Алгебра и начала анализа.10-11 класс

Яблокова Галина Анатольевна
учитель математики
МАОУ «Гуманитарный лицей»
г. Псков
Об экспериментальной деятельности по апробации УМК М.Я. Пратусевича
«Алгебра и начала анализа.10-11 класс» профильный уровень.
За период 2010-2012 года я принимала участие в апробации учебно-методических
комплектов Пратусевича М.Я., Столобова К.М., Головина А.Н. «Алгебра и начала анализа» для
10-11 классов издательства «Просвещение».
Учебники предназначены для классов с профильным уровнем обучения, где на изучение
предмета алгебры и начал математического анализа отводится не менее 4 часов в неделю.
Содержание учебников для 10 и 11 класса охватывает все разделы и темы, предусмотренные
Государственным стандартом профильного уровня и требованиям подготовки выпускника.
Особенностью УМК для 10 класса является наличие материала, пригодного для изучения в рамках
элективных курсов. Особое внимание уделяется изучению методов решения задач. Учебник для
11 класса содержит
большое количество примеров решения задач, а также примеров,
иллюстрирующих тонкости и трудности курса, помещенных в тексте глав (предел функции и
непрерывность; - производная и ее применения; - интеграл; - комплексные числа и их применения;
- элементы теории вероятностей; - уравнения и неравенства). Кроме того, в учебниках
существенно расширен корпус задач, в том числе, за счет задач на доказательство утверждений, не
сводящееся к тождественным преобразованиям. Это является, на мой взгляд, самой главной
отличительной особенностью УМК, в отличие от традиционно используемых в школе учебных
пособий. Каждый учебник сопровождается дидактическими пособиями, содержащими
упражнения для контроля и самостоятельного решения. Отмечу, что возможно использование
дидактических материалов и в обычных классах с целью повышения уровня предметной
компетенции учащихся по алгебре и началам математического анализа, а также при подготовке к
экзаменам.
Теоретический материал УМК разделен на 14 глав. Глава IX «Производная и ее
применение» изучается в 11 классе. Отмечу, что авторы при изучении этой главы рекомендуют
одновременно рассматривать понятие производной и первообразной, в отличие от традиционных
учебных пособий, где производную изучают в 10 классе, а первообразную в 11 классе. Отмечу,
что теоретический и практический материал настолько богат, что у учителя, работающего по
данному учебнику, есть возможность по разработке индивидуальных образовательных траекторий
для сильных учеников. Особого внимания заслуживает XIII глава «Уравнения и неравенства»,
которая изучается в конце учебного года в 11 классе перед сдачей ЕГЭ. Авторы учебника очень
грамотно, тщательно подобрав упражнения, обобщают и систематизируют методы решения всех
видов уравнений и неравенств ( целых рациональных и дробно-рациональных уравнений и
неравенств, иррациональных, тригонометрических, показательных и логарифмических),
рассматривают методы решения уравнений и неравенств с параметром.
Последние годы в тестах ЕГЭ по математике включаются задания по теории вероятности.
Глава XII «Элементы теории вероятности» содержит теоретический и практический материал,
направленный на подготовку к экзамену. Рассматриваются понятия случайные события,
классическое определение вероятности, условная вероятность, независимые события, формула
полной вероятности, геометрическая вероятность , задачи и упражнения по данным понятиям.
Отмечу, что объяснение материала основано на разборе конкретных задач и примеров. А для
закрепления материала предлагается более 70 задач от простейших до высокого уровня
сложности.
Результаты моей экспериментальной деятельности по апробации данных УМК отражались в
отчетах - дневниках учебника по каждой главе. Приведу пример фрагмента отчета по одной из
глав учебника «Производная и ее применение».
Замечания к методической схеме (методические подходы, опора на современные
педагогические технологии и пр.)
Параметры, которые следует
учесть при оценивании главы
(раздела)
Опора на ранее изученный материал
данного и других предметов
Авторская
концепция
курса.
Целесообразность принципов отбора
материала и подходов к его
изложению.
Вариативность
предложенных
в
методическом
пособии
схем
построения уроков
Обеспечение
формирования
и
реализации
основных
мотивов
познавательной
деятельности,
развития
интеллектуальных
и
творческих способностей учащихся
Ориентация
на
определенные
педагогические технологии (какие?)
Возможности
для
реализации
дифференциации
и
индивидуализации обучения
Возможности
для
реализации
индивидуальных
образовательных
траекторий обучающихся (в т. ч. с
учетом актуализации жизненного
опыта учащихся)
Возможность реализации системнодеятельностного
подхода
в
образовании
Замечания и предложения учителя по доработке главы
(раздела) учебника1
Материал главы опирается на ранее изученный материал, а именно,
вычисление пределов, исследование функции элементарными
методами без применения производной. Изучение главы опирается
на умение учащимися выполнять алгебраические преобразования,
основано на вычислительных навыках.
Материал курса авторский. Есть ряд примеров, которые
традиционно приводятся при изложении теории по данному
вопросу в любом учебнике .Например, построение эскизов
графиков, доказательство формул дифференцирования.
Что
касается принципов отбора материала и подходов к его изложению,
то ярко прослеживается
-полнота и логичность изложения;
- наглядность и практическая направленность.
Методическое пособие для учителя ( книга для учителя) в том виде
как оно существует) не позволяет использовать различные схемы
построения уроков. Учитель сам будет вынужден в зависимости от
изучаемого материала строить урок. Например, при изучении
вопроса «Задача о касательной. Уравнение касательной» в
методическом пособии отводится 2 урока, рекомендации к
изучению касательной и ее уравнения самые подробные, но ничего
о схеме построения урока, приемах, технологиях, рекомендациях
для учителя какие, по мнению самих авторов, задачи нужно
рассмотреть в обязательном порядке.
Думаю, что методическая схема данной главы
учебника
способствует формированию и развитию интеллектуальных и
творческих способностей ученика.
Развитие мотива познавательной деятельности зависит во многом
от самого ученика, затем от учителя и только потом от того, по
какому учебнику обучается ребенок. Потом, у каждого ученика
свой мотив познавательной деятельности: кто-то хочет повысить
отметку по предмету, кто-то изучает вопрос потому, что ему это
просто интересно, кто-то планирует поступать в ВУЗ и понимает,
что это необходимо для обучения в дальнейшем. Во всяком случае,
считаю, что данный раздел учебника представлен таким образом,
что концепция изложения способствует закреплению мотивов
познавательной деятельности.
Технология критического мышления, проектная технология.
Существуют возможности для дифференциации обучения.
Особенно для индивидуализации обучения.
Об этом говорилось выше. Авторы учебника предлагают к
изучению многие теоретические и практические вопросы, которые
слабый ученик не способен изучать, а сильный ученик может
совершенствовать свои знания и расширить кругозор.
Системно - деятельностный подход предполагает, что у учащихся
формируется система знаний по предмету. Новые знания не даются
в готовом виде, а добываются учащимися в процессе учебного
исследования
под
руководством
учителя.
Большинство
теоретических вопросов дается в учебнике в готовом виде, а вот
Включение специальных приемов,
обучающих работе с учебным
материалом, в т. ч. с текстом
практическая часть учебника
требует
провести «миниисследование», конечно, под руководством учителя. Поэтому
можно говорить о наличии в главе «Производная и ее применение»
данного
УМК
возможности
реализации
системнодеятельностного подхода в образовании.
Кроме того, замечу, что в УМК приводится много задач,
которые требуют совместного обсуждения, что способствует
формированию правильных представлений, учат рассуждать и
всматриваться в суть решаемой задачи
В книге для учителя есть несколько рекомендаций по изучению
того или иного вопроса главы. Самые существенные к параграфу
61 « Исследование функций с помощью производной», в основном
рекомендации
традиционные,
присутствуют
во
многих
методических пособиях и учебниках других авторов. Специальных
приемов, обучающих работе с учебным материалом, текстом
учебника в книге для учителя я не нашла.
А вот в самом учебнике почти каждое математическое утверждение
сопровождается примерами, примеры не просто приводятся, а по
возможности комментируются; используется знак «!», что при
работе с текстом очень важно, прослеживается как бы личное
отношение авторов к той или иной ситуации.
Формирование способов действий,
необходимых для обучения на
последующей
ступени
общего
образования
(обеспечение
преемственности обучения)
Присутствует формирование универсальных действий. И не только
для обучения следующей ступени общего образования, но и
высшего. Это крайне важно для выпускника современной школы.
Ориентация
на
реализацию
межпредметных связей, возможность
организации
и
проведения
интегрированных уроков
Присутствует. Связь с физикой. При изучении производной, как
скорости изменения функции, ускорения, как второй производной.
В экспериментальную деятельность по апробации учебника входили и разработанные уроки .
Ниже приведу конспект урока в 10 классе.
ТЕМА УРОКА: «Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Решение
уравнений высших степеней».
ЦЕЛИ:
 научить находить значение многочлена, его корни, используя теорему Безу, схему
Горнера;
 формировать умения и навыки в нахождении корней многочленов;
 научить обобщать и систематизировать материал; применение знаний при решении
уравнений высших степеней;
 развивать вычислительные навыки, концентрацию внимания, функции самоконтроля;
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
II. Актуализация знаний учащихся
1. Проверка домашнего задания:учебник стр.162-163, № III.14(а,г,д,е) , № III.21.
2. Используя схему Горнера, выполните деление многочлена 2 х 4  6 х 3  х 2  4 х  7 на
двучлен х  3.
3. При каком значении а многочлен х 3  ах  1 при делении на двучлен х  а дает остаток 13.
4. Разложите многочлен P( x)  x 4  4 x 3  6 x 2  10 x  20 по степеням x  2 .
5. Разложите на простейшие дроби Q( x) 
2. Устный счет .
x3  x  1
.
( x  2) 4
Узнайте, делится ли многочлен f(x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2
на (x – 1), (x + 1), (x – 2)( фронтальная работа)
Решение. По теореме Безу, если f(1) = 0, то f(x) делится на (x – 1). Проверим это.
f(1) = 1 – 5 + 8 – 5 + 1 + 2 > 0, f(x) не делится на (x – 1);
f(–1) = – 1 – 5 – 8 – 5 – 1 + 2 < 0, f(x) не делится на (x + 1);
f(2) = 32 – 80 + 64 – 20 + 4 = 0, f(x) делится на (x – 2).
Ответ: делится на (x – 2).
3 Индивидуальная работа 2 учащихся по карточкам у доски или в тетрадях. ( Лучше учащимся
предложить записать решение на пленке, которое можно посмотреть с применением кадоскопа,
если таковой есть в наличии)
КАРТОЧКА1.
Многочлен P(x) при делении на (x – 1) дает остаток 3, а при делении на (x – 2) дает остаток 5.
Найти остаток от деления многочлена P(x) на (x 2 – 3 x + 2).
Решение.
P(x) = (x – 1) Q 1(x) + 3
(1)
P(x) = (x – 2) Q 2(x) + 5
(2)
Из (1) и (2) следует, что P(1) = 3, P(2) = 5.
ПустьP(x) = (x 2 – 3 x + 2) Q (x) + a x + bили
P(x) = (x – 1) (x – 2) Q (x) + a x + b
(3)
Подставив в (3) последовательно x = 1 и x = 2, получим систему уравнений, из которой a = 2,
b = 1.
Ответ: 2 x + 1.
КАРТОЧКА2.
При каких m и n многочлен x 3 + m x + n при любых x делится на x 2 + 3 x + 10 без остатка.
Решение. При делении “уголком” получим x 3 + m x + n = (x 2 + 3 x + 10) (x – 3) + ((m – 1) x +
(n + 30)).
Т.к. деление выполняется без остатка, то (m – 1) x + (n + 30) = 0, а это возможно (при любом x)
только в случае, когда m = 1, n = –30.
Ответ: m = 1, n = –30.
III Повторение теоретического материала
ЗАДАНИЕ УЧАЩИМСЯ
Вычислить значение многочлена f(x) = 2 x 4 – 9 x 3 – 32 x 2 – 57 при x = 7 .
(то есть узнать делится ли он на (x – 7) по теореме Безу), надо подставить вместо x число 7. Если
f(7) = 0, то f(x) делится без остатка. Если f(7) не равно 0, то f(x) делится на (x – 7) с остатком.
Чтобы облегчить нахождение значения f(7) применим схему Горнера. Заполним таблицу из двух
строк по следующему алгоритму:
1. Строка коэффициентов записывается первой.
2. Старший коэффициент дублируется во второй строке, а перед ним ставится значение
переменной (в нашем случае число7), при котором вычисляем значение многочлена.
Получается таблица, пустые клетки которой надо заполнить.
2 – 9 – 32 0 –57
7 2
3. Это делается по единому правилу: для пустой клетки, стоящей справа, число 2 умножается на 7
и складывается с числом, стоящим над пустой клеткой. Ответ записывается в первую пустую
клетку. Так делают для заполнения остальных пустых клеток. Поэтому, в первой пустой клетке
ставится число 2 • 7 – 9 = 5, во второй пустой клетке ставится число 5 • 7 – 32 = 3, в третьей
ставится число 3 • 7 + 0 = 21, а в последней 21 • 7 – 57 = 90. Полностью эта таблица выглядит так:
2 – 9 – 32 0
7 2 5
3
–57
21 90
Последнее число второй строки является ответом.
ЗАДАНИЕ УЧАЩИМСЯ:
Применяя схему Горнера, узнайте, делится многочлен (x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 на (x – 1),
(x + 1), (x – 2). Если требуется проверить несколько значений, то для экономии выкладок строят
одну объединенную схему.
3 –5 0
1
–7
3 –2 –2 –9
0
–9 3
–1 3 –8 8
– 15 15
2
–3
3 1
2
12
–3
–6 0
В последнем столбце в третьей, четвертой и пятой строках – остатки от деления. Тогда f(x) делится
без остатка на (x – 2), т.к. r = 0.
V. Изучение нового материала.
Теоретический материал учебника. (§20 Многочлены с целыми коэффициентами стр. 156,
п.1 Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами).
Вместе с учителем учащиеся делают вывод: числитель ненулевого рационального корня
многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена, а знаменатель –
делителем старшего коэффициента.
Какие приемы используют при решении задач о разложении на множители многочлена или
нахождении корней многочлена?
Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена,
степень которого на единицу меньше. Иногда этим приемом – он называется “понижением
степени” – можно найти все корни многочлена.
При решении таких задач большую пользу приносит та же схема Горнера.
Однако, на самом деле схема Горнера дает гораздо больше: числа, стоящие во второй строке (не
считая последнего) – это коэффициенты частного отделения на (x – a).
Учитель ставит перед учащимися задачу:
Найти корни многочлена f(x) = x 4 – x 3 – 6 x 2 – x + 3.
Вместе с учителем учащиеся проговаривают план решения и записывают его в тетрадях.
Решение. Делители свободного члена: – 1, 1, – 3, 3 могут быть корнями многочлена. При x = 1
очевидно сумма коэффициентов равна нулю. Значит, x1 = 1 – корень. Проверим по схеме Горнера
на корень число – 1 и другие делители свободного члена.
1 –1 –6 –1 3
–1 1 –2 –4 3
0
–1 1 –3 –1 4
3
1 1
–1 0
x = –1 — корень
второй раз x = –1 — не корень
проверим x = 3
x = 3 – корень.
f(x) = (x + 1) (x – 3) (x 2 + x – 1), решим уравнение x 2 + x – 1 = 0,
х
1 5
1 5
х
2
2
;
.ОТВЕТ: x = –1; х =3; х 
1 5
1 5
;х 
2
2
VI. Закрепление. Упражнения №III.47 (а,в,д) стр.166
На доске три человека решают данное упражнение для последующей проверки.
а) Решите уравнение х 3  2 х 2  5 х  6  0 .
4
3
2
в) Решите уравнение х  6 х  10 х  х  6  0
г) Решите уравнение х 4  5 х 3  х 2  26 х  24  0
VII. Исследовательская работа учащихся
– Ребята, вы не заметили, какие многочлены в основном мы разбирали на уроке?
(Ответы учащихся).
– Да, это многочлены с целыми коэффициентами и со старшим членом k = 1.
– В каких числах получались ответы?
(Ответы учащихся).
– Правильно, корни многочлена с целыми коэффициентами и со старшим членом k = 1 либо целое,
либо иррациональное, либо целые и иррациональные, либо не имеют корней. Запишите вывод в
своих тетрадях.
VIII. Задание на дом
1) Учебник стр. 166 №III.47 (б,д,е) §20 п.1 (теория).
Дополнительно :
4
3
2
2) Разложить на линейные множители многочлен х  10 х  37 х  60  36
3) Решите уравнение
4( х  3)
5
 2
1
2
2 х  х  8 х  4 2 х  3х  2
3
3х 2  12 х  9
х 5  5х 3  6
5) Многочлен Р( х)  2 х 3  х 2  ах  b при делении на x  1 дает остаток 18, а на x  2 делится
4) Сократите дробь
без остатка. Найдите корни многочлена.
IX. Подведение итогов урока и выставление отметок
Литература
1. М.Л. Галицкий. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. //
Просвещение, 1997 г.
2. М.Я Пратусевич ,К.М. Столбов, А.М Головин. . Алгебра и начала математического
анализа. 10 класс // Просвещение, 2009 г.
3. В.Н. Соломин, К.М. Столбов, М.Я. Пратусевич Алгебра и начала анализа , дидактические
материалы 10 класс
В заключении отмечу, что учебно-методический комплект Пратусевича М.Я., Столобова К.М.,
Головина А.Н. «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов издательства «Просвещение»
является продуктом по систематизации и распространению опыта работы авторов в физикоматематических школах, классах с углубленным изучением математики и профильных классах.
Особенность УМК большое количество задач, которые обучают современного школьника не
просто применять конкретный алгоритм действий, а требуют понимания, применения
неожиданного решения, эвристического. Подбор задач и упражнений позволяет учителю
организовать исследовательскую и проектную деятельность, готовить учащихся к олимпиадам и
сдаче ЕГЭ.