Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Другими словами, векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. c a Любые два вектора компланарны. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. k c a Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед. B1 Являются ли векторы ВВ1, D ОD и ОЕ компланарными? C Е В О А Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед. Являются ли векторы ОА, B1 ОВ и ОС компланарными? D C Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор ОС не лежит в плоскости ОАВ. Е В О А Являются ли векторы AD, А1С1 и D1B компланарными? D1 A1 C1 Векторы А1D1, A1C1 лежат в плоскости А1D1C1. B1 Вектор D1В не лежит в этой плоскости. D C A B Векторы AD, А1С1 и D1B не компланарны. Являются ли векторы AD и D1B компланарными? Любые два вектора компланарны. D1 A1 C1 B1 D C A B №355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Компланарны ли векторы? АА1, СС1, ВВ1 Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. В1 С1 А1 D1 В А С D №355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Компланарны ли векторы? АВ, АD, АА1 Векторы АВ, АD и АА1 не компланарны, так как вектор АА1 не лежит в плоскости АВС. В1 С1 А1 D1 В А С D №355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Компланарны ли векторы? В1В, АС, DD1 Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. В1 С1 А1 D1 В А С D №355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Компланарны ли векторы? АD, CC1, А1B1 Векторы АВ, АD и АА1 не компланарны, так как вектор АА1 не лежит в плоскости АВС. В1 С1 А1 D1 Векторы АD, CC1, А1B1 не компланарны В А С D Любые два вектора компланарны. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. Признак компланарности Если вектор a c можно разложить по векторам c = xa + yb где x и y – некоторые числа, то векторы a, b и c и b , т.е. представить в виде компланарны. С c = xa + yb a В1 Докажем, что векторы компланарны. А1 В О c b А Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ. ОА1 = х ОА ОВ1 = у ОВ Векторы ОА1 и ОВ1 также лежат плоскости ОАВ. А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ, равный вектору . c Справедливо и обратное утверждение. Признак компланарности Если векторы , и компланарны, а векторы Если вектор можно разложить по векторам ca b c a a ии bb cc =можно xa + yb разложить по векторам a и где x и y – некоторые числа, то b векторы a, b и c c = xa + yb , причем компланарны. не коллинеарны, то вектор , т.е. представить в виде коэффициенты разложения определяются единственным образом. П О В Т О Р И М Сложение векторов. Правило треугольника. АВ + ВС = АС a+b b a b a Сложение векторов. Правило параллелограмма. П О В Т О Р И М АВ + АD = АС a+b В b b a+b А a a D C Сложение векторов. Правило многоугольника. П О В Т О Р И М АВ + ВС + СD + DO = АO n m a m c c a n Правило параллелепипеда. OA + OB + OC = OD из OED из OAE OD = OE + ED = (OA + AE) + ED = OA + OB + OC = D =a+b+c В1 С c Е A В О a b №358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: АВ + АD + АА1 = AC1 D1 A1 C1 B1 D A С В №358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: DА + DC + DD1 = DB1 D1 A1 C1 B1 D A С В №358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A1B1 + C1B1 + BB1 D1 A1 C1 B1 D A С В DC + DA + DD1 = DB1 №358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A1A + A1D1 + AB D1 A1 C1 B1 D A С В A1A + A1D1 + A1B1 = A1C №358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: B1A1 + BB1 + BC D1 A1 C1 B1 D A С В BA + BB1 + BC = BD1 Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Если вектор представлен в виде p = xa + yb + zc z - некоторые числа, то говорят, что вектор p разложен по векторам a , b и c . Числа x , y и z где x, y и называются коэффициентами разложения. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векорам. Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. По правилу многоугольника ОР = ОР2 + Р2Р1 + Р1Р Докажем, что любой вектор можно представить в виде ОР 2 = x OA ОР = x OA + y OB + z OC Р2Р1= у OВ p = xa + yb + zc p p = xa + yb + zc Р1Р = z OC a P b c C p B P1 P2 O a A Докажем теперь, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим, что это не так и существует другое разложение вектора – p = xa x1a++yb y1b+ +zcz1c Это равенство выполняется только тогда, когда o = (x – x1)a + (y – y1)b + (z – z1)c Если предположить, например, что z z1 0, то из этого o o o x x1 y y1 a b равенства можно найти с z z1 z z1 Тогда векторы a , b и c компланарны. Это противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение не верно, и x x1 , y y1 , z z1. Следовательно, коэффициенты разложения p xa yb zc определяются единственным образом. №359 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Разложите вектор BD1 по векторам BA, ВС и ВВ1. По правилу параллелепипеда ВD1 = BA + BC + BB1 D1 A1 C1 B1 D A С В №359 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Разложите вектор B1D1 по векторам А1A, А1В и А1D1. По правилу треугольника из А1В1D1: D1 A1 C1 В1D1 = B1A1+ А1D1 = из А1В1B B1 = (В1B + BA1)+ А1D1 = = (A1A – A1B)+ А1D1 = D A С В = A1A – A1B+ А1D1