Лекц 1-ВШЭ-осень 2010

Дмитриев М.Г.
«Теория систем и системный анализ»
Курс лекций(избранные главы)
Направление подготовки «Бизнес-информатика»,
магистратура 1 курс, 1 модуль, ВШЭ, Москва, сентябрь 2010 г.
email: mdmitriev@mail.ru
skype: mgdmitriev
Лекция 1.
Дисциплина «Теория систем и системный анализ» - базируется
на методах и технологиях целого комплекса научных дисциплин,
среди которых:
 Математическое программирование(Линейное
программирование; Динамическое программирование;
Целочисленное программирование; Нелинейное
программирование; Булево программирование и др.);
 Векторная оптимизация;
 Теория игр;
 Системы управления;
 Теория оптимального управления;
 Имитационное моделирование систем и процессов;
 Теория автоматов;
 Системы искусственного интеллекта;
 Теория информации и др.
Учитывая специфику специальности, основная цель которой
дать навыки и умения моделирования сложных динамических
бизнес-систем и поиска рациональных экономических решений на
основе информационных технологий, в рамках курса делаем упор
на ключевые понятия и технологии. С учетом предшествующих
дисциплин основной упор делается на идеи и методы теории
управления, что и предопределяет выбор материала.
Введение
Определение. Система – совокупность элементов, находящихся во
взаимосвязи (Л.Берталанфи).
Целостность – внутреннее единство системы,
принципиальная несводимость свойств системы к сумме свойств
составляющих ее элементов.
Для поддержки целостности системы требуется особая
организация системы, внутренний механизм, отвечающий за
гомеостазис системы, т.е. необходимо поддерживать некоторое
динамическое равновесие, или необходимо постоянно варьировать
некий набор параметров и воздействий, который обеспечивает
существование системы в допустимых пределах.
Сложная система имеет семиотическую, т.е языковую,
природу информационных связей, а обмен информацией
происходит на семантическом (смысловом) уровне.
Принципы системного анализа.
1. Отбор существенных частей предметной области проводить,
опираясь на ее законы или закономерности (сохр.энергии,
вещества, взаимозаменяемость факторов производства и др.)
2. Любая «живая» система стремится сохранить свой
гомеостазис(стабильность, «равновесие», т.е.она должна вести
себя так, чтобы при различных внешних условиях не выйти
из той области, которая обеспечивает ее существования, а это
возможно если в системе имеются механизмы обратной связи.
3. Сложным системам свойственна иерархическая структура.
4. Рациональное поведение в сложных системах объясняется
стремлением системы достигать своих целей в условиях
ограничений, на основе учета нескольких критериев оценки
поведения.
Виды систем.
Физические, абстрактные, простые, сложные, динамические,
стационарные, нестационарные, линейные, нелинейные,
адаптивные, большие. В сист анализе изучаются сложные системы.
Три основных признака сложной системы.
1. Робастность – функционирование системы при отказе частей
системы (простая система – два состояния или полная
работоспособность системы либо полный отказ).
2. Неоднородные связи между элементами, структурные связи,
функциональные связи, каузальные (причинно-следственные)
связи, информационные связи и пространственно-временные
связи.
3. Эмерджентность – у сложной системы есть свойства,
отсутствующие у ее подсистем, элементов.
Математическое программирование.
Линейное программирование (ЛП) – один из разделов
математики, связанный с оптимизацией линейной функции на
многогранниках. Имеет мощнейшее приложение, в частности, в
экономике, для которой и создано. У истоков ЛП стоят такие
ученые, как Л.В. Канторович (разработал метод потенциалов и
двойственных оценок; в 1939 г. в Ленинграде написал первую
книгу по ЛП), Т.Купманс (независимо от Канторовича Л.В. во
время 2-й мировой войны сформулировал транспортную модель
ЛП и разработал методы ее решения). В 1975 г. Л.В.Канторович и
Т.Купманс получили Нобелевскую премию по экономике.
В конце сороковых годов ХХ века Дж. Данциг - американский
математик, предложил основной метод решения задач ЛП –
симплекс-метод.
ЛП изучает задачи на экстремум линейной функции при
линейных ограничениях.
Постановка задач ЛП
Пусть имеются элементы некоторого множества, идентификацию
которых можно провести с помощью n координат (численных
значений показателей, факторов и др.), тогда здесь можно говорить
о некотором векторном пространстве, где элементы есть n-мерные
вектора.
Пусть задана некоторая линейная функция многих переменных L(y)
или
n
L( y1 , y2 ,..., yn )   c j  y j  max
j 1
и требуется найти вектор y, который будет максимизировать эту
функцию при линейных ограничениях
a11  y1  a12  y2  ...  a1n  yn  b1
a  y  a  y  ...  a  y  b
 21 1 22 2
2n
n
2

...
am1  y1  am 2  y2  ...  amn  yn  bm
Это задача линейного программирования на максимум
прибыли в условиях n технологий или задача об оптимальном
«ассортименте».
Пусть требуется найти план производства в условиях
существования n технологий производства (например, выпуска n
видов продукции). Имеется m видов ресурсов, необходимых для
производства. Известны данные {aij} об удельных затратах i
ресурса при единичной интенсивности j технологии (затраты i
ресурса на изготовление одной единицы продукции j вида), а также
критерий интенсивности плана производства, например, показатели
прибыли для каждой технологии (при единичной интенсивности j
технологии) и пусть cj- прибыль (эффект) единичной
интенсивности j технологии. Итак,
требуется
найти
план
производства, максимизирующий прибыль при имеющихся запасах
ресурсов b. и заданной «технологической» матрицей A.
Замечание 1: допустимое множество есть выпуклое множество
(Множество М называется выпуклым, если вместе с любыми
допустимыми точками множества ему принадлежат и все точки
отрезка, соединяющего эти точки).
Замечание 2: допустимое множество на плоскости –
многоугольник, а в пространстве – многогранник.
Замечание 3: оптимальное решение в задаче ЛП находится в
вершине или стороне многоугольника (в вершине или на ребре или
на грани многогранника).
Теория двойственности
G ( x)  (b, x)  min
A x  c,
x0
T
g ( x)  c  A x  0, (1)
T
L( y,b)  (c, y)  max
Ay  b,
(2)
y 0
Пусть задача (2) на максимум прибыли – прямая, а (1) –
двойственная к ней. Т.е. вектор х – вектор условных цен ресурсов.
А искомый план y –оптимальный ассортимент.
Первая теорема двойственности в ЛП. Если задача
(1)разрешима, то разрешима и задача (2) и наоборот. И
при этом L( y )  G( x*) .
*
Максимальная прибыль задачи сопровождается наилучшей оценкой
использования ресурсов или максимальной эффективности
использования технологий отвечает наилучшая оценка используемых
ресурсов. Двойственные оценки помогают ответить на вопрос, какова
наименьшая стоимость набора ресурсов, дающая возможность
обращения ресурсов в продукты и продажи этих продуктов с целью
максимизации прибыли. При оптимальном поведении экономической
системе или фирме безразлично, использовать ли ресурсы для
производства и продать продукты, чтобы получить прибыль или(!!!!!!!)
продать ресурсы по эффективным ценам, уже не производя продукты.
Вторая теорема двойственности. Для того чтобы пара
планов x*, y* была оптимальной в прямой и
двойственной задачах соответственно, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
m

 a x c
ij i
j
i 1
m
2. y*  0   a x*  c
j
ij i
j
i 1
1. y  0 
j
n
*
 a y b
ij j
i
j 1
n
4.x*  0   a y*  b
i
ij j
i
j 1
3.x*  0 
i
i  1, m, j  1, n
Экономический смысл второй теоремы двойственности:
1.
Если yj>0, j технология рентабельна (соответственно, j
ограничение двойственной задачи, которое характеризует условные
удельные оценки затрат ресурсов при выпуске одной единицы
продукции j вида, выполняется как строгое равенство), то.
условная удельная оценка всех используемых ресурсов при
производстве одной единицы продукции j вида равна прибыли cj. И
наоборот, если условная оценка удельных затрат используемых
ресурсов равна прибыли cj, то данная технология рентабельна.
2. Если xj=0, т.е. j технология нерентабельна, то
условная удельная оценка затрат больше удельной
прибыли. И наоборот, если условная удельная
оценка затрат ресурсов больше удельной прибыли,
технология нерентабельна.
3. Если yi>0 (условная цена i ресурса отлична от 0), то весь i
ресурс расходуется полностью. Наоборот, если (i ресурс
используется полностью), то у него есть ненулевая «цена», как мера
его дефицитности. Эти «цены» в сравнении с собой устанавливают
некоторую упорядоченность среди дефицитных ресурсов (чем
больше «цена», тем более дефицитен ресурс).
4. Если цена равна 0, т.е. i-ый ресурс недефицитен, тогда
соответствующее ограничение по расходу i ресурса выполняется
как строгое неравенство.
Третья теорема двойственности. Если двойственная оценка
xi*>0, то вдоль оптимального плана y* эта оценка xi* есть
частная производная функции L по i-му аргументу, т.е.
L

y 
.
i b
i
Третью теорему двойственности можно использовать для
приближенного определения изменения прибыли в исходной задаче
при изменении дефицитных ресурсов без решения новой задачи с
измененными ресурсами.
Введем функцию Лагранжа для (1)
 ( x,  )  bT x   T (c  AT x),   0
Из второй теоремы двойственности следует, что на
оптимальном решении задач (1),(2) существует такое
*, что
(*)T (c  AT x*)  0, x*  0, *  0.
Образуем функцию Лагранжа в задаче (2)
 ( y,  )  cT y   T ( Ay  b),   0
Опять же на оптимальном решении задач (1),(2) существует такое
*, что
( *)T ( Ay * b)  0, *  0, y*  0.
Если положить   y,
a   x,
то
 ( x, y)   ( y, x) .
Используя функции Лагранжа  ( x, y ) и  ( y, x) можно
показать(!!!!!), что задача (1) может быть записана в виде
min[ ( x, y )  yT  y ( x, y )],
x 0
 y ( x, y )  0, y  0
А задача (2)
min[ ( y, x)  xT  x ( y, x)],
y 0
 x ( y, x)  0,
Учитывая  ( x, y )   ( y, x) имеем следующее представление для
задачи (2)
max[ ( x, y )  xT  x ( x, y )],
y 0
 x ( x, y )  0, x  0
Из второй теоремы двойственности следует, что на оптимальном
решении x*, y*,
( y*)T  y ( x*, y*)  0,
( x*)T x ( x*, y*)  0
Оказывается, что для введенной здесь функции Лагранжа
 ( x, y)  bT x  yT (c  AT x), y  0
имеется очень интересное свойство
Теорема. Неотрицательный вектор х* является оптимальным
решением задачи (1) т.т.т.к. существует неотрицательный
вектор у*,что пара (х*,у*) является седловой точкой функции
Лагранжа
 ( x*, y )   ( x*, y*)   ( x, y*)
Или
 ( x*, y*)  max min  ( x, y)  min max  ( x, y)
y*0 x*0
x*0
y*0
С помощью функций Лагранжа в задаче нелинейного
программирования
f ( x)  min, x  R n , x  0
(3)
_____
gi ( x)  0, i  1, m
По аналогии с задачами ЛП Вулфом была доказана следующая
_____
Теорема. Пусть функция f ( x ) и все функции gi ( x), i  1, m
выпуклые и дифференцируемые, а также выполняются
условие Слейтера. Тогда задача (3) может быть записана как
min[ ( x, y )  yT  y ( x, y )],
x 0
 y ( x, y )  0, y  0
где
m
 ( x, y )  f ( x)   yi g i ( x)
i 1
Если задача (3) имеет решение х*, то в двойственной задаче
max[ ( x, y )  xT  x ( x, y )],
y 0
 x ( x, y )  0, x  0
существует такое y*, что (х*,у*) является решением
двойственной задачи, и при этом экстремумы двух задач равны
между собой.
Такой результат позволяет и для задач нелинейной оптимизации
вводить аналог качественных характеристик – например,
двойственные оценки есть мера чувствительности ограничений к
изменению параметров(весов, объемов и др.), или условные цены
или некие предельные характеристики решения.
Приложение.
Теорема Куна-Таккера. В задаче (3) х* есть точка локального минимума,
если существуют
 1 * 


0 *  0 и *  

  *
 n 
одновременно не равные нулю и такие, что
g ( x*)  0, *  0,(*)T  g ( x*)  0 и если при этом градиенты активных
ограничений в точке х*линейно независимы (условие регулярности), то
0 *  0 .
Вопросы к лекции.
1. Постановки задач линейного программирования.
2. Теоремы двойственности в ЛП. Экономический смысл теорем
двойственности для задачи на максимум прибыли.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Активные ограничения. Условия регулярности. Условие
Слейтера. Теорема Куна –Таккера.
Теорема о седловой точке в задаче НП.
Представление двойственных задач линейного
программирования с помощью функций Лагранжа.
Теорема о седловой точке.
Теорема Вулфа.
Применение теоремы Вулфа к задаче квадратичного
программирования.
Литература по теме лекции
1. Н.Н.Моисеев. Математические задачи системного анализа. М.:
Наука, 1981, 487 с.
2. В.С.Анфилатов, А.А.Емельянов, А.А.Кукушкин. Системный
анализ в управлении. М.: Финансы и статистика, 2006.- 386 с.
3. М. Месарович, Я.Такахара. Общая теория систем:
математические основы. М.: Мир, 1978. – 311 с.
4. М.Аоки. Введение в методы оптимизации..Основы и
приложения нелинейного программирования, М.: Наука, 1977.
- 344 с.
5. Ю.П.Зайченко.Исследование операций. К.: Выща школа. 1988.
- 552 с.
6. Ф.П.Васильев Численные методы решения экстремальных
задач. М.: Наука, 1988. - 552 с.