Векторы в пространстве

Векторы в
пространстве
Понятие вектора появилось в 19 веке в
работах математиков
Г. Грассмана
У. Гамильтона
Современная символика для обозначения
вектора r была введена в 1853 году
французским математиком О. Коши.
Электрический ток создает в пространстве магнитное
поле, которое характеризуется в каждой точке
пространства ВЕКТОРОМ магнитной индукции.
Направление тока
в
Определение вектора в
пространстве
Отрезок, для которого указано, какой из
его концов считается началом, а какойконцом, называется вектором.
В
Обозначение вектора
А
с
АВ, с
Любая точка пространства также
может рассматриваться как вектор. Такой
вектор называется нулевым.
0 ТТТ
Обозначение нулевого
вектора
ТТ, 0
Длина ненулевого вектора
• Длиной вектора АВ называется длина
отрезка АВ.
• Длина вектора АВ (вектора а)
обозначается так:
АВ , а
• Длина нулевого вектора считается равной
нулю:
ТТ
=0
Определение коллинеарности
векторов
Два ненулевых вектора называются
коллинеарными, если они лежат на одной
прямой или на параллельных прямых.
Коллинеарные векторы
Сонаправленные
векторы
Противоположно
направленные
векторы
Какие векторы на рисунке сонаправленные?
Какие векторы на рисунке противоположно
направленные?
Найти длины векторов АВ; ВС; СС1.
Сонаправленные векторы:
D1 5 см
C1
AA1 BB1, A1D B1C
3 см
AB D1C1
В1
A1
Противоположно-направленные:
9 см
9 см
D
A
5 см
C
CD D1C1, CD AB,
DA BC
3 см АВ = 5 см; ВС = 3 см; ВВ1 = 9 см.
B
Равенство векторов
Векторы называются равными, если они
сонаправлены и их длины равны.
С
В
АВ=ЕС, так как
АВ ЕС и АВ = ЕС
Е
А
Могут ли быть равными векторы на
рисунке? Ответ обоснуйте.
Рисунок № 1
А
В
Рисунок № 2
О
Н
К
М
С
АВ=СМ, т. к. АВ = СМ
А
АН=ОК,т. к. АН ОК
Доказать, что от любой точки
пространства можно отложить вектор,
равный данному, и притом только один
Дано: а, М.
Доказать: в = а, М в, единственный.
Э
М
а
Проведем через вектор а и точку
М плоскость.
В этой плоскости построим
МК = а.
Из теоремы о параллельности
прямых следует МК = а и М МК.
Э
К
Доказательство:
Решение задач
№ 322
М
В1
А1
К
С1
D1
Укажите на этом рисунке
все пары:
а) сонаправленных векторов
DК и СМ; CВ и С1В1 и D1А1;
б) противоположно направленных
векторов
СD и АВ; АD и СВ; А1Aи СС1;
С АD и D1А1; АD и С1В1;
в) равных векторов
А
D
CВ = С1В1; D1А1 = С1В1; DК=СМ
Решение задач
(далее)
№ 321 (б)
D1
C1
A1
Решение:
DC1 = DC 2  СС12  81  144  15
B1
DB =
D
A
C
B
DА2  АВ 2  81  64  145
DB1 = DВ 2  BB12  145  144  17
Решение задач
№ 323
N
А
М
Дано: точки М, N, P,Q – середины сторон
D AB, AD, DC, BC; AB=AD= DC=BC=DD=AC;
а) выписать пары равных векторов;
MN = QP; PN = QM; DP = PC;
б) определить вид четырехугольника
Р MNHQ .
Решение: NP-средняя линия треугольника
ADC, NP = 0,5AC, NP\\AC;
MQ-средняя линия тр. ABC, MQ = 0,5AC,
С MQ\\AC, NP=MQ, NP\\MQ.
PQ-средняя линия треугольника DВC;
Q PQ = 0,5DB, PQ\\DB;
NM-средняя линяя треугольника ADB,
MN = 0,5DB, MN\\DB, PQ=MN, PQ\\MN.
По условию все ребра тетраэдра равны, то он
правильный и скрещивающиеся ребра в нем
перпендикулярны.
DB перпендикулярно АС .
MNPQNP=MQ=PQ=MN
NP\\MQ
квадрат
MN\\PQ
Решение задач
№ 326 (а, б, в)
М
В1
А1
К
(ДАЛЕЕ)
Назовите вектор, который
получится, если отложить:
С1
а) от точки С вектор, равный DD1
D1
CC1 = DD1
б) от точки D вектор, равный СМ
DK = CM
в) от точки А1 вектор, равный АС
С
А
D
А1С1 = АС
Самостоятельная работа
Дан тетраэдр МАВС, угол АСВ прямой. Точки К и Р
середины сторон МВ и МС, АС = 9 см и ВА = 15 см.
Найти КМ .
Решение:
Треугольник АВС, угол АСВ- прямой.
М
М
По теореме Пифагора
К
9
А
15
В
С
ВС  АВ2  АС 2  225  81  12
КМ – средняя линия треугольника МВС,
КМ = 0,5ВС = 6 см.
КМ = 6 см.
Кроссворд
1
2
Г А
В Е К Т
М И Л
О
Л
(далее)
Ь Т О Н
Р
Л И Н Е А Р Н Ы Е
3 К О
4 К О Ш И
5 ДЛИНА ОТРЕЗКА
6 И Н Д У К Ц И Я
7 Р А В Н Ы М И
вопросы
1)Фамилия математика, в работе которого впервые
появилось понятие вектора.
2) Как называется отрезок, для которого указано начало
и конец?
3) Название двух ненулевых векторов, лежащих на
одной прямой или на двух параллельных прямых.
4) Математик, который ввел современное обозначение
вектора.
5) Чему равна длина вектора?
6) Чем характеризуется в каждой точке пространства
магнитное поле?
7) Как называются два вектора, если они сонаправлены
и их длины равны?
Домашнее задание
п.п. 38-39
Стр. 84 – 85
№ 320, 321(а),
323.
Список литературы:
1. «Геометрия 10-11» Учебник для общеобразовательных учреждений. Л. С. Атанасян,
И. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 2010.
2. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. Э 68 А.. П. Савин.- М.
Педагогика, 1985.
3. Поурочные разработки по геометрии: 10 класс (сост. В. А. Яровенко) в помощь
школьному учителю- М.: ВАКО, 2007.