Потенциальная помехоустойчивость когерентного приёма

Потенциальная
помехоустойчивость
когерентного приёма
T
 y(t )s0 (t )dt  E0 / 2
0
По определению В.А. Котельникова потенциальной
помехоустойчивостью называется максимум
вероятности правильного решения, достижимый при
заданных условиях приема сигналов на фоне помех
(шумов).
Два сигнала
s1(t ) и s0 (t )
Алгоритм принятия решения в МП-приемнике
T
1 T

 z(t )s1(t )dt  E1 / 2 
0
 z(t )s0 (t )dt  E0 / 2
0 0
2
Это выражение можно привести к виду
T
1

 z(t )[s1(t )  s0 (t )]dt  ( E1  E0 ) / 2
0
0
Принятие решения основано на сравнении с
порогом некоторой гауссовской с.в.
w( y | H 0 )
w( y | H1 )
y
3
Ошибки при приеме состоят в том, что при передаче
первого сигнала принимается решение о приеме
второго и наоборот. Учитывая, что гауссово
распределение симметрично и априорные вероятности
равны, легко видеть, что суммарная (средняя)
вероятность ошибки равна любой из условных
вероятностей ошибок
w( y | H 0 )
w( y | H1 )
y
4
Найдем условную вероятность ошибки, то есть
вероятность события, заключающегося в принятии
решения о наличии сигнала s0 (t ) при условии, что в
наблюдаемом колебании присутствует сигнал s1 (t ) .
Это событие соответствует выполнению неравенства
T
 [s1(t )   (t )][s1(t )  s0 (t )]dt  ( E1  E0 ) / 2
0
на самом деле
присутствует
первый сигнал
принимается
решение о нулевом
сигнале
5
Перепишем это выражение
T
 [s1(t )   (t )][s1(t )  s0 (t )]dt  ( E1  E0 ) / 2
0
в виде
T
T
T
0
0
0
2
s
 1 (t )dt    (t )[s1(t )  s0 (t )]dt   s1(t )s0 (t )dt
T
T
0
0
1 2
1 2
  s1 (t )dt   s0 (t )dt
2
2
6
T
T
T
0
0
0
2
s
 1 (t )dt    (t )[s1(t )  s0 (t )]dt   s1(t )s0 (t )dt
T
T
0
0
1 2
1 2
  s1 (t )dt   s0 (t )dt
2
2
После очевидных преобразований получим
T
T
0
0
1
2
  (t )[s1(t )  s0 (t )]dt   2  [s1(t )  s0 (t )] dt
Будем называть разностным сигналом
s (t )  [ s1(t )  s0 (t )]
7
Левая часть неравенства
T
T
0
0
1
2

(
t
)[
s
(
t
)

s
(
t
)]
dt


[
s
(
t
)

s
(
t
)]
dt
1
0
1
0


2
представляет собой случайную величину, имеющую
нормальное распределение с нулевым средним;
обозначим её
и найдем её средний квадрат,
равный дисперсии:
v
TT
D   2     (t1) (t2 )s (t1) s (t2 )dt1dt2 
N0

2
TT
00
T
N0 2
N 0 E
   (t1  t2 )s (t1)s (t2 )dt1dt2  2  s (t )dt  2
00
0
8
Интересующая нас вероятность выполнения
неравенства
T
T
0
0
1
2
  (t )[s1(t )  s0 (t )]dt   2  [s1(t )  s0 (t )] dt
– это вероятность того, что нормальная случайная
величина с нулевым средним и дисперсией N0 E
принимает значение меньше, чем  E / 2 .
Эта вероятность равна
p10 
 E /2


1
2 D

e
2
2 D

1
d  
2


2
t2

e 2 dt
9
p10 
 E /2


1
2 D
где t   / D

  E / 2 D

e
2
2 D

1
d  
2

t2

e 2 dt
– центрированная нормальная
случайная величина с единичной
дисперсией
 – положительное число
10
Очевидно, вероятность зависит только от


E
  E / 2 D 
2 N0
можно эту зависимость обозначить
2
t
 
e 2 dt
1
Q( ) 
2 
 E
p10  Q 
 2 N0



 1  ( )
()
 интеграл
вероятности
11
Таким образом, условная вероятность ошибки,
 E
p10  Q 
 2 N0



равная средней вероятности ошибки при
когерентном приеме сигналов на фоне белого шума,
определяется энергией разностного сигнала и
спектральной плотностью мощности шума
Рассмотрим потенциальную помехоустойчивость
двоичного когерентного приемника
максимального правдоподобия для различных
способов модуляции, считая, что энергия
посылки фиксирована
12
Амплитудная телеграфия с пассивной паузой
В этом случае s0 (t )  0 и энергия разностного
сигнала равна E (норма равна E ), рис. а
S1
S0
E
S0
E
S1
E
S1
а
S0
б
в
Следовательно, потенциальная
помехоустойчивость определяется средней
вероятностью ошибки
 E 
АТ-ПП
pош
 Q 

 2 N0 
13
Частотная телеграфия с ортогональными сигналами
Два сигнала представляют собой радиоимпульсы
одинаковой формы с различными несущими
частотами, так, что сигналы взаимно
ортогональны, рис. б. Энергия разностного
сигнала равна 2E , а средняя вероятность
ошибки
 E 
 Q 

 N0 
ЧТ
pош
S1
S0
E
S0
E
S1
E
S1
а
S0
б
в
14
Повышение потенциальной помехоустойчивости
при переходе от АТ-ПП к частотной телеграфии
представляется естественным, так как во втором
случае вдвое возрастает средняя мощность
передатчика. Однако средняя вероятность ошибки
может быть дополнительно понижена без
увеличения мощности передатчика, если перейти к
взаимно обратным сигналам, рис. в
S1
S0
E
S0
E
S1
E
S1
а
S0
б
в
15
Фазовая телеграфия с манипуляцией фазы на 180
В случае фазовой телеграфии со взаимно обратными
сигналами энергия разностного сигнала составляет 4E
Средняя вероятность ошибки равна
ФТ
pош
 2E 
 Q 

 N0 
и дальнейшее повышение потенциальной
помехоустойчивости за счет выбора формы
сигналов при заданной энергии, очевидно,
невозможно
16
Амплитудная, частотная и фазовая телеграфия
АТ-ПП
pош
 E
 Q 
 2 N0



ЧТ
pош
 E 
 Q 

 N0 
ФТ
pош
 2E 
 Q 

 N0 
17
Заметим, что если используются три сигнала
одинаковой энергии, то для достижения максимальной
помехоустойчивости они должны иметь взаимный
фазовый сдвиг 120, то есть соответствующие сигналам
точки должны располагаться на окружности радиуса E
в вершинах равностороннего треугольника
Если сигналов четыре, то оптимальным является их
размещение в вершинах правильного тетраэдра,
вписанного в сферу радиуса E . В общем случае
оптимальный выбор системы из N сигналов
соответствует их расположению в вершинах
правильного N -мерного симплекса, вписанного в N мерную сферу
18