4-5 класс, серия 1, лето, «Головастик

4-5 класс, серия 1, лето, «Головастик»
4-5 класс, серия 2, немного о делимости
1. 666 лжецов и рыцарей сидят за круглым столом (среди сидящих есть как рыцари, так и лжецы). На вопрос: «Сколько лжецов рядом с тобой?» все сказали:
«Один». Сколько лжецов может сидеть за столом?
8. Загадайте двузначное число, не заканчивающееся на 0. Прочитайте его в обратном порядке и вычтите из большего меньшее. Результат прочитайте в обратном
порядке (если получится 5, то в обратном порядке будет 50) и сложите это с результатом. Спорим, что получилось 99. Объясните, почему.
1,5. 666 лжецов и рыцарей сидят за круглым столом (среди сидящих есть как рыцари, так и лжецы). На вопрос: «Сколько лжецов рядом с тобой?» все сказали:
«Два». Сколько лжецов может сидеть за столом?
2. Перед Гэндальфом в ряд лежат 100 красных шариков. Одним взмахом палочки
он может уничтожить левый шар, но при этом справа от каждого красного шара
появится белый шар. Сможет ли Гэндальф уничтожить все шары?
3. 100 конфет были разложены по 10 кучкам (не обязательно поровну). Пришел Гэндальф и переложил некоторые
конфеты в другие кучки. Он говорит, что после этого в каждой кучке количество конфет либо увеличилось на 3, либо
уменьшилось на 1. Применил ли Гендальф искусство магии?
4. В клетках таблицы 10×10 записаны единицы. Перед некоторыми из них поставлены плюсы, перед остальными минусы, так что в каждой горизонтали и в каждой вертикали по 5 плюсов и по 5
минусов. Докажите, что сумма всех чисел равна 0.
5. Даны 10 различных натуральных чисел, пять из которых не превосходят 10, а
остальные больше 10, но не превосходят 20. При этом никакие два из них не отличаются ровно на 10. Найдите сумму этих чисел
6. Некоторые жители острова лжецов и рыцарей сказали, что на острове живет четное
число рыцарей, а остальные заявили, что на
острове живет нечетное число лжецов. Может ли на острове быть 2013 жителей?
7. Разрежьте фигуру на две части, из которых можно составить клетчатую доску.
9. Сколько имеется четырехзначных чисел, кратных 45, у которых две средние
цифры – 97?
10. Из трех данных цифр составили все возможные трехзначные числа. Сумма
двух самых больших из них оказалась равна 844. Найдите эти цифры
11. На доске написано три различных шестизначных числа. Вася вычел из каждого из них число, образованное его первыми тремя цифрами, и полученные числа
записал к себе в тетрадь. Могут ли у него в тетради оказаться три одинаковых числа?
12. а) Вася режет квадрат 9×9 по линиям так,
чтобы получились квадраты 1×1. При этом резать можно только по прямой линии, но куски
можно накладывать друг на друга. За какое
наименьшее число разрезов он сможет получить отдельные квадратики? б) тот же
вопрос, но куски нельзя накладывать друг на друга.
13. Можно ли числа от а) 1 до
12; б) 1 до 13; в) 1 до 14 разбить
на три группы с равными суммами?
14. Разрежьте фигуру на рисунке на 4 части двумя разными способами.
4-5 класс++, серия 3, разнообразная
4-5 класс++, серия 4, сложная
13. Разрежьте фигуру на четыре части, из которых можно
сложить квадрат.
14. Найдите какие-нибудь три натуральные числа, разность любых двух из которых равна наибольшему общему делителю этой пары чисел.
15. Назовем четырехзначное натуральное число
«счастливым», если у него сумма первых двух цифр равна сумме последних двух цифр. Найдите десятое а) с
310
начала; б) с конца (первое с конца – наибольшее, и
150
так далее в порядке убывания) «счастливое» число.
21. Перемножили несколько натуральных чисел и получили 224, причем самое маленькое число было ровно
вдвое меньше самого большого. Сколько чисел перемножили?
22. Найдите все пары натуральных чисел (a, b), для которых НОК(a, b) + НОД(a, b) = 23.
23. Найдите все натуральные числа, которые увеличиваются в 5 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить ноль
24. Найти последнюю цифру числа 72013.
16. Число, написанное в квадратике, равно сумме
чисел в тех квадратиках, на которых оно стоит. Заполните данную пирамиду. Найдите все решения и
докажите, что других нет.
42
35
25. Найдите все такие простые числа p, q, что pq = 7(p+q)
20
12
4
17. Дима, Петя и Саша играли в настольный теннис
по системе –«проиграл-отдыхай» очень-очень долго. За ужином Дима сказал: « Я
выиграл 6 партий, причем все подряд». Петя сказал: « А я выиграл еще больше
партий, и тоже все подряд». Саша же сказал: « а я ни разу не выигрывал больше
трех партий подряд, но в итоге именно я выиграл больше всех». Сколько партий
выиграл Петя?
18. Путешественник посетил остров, каждый из жителей острова либо всегда говорит правду (назовем его рыцарем), либо всегда лжет (назовем его лжецом). Все
жители острова выстроились в линейку, и каждый сказал: « Произведение номеров каких-то двух лжецов, стоящих раньше меня – простое число». Сколько лжецов может быть на острове?
19. Делится ли число 2012! на 2013? (2012!=123…2012)
20. Доказать, что среди любых 9 последовательных двузначных чисел найдется
число, делящееся на свою сумму цифр.
26. Докажите, что среди 10 любых целых чисел найдутся два, разность которых
делится на 5.
27. На конгрессе были три секции: лекари, колдуны и знахари. По кругу выстроились 112 участников, среди которых знахарей и лекарей поровну. На вопрос “Верно ли, что оба твоих соседа из одной секции?” каждый ответил “Да”. Лекарь всегда говорит правду, колдун всегда лжет, а знахарь лжет, если стоит рядом с колдуном (а иначе говорит правду). Могло ли в этом круге быть 66 колдунов?
28. За одно нажатие можно число на экране калькулятора увеличить на его дробную часть (например, из 3/7 получить 6/7, а из 3,8 получить
3,8 + 0,8 = 4,6). Начав с положительного числа, меньшего
1, за 3 нажатия получили число 3. С какого числа начали?
29. В дремучем лесу вот уже более 1000 лет живет Волшебная елка. Известно, что каждое утро на ней вырастают
100 иголок, и каждая иголка живет ровно 4 года, а затем
отмирает. Сколько же сегодня иголок на Волшебной елке?
30. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на 9 равных частей.
4-5 класс++, серия 5, мороженое лето
4-5 класс++, серия 6, мячи, лимонад и преступления
31. Катя, Лена, Маша и Настя перепробовали все мороженое, продававшееся в киоске. Каждый сорт мороженого попробовали 3 девочки. Катя съела больше всех различных
сортов – 8, а Настя меньше всех – 5. Сколько сортов мороженого продается в киоске?
39. На складе лежит 100 мячей, причем известно, что там хотя бы один синий и
хотя бы один красный, а кроме того, из любых четырех наугад взятых мячей можно выбрать 2 синих. Сколько мячей каждого цвета может быть на складе?
32. Можно ли так расположить фишки в клетках доски 88
(в каждой клетке – не более одной фишки), чтобы в любых
двух вертикалях фишек было поровну, а в любых двух горизонталях – не поровну?
33. Карлсон выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждых двух соседних
чисел он посчитал их разность (из большего вычел меньшее). В результате среди
найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре двойки и три тройки.
Докажите, что Карлсон не умеет считать.
34. К числам от 1 до 2013 применили следующую операцию: все нечетные умножили на 2, а все четные - разделили на 2. Сколько пар одинаковых чисел при этом образовалось?
35. Натуральное число назовем горбатым, если в его записи
цифры сначала возрастают, а затем с какого-то момента убывают. Сколько а) 19-значных; б)18-значных горбатых чисел?
36. Можно ли разрезать фигуру, показанную на рисунке, на две
равные части?
37. В школе все учащиеся сидят за партами по двое, причем у 3/5 части всех
мальчиков сосед по парте – тоже мальчик, а у 1/5 части девочек сосед по парте –
тоже девочка. Какую часть от учащихся этой школы составляют девочки?
38. а) Найдите наименьшее натуральное число с суммой цифр, равной 2013. б)
Найдите натуральное число с суммой цифр, равной 2013, для которого существует
ровно одно натуральное число, меньшее его, с суммой цифр 2013. в) найдите третье число в этом списке.
40. Три человека подозреваются в совершении преступления. Известно, что один
из них всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий может говорить и
правду, и ложь. Преступник – только один из них. На допросе
каждый из них на вопрос "Вы преступник?" ответил "Нет". Затем в
том же порядке каждого из них спросили "Верен ли Ваш предыдущий ответ?" и все ответили "Да". Наконец, в том же порядк е
каждого спросили "Верен ли ответ предыдущего человека?" и все
ответили "Нет". Можете ли вы определить преступника?
41. В столовой четырем школьникам выдали коробку, в которой находились бутылки лимонада трех сортов. При каком наименьшем количестве бутылок в
коробке каждый школьник гарантировано может выбрать себе 2 бутылки одного сорта?
42. Можно ли разрезать фигуру из 16 клеток, изображенную
на рисунке, на две части, из которых можно сложить квадрат?
43. Найти все трехзначные, которые при любой перестановке цифр делятся на 6. Ответ можно записать с точностью до
перестановки цифр.
44. Натуральное число назовем горбатым, если в его записи цифры сначала возрастают, а затем с какого-то момента убывают. Сколько а) 18-значных; б)17значных; в)16-значных горбатых чисел?
45. Расставьте по кругу 6 различных чисел так, чтобы каждое из них равнялось
произведению двух соседних.
4-5 класс++, серия 7, готовь лыжи летом
46. Десять лыжников ушли со старта с интервалом в 1 минуту (в порядке возрастания номеров) и шли по дистанции с постоянными скоростями. Известно, что каждый лыжник в какой-то момент времени лидировал в гонке. В каком порядке
лыжники пришли к финишу?
47. Вроде бы такая задача уже была. Играют Петя и Витя. На
столе лежат 134 конфеты 67 разных сортов. Петя берет одну
из них, потом Витя берет одну, потом снова делает ход Петя и так до того момента,
пока не останется две конфеты. Петя выигрывает, если две оставшиеся конфеты
разного сорта, а Витя – если они одного сорта. Кто выиграет
при правильной игре?
48. Фигуру, изображенную на рисунке, разрезали на несколько одинаковых частей. На сколько именно? (Найдите все ответы и докажите, что других нет).
49. Можно ли в вершинах куба расставить числа от 1 до 8 так, чтобы суммы чисел на всех гранях были равными?
50. Семь лыжников с номерами 1, 2, 3…, 7 ушли со старта
по очереди и прошли прямолинейную дистанцию – каждый
со своей постоянной скоростью. Оказалось, что каждый
лыжник ровно дважды участвовал в обгонах (в каждом обгоне участвуют ровно два лыжник – тот, который обгоняет,
и тот, которого обгоняют). По окончании забега должен
был быть составлен протокол, состоящий из номеров лыжников в порядке финиширования. Докажите, что в забеге с описанными свойствами может получиться
не более двух различных протоколов.
51. Имена трех одноклассников — Андрей, Борис и Виктор. Наташа знает это, но
не знает, кого из мальчиков как зовут. Она может задавать им вопросы, на которые можно отвечать только "да" и "нет". Каждый вопрос задается одному из
мальчиков, и отвечает на него только он. Наташе известно, что Андрей на все вопросы будет отвечать правдиво, Борис солжет в ответ на первый заданный ему
вопрос, Виктор солжет в ответ на первый и второй вопросы, а дальше и они будут
отвечать правдиво. Как ей за три вопроса узнать имена мальчиков?