УДК 51(06) Проблемы современной математики В.Е. ТРОЩИЕВ, Д.А. НОСОВ Московский инженерно-физический институт (государственный университет) ОБ АППРОКСИМАЦИИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ В СХЕМАХ РАСЩЕПЛЕНИЯ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ НАПРАВЛЕНИЯМ НА КОСОУГОЛЬНЫХ СЕТКАХ Построена схема для уравнений дифференциальной прогонки, одномерного уравнения теплопроводности. Схема имеет важное значение для реализации граничных условий в методах расщепления двумерного уравнения на косоугольных сетках. Двумерное уравнение теплопроводности и граничные условия на контуре области: T 2T 2T , T (1) AT B |( x , y ) n t x 2 y 2 аппроксимируем неявной схемой расщепления по ортогональным направлениям ξ и η [1]: T * T n 2T * , t 2 T * (2) a0T b0 | T n1 T n1 T * 2T n1 , (3) c0T d 0 | t 2 Физический смысл расщепления состоит в том, что сначала в течение малого времени ∆t теплу «разрешается» перетекать только в направлении ξ, а затем – только в направлении η. Схема (2), (3) имеет второй порядок точности по ξ и η и первый по времени t. Если пространственная сетка ортогональна, и расщепление происходит вдоль линий сетки, то задачи (2), (3) легко решаются методом одномерной прогонки. Однако на косоугольных сетках расщепленная система (2), (3) остается существенно двумерной. В работе [2] для решения задач (2), (3) было предложено использовать уравнения дифференциальной прогонки (УДП) [3]: (4) t a' a 2 1 t b' ab T n T * ' aT b * ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 7 (5) (6) 101 УДК 51(06) Проблемы современной математики (аналогично записывается система уравнений для задачи (3)). Граничные условия для уравнений (4-6) следуют из условий (2), (3). Уравнения (4)-(6) по сути есть двумерные уравнения переноса (все функции a, b и т. д. зависят от ξ и η). Поэтому для их решения на косоугольных сетках можно использовать методы, основанные на «принципе освещенности» [4]. Таким образом решение двумерного уравнения теплопроводности было сведено к решению уравнений переноса [2]. Чтобы реализовать граничное условие для УДП в виде температуры, надо задать a0 и b0 большими числами. Тогда на границе температура T b0 / a0 . Расчеты показали, что при таком способе задания граничного условия метод является неустойчивым. Проблему удалось решить на пути построения схем для УДП, эквивалентных классической прогонке. Построена схема: a am 1 (8) ham t m am am 1 1 h b b (9) hbm t m m 1 bm am 1 Tmn h Tm*1 Tm* (10) amTm*1 bm h при этом значения a0 = 1 / h, b0 = –T0n / h, то есть однозначно связаны с шагом сетки. Расчеты показывают устойчивость такого задания a0 и b0. Требуется обобщение новой схемы на косоугольные сетки. Список литературы 1. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. 2. Трощиев В.Е., Трощиев Ю.В. Метод расщепления уравнения теплопроводности по ортогональным направлениям на косоугольных сетках. Препринт ТРИНИТИ № 0114-А. ЦНИИАТОМИНФОРМ, 2004. 3. Гельфанд И.М., Локуциевский О.В. Метод «прогонки» для решения разностных уравнений // Годунов С.К., Рябенький В.С. Введение в теорию разностных схем. Дополнение II. М., 1962. 4. Трощиев В.Е. ЖВМ и МФ. Т. 16, № 3, 1976. С. 793-797. ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 7 102