Уравнения математической физики_ПМИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
К ДИСЦИПЛИНЕ
ОПД.Ф.04 - УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности
010501 – Прикладная математика и информатика
1. 1. Автор программы: кандидат физ.-мат. наук, доцент Мартынов О.М.,
1. 2. Рецензенты: доцент, кандидат физ.-мат. наук Беляев В.Я., доцент, кандидат физ.-мат. наук
Верещагин Б.М.
1.3. Пояснительная записка:
Цели и задачи: Заложить фундаментальные знания, необходимые для применения
математических методов. Все эти методы должны базироваться на прочной основе математических
дисциплин.
В профессиональной подготовке математика курс занимает особое положение. Данным
курсом предусматривается изучение уравнений математической физики и применение изученного на
практике, используя методы математического моделирования. Известно, что в качестве
математических моделей реальных процессов могут быть использованы дифференциальные
уравнения. Роль дифференциальных уравнений с частными производными в физике, биологии,
химии и других областях науки велика. Многие процессы реальной жизни описываются с помощью
дифференциальных уравнений. Данный курс дает основу для дальнейшего изучения таких
дисциплин, как методы математической физики, теоретическая физика. Данный курс знакомит
студентов с прикладными аспектами математики, позволяет показать связь математики с решением
физических задач.
Главная цель курса – научить студента основам математической культуры, необходимой для
научного обоснования курса математики, сформировать практические навыки решения задач.
Предлагаемый курс имеет естественные межпредметные связи с курсами обыкновенных
дифференциальных уравнений, линейной алгебры и аналитической геометрии, информатики,
физики.
Программа курса составлена на основе Государственного образовательного стандарта
высшего профессионального образования по специальности 010200 Прикладная математика и
информатика.
В результате изучения курса студенты
должны знать: основные понятия и утверждения, входящие в содержание дисциплины,
доказательства теорем.
должны уметь: решать задачи по разделам курса, применять теоретический материал, творчески
подходить к решению профессиональных задач, строить математические модели
физических задач, приводить их к нужному виду, выбирать и реализовывать
наиболее рациональный метод решения поставленной задачи.
1.4. Извлечение из ГОС ВПО специальности.
ОПД.Ф.04Уравнения математической физики:
уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типа; исследование основных задач
для уравнений математической физики.
1.5. Объем дисциплины и виды учебной работы
№
п/п
Шифр и
наименование
специальности
1
010200
«Прикладная
математика и
информатика»
010200
«Прикладная
математика и
информатика»
2
Курс
Семестр
Виды учебной работы в часах
Трудоем Всего
ЛК ПР/ ЛБ
Сам.
кость
аудит.
СМ
Работа
Вид
итогового
контроля
(форма
отчетности)
3
6
140
70
34
36
–
70
Зачет
4
7
140
70
36
34
–
70
Экзамен
1.6. Содержание дисциплины.
1.6.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного
времени:
№
п/п
1
2
3
4
5
Наименование раздела, темы
Количество часов
Уравнение колебаний струны.
Уравнение теплопроводности.
Уравнение Лапласа.
Единственность решения краевых задач.
Специальные функции. Операционное исчисление
и применение его к решению некоторых уравнений
математической физики.
Всего
ауд.
36
34
30
4
ЛК
ПР
ЛБ
Сам.раб.
18
18
16
4
18
16
14
–
–
–
–
36
34
30
4
36
14
22
–
36
1.6.2. Содержание разделов дисциплины.
Уравнение колебаний струны.
Основные понятия о дифференциальных уравнениях с частными производными 2-го порядка.
Однородные линейные дифференциальные уравнения с частными производными и свойства их
решений. Типы уравнений 2-го порядка с частными производными. Приведение к каноническому
виду. Вывод уравнения колебаний струны. Постановка начальных и краевых условий. Бесконечная
струна. Метод Даламбера. Корректность постановки задачи. Полубесконечная струна. Метод Фурье
для уравнения колебаний струны. Стоячие волны. Примеры на метод Фурье для уравнения
колебаний струны. Вынужденные колебания струны.
Уравнение теплопроводности.
Вывод уравнения линейной теплопроводности. Начальные и краевые условия для уравнения
теплопроводности. Метод Фурье для бесконечного стержня. Преобразование решения уравнения
теплопроводности. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности и его физический
смысл. Примеры на теплопроводность в бесконечном стержне. Теплопроводность в конечном
стержне. Приведение к задаче с однородными краевыми условиями. Метод Фурье. Распространение
тепла в стержне в случаях постоянной температуры на концах или теплоизоляции концов. Примеры
на теплопроводность в конечном стержне. Теплопроводность в полубесконечном стержне.
Уравнение Лапласа.
2
Оператор Лапласа в полярных, цилиндрических и сферических координатах. Постановка
Краевых задач. Метод функции Грина для задачи Дирихле (трехмерный случай). Метод функции
Грина для задачи Дирихле (двумерный случай). Задача Неймана. Решение задачи Дирихле для шара
и полупространства. Решение задачи Дирихле для круга и полуплоскости. Потенциалы. Метод Фурье
для уравнения Лапласа.
Единственность решения краевых задач.
Теоремы единственности решения краевых задач.
Специальные функции. Операционное исчисление и применение его к решению некоторых
уравнений математической физики.
Гамма-функция. Цилиндрические функции. Сферические функции. Многочлены Чебышева - Эрмита и
Чебышева - Лагерра. Операционное исчисление.
1.6.3. Темы для самостоятельного изучения.
№
п/п
Наименование раздела
Дисциплины.
Тема.
Форма
самостоятельной
работы
Форма контроля
выполнения
самостоятельной
работы
Вопросы к
коллоквиуму
Количество
Часов
1
Стоячие
волны.
Вынужденные колебания
струны.
Вопросы для
самостоятельного
изучения
2
Распространение тепла в
стержне в случаях постоянной температуры на
концах или теплоизоляции концов. Теплопроводность в полубесконечном
стержне.
Вопросы для
самостоятельного
изучения
Вопросы к
коллоквиуму
40
3
Потенциалы.
Вопросы к
коллоквиуму
30
4
Метод
Фурье
уравнения Лапласа.
Вопросы к
экзамену
20
5
Многочлены Чебышева Эрмита и Чебышева Лагерра.
Вопросы для
самостоятельного
изучения
Вопросы для
самостоятельного
изучения
Вопросы для
самостоятельного
изучения
Вопросы к
экзамену
20
для
30
1.7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.7.1. Тематика и планы практических занятий по изученному материалу
Практические занятия по теме «Уравнение колебаний струны»
Приведение уравнений к каноническому виду. Задача Штурма – Лиувилля. Метод Даламбера.
Полубесконечная струна. Смешанная задача для волнового уравнения.
Литература:
1. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко
А.М. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных
производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. М.,
Высшая школа, 1996.
3. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. СПб-Москва-Краснодар, Лань, 2005.
4. Очан Ю.С. Сборник задач по методам математической физики. М., Высшая школа, 1967.
Практические занятия по теме «Уравнение теплопроводности»
3
Уравнение теплопроводности для нестационарного случая. Смешанная задача для уравнения
теплопроводности.
Литература:
1. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко
А.М. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных
производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. М.,
Высшая школа, 1996.
3. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. СПб-Москва-Краснодар, Лань, 2005.
4. Очан Ю.С. Сборник задач по методам математической физики. М., Высшая школа, 1967.
Практические занятия по теме «Уравнение Лапласа»
Задача Дирихле для круга и полуплоскости. Задача Дирихле для шара и полупространства.
Литература:
1. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко
А.М. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных
производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. М.,
Высшая школа, 1996.
3. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. СПб-Москва-Краснодар, Лань, 2005.
4. Очан Ю.С. Сборник задач по методам математической физики. М., Высшая школа, 1967.
Практические занятия по теме «Специальные функции. Операционное исчисление и
применение его к решению некоторых уравнений математической физики»
Нахождение изображений функций. Отыскание оригинала по изображению. Свертка функций.
Изображение производных и интеграла от оригинала. Применение операционного исчисления к
решению некоторых дифференциальных и интегральных уравнений. Общая формула обращения.
Применение операционного исчисления к решению некоторых уравнений математической физики.
Литература:
1. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко
А.М. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных
производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. М.,
Высшая школа, 1996.
3. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. СПб-Москва-Краснодар, Лань, 2005.
4. Очан Ю.С. Сборник задач по методам математической физики. М., Высшая школа, 1967.
1.8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1. Рекомендуемая литература:
Основная литература.
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., МГУ – Наука, 2004.
2. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. СПб-Москва-Краснодар, Лань, 2005.
Дополнительная литература
1. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики.М., Наука, 1964.
2. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения
математической физики. М., Физматлит, 1962.
3. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М., 1953.
4. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М., 1954.
5. Арсенин В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. М., Наука,
1966.
4
6. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко
А.М. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных
производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990.
7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. М.,
Высшая школа, 1996.
8. Очан Ю.С. Сборник задач по методам математической физики. М., Высшая школа, 1967.
1.9. Примерные зачетные тестовые задания.
Вариант № 1
1. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду
u xx  2u xy  u yy  4u x  4u y  0 .
''
2. Найти решение уравнения utt''  u xx
при начальных условиях u  x, 0  
1
, ut'  x, 0   cos x .
2
1 x
3. Решить смешанную задачу
utt  4uxx , u  0, t   u 1, t   0, u  x, 0  0, ut  x, 0   14 sin 7 x .
4. Решить смешанную задачу
utt  81uxx , u  0, t   u 5, t   0, u  x, 0  sin  x, ut  x, 0  18 sin 2 x .
5. Решить смешанную задачу
utt  64uxx , ux  0, t   ux  6, t   0, u  x, 0  0, ut  x, 0  8 cos  x .
6. Решить смешанную задачу
utt  4uxx , u  0, t   0, ux  0,5, t   0, u  x, 0   sin 9 x, ut  x, 0   0 .
7. Решить смешанную задачу
utt  25uxx , u  0, t   7t , u  2, t   3t , u  x, 0   0, ut  x, 0   10 sin 2 x  7  5x .
8. Решить смешанную задачу
utt  9uxx , u  0, t   8, u  2, t   2, u  x, 0   sin 6 x  8  5x, ut  x, 0   0 .
9. Решить смешанную задачу для данного неоднородного волнового уравнения с нулевыми
начальными и граничными условиями
u  x, 0  ut  x, 0  0, u  0, t   u  , t   0 ; utt  u xx  65e8t sin x .
Вариант № 2
1. Решить смешанную задачу: ut  8uxx ; u  x,0   20sin 2 x  7sin3 x ; u  0, t   u  6, t   0 .
2. Решить смешанную задачу: ut  5u xx ; u  x,0   20cos 2 x ; u x  0, t   u x  5, t   0 .
3. Решить смешанную задачу: ut  u xx ; u  x,0   16cos9 x ; u x  0; t   0; u  3,5; t   0 .
4. Решить смешанную задачу: ut  6u xx ; u  x,0   8sin 4 x  3  4 x ; u  0; t   3; u  2; t   5 .
5. Решить смешанную задачу для данного неоднородного уравнения теплопроводности с нулевыми
начальным и граничными условиями u  x, 0   0, u  0, t   0, u  , t   0 :
ut  7u xx  4e 63t sin 3x .
1
u xx  10sin 3t sin 6 x; u  x,0   20sin18 x ;
36
u  0; t   u  ; t   0 .
1
u xx  10cos3t sin 5 x; u  x,0   20sin10 x    2 x ;
7. Решить смешанную задачу: ut 
25
u  0; t    ; u  ; t    .
6. Решить смешанную задачу: ut 
5
Вариант № 3
''
1. Найти решение уравнения utt''  u xx
при начальных условиях u  x, 0  
1
, ut'  x, 0   cos x .
2
1 x
2. Решить смешанную задачу
utt  25uxx , u  0, t   7t , u  2, t   3t , u  x, 0   0, ut  x, 0   10 sin 2 x  7  5x .
3. Решить смешанную задачу: ut 
1
u xx  10 cos 3t sin 5 x; u  x, 0   20sin10 x    2 x ;
25
u  0; t    ; u  ; t    .
4. Найти решение уравнения Лапласа
u  0 в круговом секторе 0  r  1, 0     ( r , 
–
полярные координаты,   2 ), на границе которого искомая функция u  r,   удовлетворяет
 
следующим условиям: u 1,    20sin15 , u  r , 0   0, u  r ,   0 .
6

1.10. Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену).
1. Основные понятия о дифференциальных уравнениях с частными производными 2-го порядка.
Однородные линейные дифференциальные уравнения с частными производными и свойства их
решений
2. Типы уравнений 2-го порядка с частными производными. Приведение к каноническому виду.
3. Вывод уравнения колебаний струны.
4. Постановка начальных и краевых условий.
5. Бесконечная струна. Метод Даламбера.
6. Корректность постановки задачи.
7. Полубесконечная струна.
8. Метод Фурье для уравнения колебаний струны.
9. Стоячие волны. Примеры на метод Фурье для уравнения колебаний струны.
10. Вынужденные колебания струны.
11. Вывод уравнения линейной теплопроводности.
12. Начальные и краевые условия для уравнения теплопроводности.
13. Метод Фурье для бесконечного стержня.
14. Преобразование решения уравнения теплопроводности.
15. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности и его физический смысл.
16. Примеры на теплопроводность в бесконечном стержне.
17. Теплопроводность в конечном стержне. Приведение к задаче с однородными краевыми
условиями. Метод Фурье.
18. Распространение тепла в стержне в случаях постоянной температуры на концах или
теплоизоляции концов.
19. Примеры на теплопроводность в конечном стержне.
20. Теплопроводность в полубесконечном стержне.
21. Оператор Лапласа в полярных, цилиндрических и сферических координатах.
22. Постановка краевых задач.
23. Метод функции Грина для задачи Дирихле (трехмерный случай).
24. Метод функции Грина для задачи Дирихле (двумерный случай).
25. Задача Неймана.
26. Решение задачи Дирихле для шара и полупространства.
27. Решение задачи Дирихле для круга и полуплоскости.
28. Потенциалы.
29. Метод Фурье для уравнения Лапласа.
30. Теоремы единственности решения краевых задач.
31. Гамма-функция.
32. Цилиндрические функции.
6
33. Сферические функции.
34. Многочлены Чебышева - Эрмита и Чебышева - Лагерра.
3. Содержательный компонент теоретического материала.
Лекция №1. Основные понятия и определения.
Лекция № 2. Однородные линейные дифференциальные с частными производными и свойства их
решений.
Лекция № 3. Классификация уравнений с частными производными второго порядка. Приведение к
каноническому виду.
Лекция № 4. Вывод уравнения колебаний струны.
Лекция № 5. Постановка начальных и краевых условий.
Лекция № 6. Бесконечная струна. Формула Даламбера.
Лекция № 7. Корректность постановки задачи. Полубесконечная струна.
Лекция № 8. Метод Фурье для уравнения колебаний струны.
Лекция № 9. Стоячие волны.
Лекция № 10. Примеры.
Лекция № 11. Вынужденные колебания струны.
Лекция № 12. Вывод уравнения линейной теплопроводности.
Лекция № 13. Начальное и краевые условия для уравнения линейной теплопроводности.
Лекция № 14. Метод Фурье для бесконечного стержня.
Лекция № 15. Преобразование решения уравнения теплопроводности.
Лекция № 16. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности и его физический смысл.
Лекция № 17. Примеры.
Лекция № 18. Теплопроводность в конечном стержне. Приведение к задаче с однородными краевыми
условиями. Метод Фурье.
Лекция № 19. Распространение тепла в стержне в случаях постоянной температуры на концах или
теплоизоляции концов.
Лекция № 20. Общий случай краевых условий.
Лекция № 21. Примеры.
Лекция № 22. Оператор Лапласа в полярных, цилиндрических и сферических координатах.
Лекция № 23. Краевые задачи для уравнения Лапласа.
Лекция № 24. Метод функции Грина для задачи Дирихле (трехмерный случай).
Лекция № 25. Метод функции Грина для задачи Дирихле (двумерный случай).
Лекция № 26. Задача Неймана.
Лекция № 27. Решение задачи Дирихле для шара и полупространства.
Лекция № 28. Решение задачи Дирихле для круга и полуплоскости.
Лекция № 29. Метод Фурье для уравнения Лапласа. Двумерное уравнение Лапласа и задача Дирихле
для круга.
Лекция № 30. Разделение переменных в трехмерном уравнении Лапласа в сферических координатах.
Многочлены Лежандра.
Лекция № 31. Свойства многочленов Лежандра.
Лекция № 32. Решение задачи Дирихле для шара в осесимметричном случае разложением по
многочленам Лежандра.
Лекция № 33. Вывод уравнения колебаний мембраны.
Лекция № 34. Колебания прямоугольной мембраны.
Лекция № 35. Колебания круглой мембраны.
4. Практикум по решению задач по темам лекций.
1. Приведение уравнений к каноническому виду.
Решенные примеры, а также примеры для самостоятельного решения можно найти в
следующей литературе:
7
1. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко
А.М. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных
производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990, с. 143 - 145.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. М.,
Высшая школа, 1996, с. 262 – 265.
2. Метод Даламбера.
Решенные примеры, а также примеры для самостоятельного решения можно найти в
следующей литературе:
1. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко
А.М. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных
производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990, с. 145 - 146.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. М.,
Высшая школа, 1996, с. 265 – 267.
3. Полубесконечная струна.
Решенные примеры, а также примеры для самостоятельного решения можно найти в
следующей литературе:
1. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко
А.М. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных
производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990, с. 146 - 148.
4. Задача Штурма – Лиувилля.
Решенные примеры, а также примеры для самостоятельного решения можно найти в
следующей литературе:
1. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко
А.М. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных
производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990, с. 153, 264.
5. Метод Фурье решения уравнения колебаний струны.
Решенные примеры, а также примеры для самостоятельного решения можно найти в
следующей литературе:
1. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко
А.М. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных
производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990, с. 156 - 159.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. М.,
Высшая школа, 1996, с. 267 – 272.
3. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. СПб-Москва-Краснодар, Лань, 2005, с.
225 - 230.
6. Вынужденные колебания струны.
Решенные примеры, а также примеры для самостоятельного решения можно найти в
следующей литературе:
1. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко
А.М. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных
производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990, с. 161 - 164.
2. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. СПб-Москва-Краснодар, Лань, 2005, с.
230 - 231.
7. Бесконечный стержень.
Решенные примеры, а также примеры для самостоятельного решения можно найти в
следующей литературе:
1. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко
А.М. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных
производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990, с. 167 - 169.
8
2. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. М., Наука, 1964, с. 168 - 173.
8. Метод Фурье решения уравнения теплопроводности.
Решенные примеры, а также примеры для самостоятельного решения можно найти в
следующей литературе:
1. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко
А.М. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных
производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990, с. 159, 164, 166.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. М.,
Высшая школа, 1996, с. 272 – 277.
3. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. СПб-Москва-Краснодар, Лань, 2005, с.
212 - 220.
9. Метод Фурье решения уравнения Лапласа.
Решенные примеры, а также примеры для самостоятельного решения можно найти в
следующей литературе:
1. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко
А.М. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных
производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990, с. 160 - 161.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. М.,
Высшая школа, 1996, с. 278 – 281.
3. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. СПб-Москва-Краснодар, Лань, 2005, с.
220 - 222.
10. Метод Фурье решения уравнения колебаний мембраны
Решенные примеры, а также примеры для самостоятельного решения можно найти в
следующей литературе:
1. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко
А.М. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных
производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990, с. 159 – 160, 266 - 269.
9