Квантовая теория Семестр I Журавлев В.М. Лекция III Операторное изображение динамических переменных Оператор – это правило, с помощью которого каждой функции гильбертова пространства сопоставляются другие функции этого пространства Базовые постулаты Много ли квантовых состояний? I. Постулат числа состояний 1. Для каждой физической обстановки число состояний с фиксированным значением динамических переменных энергии и импульса таково, что волновые функции ΨQ(q,x,y,z,t) для всех значений динамической переменной Q: qЄ{Q} образуют базис в гильбертовом пространстве I. Постулат числа состояний 2. Любая функция из гильбертова пространства может быть представлена в виде суперпозиции этих функций: ( x, y , z , t ) C q{Q} q Q ( q , x, y , z , t ) 3. Базис функций ΨQ(q,x,y,z,t) являетсяполным Правила вычислений Вычисление средних II. Среднее значение и дисперсия координат частицы 1. Правила вычисления средних и всех моментов квантовых случайных величин определяются статистическим постулатом 2 x (t ) x | ( x, y, z, t ) | dxdydz V II. Среднее значение и дисперсия координат частицы 2. Среднее значение динамической переменной Q определяется распределением вероятности обнаружит значение q этой переменной в состоянии Ψ Q (t ) q | C (t ) | q{Q} q 2 II. Среднее значение и дисперсия координат частицы Процедура вычислений: 1 ( x, y , z , t ) C q{Q} 2 q Q ( q , x, y , z , t ) Cq (t ) (q, x, y, z, t ) ( x, y, z, t )dxdydz * Q V 3 Q (t ) q | C (t ) | q{Q} q 2 Пример Среднее значение импульса в состоянии с фиксированной энергией в пустом пространстве C p C p e iEt h C e ipx h C e ipx h p p | C | p | C | p | C | | C | 2 2 2 2 Операторное представление Как упростить вычисление средних? III. Операторное представление Рассмотрим эксперимент по измерению динамической переменной Q в состоянии Ψ. ( x, y , z , t ) C q{Q} q Q ( q , x, y , z , t ) Cq (t ) (q, x, y, z, t ) ( x, y, z, t )dxdydz * Q V Q (t ) 2 q | C ( t ) | q q{Q} III. Операторное представление Q (t ) q | C (t ) | q{Q} q q{Q} * Q q 2 qC (t )C (t ) * q q{Q} q (q, r ) (r )dV Q (q, r ' ) (r ' )dV ' * V V' (r ' ) (r ) qQ (q, r ' ) (q, r )dVdV ' * V q{Q} V' ˆ (r ' )dV ' (r ' )Q * V * Q III. Операторное представление ˆ (r )dV ' Q (t ) (r ' )Q * V ˆ (r ' ) Q q V q{Q} Q (q, r ' ) (q, r ) (r )dV * Q Q(r' , r ) (r )dV V Q(r' , r ) q q{Q} Q ( q, r ' ) ( q, r ) * Q Оператор импульса Как выглядит оператор импульса? IV. Оператор импульса 1. Ядро оператора импульса p ( x' , x) p P ( p, x' ) ( p, x)dp * P p Ce ipx IV. Оператор импульса (ядро) p( x' , x) | C | 2 pe ipx' ipx e dp | C | 2 ip ( x x ') i | C | e x 2 pe ip ( x x ') dp ik ( x x ') dp i | C | e dk x 2 2 1 2 2 ik ( x x ') 2 2 i 2 | C | dk i 2 | C | ( x x' ) e x 2 x k p , dk dp IV. Оператор импульса (дифференциальное представление) p ( x' , x) i 2 | C | ( x x' ) x 2 2 p( x, x' ) ( x' )dx' pˆ ( x) 2 i | C | ( x x' ) ( x' )dx' x 2 IV. Оператор импульса (дифференциальное представление) pˆ ( x) 2 i | C | ( x x' ) ( x' )dx' x 2 2 2 i | C | ( x) x 2 p̂ i x 2 2 | C | 1 2 IV. Оператор импульса (окончательные соотношения) p̂ i x 1 C 2 1 p e 2 ipx Оператор координаты Как устроен оператор координаты? IV. Оператор координаты 2 Ядро оператора координаты X ( x' , x) x' ' X ( x' ' , x' ) ( x' ' , x)dx' ' * X X ( x, x' ) ( x x' ) IV. Оператор координаты xˆ ( x) X ( x, x' ) ( x' )dx' x ( x x' ) ( x' )dx' x ( x) Оператор координаты является оператором умножения на координату! Операторы динамических переменных Как вычислить оператор любой переменной? IV. Оператор кинетической энергии 2 p E 2m 1 1 2 Ek ( x ' , x ) p e 2m 2 ip ( x x ') 2 1 pe 4m ipx' ipx 1 e dp 2 ik ( x x ') dp e dk 2 4m x 2 2 1 ik ( x x ') 2 2 e dk ( x x' ) 2 2 2m x 2 2m x 2 2 IV. Оператор кинетической энергии (дифференциальное представление) E ( x' , x) ( x x' ) 2 2m x 2 2 ˆ ( x) E E ( x, x' ) ( x' )dx' ( x x' ) ( x' )dx' ( x) 2 2 2m x 2m x 2 2 2 2 IV. Степени операторов P ( x, x' ) ( x' )dx' ˆp n ( x) n i x n n n ( x x' ) ( x' )dx' (pˆ ) n xˆ ( x) n X n ( x, x' ) ( x' )dx' n n x ( x x ' ) ( x ' ) dx ' x ( x) ( x) IV. Функции от операторов Оператор любой динамической переменной ˆ Q (pˆ , xкак ˆ) Q , x) вычислен Qкл ( pбыть может кл классическая функция [k , j] ) 0 ( Q k j кл операторов импульса и p x Qкл ( p, x) k! j! координаты!!! k , j 0 [k , j] ) 0 ( Q k j кл ˆ pˆ xˆ Q ( x ) k! j! k , j 0 IV. Оператор полной энергии Функция Гамильтона 2 p H U ( x) 2m Оператор Гамильтона 2 2 2 ˆ p Hˆ U (xˆ ) U ( x) 2 2m 2m x Кафедра Теоретической физик, 2009 IV. Оператор момента импульса Компоненты момента импульса L [r p] L x p ; Lx yp z zp y , L y zp x xpz , Lz xpy yp x 123 1 IV. Оператор момента импульса ˆ [rˆ p ˆ ] оператора момента L Компоненты 123 ˆ импульса ˆ ; L xˆ p 1 Lˆ x Lˆ y ˆ z zˆp ˆ y ih y , yˆ p z y z ˆ x xˆp ˆ z ih z ẑp x , z x ˆ ˆ y yˆ p ˆ x ih x Lz xˆp y x y 1. Свойства операторов, изображающих динамические переменные 2. Свойства собственных функций эрмитовых операторов 3. Принцип неопределенности Гейзенберга