Процент - Euroakadeemia

ЛЕКЦИЯ 3.
ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ
Natalja Viilmann, PhD
КРАТКИЙ ПЛАН ЛЕКЦИИ:
 Типы
задач на проценты
 Проценты в банковской сфере
 Простые и сложные проценты
УСТАМИ УЧЁНЫХ…
Математике должно
учить в школе ещё
с той целью, чтобы
познания, здесь
приобретаемые,
были достаточными
для обыкновенных
потребностей в жизни.
И.Л. Лобачевский
Брать ссуду в банке или купить в
кредит?
Может быть выгоднее накопить денег
для покупки дорогостоящей вещи?
Вы умеете рационально тратить
деньги?
Вы можете купить товар, на
приобретение которого у вас
недостаточно средств?
Вы знаете, какие для этого существуют
возможности?
А если вы будущий бизнесмен, экономист,
банковский работник или химик тогда вам просто необходимо
«дружить с процентами».
Для чего и когда появился
процент?
Слово «процент» произошло от латинских
слов
pro centum, что буквально означает «за
сотню» или «со ста». Проценты дают
возможность легко сравнивать между
собой части целого, упрощая расчёты.
Пример: Что больше ½ или ¾?
½ = 50 % < ¾ = 75 %
Идея выражения частей целого постоянно в
одних и тех же долях, вызванная
практическими соображениями, родилась
еще в древности у вавилонян. Ряд задач
клинописных табличек посвящен
исчислению процентов, однако
вавилонские ростовщики считали не «со
ста», а «с шестидесяти», так как в
Вавилоне пользовались
шестидесятеричными дробями. Проценты
были особенно распространены в Древнем
Риме. Римляне называли процентами
деньги, которые платил должник
заимодавцу за каждую сотню. От римлян
проценты перешли к другим народам
Европы.
Римляне брали с должника лихву (т. е. деньги сверх того, что дали в
долг). При этом говорили: «На каждые 100 сестерциев долга
заплатить 16 сестерциев лихвы».
Долгое время под процентами
понимались исключительно
прибыль или убыток на
каждые сто ед. Они
применялись только в
торговых и денежных сделках.
Затем область их применения
расширилась, проценты
встречаются в хозяйственных
и финансовых расчетах, в
экономических расчетах, в
страховании, статистике,
науке и технике.
В процентах выражаются ставки налогов, доходность
капиталовложений, плата за заемные денежные средства
(например, кредиты банка), темпы роста экономики и многое
другое.
ЗНАКОМСТВО С ПРОЦЕНТОМ
Процент – это частный вид десятичных дробей,
сотая доля целого (принимаемого за единицу) или
сотая часть единицы. Обозначается знаком «%».
Используется для обозначения доли чего-либо по
отношению к целому.
Запись 1% означает 0,01 или
1/100.
Так как 1% равен сотой части
величины, то вся величина равна 100%
ПРОИСХОЖДЕНИЕ
ОБОЗНАЧЕНИЯ
%
В 1685 году в Париже была издана книга
«Руководство по коммерческой
арифметике» Матье де ла Порта.
В одном месте речь шла о процентах,
которые тогда обозначали «cto»
(сокращенно от cento).
Однако наборщик принял это «cto» за дробь и
напечатал «%». Так из-за опечатки этот
знак вошёл в обиход.
Pro cento – cento – cto - c/o - %
РОДСТВЕННИК ПРОЦЕНТА – ПРОМИЛЛЕ
Иногда применяют и более мелкие доли целого –
тысячные, то есть десятые части процента. Их
называют «промилле» происходит от лат. «pro mille»,
что означает в переводе «с тысячи» или «тысячная доля»
— 1/10 процента. Обозначается дробью «0 делить на 00»
(‰). Как и «процент», тоже используется для
обозначения доли чего-либо по отношению к целому.
Соотношение к процентам и десятичным дробям
НАХОЖДЕНИЕ ПРОЦЕНТА
 Чтобы
ОТ ЧИСЛА
найти процент от числа, надо
это число умножить на
соответствующий процент
p
b  a
100
20% от 45 кг сахара
равны 45·0,2=9 кг.
НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЕГО ПРОЦЕНТУ
 Чтобы
найти число по его проценту,
надо часть, соответствующую этому
проценту, разделить на дробь.
p
a b:
100
Если 8% от длины бруска
составляют 2,4см, то
длина всего бруска равна
2,4:0,08=30см
100%
8%
НАХОЖДЕНИЕ ПРОЦЕНТНОГО
ОТНОШЕНИЯ ДВУХ ЧИСЕЛ
 Чтобы
узнать, сколько процентов
одно число составляет от второго,
надо первое число разделить на
второе и результат умножить на 100%.
b
p  100(%)
a
9г соли в растворе
массой 180г составляют
9:180·100%= 5%.
180
9
Задача oлигарха:
Один из олигархов положил в коммерческий банк 8 миллионов
долларов под 50%. Через год он снял некоторую сумму для
покупки яхты, а еще через год на его счету стало 13,5 млн.
долларов. Я не спрашиваю, откуда у него такие деньги и где
тот банк. Я только хочу знать, почем нынче яхты?
Решение:
1) 8 · 0,5 = 4(млн. долларов) – 50%;
2) 8 + 4 = 12 (млн. долларов) – на счету через год;
3) х млн. долларов – стоимость яхты, тогда после покупки яхты
на счету останется (12 – х ) млн. долларов;
4) еще через год на его счету станет
(12 – х) · 0,5 + 12 – х = 13,5;
х = 3.
Ответ: 3 млн. долларов.
Задача бизнесмена:
На сколько процентов необходимо поднять цену товара,
чтобы после распродажи его с 20% скидкой доход от продажи
составил 5%?
Решение:
Пусть а – первоначальная цена, тогда новое значение цены – b.
b = a · (1-0,01 · 20)·(1+0,01 · р) = 0,8а(1+0,01 · р),
b = а · (1+0,01 · 5) = 1,05а
Составим уравнение:
0,8а · (1+0,01 · р) = 1,05а;
1+0,01р = 1,05 : 0,8;
0,01р = 0,3125;
р = 31,25%
Ответ: цену товара необходимо поднять на 31,25%.
Задача продавца:
Вечером хозяин магазина повысил цену на телевизоры на 30%. За
ночь передумал и утром велел снизить цену на 30%. Какой стала цена:
прежней? Повысится или понизится?
Решение:
Пусть х $– стоимость телевизора, тогда (х+0,3х) $ – стоимость товара
после повышения. Тогда цена утром после повышения составит: (х+0,3)
– 0,3(х+0,3х) = 0,91х $, что меньше, чем х, следовательно цена
понизится.
Ответ: понизится
Задачи покупателя:
1.
Цены на все товары повысились на 100%. Как изменилась моя
покупательская способность?
(Ответ: уменьшилась в два раза.)
2.
Зарплату увеличили в три раза, а цены подняли на 200%. Что стало с
моей покупательной способностью?
(Ответ: не изменилась.)
3.
Зарплата не изменилась, а все цены снизили на 100%. Что стало с
покупательной способностью?
Конечно, это шутка. Снизить цену на 100% - это раздавать товар
бесплатно.
ПРОЦЕНТЫ В БАНКОВСКОЙ СФЕРЕ
Банкир – это центральная фигура.
Он держит на своих плечах весь мир.
Герберт Н. Кэссон
В случае, когда денег не хватает,
можно обратиться за помощью в банк.
Kакие кредиты,
например на покупку автомобиля
самые выгодные?
The “P” Principal
 P - первоначальная сумма денег, которую вложили или
заняли
= The Principal is the original amount of money invested, or
borrowed.
 For example, if Jodie gets a $5000 loan for a car, then the
“Principal” is P = 5000.
And if Luke invests $2000 at 3% interest per annum for three
years, then the Principal is P = 2000.
The “R” Interest Rate
 Interest Rates usually have a “pa” after them, such as 3% pa
or 16% pa. It is a short hand form for “per annum”, which
means “per year”.
 10% pa means that each year there is 10% of the Principal as
extra Interest money created.
The “T” Time Value
 Значение времени в формуле I = PRT всегда в годaх !
 В то же время расчет платежей по процентам не всегда может
иметь место на основе ежегодных платежей, но также за
значительно более короткий период времени
 В этом случае «T» выражает продолжительность контракта, в
реальности, как соответствующей части года
Например:
Банк обещает своим клиентам годовой рост
вклада 13%. Какую сумму может получить через
год человек, вложивший в этот банк 320 тыс. р.?
320 000— 100%,
Х—113%
Х= 1,13•320000 = 361600 р.
Решим эту задачу в общем виде.
А именно, если в банк, дающий r% в год,
вложена сумма P, по истечении одного года
FV = (1 +r/100)*P
Если через год рост вклада составит
FV = (1 +r/100)*P , то через n лет
FVn
= (1+r*n/100)*P─ формула простого
процентного роста
Если имеется необходимость производить аналогичные
одинаковые вычисления для различный исходных сумм и
процентных ставок, можно по формуле проводить
необходимые расчеты.
Сложный процентный рост
Для некоторых видов вкладов (срочных вкладов)
принята следующая система начисления денег на
сумму, внесенную в банк. За первый год
нахождения внесенной суммы на счете она
возрастает на некоторое число процентов. В конце
года вкладчик может снять со счета эти деньги —
«проценты», как их обычно называют.
Если же он этого не сделал, то они
капитализируются, т. е. присоединяются к
начальному вкладу, и поэтому в конце следующего
года проценты начисляются банком уже на новую,
увеличенную сумму. Коротко говорят, что при
такой системе начисляются « проценты на
проценты» .
В математике в такой ситуации обычно говорят о
сложных процентах.
What is Compounding?
Задача .
Как выгодней положить деньги - под 20 % годовых
«простых» или под 14 % «сложных»?
Ясно и без коментариев.
А если часть корманных денег -500 р. Каждый месяц
класть в банк, начисляющий, скажем, 1% в месяц, то
схема роста вклада выглядит следующим образом:
1 месяц
2 месяц
3 месяц
4 месяц
5 месяц
6 месяц
7 месяц
8 месяц
9 месяц
10месяц
11месяц
12месяц
Прибыль
—
—
—
─
─
─
─
─
─
─
─
─
за
500
500•1,01+500=500•(1,01 + 1)=1005
1005•1,01 + 500= 1515,05
1515,05•1,01+500=2030,20
030,2005•1,01+500=2550,50
550,50•1,01+500=3076,
076•1,01+500=3606,8
606,8•1,01+500=4142,06
4142,06•1,01+500=4683,48
4683,48•1,01+500=5230,32
5230,32•1,01+500=5782,3
5782,3•1,01 +500=6 340,12
год 5840,12р.в год.
А если оставить на 5 лет?
1 месяц — 500
2 месяц — 500•1,01+500 =500•(1,01+ 1)
3 месяц—
(500•1,01+1))•1,01+500=500•(1,012+1,01+1)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
п-й месяц —500 •(1,01 n-1 +1,01 n-2 + .... + 1,01 +1).
В скобках сумма геометрической прогрессии .
А если воспользоваться таблицей, то можно
подсчитать какой будет сумма вклада через
5 лет; 5лет = 60м-ц.
=
S6
40835р.(Значение приближенное)
0
А это уже капитал….
P = 500 eur, r = 5% pa
Year
Start
Interest
End
1
500.00
25.01
525.01
2
525.01
26.26
551.26
3
551.26
27.57
578.84
4
578.84
28.95
607.79
5
607.79
30.40
638.18
6
638.18
31.92
670.10
7
670.10
33.51
703.62
8
703.62
35.19
738.81
9
738.81
36.95
775.76
10
775.76
38.80
814.56
11
814.56
40.74
855.29
12
855.29
42.78
898.07
13
898.07
44.92
942.99
14
942.99
47.16
990.15
15
990.15
49.52
1039.67
16
1039.67
52.00
1091.67
17
1091.67
54.60
1146.27
18
1146.27
57.33
1203.60
19
1203.60
60.20
1263.79
20
1263.79
63.21
1327.00
ПРОСТЫЕ И СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ В ДЛИТЕЛЬНОМ ПЕРИОДЕ
1000
8%
Period
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
FV (Simple Interest) FV (Compound Interest)
1 000,00
1 000,00
1 080,00
1 080,00
1 160,00
1 166,40
1 240,00
1 259,71
1 320,00
1 360,49
1 400,00
1 469,33
1 480,00
1 586,87
1 560,00
1 713,82
1 640,00
1 850,93
1 720,00
1 999,00
1 800,00
2 158,92
1 880,00
2 331,64
1 960,00
2 518,17
2 040,00
2 719,62
2 120,00
2 937,19
2 200,00
3 172,17
2 280,00
3 425,94
2 360,00
3 700,02
2 440,00
3 996,02
2 520,00
4 315,70
2 600,00
4 660,96
2 680,00
5 033,83
2 760,00
5 436,54
2 840,00
5 871,46
2 920,00
6 341,18
3 000,00
6 848,48
3 080,00
7 396,35
3 160,00
7 988,06
3 240,00
8 627,11
3 320,00
9 317,27
3 400,00
10 062,66
30
Pick a Year:
Compound vs Simple Interest
X
Y
8% per year for 40 Years
30,00
0,00
25 000
30,00
3400,00
30,00 10062,66
20 000
Future Value
PV
Rate
15 000
10062,66
10 000
3400,00
5 000
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Years
FV (Simple Interest)
FV (Compound Interest)
This workbook is Copyright © 2007 by Timothy R. Mayes, Ph.D.
Please visit http://www.tvmcalcs.com/ for free time value of money, financial
calculator, and Microsoft Excel tutorials.
40
ВОПРОСЫ?