Integral

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя
общеобразовательная школа №87 Петроградского района
Методическая разработка
Применение лекционно-семинарской формы обучения при
изучении темы «Интеграл»
Составила учитель математики и информатики
Попонова Наталия Вячеславовна
Санкт-Петербург
2013
Содержание
Содержание ______________________________________________________2
Введение ________________________________________________________3
Лекционно-семинарский метод и его особенности ______________________4
Понятия «семинар» и «лекция» ____________________________________4
План Трампа ___________________________________________________4
Лекционно-семинарский метод в школе _____________________________5
Применение лекционно-семинарского метода при изучении темы «Интеграл»
по учебнику А.Г.Мордковича «Алгебра и начала анализа» _______________8
Лекция №1 _____________________________________________________8
Актуализация знаний (тестирование) _____________________________8
Конспект лекции ______________________________________________9
Лекция №2 ____________________________________________________11
Задачи для практикума и индивидуальные задания для докладов _______14
Практикум №1 _______________________________________________14
Практикум №2 _______________________________________________16
Зачетная работа по теме _________________________________________17
Заключение _____________________________________________________19
Список использованной литературы _________________________________20
2
Введение
Эффективность дидактического процесса в сильной степени зависит от
выбора и внедрения тех или иных педагогических технологий
(организационные формы обучения, методы обучения, приемы и т.д.).
Функция преподавателя в рамках образовательного процесса — обеспечение
последовательных (технологических) операций, организация и контроль
деятельности учащихся. Совокупность действий преподавателя и
познавательной деятельности учащихся определяет дидактический процесс.
Форма организации занятий – это одна из ключевых проблем как обычной,
так и профильной школы. Однако в научной литературе она разработана
крайне недостаточно, хотя форм, известных на современном этапе,
множество: лекции, лабораторно-практические занятия, рефераты,
экскурсии, конференция, консультация, экспериментально-конструкторская
деятельность, деловые игры, все виды практики и многое другое.
Исследователи и педагоги-практики едины в своих взглядах на
исчерпанность
внутреннего
потенциала
классического
урока
и
необходимость существенной модернизации структуры классно-урочной
системы. Опросы, проведенные РАО в данной области, выявили, что 52,6%
школьников считают необходимым изменить форму урока. За последние
годы появилось немало инновационных школ, в которых апробируются
новые варианты урока: составного, модульного, блочно-модульного и
других.
В своей работе я хочу остановиться на лекционно-семинарских занятиях,
как на наиболее, на мой взгляд, перспективной форме организации учебной
деятельности в старших классах, поскольку старшие классы ориентированны
на вуз. А это обязывает учителя искать формы плавного перехода к
вузовской организационной структуре. Я думаю, лекционно-семинарские
занятия могут быть средством ранней подготовки к обучению в вузе.
Задолго до принятия Концепции модернизации образования отдельные
школы и учителя экспериментировали с лекцией и семинаром как
возможными вариантами урока в старших классах. Особенно активно
занимались этим вузовские преподаватели, работавшие в системе "школавуз". У них перенимали опыт и школьные педагоги. К сожалению,
многолетний положительный опыт в этой сфере не получил сколько-нибудь
заметного обобщения.
Практика показывает, что лекция и семинар, приспособленные к
условиям средней школы и возрастным особенностям старшеклассников,
положительно влияют на формирование основных учебных навыков и
психических свойств личности школьников: темпа работы, скорости
усвоения знаний, умения вести диалог, быстроты реакции на незнакомый
материал, способности ориентироваться в потоке информации и т.п.
Я думаю, что в освоении многих тем алгебры и геометрии старших
классов целесообразно использовать лекционно-семинарские занятия для
более углубленного изучения материала, в том числе самостоятельно, и
закрепления.
3
Лекционно-семинарский метод и его особенности
Понятия «семинар» и «лекция»
Со времен первого Парижского университета формами обучения
студентов в вузе стали лекции и семинары. (Семинарская форма обучения
возникла в древнегреческих и римских школах, где сообщения учащихся
сочетались с диспутами, комментариями и заключениями преподавателей,
это формат двустороннего обмена информацией, обсуждение актуальных
вопросов или вопросов по заданной теме. Известно, что в первых
университетах диспуты – споры по заранее выдвинутым вопросам, горячие
по накалу, иногда они перерастали в рукопашные схватки между
участниками)
Слова «лекция» и «семинар» известны нам, поскольку всегда на слуху. А
в действительности, словарь толкует эти понятия так.
Лекция (лат. lecture – чтение) — устное систематическое и
последовательное изложение материала по какой-либо проблеме, методу,
теме, вопросу и. так далее. Является элементом лекционно-семинарской
формы обучения, практикуемой преимущественно в старших классах
средней школы и в высшей школе (где эта форма является основной в
процессе обучения). Лекция, как метод обучения, относится к словесным
методам обучения и может применяться при классно-урочной системе
обучения.
Материал лекции закрепляется на семинарах.
Семина́р (от лат. seminarium — рассадник, переносное значение —
«школа») — один из основных видов учебных практических занятий,
имеющих целью передачу сведений, знаний. От различных форм школьного
ответа семинар отличается тем, что он представляет собой не
монологическое высказывание и даже не диалог ученика и учителя, а
полилог. В режиме семинара все его участники работают как целостная
недифференцированная группа.
План Трампа
Истоки лекционно-семинарской формы обучения в школе следует искать
в середине прошлого века. В 60-е годы большую известность получил план
Трампа, названного так по имени его разработчика американского
профессора педагогики Л. Трампа. Эта форма организации обучения
предполагала сочетание занятий в больших аудиториях (100 – 150 человек) с
занятиями в группах по 10 – 15 человек и индивидуальную работу учащихся.
На общие лекции с применением разнообразных технических средств
отводилось 40% времени, на обсуждение лекционного материала,
углубленное изучение отдельных разделов и отработку умений и навыков
(семинары) – 20%, а остальное время учащиеся работали самостоятельно под
руководством педагога или его помощников из сильных учащихся.
В настоящее время по плану Трампа работают лишь некоторые частные
школы, а в массовых школах закрепились лишь отдельные элементы:
4
преподавание бригадой педагогов одного предмета (один читает лекции,
другие проводят семинары); привлечение помощников, не имеющих
специального образования, к проведению занятий с большой группой
учащихся; организация самостоятельной работы в малых группах. Кроме
механического
переноса
вузовской
системы
обучения
в
общеобразовательную
школу
план
Трампа
утверждал
принцип
индивидуализации, выражающийся в предоставлении ученику полной
свободы в выборе содержания образования и методов его освоения, что было
связано с отказом от руководящей роли учителя и игнорированием
стандартов образования.
В современный период модернизацию классно-урочной системы
обучения осуществил учитель из Одесской области Н.П. Гузик. Он назвал ее
лекционно-семинарской, хотя вернее было бы назвать лекционнолабораторной.
Лекционно-семинарский метод в школе
Считается, что лекции и семинары, приобщающие старшеклассников к
новым формам занятий, должны вводиться в школе постепенно, в три этапа.
На раннем этапе (VIII и даже VII классы) детей обучают элементарному
конспектированию как в классе, так и при выполнении домашних заданий.
Прообразом семинарской дискуссии может стать работа в малых группах, где
школьники овладевают приемами диалога. VII и VIII классы являются очень
важным периодом в развитии детей с точки зрения формирования
коммуникативных навыков. Здесь надо четко определить границы между
живым диалогом и монологом, с одной стороны, и использованием
технических средств – с другой, поставив последние на их законное место и
сохраняя за первыми их ведущую роль в обучении.
На втором этапе (IX класс) введение элективных курсов упрощает задачу
учителя в приобщении детей к лекции и семинару. Для этого имеются и
другие возможности. Усложняющееся содержание большинства предметов,
возросший объем информации ставят педагога перед необходимостью искать
мобильные способы подачи материала и дифференцированного контроля за
его усвоением. Лекция, как никакая другая форма организации урока,
наиболее полно помогает решить эту задачу. В IX классе начинается
преподавание отдельных предметов гуманитарного и естественноматематического профиля на качественно ином уровне. Их теоретическая
составляющая с трудом вмещается в рамки классического урока. Именно
этот период в обучении – наиболее подходящий момент для глубокого
внедрения в школьную практику лекционно-семинарской системы.
Структура лекции и семинара начинает отвечать потребностям детей в
скорейшем усвоении материала и выработке аналитических навыков. К
концу IX класса у них должно в основном сформироваться умение
записывать лекцию.
X и XI профильные классы – этап завершающего перехода к лекционносеминарской системе. Приобретенные ранее навыки здесь формализуются.
5
Они становятся каналом приобретения знаний и их качественной экспертизы
со стороны учителя.
При лекционно-семинарской системе обучения в отдельный урок
выносится как бы каждый этап комбинированного урока:
- урок подачи нового материала (урок-лекция);
- закрепление (урок-практикум, урок-консультация);
- контроль знаний (урок-зачет)
В зависимости от количества часов данной темы, от ее своеобразия,
меняется количество тех или иных форм уроков, их последовательность.
Существенным дополнением лекционно-семинарской системы в средней
школе являются семестровые и триместровые испытания – экзамены,
практикуемые в ряде школ повышенного статуса – в лицеях и гимназиях.
Еще для школы характерна особая роль семинара (при изучении
естественных наук можно так же говорить о практикуме по решению задач).
Семинар, во-первых, является средством приобретения знаний. На нем
ученик получает дополнительную информацию к уже полученной из лекции
и из учебника. Во-вторых, семинар служит звеном в системе усвоения
логических структур знания. При восприятии лекционного материала ученик
"переводит" такие структуры на язык обыденного мышления, как это бывает
на начальном этапе изучения иностранного языка. На семинаре же он
доводит их до усвоения. Происходит это в рамках полилога под
руководством учителя.
Семинар – так же одна из форм контроля за знаниями. По характеру
проведения он близок коллоквиуму, а по целям – контрольной работе и
зачету.
Безусловно, в рамках школы контроль за знаниями учащихся может
проводиться и на лекции, а так же часто используются консультации для
подготовки к семинарским занятиям, особенно при условии, что у учащихся
разные задания по разным источникам информации.
Лекционно-семинарская система обучения имеет следующие функции:
Информационную, выражающуюся в передаче учащимся специально
отобранного и особым образом структурированного учебного материала.
Содержательная сторона уроков обеспечивает формирование системы
знаний, подлежащих усвоению учащимися;
Мировоззренческую, содержащую решение задачи связанной с
формированием мировоззрения учащихся. И дело не только в том, что
учитель умело раскрывает логику развития науки и решение ее проблем, но и
в том, что он управляет мышлением учащихся, вызывая их активность и
сложные процессы предвосхищения возможных исходов тех или иных
событий, процессов, явлений, результатов эксперимента и т. д. Особое место
здесь занимает раскрытие методологии науки.
Методическую, означающую методическое руководство деятельностью
учащихся. Оно осуществляется как через логику науки, так и
непосредственным введением на уроках методических рекомендаций по
работе над учебным материалом.
6
В условиях лекционно-семинарской системы обучения все названные
функции неразрывно связаны друг с другом, постоянно взаимодействуют, а в
ряде случаев переходят одна в другую.
К лекционно-семинарской системе обучения предъявляются следующие
важнейшие дидактические требования:
1) Высокая идейность, методологическая и мировоззренческая
направленность.
2) Познавательная ценность :высокий научный уровень уроков,
отражение на занятиях научно-технического прогресса, использование
четких и точных доказательств, высказанных положений и суждений.
3) Неразрывная связь изучаемого материала с жизнью и окружающей
действительностью.
4) Мотивация учения: умение использовать различные виды мотивации,
соответствующие
содержанию
изучаемого
материала,
характеру
познавательной деятельности и возрасту учащихся.
5) Реализация замысла на основе высокой активности всех
познавательных процессов: развитие творческого мышления, обучение
умению учиться, формирование умений и навыков, опора на все виды
внимания, восприятия, запоминания и т. д., создание условий для
использования учащимися своих сил и возможностей.
6) Правильный выбор и применение преподавателем разнообразных
источников приобретения знаний учащимися, использование различных
приемов учебной деятельности.
7) Гибкость методики, умение соотносить ее с возрастом учащихся,
уровнем их подготовленности и развития.
8) Развитие у учащихся стремления к знаниям, самообразованию, умения
самостоятельно расширять и углублять свои знания.
9) Соблюдение педагогического такта, обеспечивающего правильные
взаимоотношения между преподавателем и учащимися.
Основополагающими принципами учебно-воспитательного процесса
старшей школы в условиях лекционно-семинарской системы обучения
являются:
-принцип тематической концентрации учебного материала; именно он
позволяет высвободить время для реализации следующего принципа:
-принцип обучения на оптимальном уровне сложности; его реализация
способствует организации учебного труда старшеклассника с учетом его
индивидуальных способностей.
-принцип поэтапного рассмотрения учебного материала на разных
уровнях познания; этот принцип позволяет многократно на разных уровнях
строить процесс обучения по уже сказанной схеме.
Первый уровень познания – урок-лекция, на котором учащиеся
коллективно воспринимают, осмысливают, усваивают новый материал.
Второй уровень познаний – урок-практикум, на котором учащиеся не
только осмысливают, но и применяют свои знания.
7
Третий уровень познания – урок-семинар, на котором происходит
закрепление, совершенствование и творческое применение знаний, умений и
навыков
Четвертый уровень познания – урок-консультация, на котором
происходит не только применение знаний, умений и навыков, но и их
коррекция.
Пятый уровень уровень познания – урок-зачет, на котором учащиеся
обобщают и систематизируют свои знания по теме.
-принцип постоянного и многократного контроля за качеством и
глубиной усвоения учебного материала и уровня сформированности учебных
умений.
Лекционно-семинарские занятия более эффективны по сравнению с
уроком, так как здесь изменяются функции преподавателя и учащихся: более
ярко выражена регулятивная и организаторская функция преподавателя,
усилена информационная функция учащихся.
Применение лекционно-семинарского метода при изучении темы
«Интеграл» по учебнику А.Г.Мордковича «Алгебра и начала анализа»
Лекция №1
Оборудование: доска, раздаточный материал (тест, таблица), мел, тряпка
Цели: Ввести понятие первообразной и интеграла, привести примеры,
провести аналогии с производной.
Актуализация знаний (тестирование)
a. Физический смысл производной состоит в:
a) Если s(t) закон прямолинейного движения тела, то производная
выражает среднюю скорость в момент времени t: v  s (t )
b) Если s(t) закон движения тела по окружности, то производная
выражает мгновенную скорость в момент времени t: v  s (t )
c) Если s(t) закон прямолинейного движения тела, то производная
выражает мгновенную скорость в момент времени t: v  s (t )
2. Производная суммы ( f ( x)  g ( x)) 
впишите ответ
3. Производная функции ( f (kx  m)) 
1
f ( kx  m)
k
b) kf (kx  m)
c) (kx  m) f (kx  m)
a)
4.
a)
b)
c)
Можно ли выносить константу за знак производной?
Да
Нет
В зависимости от задачи
8
Тесты раздаются до начала лекции, так же как и таблицы интегралов,
лекция начинается с актуализации знаний, которые пригодятся по ходу дела.
Учащимся предлагается ответить на вопросы в течение трех минут. Потом
преподаватель может спросить кого-то одного ответы. После проверки
начинается сама лекция.
Конспект лекции
Первообразная
Задача: По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в
момент времени t задается формулой v  gt . Найти закон движения.
Решение: пусть s  s(t ) - искомый закон движения.
Знаем, что s (t )  v(t ) . Нужно подобрать функцию s, такую что ее
производная gt.
 gt 2
gt 2
, проверим: s (t )  
s (t ) 
2
 2
Ответ: s(t ) 


 g
g
  t 2  2t  gt.
2
2

 
gt 2
2
Ответ неполный, так как (с)  0, то s 
gt 2
 c (1)
2
Для определенности задачи фиксируют исходную ситуацию, например,
для t=0, s(0)=s0 из равенства (1) получаем s(0)=0+с, т.е. s0=с, тогда
gt 2
s
 s0
2
Процесс нахождения производной – дифференцирование, процесс
нахождения функции по заданной производной – интегрирование.
Определение1. Функцию у=F(x) называют первообразной для функции
y=f(x) на заданном промежутке X, если для всех х их Х выполняется
равенство F ( x)  f ( x)
Пример: у=х2 первообразная для
у=2х, y=sinx первообразная для
у=cosx
Остальные примеры в раздаточном
материале (таблице).
Правила отыскания
первообразных
1. Первообразная суммы равна
сумме первообразных: если y=F(х)
– первообразная для у=f(x), а
у=Н(х) – первообразная для
у=h(х),
то
у=F(х)+Н(х)
–
первообразная для у=f(х)+h(х).
(как
в
случае
дифференцирования).
9
2. Постоянный множитель можно вынести за знак первообразной (как в
случае дифференцирования).
3. Если y=F(x) – первообразная для у=f(x), то первообразной для функции
f (kx  m)
1
k
служит функция у  F (kx  m).

kF (kx  m)
1

Доказательство:  F (kx  m)  
 f (kx  m)
k
k

7
Пример: найти первообразную функции у=(4-5х)
.
8
Первообразная для х7 служит функция
х
8
,
значит для у=(4-5х)7
1 4  5 x 
1
8
, то есть y   4  5 x 
первообразной будет y  
5
8
40
8
Неопределенный интеграл
Теорема: Если у=F(х) – первообразная для функции у=f(х) на промежутке
X, то у функции у=f(x) бесконечно много первообразных, и все эти
первообразные имеют вид у=f(x)+С, где С – произвольная постоянная
(основное свойство первообразной)
Доказательство: 1. Пусть у=F(х) – первообразная для функции у=f(х) на
промежутке X, значит для всех х из Х выполняется равенство F ( x)  f ( x) .
Производная любой функции вида у=F(х)+С:
F ( x)  C   F ( x)  C   f ( x)  0  f ( x) , значит у=F(х)+С - первообразная для
функции у=f(х) при любой С.
2. Докажем, что других первообразных нет. Пусть у=F1(х) и у=F(х) – две
первообразные для функции у=f(х) на промежутке X, значит для всех х из Х
выполняются равенства F1( x)  f ( x) ; F ( x)  f ( x) .
Рассмотрим функцию у  F1 ( x)  F ( x) , ее производная:
F1 ( x)  F ( x)  F1( x)  F ( x) 
f ( x)  f ( x)  0. Производная равна нулю на всем
промежутке, если она постоянна, значит F1(х)-F(х)=С, т.е. F1(х)= F(х)+С.
Теорема доказана
Определение2. Если функция у=f(x)
имеет на промежутке Х первообразную
y=F(x), то множество всех первообразных,
то есть функций вида у=F(х)+С, называют
неопределенным интегралом от функции
у=f(x) и обозначают:
 f ( x)dx .
Опираясь на таблицу первообразных будем
использовать таблицу интегралов:
Опираясь
на
правила
отыскания
первообразных сформулируем правила
интегрирования:
1. Интеграл от суммы функций равен сумме
интегралов этих функций:
10
 ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx
2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx
3. Если
 f ( x)dx  F ( x)  C ,
то
 f (kx  m)dx 
F (kx  m)
 C.
k
Лекция №2
Определенный интеграл
Задача№1. В декартовой прямоугольной ск хОу
дана фигура, ограниченная осью х, прямыми х=а,
х=b (a<b) и графиком непрерывной и
неотрицательной на [a,b] функции y=f(x); назовем
эту фигуру криволинейной трапецией. Найти
площадь этой фигуры.
Решение. Используя геометрические соображения
мы можем найти приближенное значение
площади.
Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей
точками х1, х2,…, хn-1, проведем соответственные ординаты. Трапеция
разбивается на n частей. Площадь всей трапеции равна сумме площадей этих
частей.
Рассмотрим k-й столбик, заменим криволинейную
трапецию с основанием [xk,xk+1] на прямоугольник с
тем же основанием и высотой f(xk). Его площадь
равна f ( xk )  xk , где x k - длина отрезка [xk,xk+1].
Это произведение приближенное значение площади
k-ого столбика.
Если мы сделаем тоже самое со всеми столбиками,
то получим, что площадь всей криволинейной
трапеции S  Sn ступенчатой фигуры из n
прямоугольников.
S n  f ( x0 )x0  f ( x1 )x1  ...  f ( xk )xk  ...  f ( x n1 )xn1
Здесь a=x0, b=xn, xk  длина[ xk , xk 1 ]k  0  k  1
Чем больше n, тем точнее равенство S  Sn.
Принято считать, что искомая площадь есть предел
последовательности (Sn):
Задача№2. Дан прямолинейный неоднородный
стержень, плотность в точке х вычисляется по
формуле р=р(х). Найти массу стержня.
11
Решение: Масса равна произведению плотности и объема (вместо объема
берут длину, если стержень прямолинейный).
Это в случае однородного стержня. В случае
неоднородного решение задачи аналогично
решению предыдущей задачи.
Масса всего стержня вычисляется как предел сумм на всех
участках от x0 до хn.
Упражнение: (стр.203) восстановить доказательство, зная,
что Sn – сумма масс на всех участках, Sn=m0+m1+…+mn-1, mk  p( x)xk .
Задача№3. По прямой движется материальная точка. Зависимость
скорости от времени выражается формулой v=v(t); пусть для определенности
v(t)>0. Найти перемещение точки за промежуток времени [a,b].
Решение: В случае равномерного движения задача решалась бы просто
s=vt, то есть s=v(b-a). Для неравномерного движения используем те же идеи,
что и в двух предыдущих случаях.
Разделяем отрезок пути на n частей, вычисляем приближенное значение
перемещения на каждом отрезке [tk,tk+1], находим сумму и предел
последовательности.
Упражнение: восстановить доказательство (можно не
самостоятельно, в учебнике стр.204), зная, что перемещение
предел суммы перемещений на всех отрезках, перемещение
на каждом отрезке sk  v(t k )t k .
Замечание. Три различные задачи привели решение к одной
математической модели.
Понятие определенного интеграла
Математическое описание модели для вышеуказанных задач для функции
y=f(x), необязательно положительной.
1. разбиение отрезка [a,b] на n равных частей
2. составление суммы S n  f ( x0 )x0  f ( x1 )x1  ...  f ( xn1 )x x1
3. нахождение предела этой суммы
В курсе математического анализа доказано, что этот предел при данных
условиях существует. Его называют определенным интегралом от функции
y=f(x) по отрезку [a,b] и обозначают так:
b
 f ( x)dx ,
a – нижний предел
a
интегрирования, b – верхний.
Значит
площадь
криволинейной
трапеции:
b
S   f ( x)dx ,
в
этом
a
геометрический смысл определенного интеграла.
b
Масса неоднородного стержня с плотностью р(х): m   f ( x)dx , в этом
a
физический смысл определенного интеграла.
12
Еще одно физическое толкование определенного интеграла решение
задачи о перемещении точки.
Формула Ньютона-Лейбница
В задачи №3 перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью
v=v(t) за промежуток времени от t=a до t=b вычисляется по формуле:
b
S   v(t )dt . Но координата движущейся точки – первообразная для скорости –
a
обозначим ее s(t), значит перемещение s вычисляется по формуле s=s(b)-s(a).
b
Значит:  v(t )dt  s(b)  s(a) , где s(t) – первообразная от v(t).
a
На самом деле есть теорема.
Теорема: Если функция
справедлива
y=f(x)непрерывна на отрезке [a,b], то
b
формула  f ( x)dx  F (b)  F (a), где
следующая
F(x)
–
a
первообразная для f(x).
(это формула Ньютона-Лейбница)
b
Замечание: вместо записи F (b)  F (a) обычно пишут запись F ( x) a
Опираясь на формула Ньютона-Лейбница, нетрудно обосновать свойства
определенного интеграла:
1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
b
b
b
a
a
a
 ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx
Доказательство: F(x) - первообразная для f(x), G(x) - первообразная для
g(x), тогда F(x)+ G(x) - первообразная для f(x)+ g(x).
Значит:
b
 ( f ( x)  g ( x))dx  F ( x)  G( x)
b
a
 ( F (b)  G(b))  F (a)  G(a)   F (b)  F (a)   G(b)  G(a)  
a
b
b
a
a
  f ( x)dx   g ( x)dx
2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
b
b
a
a
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx
3. (аддитивное свойство интеграла) Если a<c<b, то
c

a
b
b
c
a
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
Доказательство аналогично первому (упражнение)
Геометрический смысл в том, что площадь криволинейной трапеции
равна сумме площадей криволинейных трапеций, из которых она составлена.
13
Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного
интеграла
С помощью определенного интеграла можно
вычислить площади довольно сложных фигур,
например ту, что на рисунке.
Фигура P ограничена прямыми х=а, х=b и
графиками непрерывных функций y=f(x),
y=g(x), причем на отрезке [a,b] выполняется
g ( x)  f ( x) .
Чтобы найти площадь P выполним
параллельный перенос на m единиц вверх (m>0),
чтобы P была расположена выше оси абсцисс. Теперь она ограничена
y=f(x)+m, y=g(x)+m, обе неотрицательны на [a,b]. Значит:
b
b
b
a
a
a
S P  S ABCD  S aDCb  S aABb    f ( x)  mdx   g ( x)  mdx    f ( x)  m  g ( x)  mdx 
b
   f ( x)  g ( x) dx
a
Вывод: площадь S фигуры, ограниченной
прямыми х=а, х=b и графиками непрерывных
на отрезке [a,b] функций y=f(x), y=g(x) таких,
что g ( x)  f ( x) для всех x из отрезка [a,b],
вычисляется по формуле:
b
S    f ( x)  g ( x) dx
a
Задачи для практикума и индивидуальные задания для докладов
Практикум №1
1. На дом дается задание, на первом практикуме проверяется только то,
что вызвало затруднение.
1. Докажите, что функция y=F(x) является первообразной для y=f(x):
a. F(x)=х13+х19, f(x)=13x12+19x18;
b. F(x)=5cosx, f(x)=-5sinx.
2. Для функции y=f(x) найдите первообразную:
a. f ( x) 
1
2 x
b. f ( x)  9 x19
c. f ( x)  x  x15
d. f ( x)  
1
 13x 3
2
x
14
4
9

2
sin x cos 2 x
x
f. f ( x)  sin  2  
2

1
g. f ( x) 
42  3x
e. f ( x) 
3. Найти неопределенный интеграл:
a.  6 cos xdx
16
b.
  sin
c.
 x
d.
 ( 2 x  x )dx
 7  5 x  dx
20
2
2
x
dx
dx
1
2
13
2
e.
4. Решить задачи:
a. Точка движется прямолинейно, ее скорость выражается формулой
v=1+2t. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени
t=2 координата точки равнялась числу 5.
b. Скорость прямолинейного движения материальной точки задается
формулой v 
6
2t  1
. Найдите закон движения, если S(0)=3.
x
2
5. Для функции y ( x)  1  2 sin 2 найдите ту первообразную, график которой

проходит через точку M  ;15 .
2

6. Найдите неопределенный интеграл:
a.  сtg 2 x  1dx
b.
c.
d.
 cos(3x) sin( 5x)dx
 sin xdx
4
 sin
cos 2 x
dx
2
x cos 2 x
2. На практикуме хотелось бы успеть обсудить:
Задача: Материальная точка массы m=1 движется по прямой под действием
силы, которая меняется по закону F(t) = 8-12t. Найдите закон движения
точки, если в момент времени t=0 её координата равна 0 и скорость равна 1.
В какой момент времени скорость точки будет максимальной?
Решение.
F=ma, a 
F 8  12t

 8  12t
m
1
v(t )  8t  6t 2  c1 , по условию v(t )  0  c1  1 
v(t)=8t-6t2+1.
15
x(t)=4t2–2t3+t+c2, так как x(0)=0, то c2=0.
Значит x(t) = 4t2–2t3+t.
Найдем момент времени, когда скорость точки будет максимальной:
v1(t)=a(t)=8-12t,
8–12t=0,
t
2
3
Ответ: x(t)=4t2–2t3+t, t 
2
3
3. А так же предполагается осветить исторический материал.
a. Происхождение терминов и обозначений
b. История интегрального исчисления
(учебник А.Н.Колмогорова стр.193-198, так же статья «Интегральное
исчисление» в энциклопедии «Википедия», В.А.Никифоровский «Путь к
интегралу» про достижения Ферма вкратце стр.67-71, доклады для двух
учащихся при использовании вышеуказанной литературы)
Практикум №2
1. Предполагается домашнее задание, проверяется только то, что вызвало
затруднение.
1. Вычислите определенный интеграл:
2
a.
x
1
9
b.

c.
dx
dx
x
4

4

4
dx
 cos

2
x
4

3
d.
e.

5


0
sin  x  
3

3
dx

1
3
dx
2
10  3x
1
f.
5x 7  4 x 6  2 x
dx
2
x3
2. Решить задачи:
a. Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой
формулой v(t ) 
1
7t  4
(время измеряется в секундах, а скорость в
сантиметрах в секунду). Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая
от начала движения (t=o).
16
b. Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность в точке x
определяется по формуле  ( x)   x 2  6 x . Найдите массу стержня, если
его длина l=2.
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной:
a. линиями y   x 3  1, y  0, x  0, x  2
b. линиями y 
1
x
, y  0, x  1, x  4
2
3
2
d. графиками функций y  x  1, y  2 x  2
x
2
c. линиями y  2  cos , y  0, x  0, x 
e. графиками функций y  x 2  4 x  3, y   x 2  6 x  5
4. Вычислить определенный интеграл:
1
a.

9  x x
1
 16
dx
x  7 x  12
2
2
2

b.
 sin
2
3xdx

2. Предполагается рассмотрения на занятии следующих заданий:
1. Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла, вычислить
Решение.
Найдем площадь полукруга с центром А(2; 0) и радиусом R=1.
Ответ: x 

2
2. Решить уравнение:
x
1

2t  1
5
x
dt  x  11
t
2
3. Решить неравенство:  sin dt  3

3. А так же осветить тему «Применение интеграла» (по учебнику
Колмогорова, срт.188, доклад для одного человека)
Зачетная работа по теме
Зачетная работа по теме предполагает сдачу двух домашних работ (возможно
исправленных), чтобы было видно, как учащийся работал, что у него
получилось сразу, а что после работы в классе.
Написание контрольной работы по теме и домашнее третье задание, которое
идет на отдельную оценку, поскольку сложное.
Домашнее задание на отдельную оценку
17
При каком а выполняется равенство:
1  2x
4
dx  
3
3
a
a

2
Контрольная работа по теме «Интеграл и первообразная»
1. Найти общий вид первообразных для функции f(x):
2
a. f ( x) 


cos 2   3 
3

1
3


b. f ( x) 

 2 cos  x 
3
3  2 x
5x  2
4

2. Вычислите интегралы:
2
3
a.
2



  sin 4  cos 4 
dx
0
b.
4

1

  x 
x
dx
x 
3. Ускорение прямолинейного движения материальной точки задается
формулой a(t )  2(t  1) 2 . Найдите закон изменения скорости и закон
движения, если v(0)=1, S(0)=1.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y  x  12 , y   x  1  2
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y=2x-x2, касательной к
ней в точке x=1 и осью y.
Критерии оценки: выполнение любых четырех заданий оценивается оценкой
«3», любые пять заданий – «4», больше пяти заданий – «5».
18
Заключение
Идеальна ли лекционно-зачетная форма работы? Нет, конечно.
Идеальных форм не существует.
Безусловно, у лекции много недостатков. Но недостаток малой обратной
связи устраним с помощью вопросов, которые задаёт учитель после
объяснения каждого вопроса лекции. А малую активность учащихся тоже
можно если не устранить, то хотя бы частично вывести, если создать
ситуацию поощрения вопросов.
Одним из недостатков урока-лекции считают утомляемость учащихся,
конечно, ведь на них лавиной обрушивается гора нового материала, но если
преподаватель хороший лектор, то он быстро почувствует тяжесть в
аудитории и может даже шуткой разбавит поток информации.
Педагоги указывают, что при чтении лекций, ученики не читают
учебники. Но с этим можно не согласиться, так как многое зависит от
требований самого учителя и правильного выбора тем лекций. При
подготовке к лекции ученики должны прочитать соответствующую тему в
учебнике.
Но все же эту форму обучения можно и нужно совершенствовать.
Работая над курсовой по заданной теме, я пришла к выводу, что сущность
требований к школьным лекциям можно считать таковыми:
1. Лекции должны быть безукоризненными в научном отношении, учить
мыслить, давать образцы анализа, разбора, обобщения, выходя за
рамки учебника.
2. Изложение материала должно быть: образным, доступным,
логическим, системным, последовательным.
3. Использование наглядных пособий, схем раздаточного материала
(текстов, источников, документов).
4. Школьная лекция должна быть длительно - монологической.
5. В структуре урока - лекции должны быть спланированы как и
остальные этапы урока, не только восприятие материала излагаемого
учителем, но и осмысление, закрепление, запоминание, применение.
6. Изложение учебного материала в ходе школьной лекции должно
расчленяться на логические звенья с закреплением сначала на первой
ступени знаний, потом на второй и т.д.
7. Каждое из постулируемых положений подкрепляется необходимым
количеством аргументов и подтверждается кратким выводом.
8. Перед началом лекции целесообразно поставить проблемное задание,
которое учащиеся должны выполнить в конце урока.
Вполне естественно, что на семинарах должны затрагиваться не только
поставленные задачи, которые даются на дом, но так же показываться более
сложные задания и некий обзор исторического материала по данной
тематике, поскольку это может заинтересовать учащихся, да и полезно для
общего развития.
19
Понятно, что при хорошо спланированной, продуманной и
подготовленной рабате данная система может привести к заметному
повышению качества обучения.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Список использованной литературы
А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11», учебник, М., 2001
А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11», задачник, М., 2001
«Алгебра и начала анализа 10-11», учебник под редакцией
А.Н.Колмогорова, Москва, «Просвещение», 1990
В.А.Никифоровский «Путь к интегралу», М., Наука, 1985
«Лекционно-семинарская форма обучения в профильной школе»,
статья О.Г.Егорова
(http://www.portalus.ru/modules/shkola/rus_readme.php?subaction=showful
l&id=1194957996&archive=1195596857&start_from=&ucat=&)
«Лекционно-семинарская система», статья с сайта средней школы №24
(http://www.sch24.ru/lsso.htm)
«Критика лекционно-семинарской образовательной технологии
высшего образования», статья Ю.Э.Краснова
(http://charko.narod.ru/tekst/sb1/kras.html)
«Лекционно-семинарская система обучения химии», Н.П.Гузик,
Н.П.Пучков, Киев, 1979
Энциклопедия «Википедия»
20