   0   0 : x : х   выполнено f x   .
4. lim f ( x)  A
х 
4.   0    0 : x : х   выполнено f x  A   .
14. Укажите верную формулу второго замечательного предела

1. lim 1 
х 

х
1
х
1
1
 1
 1х
  е ; 2. lim 1    е ; 3. lim 1  х  х  е ; 4. lim 1    е .
х 0
х 
х 0
х
х
х


15. Укажите верную формулу первого замечательного предела
1. lim
х 0
sin x
sin x
cos x
sin x
 1 ; 2. lim
 0 ; 3. lim
 1 ; 4. lim 2  1 .
х

0
х

0
х

0
x
x
x
x
16. При нахождении каких пределов необходимо использовать второй замечательный
предел?
2х
3х
3х
 2х  1 
 2х  3 
 2х  1 
 2х  1 
1. lim 
 ; 2. lim 
 ; 3. lim 
 ; 4. lim 
 .
х  2 х  1
х 0 2 х  4
х  2 х  1
х  3 х  1








2
1. 1 и 2
2. 1 и 3
3. 3 и 4
4. 2 и 4
17. Найти предел функции
3
lim
х 1
х 1
x 1
Ответ:
2
3
18. Указать бесконечно малую, эквивалентную функции п 1  х  1 при х  0
1.
х
; 2. пх ; 3. х ; 4.
п
п
х.
19. При выполнении какого из условий бесконечно малые функции f x  и g x являются
бесконечно малыми одинакового порядка?
1. lim
х  x0
f x 
f x 
f x 
f x 
 1 . 3. lim
 0 . 4. lim
 .
 2 . 2. lim
х  x0 g  x 
х  x0 g  x 
х  x0 g  x 
g x 
20. Укажите верную запись определения функции f x  непрерывной в точке. х 0 .
1.   0     0 : x  Х : x  x0   выполнено f x  f x0    .
2.   0     0 : x  Х : x  x0   выполнено f x  f x0    .
3.   0     0 : x  Х : x  x0   выполнено f x  f x0    .
4.   0     0 : x  Х : x  x0   выполнено f x  f x0    .
21. При выполнении какого из условий точка x 0
является точкой разрыва
второго рода для функции f x  ?
1. Хотя бы один из односторонних пределов lim f x  , lim f x  не существует.
х  x0  0
х  x0 0
2. lim f x   lim f x .
х  x0  0
х  x0 0
3. lim f x    , lim f x    .
х  x0  0
х  x0 0
4. lim f x  = lim f x   f x  .
х  x0  0
х  x0 0
22. Точка x  1 является для функции y 
x 1
x 1
1. Точкой скачка.
2. Точкой устранимого разрыва.
3. Точкой непрерывности.
4. Точкой разрыва второго рода.
23. Точки x  2 является для функции y 
4
4  x2
1. Точками разрыва второго рода.
2. Точками скачка.
3. Точками устранимого разрыва.
3. Точками непрерывности.
24. Второе неравенство треугольника имеет вид:
1. а  b  a  b
2. а  b  a  b
3. а  b  a  b
4. а  b  a  b
25. Первое неравенство треугольника имеет вид:
1. а  b  a  b
2. а  b  a  b
3. а  b  a  b
4. а  b  a  b
26. При выполнении какого из условий бесконечно малые функции f x  и g x являются
эквивалентными бесконечно малыми?
1. lim
х  x0
f x 
g x 
f x 
f x 
 1 ; lim
 0 . 2; 3. lim
 0 ; 4. lim
 .
х  x0 f  x 
х  x0 g  x 
х  x0 g  x 
g x 
27. Укажите четные функции


1. y  x  x 3  1 ; 2. y  log 3
2
sin x
x 1
; 3. y 
; 4. y  x  e x ; 5. y  x  arctgx;
x
x 1
1. 2 и 4
2. 3 и 5
3. 1
4. 1 и 4
12 
 1
28. Предел lim 
 3
 равен
х2 x  1
x 8

1.
1
.
2
2. 2.
3. 1.
4. 0.
29. Предел lim
х 0
1. 6 2 .
2. 3 2 .
3. 2 2 .
4.
2.
sin 3x
x2 2
равен
30. Символическая запись определения производной функции в точке имеет вид
1. f x0   lim
f x   f x0 
.
x  x0
2. f x0   lim
f x0  x 
.
x
3. f x0   lim
x
.
f x0  x   f x0 
4. f x0   lim
f  x   f  x0 
.
x  x0
х  x0
x 0
x 0
х  x0
31. Чему равна производная функции f x   x в точке х = 0?
1. f 0 не существует.
2. f 0  0 .
3. f 0  1 .
4. f 0  1 .
32. Сопоставьте функции и их производные
1. f x   tgx . 1. f  x  
1
.
cos 2 x
2. f x  arcsin x . 2. f x  
3. f x  arcctx . 3. f  x   
1
1 x
2
.
1
.
1 x2
4. f x   arccos x . 4. f x   
1
1 x2
.
33. Найти производную функции f x   ln tg
1. f x  
1
.
2x  1
sin
2
2х  1
4
2. f x  
4
.
2 2x  1
sin
4
3. f x  
2
.
2x  1
cos
4
4. f x  
2
.
2 2x  1
sin
2
34. Найти производную второго порядка функции f x  
1. f x   
2. f x  
3x  1
3
3
x  12
3. f x   
4. f x  
1
.
3
x  13
1
x  12
.
.
.
35. Найти производную функции f x   x x
1. f x   x x 1 ln x  .
2. f x  x1 ln x .
 1  ln x 
3. f x   x x 
.
 x 
4. f x  
x x 1  ln x 
.
x
36. Найти производную функции f x   1  3х 2 .
1. f x   
2. f  x  
3х
1  3x 2
2х 2
1  3x 2
.
.
х
6x  1
3. f x   
4. f  x  
6x
1  3x 2
3х 2
2 1  3x 2
.
.
37. Найти производную у х от неявной функции х 3  у 3  3xy  0 .
1. y  
x2  y
.
x  y2
2. y   3
x y
.
x  y2
3. y   3
x2  y
.
x2  y2
4. y  
x2  y2
.
x y
38. Уравнение касательной к кривой у  f x в точке M x0 , y 0  имеет вид
1. у  f x0   f x0 x  x0  .
2. у  f x0    f x0 x  x0  .
3. у  f x0   f x0 x  x0  .
4. f x  у  f x0   x  x0 .
 x  a cos t
39. Найти производную у х от функции, заданной параметрически 
.
 y  a sin t
1. у х  ctgx .
2. у х  tgx .
3. у х  atgx .
4. у х  actgx .
40. Найти угол между кривыми y  x 3 и y 
1
.
x2
1.

.
4
2.

.
3
3.

.
6
4.

.
2
41. Найти производную третьего порядка функции f x   ln x .
1. f  x  
2
.
x3
2. f x   
6
.
x3
3. f x   
2
.
x2
4. f  x  
4
.
x3
42. Формула Тейлора для функции f x  , дифференцируемой п+1 раз в некотором
интервале, содержащем точку x 0 имеет вид
1. f x   f x0  
f x0 
f x0 
f n  x0 
x  x0  
x  x0 2  ... 
 x  x 0 n  R n .
1!
2!
n!
2. f x   f x0  
f x0 
f x 
f n  x 
x  x0   2 0 x  x0 2  ...  n 0 x  x0 n  Rn .
x0
x0
x0
f x0 
f 2 x0 
f n x0 
2
x  x0  
x  x0   ... 
 x  x 0 n  R n
3. f x   f x0  
1!
2!
n!
4. f x   f x0  
f x0 
f x0  2
f n  x0  n
x
x  ... 
x  Rn .
1!
2!
n!
43. Сопоставить формулировки теорем и их названия
1. теорема Ферма.
1. Пусть функция f x  определена на а, b  и существует точка   а, b , такая что в
этой точке функция принимает наибольшее или наименьшее значение на а, b , тогда или
f    0 или f   не существует.
2. теорема Роля.
2. Пусть функция f x  определена на a, b , дифференцируема на а, b  и f a  f b ,
тогда существует точка   а, b , такая что f    0 .
3. теорема Лагранжа.
3. Пусть функция f x  определена на a, b и дифференцируема на а, b , тогда
существует точка   а, b , такая что f  b  a  f b  f a .
4. теорема Коши.
a, b, дифференцируемы на а, b 
f b   f a  f  
.

g x  0 на а, b , тогда существует точка   а, b , такая что
g b   g a  g  
4. Пусть функции f x  и g x определены на
44. Закончить фразу: Геометрический смысл производной функции в точке x 0 –
1. угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с
абсциссой x 0
2. приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке с
абсциссой x 0 .
3. тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в любой точке.
4. приращение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x 0 .
45. Функция называется дифференцируемой в точке, если ее приращение представимо в
виде
1. f x0   f x0   x  0 x  , где
x .
0
x   бесконечно малая более высокого порядка, чем
2. f x0   f x0   x  0 x  , где
x .
0
x   бесконечно малая более высокого порядка, чем
3. f x0   f x0   0 x  , где
0
x   бесконечно малая более высокого порядка, чем
4. f x0   f x0   x  0 x  , где
0
x .
x   бесконечно малая более высокого порядка, чем
x 
 1
46. Найти предел функции lim 

 , используя правило Лопиталя – Бернулли.
х 1 ln x
ln x 

x.
и
1. -1.
2. 1.
3. 0.
4.  .
47. Найти предел функции lim
х 2
1.
4
.
7
2.
2
.
9
3.
1
.
3


ln x 2  3
, используя правило Лопиталя – Бернулли.
x 2  3x  10
4. -1.
48. Для функции y 
1  ln x
точкой максимума является
x
1. x  1 .
2. x  0 .
3. x  e .
4. x 
1
.
e


49. Для функции y  ln x 2  1 точкой минимума является
1. x  0 .
2. x  1 .
3. x  e 2 .
4. x 
1
.
e2
2x 3
50. Для функции y  2
невертикальной асимптотой является прямая
x 4
1. y  2 x .
2. y  2 x  1 .
3. y  x  2 .
4. y  x  1 .
51. Для функции y  xex точкой перегиба является
1. x  2 .
2. x  1 .
3. x  0 .
4. x  2 .
52. Для функции y 
2x 3
вертикальными асимптотами являются прямые
x2  4
1. x  2 и x  2 .
2. x  1 и x  2 .
3. x  1 и x  1 .
4. x  0 и x  2 .
53. Сопоставьте табличные интегралы и соответствующие первообразные
1.
x
2
2.
x
2
3.

4.

dx
1
xa
. 1.
ln
C.
2
2a x  a
a
dx
1
x
. 2. arctg  C .
2
a
a
a
dx
x k
2
. 3. ln x  x 2  k  C .
dx
a x
2
2
. 4. arcsin
x
C.
a
54. Пусть u x  и vx  - дифференцируемые функции, тогда формула интегрирования по
частям имеет вид
1.  udv  uv   vdu .
2.  udv   vdu  u .
3.  uvdx  uv   vdx .
4.  vdu  uv   udv .
55. Неопределенный интеграл
x
2
dx
равен
 4x  5
1. arctgx  2  C .
2. ln(x-2)+C.
3.
1
arctg  x  2   C
2
4.
1
ln x  2  C .
2
56. Сопоставьте табличные интегралы и соответствующие первообразные
1.
dx
 cos
2
x
.
2.  tgxdx .
3.
dx
 sin
2
x
1. tgx  C .
2.  ln cos x  C .
.
3.  ctgx  C .
57. Неопределенный интеграл
1. 
2.
dx
 x  1 ln x  1
2
1
C.
ln x  1
3
C.
ln x  1
3
3. ln(x+1)+C.
4.  x  1  C .
2
58. Неопределенный интеграл  ln xdx равен
1. x ln x  x  C .
2. x 2 ln x  x  C .
равен
3. x ln x 
1
C.
x
4. x ln 2 x  x  C .
59. Неопределенный интеграл
1. arcsin

dx
5  x 2  4x
равен
x2
C.
3
2.
1
x2
arctg
C.
3
3
3.
1 x2
ln
C.
6
3
4. ln 5  x 2  4 x  C .
60 Установите соответствие между функцией z  x 2  xy 2 и её частными производными
второго порядка
1) zxx
□2
(1)
2) z yy
□ 2x
(2)
3) z xy
□ 2xy
□ 2x  2 y
□ 2y
(3)
61. Частная производная второго порядка z''xy функции z  x 2  y3 равна …
1. 2у3
3. 2х2
2. 2ху3
4. 2х+3у
62 Множество первообразных функции y  cos 3x имеет вид ...
1. 3sin x  C
3.
1
sin x  C
3
1
2.  sin x  C
3
4. 3cos x  C
63. Какие из заданных интегралов вычисляется методом «по частям»...
1.  tg 5 xdx
3.
 x cos xdx
2.  sin 2 xdx
4.  ln xdx
2
64. Значение определённого интеграла  ( x 2  3)dx равно ...
0
1. 3
3.
26
3
2. 9
4.
13
3
e
65. Значение определённого интеграла
1. 4
2. ¼
3. 0
ln 3 x
1 x dx равно …
4. - 4
dx

Укажите замену, с помощью которой сводится к табличному интеграл sin x
66.
1. t  tg
x
,
2
2. t  cos x ,
3. t  sin x ,
4. t 
67. Укажите подстановку, с помощью которой интеграл

1
.
sin x
dx
3
x x
сводится к интегралу
от рациональной дроби
1.
t  x 2. t  3 x ,
3. t  x 6 ,
68.
– первообразная для
неопределенного интеграла
1.
2.
4. x  t 6 .
Укажите верное равенство, выражающее свойство
,
′
3.
4.
69. Сопоставьте табличные интегралы и соответствующие первообразные
1).
x
2
2).
x
2
3).

4).

dx
.
 a2
1.
1
xa
ln
C
2a x  a
dx
.
 a2
2.
1
x
arctg  C
a
a
dx
3. ln x  x 2  k  C
x k
2
.
dx
a2  x2
.
4. arcsin
x
C
a
70. Пусть u x  и vx  - дифференцируемые функции, тогда формула интегрирования по
частям имеет вид
1.  uvdx  uv   vdx .
2.  udv   vdu  u .
3.  udv  uv   vdu .
4.  vdu  uv   udv .
71. Сопоставьте табличные интегралы и соответствующие первообразные
1).
dx
 cos
2
x
.
2).  tgxdx .
3).
dx
 sin
2
x
1. tgx  C .
2.  ln cos x  C .
.
3.  ctgx  C
72. Если F1(x) и F2(x) первообразные для функции f(x), то
1) F1(x) + F2(x)= f(x)+С,
2) F1(x) - F2(x)= f(x),
3) F1(x) - F2(x)=С,
4) F1(x) + F2(x)= С
73. Чтобы найти первообразную для интеграла

dx
a2  x2
необходимо
1) Воспользоваться методом интегрирования по частям,
2) Дополнить подкоренное выражение до полного квадрата,
3) Выполнить замену переменной и свести к табличному
4) Избавиться от иррациональности в знаменателе.
74. Укажите замену, с помощью которой вычисляется интеграл
1. x=
2. ) t  x ,
,
3. t  ax ,
4. t 

dx
a2  x2
x
.
a
75. Какой метод применим при вычислении интеграла
1. преобразования дифференциала
2. это табличный интеграл
3. интегрирования по частям
4. метод рационализации.
76. Укажите верное равенство, выражающее свойство неопределенного интеграла
1.
2.
,
′
3.
4.
77. Выберете первообразную для интеграла
1
x
1). arctg  C
a
a
2). ln x  x  k  C

dx
x2  k
1 xa
C
3). ln
2 xa
78. Сопоставьте интегралы и соответствующие первообразные
4) ln x  х 2  k  C
1)
1.
2)
2.
3)
3.
4)
4. -
+C
79. Какие преобразования дифференциала верны и используются при интегрировании
1) d(F(x))=d(C∙F(x))
4) d(F(x))=d(F(x) - Cх)
2) d(F(x))=d(F(x) +C)
3) d(F(x))=
d(C∙F(x))
5) d(C∙F(x))d(C∙F(x))
80. Если F(x) первообразная для функции f(x), то
1)
2) F(x) = f(x)+C,
3) F(x) - первообразная для f(x)+С,
4) F(x) + С первообразная для f(x),
5) f(x)′= F(x)
81. Чтобы найти первообразную для интеграла
x 2 dx
 x  1 необходимо
1) Воспользоваться методом интегрирования по частям
2) Дополнить числитель до полного квадрата
3) Выполнить замену переменной
4) Представить подынтегральную дробь в виде суммы целой части и остатка
Верные ответы
№
вопр
оса
Вер
ный
отве
т
№
вопр
оса
Вер
ный
отве
т
№
вопр
оса
Вер
ный
отве
т
№
вопр
оса
Вер
ный
отве
т
№
вопр
оса
Вер
ный
отве
т
№
вопр
оса
Вер
ный
отве
т
№
вопр
оса
Вер
ный
отве
т
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
1
1
1
1
1
сопостав
ление в
строку
сопостав
ление по
строкам
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1
1
1
1
1
1
Ответ
дан
1
19
20
21
сопоста
вление
по
строкам
22
23
24
25
26
27
1
1
1
1
1
1
1
1
28
29
30
31
32
34
35
36
1
1
1
1
сопостав 1
ление в
строку
1
1
1
37
38
39
40
41
42
43
44
45
1
1
1
1
1
1
1
1
46
47
48
49
50
51
сопоста
вление
по
строкам
52
53
54
1
1
1
1
1
1
1
1
1
55
56
57
58
59
60
61
62
63
1
сопос 1
тавлен
ие в
строк
у
1
1
Ответ дан
1
3
3,4
1
33
№
вопр
оса
Вер
ный
отве
т
№
вопр
оса
Вер
ный
отве
т
64
65
66
67
68
69
70
71
72
3
2
1
4
2
сопоставл
ение в
строку
3
сопостав
ление в
строку
3
73
74
75
76
77
78
79
80
81
3
3
3
1
2
сопоставл
ение в
строку
2,3
4
4