Раздел 2 « Основы дифференциального исчисления» Тема 2.1 «Производная функции Пусть x1 и x2 – значения аргумента, a y1 = f(x1) и y2 = f(x2) – соответствующие значения функции y = f(x). Разность x = x2 – x1 называется приращением аргумента, а разность y = y2 – y1 = f(x2) –f(x1) – приращением функции на отрезке [x1;x2]. Определение 1: Производной от функции y = f(x) по аргументу x называется конечный предел отношения приращения функции к y приращению аргумента при стремлении последнего к нулю: y lim или x 0 x f ( x ) lim x 0 f ( x x ) f ( x ) dy . Производная обозначается также . x dx Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке x, т.е. y tg . Производная характеризует скорость изменения функции в точке x. Операция отыскания производной называется дифференцированием функции. Напомним основные правила дифференцирования функций. Пусть С – постоянная, u = u(x) и v=v(x) – функции, имеющие производные. Тогда: 1) производная постоянной равна нулю С 0 ; 2) производная аргумента равна единице x 1 ; 3) производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций u v u v ; 4) постоянный множитель можно выносить за знак производной С u C u ; 5) производная произведения двух дифференцируемых функций находится по формуле u v u v u v ; 6) производная частного двух дифференцируемых функций может быть u u v u v найдена по формуле . v2 v 7) правило дифференцирования сложной функции: если y = f(u), u = u(x), т.е. y = f [u(x)] – сложная функция и функции f(u) и u(x) имеют производные, то y x y u u x или y f u u . Исходя из определения производной и применяя правила дифференцирования, можно вывести формулы для производных основных элементарных функций. Формулы дифференцирования основных элементарных функций. Таблица 1. 1. с 0 ; 10. sin u cos u u ; 2. х 1; 11. cos u sin u u ; u nu 1 4. u 2 u a u u 1 u ; cos 2 u 1 u ; sin 2 u 12. tgu u ; 13. ctgu 1 1 5. 2 u ; u u u u 6. e e u ; 7. a u ; n 1 n 3. ln a u ; 1 u ; u 1 9. log a u u; u ln a 8. ln u 14. arcsin u 1 1 u 15. arccos u 2 u ; 1 1 u2 u ; 1 u ; 1 u2 1 17. arcctgu u . 1 u2 16. arctgu Примечание: Здесь приведены формулы для случая, когда основная элементарная функция является внешней функцией композиции (сложной функцией) т.е. с учетом правила 7, где u=u(x). Если же вычисляется производная функции обычного вида, например, f(x)=ln(x), то следует помнить, что х 1 или 1 просто ln x . x Задача № 2.1.1. Вычислить производную по x следующей функции: y 5(tg x x ). Перепишем функцию в виде y 5 tg x 5 x. Воспользуемся 3-им правилом дифференцирования: производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) их производных y (5 tg x ) (5 x ). Пользуясь правилом 4, константы выносим за знак производной: y 5(tg x ) 5( x ). Теперь задача свелась к отысканию производных элементарных функций, которые находим из таблицы 1: (tg x ) Таким образом, получаем: y основных 1 ;( x ) 1. cos 2 x 5 5. Для получения ответа в более cos 2 x компактной форме его можно преобразовать, пользуясь известными формулами тригонометрии: y 1 cos 2 x 5 sin 2 x 1 5 5 1 5 5 5 tg 2 x. 2 2 2 2 cos x cos x cos x cos x Ответ: y 5tg 2 x . Задача № 2.1.2. ex x Вычислить производную функции y . x ex Выражение, задающее функцию у = у(х), представляет собой дробь, в числителе которой находится сумма двух элементарных функций, а в знаменателе произведение. Следовательно, для нахождения ее производной необходимо применять основные правила дифференцирования: e x x e x x x e x e x x x e x . y x x e x 2 xe Применили правило дифференцирования дроби (6), а затем для вычисления производных в числителе последовательно применяем правило вычисления производной суммы (3) и производной произведения (5). e x x e e x x e y x e x x x x x e x x 2 Задача сведена к отысканию производных основных элементарных функций по таблице 1. y e x x e 1 x ex ex x 1 ex x ex x 2 . Далее преобразуем выражение с целью его упрощения: xe2 x xex e 2 x xex xe2 x x 2e x e 2 x x 2e x y x e x 2 x e x 2 . e x e x x 2 ex х2 2 x . х 2 е2 х x e x 2 e х Ответ: y 2 x . x e Задача № 2.1.3. Вычислить y для y 5 cos x . Это задача на применение правила дифференцирования сложной функции (см. правило 7). Внешней функцией здесь служит показательная функция: 5 возводится в степень, показатель которой равен cosx. Дифференцируя эту показательную функцию по промежуточному аргументу (cosx), получим 5 cos x cosx 5 u u 5 u ln 5 5 cos x ln 5 ; но промежуточный аргумент cosx – функция независимой переменной х. Таким образом, получим y x 5 cos x cos x cos x x 5 cos x ln 5 sin x 5 cos x sin x ln 5 . Ответ: y 5 cos x sin x ln 5 . Разумеется, нет никакой необходимости в таких излишне подробных записях. Результат можно писать сразу, подставляя последовательно в уме промежуточные аргументы. Проследите за последовательностью действий в следующей задаче. (По существу, она полностью аналогична 3-ей.) Задача № 2.1.4. Вычислить производную функции y arcsin 1 x 2 . 1 1 2 y arcsin 1 x 2 1 x 2 1 x 2 2 2 2 1 x 1 1 x 1 1 2 x 1 1 x 2 2 1 x 2 Ответ: у x x 1 x2 x x 1 x 2 2 x x 1 x . 2 x 0 . Задача № 2.1.5. Эта задача содержит в себе все элементы предыдущих 4-eх упражнений. x x Проанализируйте этапы следующего решения: пусть у ln tg , тогда 2 sin x x x 1 x x sin x x sin x 1 1 x y ln tg tg x 2 x 2 sin x sin 2 x 2 x 2 tg tg cos 2 2 2 sin x x cos x 1 1 x cos x x cos x . 2 x x sin x sin x sin 2 x sin 2 x 2 sin cos 2 2 Здесь для упрощения выражения использованы следующие формулы из sin тригонометрии: tg и 2sincos sin2 . cos x cos x Ответ: y . sin 2 x Тема 2.2 «Исследование функции с помощью производной» Задача № 2.2.1. 2 x3 Исследовать функцию y 2 и построить её график по общей схеме. x 4 Общее исследование функций и построение графиков удобно выполнять по следующей схеме. 1. Найти область определения функции. 2. Выяснить, является ли функция чётной, нечётной, периодической. 3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва и выяснить характер разрывов. 4. Найти асимптоты графика функции. 5. Найти точки экстремума функции, вычислить значения функции в этих точках. Установить интервалы монотонности функции в этих точках. 6. Найти точки перегиба графика функции, вычислить значения функции и значения производной в этих точках. Установить интервалы выпуклости графика функции. 7. Используя результаты исследований, построить график функции. При необходимости уточнить отдельные участки кривой можно вычислить координаты нескольких дополнительных точек. В частности, рекомендуется вычислять координаты точек пересечения графика с осями координат, так называемые ”нули” функции. Применяем эту схему для заданной функции. 1. Функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 2, где ее знаменатель обращается в ноль, т.е. область определения функции D(f) = (;-2)(-2;+2)(+2;+). 2. Функция нечётна, т.к. f ( x ) 2( x)3 2 x3 f ( x) , ( x ) 2 4 x2 4 следовательно, её график будет симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно исследовать функцию в промежутке [0;). 3. Функция непрерывна внутри своей области определения. Краевые точки интересующей части области определения исследуем одновременно с поиском асимптот. 4. Вычисляем пределы 2 x3 2 x3 ; lim . Следовательно x 20 x 2 4 x 2 0 x 2 4 lim прямая x = 2 является вертикальной асимптотой. А разрыв функции в точке x = 2 является разрывом второго рода. Вычисляем предел lim x 2 x3 . На x2 4 основании этого результата делаем вывод о том, что горизонтальных асимптот у функции нет, но могут быть наклонные. Для поиска наклонной асимптоты вычисляем следующие пределы: lim x 2 x3 8x f ( x) 2 x3 и lim ( f ( x ) kx ) lim 2 x lim 2 0. lim 2 2 2 x x ( x 4) x x ( x 4) x x ( x 4) Итак, кривая имеет наклонную асимптоту y = 2x, причём y 2 x 8 x 0 при x 2, x 2 4 0 при x 2. 5. Для определения экстремумов и участков монотонности функции необходимо вычислить её первую производную y x 4 6x2 x2 4 4x4 2 2 2 x 2 x 2 12 x 2 4 2 . Она в промежутке [0;) обращается в ноль в точках x = 0 и x 2 3 3, 46 и в точке x = 2 обращается в бесконечность. Знаки производной на участках между этими характерными точками позволяют выявить характер монотонности функции. Вычислим значения функции в этих точках: f (0) 2 (2 3)3 2 03 f (2 3) 6 3. 0 и 02 4 (2 3) 2 4 6. Характер выпуклости графика функции определяется на основе анализа её второй производной. Вычислим 2 x 2 ( x 2 12) 16 x ( x 2 12) y . 2 2 ( x 2 4)3 ( x 4) Вторая производная обращается в ноль в точке x = 0 и в бесконечность при x = 2. Интервалы выпуклости графика определяются знаками второй производной на участках между этими точками. 7. Для определения точек пересечения с осью x необходимо решить 2 x3 0 , а для определения точек пересечения с осью у x2 4 2 03 . В данном случае график пересекает оси в f (0) 2 0 4 уравнение f ( x ) вычислить единственной точке (0;0). Для удобства и наглядности исследования составим следующую таблицу, в которой все интересующие нас точки расположим в порядке возрастания. x y’ 0 0 - (2, 2 3 ) - y’’ 0 - + y 0 (0,2) 2 2 3 0 3 3 2 ( 2 3 ;+) + + 6 3 Используя результаты исследования, строим график: оси координат, асимптоты, характерные точки, затем, ориентируясь на отметки последней строки таблицы, - кривую в области положительных x. Кривую в области отрицательных x строим симметрично относительно начала координат. Ответ: y 10,4 4 x -2 0 2 -4 -10,4 Рис. 1 График функции Понятие производной широко применяется при исследовании характера взаимосвязей между переменными в различных областях науки и практики, в том числе в экономической теории. Производная в последнем случае выступает в роли скорости изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора. С помощью производной (предела отношения приращений зависимого и независимого параметров) определяются, в частности, предельные издержки производства, предельная выручка, предельный доход, предельная полезность, предельный продукт и другие предельные величины. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем, сформулированных в курсе дифференциального исчисления. Например, сравните математическую формулировку теоремы Ферма: «Если дифференцируемая на промежутке Х функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю» с её экономической интерпретацией: «Оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода». Следующая задача контрольной работы №3 имеет своей целью практическое применение понятия экстремума функции в экономическом контексте. Чтобы предоставить студентам возможность самостоятельно подумать над смыслом используемых при её решении переменных, здесь для примера приводится решение аналогичной задачи из смежной области. Задача № 2.2.2. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. При заданном периметре окна найти такие его размеры, чтобы оно пропускало наибольшее количество света. 1-ый этап решения подобных задач - это этап уточнения смысла задачи. В данном случае дополняем условие задачи следующими положениями: наибольшее количество света окно будет пропускать при наибольшей площади остекления; форма окна такова, что оно состоит из двух простых геометрических фигур, которые сопряжены по одной из сторон прямоугольника, которая также является диаметром полукруга. 2-ой этап – этап формализации задачи. Прежде всего следует решить, какую из переменных следует принять за независимую, а затем выразить через её значения характерный параметр задачи, желательно сразу тот, экстремальное значение которого нужно найти. В нашем случае этот параметр – площадь окна. Пусть длина общей стороны равняется х, тогда радиус полукруга равен x/2, а его площадь, соответственно, S1 x2 8 . Для определения площади прямоугольника необходимо вычислить его вторую сторону. Известно, что периметр окна задан, обозначим его через a. Из геометрии понятно, что эта величина представляет собой сумму следующих величин: длины двух неизвестных сторон прямоугольника, длина стороны, обозначенной за x, и длина полуокружности радиусом x/2. Следовательно, длина неизвестной a x x / 2 , а его площадь 2 a x x / 2 x2 a x x / 2 S2 x . Общая площадь окна, S S1 S2 x 2 8 2 4ax 4 x 2 x 2 . Таким образом, площадь остекления окна определена как 8 стороны прямоугольника определяется как функция переменной х – S(x). 3-ий этап – определение экстремальных величин. Для вычисления точек экстремума функции S(x) необходимо определить производную этой функции и приравнять её к нулю. (4ax 4 x 2 x 2 ) 4a 8 x 2 x . S’=0, если 4a 8 x 2 x =0. 8 8 2a Решая последнее уравнение, получаем x – 4 S является стационарной точкой, в которой, согласно с теоремой Ферма, функция может иметь максимум или минимум. 4-й этап – выяснение характера экстремума функции. Для этого необходимо вычислить вторую производную функции и определить её знак в точке экстремума. 4a 8 x 2 x 8 2 S . Получилось, что вторая производная от 8 8 2a значения x не зависит и всегда отрицательна, в том числе и при x . Это 4 означает, что данная точка является точкой максимума функции. 5-ый этап – вычисление величин, необходимых для ответа на поставленный вопрос задачи. В данном случае нет необходимости вычислять максимальное значение самой функции, так как спрашивается не о пропускной способности окна, а о его размерах. Ранее мы уже определили длину одной из сторон прямоугольника и одновременно диаметр полукруга x 2a , которые обеспечивают наибольшую освещенность. Вычислим 4 значение второй стороны, подставляя найденное значение x в формулу a x x / 2 a . В результате вычислений получим . 2 4 a Ответ: Полукруг радиусом должен опираться на прямоугольник 4 2a a шириной и высотой . 4 4