Основные схемы логически правильных рассуждений

Основные схемы логически
правильных рассуждений
Наряду с алфавитом и правилами построения сложных
высказываний - логических формул, языки логики
высказываний содержат правила преобразования логических
формул. Правила преобразования реализуют общелогические
законы и обеспечивают логически правильные рассуждения.
Корректность допустимых в логике преобразований является
фундаментальным свойством формальной (математической)
логики.
Процесс
получения
новых
знаний,
выраженных
высказываниями, из других знаний, также выраженных
высказываниями, называется рассуждением (умозаключением).
Исходные высказывания называются посылками (гипотезами,
условиями), а получаемые высказывания - заключением
(следствием).
Схемы логически правильных
рассуждений
1. Правило заключения - утверждающий модус:
"Если из высказывания А следует высказывание В и справедливо
(истинно) высказывание А, то справедливо В". Обозначается:
A  B, A
B
2. Правило отрицания- отрицательный модус:
“Если из А следует В, но высказывание В неверно, то наверно А”:
A  B, B
A
3. Правила утверждения- отрицания:
“Если справедливо или высказывание А, или высказывание В (в
разделительном смысле) и истинно одно из них, то другое
ложно”:
A  B, A , A  B, B
B
A
4. Правила отрицания- утверждения:
а)“Если истинно или А, или В (в разделительном смысле) или
неверно одно из них, то истинно другое”:
A  B, A , A  B, B
B
A
б) “Если истинно А или В (в неразделительном смысле) и неверно
одно из них ,то истинно другое”:
A  B, A ,
B
A  B, B
A
5. Правило транзитивности :
“Если” из А следует В, а из В следует С, то из А следует С:
A  B, B  C
AC
6.Закон противоречия:
“Если из А следует В и B , то неверно А”:
A  B, A  B
A
7. Правило контрапозиции:
“Если из А следует В, то из того, что неверно В, следует, что
неверно А”:
A B
B A
8. Правило сложной контрапозиции:
“Если из А и В следует С, то из А и C следует B “
( A & B)  C
( A & C)  B
9. Правило сечения:
“Если из А следует В. А из В и С следует D, то из А и С следует
D”:
A  B, ( B & C )  D
( A & C)  D
Примерами рассуждений, не являющихся правильными,
могут служить:
A  B, A в) A  B, A
B
B
Для того чтобы проверить, является ли данное умозаключение
логически правильным, следует восстановить схему рассуждения и
определить, относится ли она к схемам логически правильных
рассуждений.
а)
A  B, A
B
б)
Пример . К каким схемам относятся следующие рассуждения:
1. "Если рабочий отсутствовал на работе, он не выполнил
задания. Он не выполнил задания. Следовательно, он
отсутствовал на работе".
2. "Этот человек студент или предприниматель. Он
студент. Следовательно, не предприниматель".
3. "Этот человек постоянно живет в Москве или СанктПетербурге. Он живет в Москве. Следовательно, он не живет
в Санкт-Петербурге."
4. "Сегодня понедельник или вторник. Сегодня вторник.
Следовательно сегодня не понедельник".
Являются ли данные рассуждения логически правильными?
•"Если рабочий отсутствовал на работе (А), он не выполнил
задания (В). Он не выполнил задания (В). Следовательно, он
отсутствовал на работе (А)". Схема данного рассуждения
A  B, B
A
относится
к схеме (а) неправильных
следовательно, это рассуждение неверно.
рассуждений,
2. "Этот человек студент (А) или предприниматель (В). Он
студент (А). Следовательно, не предприниматель ( B )
Учитывая то, что в первом предложении союз "и" использован в
неразделительном смысле, схема данного рассуждения имеет вид:
A  B, A
B
Схема соответствует схеме (в) неправильных рассуждений,
поэтому данное рассуждение также является неправильным.
3. "Этот человек постоянно живет в Москве (А) или СанктПетербурге (В). Он не живет в Москве ( A ). Следовательно, он
живет в Санкт-Петербурге (В)".
Рассуждение правильное, так как его схема представляет правило
правильных рассуждений (правило 4, а):
A  B, A
B
4. "Сегодня понедельник (А) или вторник (В). Сегодня вторник
(В). Следовательно, сегодня не понедельник ( A ). Союз "или"
здесь использован в разделительном смысле, поэтому
рассуждение правильное, так как относится к схемам
правильных рассуждений ( правило 3):
A  B, B
A
Пример.
Записать
логической
формулой
следующее
умозаключение:
"Если фирма приглашает на работу крупного специалиста в
области новейшей технологии, то она считает ее
привлекательной и разворачивает работы по изменению
технологии производства своего традиционного продукта или
начинает разработку нового продукта. Конкурирующая фирма
пригласила на работу крупного специалиста в области
новейшей технологии. Следовательно, она разворачивает
работы по изменению технологии производства выпускаемого
продукта или разработке нового продукта."
Уточнить справедливость данного умозаключения.
А - "Фирма приглашает на работу крупного специалиста в
области новейшей технологии".
В - "Фирма считает данную новейшую технологию
привлекательной".
С- "Фирма разворачивает работу по изменению технологии
производства своего традиционного продукта".
D - "Фирма начинает разработку нового продукта".
С учетом принятых обозначений умозаключение примет вид:
"Если А, то В и (С или D). А. Следовательно, С или D".
Используя логические связки, получим окончательно:
(( A  ( B & (C  D))) & A)  (C  D)
Для проверки правильности умозаключения восстановим схему
рассуждения и сравним ее со схемой правила заключения 1
A  ( B & (C  D)), A
CD
В соответствии с этим правилом истинно заключение
B & (C  D )
Конъюнкция двух высказываний В и (C  D ) истинна, если
истинны оба высказывания. Полагая, что В истинно (что видно
из контекста), истинно также (C  D ) . Таким образом, данное
умозаключение верно при истинности В.
Пример. “Если идет дождь, то кошка в комнате или в подвале.
Мышка в комнате или в норке. Если кошка в подвале, то мышка в
комнате. Если кошка в комнате, то мышка в норке, а сыр в
холодильнике. Сейчас идет дождь, а сыр лежит на столе. Где
кошка и где мышка?”
Обозначим:
Д – “идет дождь”;
К – “кошка в комнате”;
Р – “кошка в подвале”;
М – “мышка в комнате”;
Н – “мышка в норке”;
Х – “сыр в холодильнике”;
Х – “сыр на столе”.
Получаем следующую схему рассуждения:
Д КР
М Н
КН&Х
РМ
Д & Х
?
Воспользуемся правилами вывода
1) Д & X ├─ Д
2) Д & X ├─ X
3) Д  К  Р, Д ├─ К  Р
Далее рассмотрим два варианта.
Вариант А. Пусть имеет место К. Тогда
4а) К , К  Н & Х ├─ Н & Х
5а) Н & Х ├─ Х
6а) Х , Х ├─ Х & Х
получили противоречие, значит, предположение было
ошибочно и этот вариант невозможен.
Вариант Б. Пусть имеет место Р. Тогда
4б) Р, Р  М ├─ М
5б) Р, М ├─ Р & М
Получено заключение Р & М т.е. “кошка в подвале, а
мышка в комнате”.