Образец статьи Вестник ВГТУ

ОБРАЗЕЦ
УДК 519.72
ПРИМЕНЕНИЕ НЕЧЕТКОЙ МАТЕМАТИКИ В ТЕОРИИ КОМПЕНСАЦИИ
А.И. Иванов, И.А. Петров, В.А. Сидоров
В статье рассматривается задача восстановления функции полезности. Предложены пути адаптации входных
данных для достижения допустимой точности получаемых результатов. Получены результаты, касающиеся восстановления функциональной зависимости факторов и построения прогнозов. Приводятся примеры применения компенсационного подхода в его нечеткой постановке
Ключевые слова: функция, система, уравнение компенсации (не менее 3, не более 5 слов)
Основная цель построения математических
моделей функционирования различных систем –
создание адекватного адаптивного алгоритма
управления, мониторинг, оценка эффективности. В данной статье рассмотрены различные
подходы формализации экспертных знаний относительно изменений в системе в рамках компенсационного подхода.
Рассмотрим задачу нахождения вида комплексного критерия, зависящего от двух различных наборов переменных x   x1 ,x2 ,...,xn  и
y   y1 , y2 ,..., ym  . Сам критерий чаще всего дол-
жен являться некоторым функционалом, принимающим действительные значения. Изучим некоторые способы построения такого функционала,
считая,
что
области
изменения
x  X , y Y известны. Функционал f  x, y  будет
определен на X  Y : f : X  Y  E1 .
Определим допустимые преобразования
над векторами x  X с помощью множества
операторов A . Каждый оператор A  A преобразует X так, что A  X   X , A  A .
Будем считать, что задана некоторая операторная функция φ (вид ее нам известен), ставящая каждому A  A и x  X некоторый оператор
B  B, B(Y )  Y так, что выполняется равенство
(1)
f ( Ax,By )  f ( x, y ),
где B  φ( x, A ) .
Равенство (1) в довольно общей форме
определяет то, что обычно понимают как закон
сохранения некоторой величины относительно
заданного класса допустимых преобразований
[1]. Нахождение закона сохранения, специфичеИванов
Антон Иванович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (код города) 00-00-00 или e-mail
Петров Иван Андреевич - ВГУ, канд. техн. наук, доцент,
тел. (код города) 00-00-00 или e-mail
Сидоров Виктор Антонович - ВГТУ, аспирант, тел. (код
города) 00-00-00 или e-mail
ского для данной величины и соответствующего
класса допустимых преобразований, выявляет
глубинную сущность исследуемого показателя и
очерчивает возможную область его применения.
То есть этот аппарат можно использовать для
описания изменений системы.
Формально равенство (1) представляет собой функциональное уравнение относительно
функции f . Без уточнения класса допустимых
преобразований сказать что-либо о его решениях затруднительно.
Для получения дифференциальных уравнений, определяющих f ( x, y ) , ограничимся классом операторов сдвига:
A  A : x  ( x1 ,...,xn )  x' 
 ( x1   x1 ,...,xn   xn ).
Для
соответствующего
B  φ( x, A ) имеем
оператора
B : y  ( y1 ,..., ym )  y' 
 ( y1  φ1 ( x,  x, y ),..., ym  φm ( x,  x, y )),
где  x  (  x1 ,...,  xn ) .
Будем считать, что
k  1,...,m  φk ( x, x, y ) / x 0  0  .
Это условие означает, что при отсутствии
сдвигов в значениях величин, входящих в группу факторов x  ( x1 ,...,xn ), должны отсутствовать сдвиги и для всех факторов, входящих в
другую группу y  ( y1 ,..., ym ). Кроме того, потребуем существования и непрерывности частных
производных
от
функций
φk : φk / xl / x 0  φkl ( x, y ). Они выражают скорость
изменения
сдвига
по
фактору
yk ( k  1,...,m ) при малом изменении сдвига по
фактору xl ( l  1,...,n ).
В новых обозначениях уравнение (1) может
быть переписано в следующем виде:
f ( x1   x1 ,...,xn   xn , y1  φ1 ,..., ym  φm ) 
 f ( x1 ,...,xn , y1 ,..., ym ).
(2)
Обратимся теперь к простейшему случаю
уравнения компенсации (2). Применение такого
названия к равенствам, описывающим законы
сохранения, представляется достаточно естественным. Действительно, уравнение (2) верно
для функции f , зависящей от двух групп переменных. Первая из них, x  ( x1 ,...,xn ) , выступает
как набор независимых и произвольно изменяющихся факторов-аргументов. Для того, чтобы
интегральная оценка f ( x, y ) оставалась неизменной при данном изменении, должно быть
выработано компенсирующее изменение в другой, зависимой группе факторов y  ( y1 ,..., ym ) .
Именно переход
y  y'  ( y1  φ1 ,..., ym  φm )
нейтрализует изменение
x  x'  ( x1   x1 ,...,xm   xm ) .
Этот подход широко используется в теории
полезности. Нами было показано, что базовое
уравнение Слуцкого и его следствия – частный
случай общего уравнения компенсации и соответствующих свойств дифференциальных уравнений.
Приведем пример использования описанного выше подхода. Пусть компенсирующая
функция φ( x, y,  x ) зависит не от точки ( x, y ) , а
лишь только от сдвига независимой переменной
 x и может быть представлена в виде
φ(  x )  k  x  O(  x ) , где k -некоторая константа.
При этом, разумеется, выполняется условие
φ

φ( 0 )  0 и φ   x
.
x  0  k
Общий интеграл дифференциального уравнения
y
 const  q
x
имеет вид y  qx  c , или (если q 
a
) ax  by  c .
b
Таким образом, линейная свертка двух
факторов x и y с постоянными коэффициентами порождаются компенсирующей функцией φ ,
зависящей не от точки ( x, y ) , а лишь от сдвига
независимой переменной.
Мы так же убедились в эффективности
применения данного аппарата к построению
экономических моделей [2]. Так, например,
функция Кобба-Дугласа восстанавливается из
уравнения компенсации при определенном виде
правых частей дифференциальных уравнений
системы.
Рассмотрим функции вида
f ( x, y )  K0  K1 x  K 2 y  K12 xy ,
что позволяет учесть комплексное влияние сразу
нескольких факторов. Заметим, что такие функции
представимы
в
виде
f ( x, y )  ( ax  b )( Ay  B ) , тогда путем математи-
ческих преобразований найдем выражения для
параметров исходного уравнения и из уравнения компенсации f ( x, y )  f ( x   x, y  φ ) выведем вид функции φ( x, y,  x ) . Получим:
φ
aAy  aB
 x .
aA( x   x )  bA
Для большей ясности рассмотрим числовой
пример. Отметим, что для простоты и графической наглядности приведен пример двух параметров, тем не менее, это не ограничивает общности – с помощью оператора агрегирования
всегда можно уменьшить размерность исходной
задачи до двух.
Из наблюдений за поведением системы были выявлены пары значений факторов, при которых полезность функционирования системы
одинакова:
(0;0)~(-1;1), (-0,5;0,1)~(0;-0,1), (-1;3)~(1;0,2).
Тогда в введенных обозначениях:
 x  1  x  0,5  x  2
φ1
φ  0,2
φ  2,8
Допустим, что у нас есть априорная информация о влиянии факторов – каждый из них
в определенной степени оказывает индивидуальное (обособленное) воздействие на итоговую
оценку полезности, но так же наблюдается
мультипликативный эффект от их совместного
воздействия. Тогда ,исходя из полученного вида
компенсирующей функции, получим, полагая
K1  1 , конечный вид искомой функции:
f ( x, y )  x  3y  2xy .
В случае большого числа наблюдений и отсутствии априорной информации о виде воздействия факторов, рассматриваются статистические модели, основанные на характеристиках
параметров исходной выборки. На графике (рис.
1) представлен результат процедуры подбора
вида функциональной зависимости на основе
таких моделей [3].
Для решения задач большой размерности
используется метод наименьших квадратов, погрешность получаемых решений при этом невелика.
Таким образом, использование уравнения
компенсации позволяет воссоздать функциональную зависимость, которая в дальнейшем
может быть заложена в основу аппарата прогнозирования изменений системы и управления системой. Однако отметим, что исходная информация для рассмотренной модели должна быть
представлена в четкой численной форме и охватывать широкий диапазон состояний, получение
такой информации, само по себе, является трудоемкой задачей.
Можно сделать вывод о том, что уравнение
компенсации дает хорошие результаты, но лишь
в том случае, когда определен класс функций,
среди которых мы восстанавливаем либо саму
функцию предпочтения (ценности), либо зависимость между изменениями.
Литература
1. Каплинский А.И., Руссман И.Б., Умывакин В.М.
Моделирование и алгоритмизация слабоформализованных
задач выбора наилучших вариантов системы. Воронеж:
Изд-во ВГУ, 1991. 298 с.
2. Интрилигатор М. Математические мидели оптимизации и экономическая теория. М.: Наука, 2002. 1020 с.
3. Колемаев В.И. Математическая экономика. М.:
Просвещение, 2000. 348 с.
4. Алтунин Е.А., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях Тюмень: ТГУ,
2000. 352 с.
Рис. 1. Подбор вида функциональной зависимости на основе статистических характеристик системы
Таблица 1
№
1
2
3
Темпы приростов заболеваний слизистой оболочки полости рта
Нозология
T1998 T1999 T2000 T2001 Tб
T
t
Воронежская область
Город Воронеж
Районы Воронежской области
Тенденция
-0,84 -0,96 -4,96 2,31 -4,50
-21,98 -26,44 -21,55 11,85 -49,64
1,74
19,63
-
32,06 13,92 -2,68 -13,10 27,23
11,19
+
Воронежский государственный технический университет
Воронежский государственный университет
FORECAST BUILDING ON THE BASE OF FUZZY COMPENSATOIN THEORY
A.I. Ivanob, I.A. Petrov, V.A. Sidorov
The article is devoted to the problem of utility function reconstruction for system evolution dynamic forecast building. Ways of input data adaptation for feasible results accuracy getting and algorithms for forecast building are given.
There are also examples of fuzzy compensation theory application for different hierarchical systems of input data
Key words: function, system, equation to compensations