Методы теории нечетких множеств в экономике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт управления, экономики и финансов
Кафедра экономико-математического моделирования
Методическая разработка
по дисциплине «Методы теории нечетких множеств в экономике»
для проведения семинарских, практических занятий
и самостоятельной работы студентов, обучающихся
по направлению 080100.62 «Экономика»
(профили «Налоги и налогообложение», «Финансы и кредит», «Экономика
труда», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Экономика предприятий и
организаций».)
Казань 2014
22
Составители:
профессор Исмагилов И.И.,
доцент Беилин И.Л.,
ст. преп. Гильманшин И.Р.
Рецензент:
Обсуждена
доцент Кадочникова Е.И.
на
заседании
кафедры
экономико-математического
моделирования 18 сентября 2014 , протокол №1.
Утверждена Учебно-методической комиссией института, протокол № 1
от 7 ноября 2014 г.
23
Введение
Методическая
разработка
способствует
системному
изучению
дисциплины «Методы теории нечетких множеств в экономике» студентами,
обучающимися по направлению «Экономика», и включает: вопросы для
обсуждения, практические задания, контрольные вопросы и задания для
самостоятельной работы студентов, список литературы.
Практические занятия по дисциплине «Методы теории нечетких
множеств в экономике» проводятся с целью изучения и усвоения студентами
разделов, связанных с построением и анализом экономико-математических
моделей как инструмента исследования и прогноза экономических явлений.
Уровень усвоения студентами теоретического материала проверяется
посредством опроса по основным вопросам темы.
Контрольные вопросы и задания для самостоятельной работы
предназначены для проверки качества усвоения лекционного материала.
Ответы
на контрольные вопросы и
задания
готовятся студентами
самостоятельно и проверяются преподавателем на практических занятиях.
Решение задач в рамках практических занятий позволяет студентам
применить теоретические знания, полученные на лекционных занятиях, к
практике изучения методологии моделирования экономических процессов и
применения математического аппарата в экономике.
Контроль самостоятельной работы студентов осуществляется в ходе
проверки домашнего задания.
Ссылки на рекомендуемую литературу даны в каждой теме в
квадратных скобках с указанием страниц и номеров практических заданий.
24
Основная часть
Тема
1.
Основы
теории
принятия
решений
в
условиях
неопределенности (1 занятие)
Форма промежуточной аттестации – дискуссия.
Тематика дискуссии
1. Основные положения и общая схема принятия решений.
2. Формальная модель и классификации задач принятия решений.
3. Информационная неопределенность в задачах принятия решений.
4. Основные
подходы
к
принятию
решений
в
условиях
неопределенности.
Контрольные вопросы
1. Соотношение из американской практики менеджмента – 1:10:100:1000.
2. Два вида решений: рациональные и психологические.
3. Основные причины нерационального человеческого поведения.
4. Основные виды психологических решений.
5. Классификация задач Саймона.
6. Виды неопределенности и риска в управлении инвестиционными
проектами.
7. Два укрупненных вида неопределенности в экономике: неясность и
нечеткость.
8. Эмпирический закон (правило) В. Парето «20/80».
Задания для самостоятельной работы
Задача №1. Построить нечеткое множество с непрерывным носителем
«Человек среднего достатка» по его зарплате.
Задача №2. Построить нечеткое множество с дискретным носителем
«Натуральное число примерно равное 10».
Задача №3. Менеджер планирует деятельность фирмы, работающий на
рынке недвижимости, на следующий год. Задача состоит в том, чтобы
определить диапазон прибыли на которую можно рассчитывать. При
решении задачи менеджер опирается на четыре нечетких утверждения,
25
выявленных из статистики деятельности фирмы за несколько прошедших лет
на основе вычисления средних значений показателей:
1)
в течение года в фирму приходят около 110 потенциальных
клиентов;
2)
из потенциальных клиентов примерно 25% совершают сделки;
3)
стоимость недвижимости, фигурирующей в сделках, составляет
примерно 200000 $;
4)
за
проведенную
сделку
с
каждого
клиента
берется
приблизительно 4,5% комиссионных.
Решите задачу в четкой постановке.
Задача №4. Менеджер планирует деятельность фирмы, работающий на
рынке недвижимости, на следующий год. Задача состоит в том, чтобы
определить диапазон прибыли на которую можно рассчитывать. При
решении задачи менеджер опирается на четыре нечетких утверждения,
выявленных из выборочным данным размерности 300 деятельности фирмы за
прошедшие годы на основе вычисления средних значений показателей и их
СКО:
1)
в течение года в фирму приходят около 110 потенциальных
клиентов со СКО=13;
2)
из потенциальных клиентов примерно 25% совершают сделки
(СКО=5%);
3)
стоимость недвижимости, фигурирующей в сделках, составляет
примерно 200000 $ (СКО=20000&);
4)
за
проведенную
сделку
с
каждого
клиента
берется
приблизительно 4,5% комиссионных (СКО=0,6%).
Показатели
приближенно
описываются
нормальным
законом
распределения.
Решите задачу в интервальной постановке с построением доверительных
интервалов показателей.
26
Сред.
СКО
Лев.
108,523
Прав.
110
13
111,477
0,25
0,05
0,244319 0,255681
200000
20000
197727,6 202272,4
0,045
0,006
0,044318 0,045682
Крит.
1,96793
Размер-
Уровень
ность
значимости
300
0,05
Интервал
прибыли
232342,9 263367,8
Задача №5. Приведенные в задаче №3 четыре утверждения менеджера,
которые он использует для прогноза, представлены подробно таким образом:
1)
когда речь идет о 110 потенциальных клиентах, то практика
показывает, что никогда не бывает меньше 73 и никогда – больше 127;
2)
когда говорят о 25% потенциальных клиентов, совершающих
сделки то, как правило, это значение изменяется в пределах 20-35%, но
никогда не было 10% и никогда больше 50%;
3)
когда речь идет о стоимости недвижимости в $ 200000 то чаще
всего происходят сделки по цене от 180000 $ до 220000$, но никогда не
дешевле 130000 и не дороже 250000 $;
4)
размер комиссионных чаще всего лежит в пределах 4-6%, но не
меньше 3.5% и не больше 7%.
Решите задачу в нечеткой постановке.
Рекомендуемая литература
1. Салахутдинов Р.З., Исмагилов И.И. Моделирование и принятие
решений в экономике на основе теории нечетких множеств. Казань: Хэтер,
2005 – стр. 6 – 23.
2. Интеллектуальный анализ временных рядов: учебное пособие / Н.Г.
Ярушкина, Т.В. Афанасьева, И.Г. Перфильева. – Ульяновск: УлГТУ, 2010. –
320 с.
27
3. Основы теории нечетких множеств / Л.К. Конышсва, Д.М. Назаров.
– СПб.: Питер, 2011. – 189 с.
4. Мягкие вычисления: учебгное пособие / В.И. Глова, И.В. Аникин,
А.С. Катасёв, М.А. Кривилёв, Р.И. Насыров. – Казань: КГТУ им. А.Н.
Туполева, 2010. – 206 с.
5. Теория принятия решений: учебное пособие / А.И.Орлов. – М.:
Издательство «Экзамен», 2005. – 656 с.
6. Введение в теорию нечетких множеств: учебное пособие. – Часть I.
/ Н.Б. Хаптахаева, С.В. Дамбаева, Н.Н. Аюшеева – Улан-Удэ: Изд-во:
ВСГТУ, 2004. – 68 с.
Тема 2. Нечеткие множества (1 занятие)
Форма промежуточной аттестации - дискуссия, решение задач.
Тематика дискуссии
1. Основные понятия теории нечетких множеств.
2. Операции на нечетких множествах.
3. Декомпозиция нечетких множеств и принцип обобщения.
4. Нечеткая и лингвистическая переменные.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение понятию «Нечеткое множество»
2. Что такое универсальное множество?
3. Дайте определение логической операции «Дизъюнкция»
4. Дайте определение логической операции «Коньюнкция»
5. Перечислите этапы формализации нечеткого множества
6. Что такое функция принадлежности?
7. Классификация нечетких множеств по способу задания переменных
8. Что такое носитель (основание) нечеткого множества?
9. Что такое высота нечеткого множества?
10.Дайте определение нормального и субнормального нечетких множеств
11.Что такое выпуклое нечеткое множество?
28
12.Что такое вогнутое нечеткое множество?
13.Что такое альфа срез нечеткого множества?
Задания для самостоятельной работы
Задача 1
1. Провести формализацию нечеткого множества «Молодой человек»,
определить
характеристики
данного
нечеткого
множества:
универсальное множество, основание, высота.
2. Провести
формализацию
автомобиль»,
определить
нечеткого
множества
характеристики
«Дорогой
данного
нечеткого
множества: универсальное множество, основание, высота.
3. Провести
формализацию
нечеткого
множества
широкий
ассортимент товаров в строительном магазине магазине если
известно основанием данного множества является: ассортимент
ЛКМ, ассортимент инструмента, ассортимент строительных смесей,
ассортимент развлекательной литературы, ассортимент автотоваров,
ассортимент одежды, ассортимент крепежа и метизов, ассортимент
конструкционных материалов, ассортимент продуктов питания.
Задача 2
1. Построить функции принадлежности двух нечетких множеств
B.
A,
Отобразить функции графически и, если возможно, то
записать их аналитические выражения. Носители нечетких
множеств
№
A, B ,
A
соответственно равны
S A  a; в  ; S B  c; d  .
B
a
1 Высокий
Низкий
банковский
банковский
коэффициент
коэффициент
покрытия (%)
покрытия (%)
2 Высокий
Средний
7
5
00
6
1
0
5
6
5
7
5
8
29
коэффициент
коэффициент
финансовой
финансовой
независимости (%)
независимости (%)
3 Высокая
рентабельность (%)
0
5
Низкая
0
2
рентабельность (%)
5
0
5
3
0
1
5
Задача 3
Построить функции принадлежности нечетких множеств
A  B; А;
A B;
(использовать функции принадлежности нечетких множеств A ,
B
из задачи 2).
Задача 4
Найти  - срезы (  = 0,5) нечетких множеств
функции принадлежности нечетких множеств
A, B ,
A
и
B
(использовать
из задачи 2).
Рекомендуемая литература
1. Салахутдинов Р.З., Исмагилов И.И. Моделирование и принятие
решений в экономике на основе теории нечетких множеств. Казань: Хэтер,
2005 – стр. 6 – 23.
2. Интеллектуальный анализ временных рядов: учебное пособие /
Н.Г. Ярушкина, Т.В. Афанасьева, И.Г. Перфильева. – Ульяновск:
УлГТУ, 2010. – 320 с.
3. Основы теории нечетких множеств / Л.К. Конышсва, Д.М.
Назаров. – СПб.: Питер, 2011. – 189с.
4. Мягкие вычисления: учебгное пособие / В.И. Глова, И.В. Аникин,
А.С. Катасёв, М.А. Кривилёв, Р.И. Насыров. – Казань: КГТУ им.
А.Н. Туполева, 2010. – 206 с.
5. Теория принятия решений: учебное пособие / А.И.Орлов. – М.:
Издательство «Экзамен», 2005. – 656 с.
30
1
6. Введение в теорию нечетких множеств: учебное пособие. – Часть
I. / Н.Б. Хаптахаева, С.В. Дамбаева, Н.Н. Аюшеева – Улан-Удэ:
Изд-во: ВСГТУ, 2004. – 68 с.
7. Финансовый анализ в условиях неопределенности. / А.М.
Хил Лафуенте, Пер. с исп. Под ред. Е.И. Валесько, В.В,
Краснопрошина, Н.А, Лепешинского. – Мн.: Техналогiя , 1998. –
150 с.
Тема 3. Нечеткие числа (1 занятие)
Форма промежуточной аттестации - дискуссия, решение задач.
Тематика дискуссии
1. Основные операции над нечеткими числами.
2. Свойства нечетких чисел
3. Треугольные и трапециевидные нечеткие числа.
4. Сравнение нечетких чисел.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение понятию «Нечеткое число»
2. Какие операции выполняются на нечетких числах?
3. Что такое треугольные нечеткие числа?
4. Что такое нечеткие числа L и R типа?
5. Каким образом производится сравнение нечетких чисел?
6. Что представляет собой график функции принадлежности нечеткого
числа?
7. Сформулируйте понятие нечеткого числа.
8. Сравните определения с соответствующими определениями нечетких
множеств. В чем различие? Сходство?
9. Дайте определения алгебраических операций над нечеткими числами.
10.Как сравнить два нечетких числа?
31
11.Перечислите свойства операций над нечеткими числами, которые в
некоторых случаях нарушаются или выполняются всегда.
12.Как определяются отношения «равенство» и «нечеткое равенство» для
нечетких чисел?
13.Какие нечеткие числа называют приближенно равными? В чем
различие понятий равенства для обычных и нечетких чисел?
14.Дайте определение нечетких чисел (L-R)-типа.
15.Приведите пример треугольных и трапециевидных чисел.
Задания для самостоятельной работы
Задача 1
Заданы два нечетких числа
A
и
B.
Построить нечеткие числа:
A B ;
A  B; A B ; A/ B ;  A
№ Н.м.
Н.м.
A
Ф.п. н.м.
B
A
Ф.п. н.м.
B
1
Около 2
Меньше 4
 0.8 1.0 0.7 
,
 ,

 1 2 3 
1.0 1.0 0.9 
,
 ,

 3 4 5 
2
Около 3
Больше 4
 0.7 1.0 0.7 
,
,


 2 3 4 
1.0 1.0 0.9 
,
 ,

 4 5 3 
3
Приблизи
Приблизи
 0.9 1.0 0.9 
,
,


 1 2 3 
 0.9 1.0 0.9 
,
,


 3 4 5 
тельно 2
тельно 4
Задача 2.
Заданы симметричные треугольные нечеткие числа
B  m B ;  B .
Построить  -срезы нечетких множеств
A
и
B.
A  m A ;  A ,
Вычислить
A B ,
используя  -срезы.
Вариа
I
I
I
I
V
Вариа
I I
I
I
32
V
нты:
I
Значен
1
ия
З
II
нты:
V
2 5
7
8
3
ия
mA:
Значен
1 2
2
З
ия  A :
3
I
II
V
Значен
3 2
2
1
4
Значен
1 2
1
0
2
mB :
1
ия:  B :
,5
ада
ча 3
Пусть U = {0, 1, 2..., 25} является носителем следующих нечетких
чисел:
а = «в городе N проезд на метро стоит приблизительно 8 руб.»;
b = «проезд на маршрутке в этом городе стоит не менее 15 руб.»;
с = «мне надо проехать на метро раз пять»;
d = «мне надо проехать на маршрутке по крайней мере раза три».
Выступая в роли эксперта,
- запишите нечеткие числа а, b, с и d в форме объединения точечных
нечетких множеств;
- найти х = «примерная сумма расходов на транспорт в городе N»;
- разложить нечеткие числа а, b, с, d и x по множествам  -уровня,
если  = {0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1};
- построить графики функций принадлежности чисел а, b, с, d и x.
Рекомендуемая литература
1. Салахутдинов Р.З., Исмагилов И.И. Моделирование и принятие
решений в экономике на основе теории нечетких множеств. Казань: Хэтер,
2005 – стр. 6 – 23.
2. Интеллектуальный анализ временных рядов: учебное пособие / Н.Г.
Ярушкина, Т.В. Афанасьева, И.Г. Перфильева. – Ульяновск: УлГТУ,
2010. – 320 с.
3. Основы теории нечетких множеств / Л.К. Конышсва, Д.М. Назаров. –
СПб.: Питер, 2011. – 189с.
33
4. Мягкие вычисления: учебгное пособие / В.И. Глова, И.В. Аникин, А.С.
Катасёв, М.А. Кривилёв, Р.И. Насыров. – Казань: КГТУ им. А.Н.
Туполева, 2010. – 206 с.
5. Теория принятия решений: учебное пособие / А.И.Орлов. – М.:
Издательство «Экзамен», 2005. – 656 с.
6. Введение в теорию нечетких множеств: учебное пособие. – Часть I. /
Н.Б. Хаптахаева, С.В. Дамбаева, Н.Н. Аюшеева – Улан-Удэ: Изд-во:
ВСГТУ, 2004. – 68 с.
7. Финансовый
анализ
Хил Лафуенте,
Пер.
в
с
условиях
исп.
Под
неопределенности.
ред.
Е.И.
/
Валесько,
А.М.
В.В,
Краснопрошина, Н.А, Лепешинского. – Мн.: Техналогiя , 1998. – 150 с.
Тема 4. Построение функций принадлежности (1 занятие)
Форма промежуточной аттестации – «Круглый стол), решение задач.
Тематика дискуссии
1. Классификация методов построения функций принадлежности.
Способы экспертного опроса.
2. Интерпретация данных экспертного опроса.
3. Методы построения функций принадлежности.
4. Метод нечеткого математического ожидания. Метод Саати.
Контрольные вопросы
1. Функция принадлежности и ее график
2. Способы построения функции принадлежности
3. Метод Саати
4. Метод нечеткого математического ожидания
Задания для самостоятельной работы
Задача 1
Построить
функция
принадлежности
математического
ожидания,
классифицировать
методом
нечеткого
полученную
функцию
принадлежности:
34
- «Дорогой автомобиль», если известно, что основание данного
нечеткого множества представлено ценовым диапазоном от 1,5*10 6 до
2,5*106 руб.
- «Доступный кредит», если известно, что основание данного
нечеткого множества представлено диапазоном процентных ставок от 10% до
30%.
Задача 2
Построить
функцию
принадлежности
методом
Саати,
классифицировать полученную функцию принадлежности:
- «Увлекательный предмет», если известно, что основание данного
нечеткого множества представлено предметами физика, химия, математика,
информатика.
- «Востребованный товар», если известно, что основание данного
нечеткого
множества
представлено
товарами:
счеты,
калькулятор,
логарифмическая линейка, планшетный компьютер.
Рекомендуемая литература
1. Салахутдинов Р.З., Исмагилов И.И. Моделирование и принятие
решений в экономике на основе теории нечетких множеств. Казань: Хэтер,
2005 – стр. 6 – 23.
2. Интеллектуальный анализ временных рядов: учебное пособие / Н.Г.
Ярушкина, Т.В. Афанасьева, И.Г. Перфильева. – Ульяновск: УлГТУ, 2010. –
320 с.
3. Основы теории нечетких множеств / Л.К. Конышсва, Д.М. Назаров.
– СПб.: Питер, 2011. – 189с.
4. Мягкие вычисления: учебгное пособие / В.И. Глова, И.В. Аникин,
А.С. Катасёв, М.А. Кривилёв, Р.И. Насыров. – Казань: КГТУ им.
А.Н. Туполева, 2010. – 206 с.
5. Теория принятия решений: учебное пособие / А.И.Орлов. – М.:
Издательство «Экзамен», 2005. – 656 с.
35
6. Введение в теорию нечетких множеств: учебное пособие. – Часть I. /
Н.Б. Хаптахаева, С.В. Дамбаева, Н.Н. Аюшеева – Улан-Удэ: Изд-во:
ВСГТУ, 2004. – 68 с.
7. Финансовый
анализ
в
условиях
неопределенности.
/
А.М.
Хил Лафуенте, Пер. с исп. Под ред. Е.И. Валесько, В.В,
Краснопрошина, Н.А, Лепешинского. – Мн.: Техналогiя , 1998. – 150
с.
Тема 5. Нечеткие отношения (1 занятие)
Форма промежуточной аттестации – дискуссия, решение задач.
Тематика дискуссии
1. Определение нечеткого отношения.
2. Функция принадлежности отношения.
3. Матричное представление нечетких отношений.
4. Операции на нечетких отношениях.
5. Комбинации двух нечетких отношений.
6. Свойства нечетких отношений.
7. Классификация нечетких отношений.
Задания для самостоятельной работы
Задача 1
Заданы нечеткие отношения
R  R 1 R  R 1 R R 1 RU
;
; ;
;
;
R
и
R1
. Построить нечеткие отношения:
RV
1
)
2
)
0
.2
.3
0
.0
01
.5
.0
.7
.0
.0
.0
.7
.0
10
.0
.0
0
01
00
11
01
.3
.0
00
.7
.6
1
.7
00
.0
.6
01
.0
01
.9
.0
.0
.7
0
.9
01
00
.3
.0
1
.6
.0
36
0
.7
.9
0
1
0
.0
.3
.9
0
0
0
0
1
0
0
0
.5
3
)
0
.5
.7
0
.0
.0
0
.9
.3
0
.7
0
.7
1
.0
0
.7
0
.9
0
.3
0
.0
1
.6
0
.0
.3
.9
.5
Задача 2
Построить

А
- цилидрическое продолжение нечеткого множества
A,
и

записать функцию принадлежности  А :
 0,3 0.7 1.0 
, 
 ,
1) A   v1 v2 v3  ;
 0,5 0.7 0,9 
, 
 ,
2) A   v1 v2 v3  ;
 0,3 0.1 0,9 
,
 ,

3) A   v1 v2 v3  .
Задача 3
Используя данные задачи 1 , построить
max min
композиции
S  R  R1
.
Задача 4
Построить
R
- нечеткое отношение сходства (т.е. рефлексивное и
R
нечетким
него
свойство
симметричное нечеткое отношение). Проверить является ли
отношением
близости
(т.е.
выполняется
ли
для
транзитивности).
Задача 5
Выбрать банк для размещения денежных средств. Имеются три банка
(альтернативы):
а1 ,
процентная ставка;
а2 ,
с2
а3 .
Критериями оценки банков являются:
- активы банка;
с3
с1
-
- политика банка. Использовать
метод недоминируемых альтернатив.
37
Задача 6
Разработаны
(альтернативы):
факторов как:
с1
три
а1 , а 2 , а3 .
- реклама;
стратегии
поддержки
сбыта
продукции
Необходимо выбрать стратегию с учетом таких
с2
- стимулирование продаж;
с3
- public relation.
Использовать метод недоминируемых альтернатив.
Задача 7
Выбрать
вариант
(альтернативы):
а1 , а 2 , а3 .
следующие цели:
с1
бюджета
рекламы
из
трех
разработанных
учитывая, насколько в них приняты во внимание
- оповещение;
с2
- убеждение;
с3 -
напоминание.
Использовать метод недоминируемых альтернатив.
Задача 8
Отобрать комплект характеристик товара из трех представленных для
экспертной оценки (альтернативы):
независимость
характеристик
а1 , а 2 , а3 .
товара;
воспринимаемость характеристик товара;
с2
с3
Учитывать три критерия:
-
ясная
и
с1
-
однозначная
- влияние характеристик на
принятие решения о покупке товара. Использовать метод недоминируемых
альтернатив.
Задача 9
Выбрать проект маркетинга из трех разработанных (альтернативы):
а 2 , а3 ,
с учетом четырех взаимосвязанных секций:
рынка и описание конкурентной среды);
товара и организация продаж);
поддержка сбыта);
с4 -
с3 -
с2
с1
а1 ,
- рынок (сегментация
- товар (анализ характеристик
поддержка сбыта (анализ рекламы и
бюджет (формирование прогноза продаж, бюджета
рекламы и свободного бюджета). Использовать метод недоминируемых
альтернатив.
Рекомендуемая литература
38
1. Салахутдинов Р.З., Исмагилов И.И. Моделирование и принятие
решений в экономике на основе теории нечетких множеств. Казань: Хэтер,
2005 – стр. 6 – 23.
2. Интеллектуальный анализ временных рядов: учебное пособие /
Н.Г. Ярушкина, Т.В. Афанасьева, И.Г. Перфильева. – Ульяновск:
УлГТУ, 2010. – 320 с.
3. Основы теории нечетких множеств / Л.К. Конышсва, Д.М.
Назаров. – СПб.: Питер, 2011. – 189с.
4. Мягкие вычисления: учебгное пособие / В.И. Глова, И.В.
Аникин, А.С. Катасёв, М.А. Кривилёв, Р.И. Насыров. – Казань:
КГТУ им. А.Н. Туполева, 2010. – 206 с.
5. Теория принятия решений: учебное пособие / А.И.Орлов. – М.:
Издательство «Экзамен», 2005. – 656 с.
6. Введение в теорию нечетких множеств: учебное пособие. – Часть
I. / Н.Б. Хаптахаева, С.В. Дамбаева, Н.Н. Аюшеева – Улан-Удэ:
Изд-во: ВСГТУ, 2004. – 68 с.
7. Финансовый анализ в условиях неопределенности. / А.М.
Хил Лафуенте, Пер. с исп. Под ред. Е.И. Валесько, В.В,
Краснопрошина, Н.А, Лепешинского. – Мн.: Техналогiя , 1998. –
150 с.
Тема 6. Методы принятия решений в нечеткой среде (1 занятие)
Форма промежуточной аттестации – дискуссия, решение задач.
Тематика дискуссии
1. Классификация методов принятия решений в нечеткой среде.
2. Рациональный выбор на основе max-min свертки. Метод Саати.
3. Рациональный выбор на основе аддитивной свертки.
4. Рациональный выбор методом недоминируемых альтернатив
Орловского.
5. Формирование групп объектов на основе эталонов.
39
Задания для самостоятельной работы
Задача 1
Осуществить рациональный выбор на основе max-min свертки:
- «Предмет для изучения», если известно, что основание данного
нечеткого множества представлено предметами физика, химия, математика,
информатика, критерии оценки: практическая значимость, увлекательность,
сложность изучения.
- «Направление для туристической поездки» если известно, что
основание данного нечеткого множества представлено странами: ОАЭ, Куба,
Египет, Турция. критерии оценки: комфорт перелета, безопасность, погода в
мае.
Задача 2
Осуществить рациональный выбор на основе недоминируемых
альтернатив Орловского:
- легкового автомобиля, из альтернатив «Лада», «Москвич», «Волга»,
«ИЖ», руководствуясь критериями: стоимость, надежность, экономичность.
- сотового телефона, из альтернатив «Apple», «HTC», «Samsung»
руководствуясь
критериями:
стоимость,
надежность,
быстродействие,
продолжительность автономной работы.
Задача 3
Разработаны
(альтернативы):
факторов как:
с1
три
а1 , а 2 , а3 .
- реклама;
стратегии
поддержки
сбыта
продукции
Необходимо выбрать стратегию с учетом таких
с2
- стимулирование продаж;
с3
- public relation.
Использовать метод недоминируемых альтернатив.
Задача 4
Выбрать
вариант
(альтернативы):
а1 , а 2 , а3 .
бюджета
рекламы
из
трех
разработанных
учитывая, насколько в них приняты во внимание
40
следующие цели:
с1
- оповещение;
с2
- убеждение;
с3 -
напоминание.
Использовать метод недоминируемых альтернатив.
Задача 5
Отобрать комплект характеристик товара из трех представленных для
экспертной оценки (альтернативы):
независимость
характеристик
а1 , а 2 , а3 .
с2
товара;
воспринимаемость характеристик товара;
с3
Учитывать три критерия:
-
ясная
и
с1
-
однозначная
- влияние характеристик на
принятие решения о покупке товара. Использовать метод недоминируемых
альтернатив.
Задача 6
Выбрать проект маркетинга из трех разработанных (альтернативы):
а1 , а 2 , а3 ,
с учетом четырех взаимосвязанных секций:
рынка и описание конкурентной среды);
товара и организация продаж);
поддержка сбыта);
с4 -
с3 -
с2
с1
- рынок (сегментация
- товар (анализ характеристик
поддержка сбыта (анализ рекламы и
бюджет (формирование прогноза продаж, бюджета
рекламы и свободного бюджета). Использовать метод недоминируемых
альтернатив.
Задача 7
Провести формирование групп объектов на основе эталонов:
- для ассортимента снабжающей организации представленного
товарами: перчатки диэлектрические, перчатки хлопчатобумажные, перчатки
резиновые, перчатки кожаные, рукавицы рабочие, перчатки монтажные.
Каждый из товаров характеризуется следующими свойствами: цена,
качество,
дизайн,
гипалергенность.
Поставка
осуществляется
трем
потребителям. Индивидуальные характеристики товаров и требования
потребителей описаны матрицами R и Q:
y1
y3
y2
yn
41
x1  1.0

x 2  0 .8
x  0 .5
R 3
x 4  0 .5

x 5  0.3
x 6  0.5
0.8
0.7
0.5
0.3
0.4
0.5
0.5
1.0
0.3
0.9
0 .1
1.0
1.0 

0.1 
z1
1.0 

0.1 

0.0Q 
1.0 
z2
z3
y1 1.0

y 2  1 .0
y 3  1 .0

y 4  0
0 .5 0 .5 

0 .5 0 .0 
0 .3 1 .0 

1.0 0.5 
Рекомендуемая литература
1. Салахутдинов Р.З., Исмагилов И.И. Моделирование и принятие
решений в экономике на основе теории нечетких множеств. Казань: Хэтер,
2005 – стр. 6 – 23.
2. Интеллектуальный анализ временных рядов: учебное пособие / Н.Г.
Ярушкина, Т.В. Афанасьева, И.Г. Перфильева. – Ульяновск: УлГТУ,
2010. – 320 с.
3. Основы теории нечетких множеств / Л.К. Конышсва, Д.М. Назаров. –
СПб.: Питер, 2011. – 189с.
4. Мягкие вычисления: учебгное пособие / В.И. Глова, И.В. Аникин, А.С.
Катасёв, М.А. Кривилёв, Р.И. Насыров. – Казань: КГТУ им. А.Н.
Туполева, 2010. – 206 с.
5. Теория принятия решений: учебное пособие / А.И.Орлов. – М.:
Издательство «Экзамен», 2005. – 656 с.
6. Введение в теорию нечетких множеств: учебное пособие. – Часть I. /
Н.Б. Хаптахаева, С.В. Дамбаева, Н.Н. Аюшеева – Улан-Удэ: Изд-во:
ВСГТУ, 2004. – 68 с.
7. Финансовый
Хил Лафуенте,
анализ
Пер.
в
с
условиях
исп.
Под
неопределенности.
ред.
Е.И.
/
Валесько,
А.М.
В.В,
Краснопрошина, Н.А, Лепешинского. – Мн.: Техналогiя , 1998. – 150 с.
Тема 7. Методы нечеткого прогнозирования (1 занятие).
Форма промежуточной аттестации – контрольная работа.
42
На основе изученного материала и его обсуждения на семинарских
(практических) занятиях по темам 1 - 6 выполнить в письменном виде
вариативную контрольную работу, состоящую из двух частей. Типовые
задания контрольной работы приводятся ниже:
Часть I.
Вариант
Найти ФП и представить геометрически
1
X Y,
X Y
2
X Y,
X Y
3
X  X,
X Y
4
Y Y,
X Y
5
X Y,
X Y
6
X Y,
X Y
7
X Y,
X Y
8
X  X,
X Y
9
Y Y,
X Y
10
X Y,
X Y
43
44
Часть II.
Вариант 1
1.
Построить функцию принадлежности для нечеткого множества A ,
заданного как математический объект:
45
 0.9 0,4 0 0.1 1.0 
A ,
, ,
, .
x
x
x
x
x5 
1
2
3
4

Указать:
- носитель этого нечеткого множества,
- является оно нормальным или субнормальным,
-  -срез А 0,4.
2.
Указать на графике и продолжить выражение:
 A B (x)  …

B
A
1
2
3
4
5 x
 0.0 1.0 0.5 0.0 0.0 
 0.0 0,3 0.5 0.9 1.0 
A
,
,
,
,
,
,
, 
, B   ,
 x1 x2 x3 x4 x5 
 x1 x2 x3 x4 x5 
3.
Провести ранжирование следующих четырех треугольных числа (L-R)типа:
R 1 1.4; 0.8; 1.0 , R2  1.3; 0.6; 1.1 , R3  1.5; 0.6; 1.2 , R4  0.8; 0.5; 0.9 .
4.
Построить объединение матриц нечетких отношений:
46
R1 
0.8 0.1
0.5 0.3
, R2 
1.0 0.9
0.4 0.9
5.
Сформировать группы объектов на основе эталонов.
Пусть на складе имеется шесть потребительских товаров
каждый из которых характеризуется четырьмя признаками
цена;
y2 –
качество;
y3 –
внешний вид;
осуществляется трем потребителям
y4 –
X  x1 ,...,x6  ,
Y   y1 ,..., y 4  : y1 –
сезонность. Поставка товаров
Z  z1 , z 2 , z 3  .
Нечеткие отношения
R
и
Q
заданы следующими матрицами:
y1
x1  1.0

x2  0.9
x  0 .7
R 3
x4  0.5
x5  0.3
x6  0.8
y2
y3
yn
0 . 7 0 .6 1 . 0 

0 . 7 1 . 0 0 .1 
0 . 5 0 .4 1 . 0 

0.2 0.9 0.1 ,
0.4 0.5 0.0 
0.5 1.0 1.0 
z1
y1  1.0

y2  1.0
Q 
y3 1.0

y4  0.2
z2
z3
0.3 0.5 

0.8 0.0 
0.3 1.0 

1.0 0.8 
Вариант 2
1.
Построить функцию принадлежности и записать ее аналитическое
выражение.
Высокий коэффициент финансовой независимости (%):
1.
Однозначно 70; 80 ;
2.
Однозначно нет (0;65)  85;  .
Указать:
- носитель этого нечеткого множества,
- является оно нормальным или субнормальным,
-  -срез А 0,6.
47
2.
Указать на графике и продолжить выражение:
 AB (x)  …

B
A
1
2
3
4
5 x
 0.0 1.0 0.5 0.0 0.0 
 0.0 0,3 0.5 0.9 1.0 
A
,
,
,
,
,
,
, 
 B ,
 x1 x2 x3 x4 x5  ,
 x1 x2 x3 x4 x5 
3.
Выполнить операцию растяжения DIL(A)  над нечетким множеством
A {
0.5 1.0 0.8


}.
2
3
4
4.
Применяя принцип нечеткой электронной таблицы FuziСalc найти
 0.7 1.0 0.8 
 0.9 1.0 0.5 
,
,
,
 и В ,
.
 1 2 3 
 3 4 5 
сумму нечетких чисел A  
5.
Отобрать комплект характеристик товара из трех представленных для
экспертной оценки (альтернативы):
независимость
характеристик
а1 , а 2 , а3 .
товара;
воспринимаемость характеристик товара;
с2
с3
Учитывать три критерия:
-
ясная
и
с1
-
однозначная
- влияние характеристик на
48
принятие решения о покупке товара. Весовые коэффициенты для
с1 , с2 , с3
равны соответственно 1  0.2 ;  2  0.6 ;  3  0.2 . Нечеткое отношение задано в
табличном виде:
а1
а2
а3
Здесь нечеткие числа B ,
треугольными числами:
с1
C
H
B
B
H
C
H
B
C
C
, H являются симметричными
B  0.9; 0.1 ; C  0.5; 0.1 ; H  0.2; 0.1 .
При решении использовать метод аддитивной свертки.
с2
с3
Вариант 3
1.
Построить функцию принадлежности для нечеткого множества A ,
заданного как математический объект:
1.0 0,7 0.9 0 0.5 
A ,
,
, ,
.
 x1 x2 x3 x4 x5 
Указать:
- носитель этого нечеткого множества,
- является оно нормальным или субнормальным,
-  -срез А 0,7.
2.
Указать на графике и продолжить выражение
 A B (x)  …
49

B
A
1
2
3
4
5 x
,
 0.0 1.0 0.5 0.0 0.0 
 0.0 0,3 0.5 0.9 1.0 
A
,
,
,
,
,
,
, 
 B ,
 x1 x2 x3 x4 x5  ,
 x1 x2 x3 x4 x5 
3.
Провести ранжирование следующих четырех треугольных числа (L-R)типа:
R 1 1.1; 0.9; 1.8 , R2  1.9; 0.2; 1.7 , R3  1.4; 0.8; 1.5 , R4  0.3; 0.8; 0.9 .
4.
Построить пересечение матриц нечетких отношений:
R1 
0.8 0.1
0.5 0.3
, R2 
1.0 0.9
0.4 0.9
5.
Найти весовые коэффициенты важности Саати
факторов:
С1 -
стоимость;
С2 -
потребительские
характеристики. Определить индекс согласованности
i
и
ИС
для каждого из
С3 -
социальные
опросной матрицы,
при σ = 0,58.
(С ) C1
C2
C3
50
C1 1.00 3.00 2.00 


C2  1 / 3 1.00 4.00 
C3  1 / 2 1 / 4 1.00 
Вариант 4
1.
Построить функцию принадлежности и записать ее аналитическое
выражение:
Низкий банковский коэффициент покрытия:
3.
Однозначно 50; 65;
4.
Однозначно нет (0;30)  75; .
Указать:
- носитель этого нечеткого множества,
- является оно нормальным или субнормальным,
-  -срез А 0,9.
2.
Указать на графике и продолжить выражение:
 A (x)  …

A
1
2
3
x
,
51
0 1 0
A {   }
1 2 3
3.
Выполнить операциию растяжения
DIL(A) 
над нечетким множеством
1.0 0.7 0.4
A { 

}.
5
6
7
4.
Применяя принцип нечеткой электронной таблицы FuziСalc найти
1.0 1.0 0.9 
,
,
.
 4 5 6 

сумму нечетких чисел А=  0.7 , 1.0 , 0.7  и В= 
 2
4 
3
5.
Методом недоминируемых альтернатив Орловского выбрать один из
трех
конкурентоспособных
характеристики товара:
товаров,
принимая
во
внимание
- стоимость; - потребительские и
три
- социальные
характеристики. Эксперт проводит попарное сравнение трех товаров сначала
по первой, затем по второй и третьей характеристикам. В результате
получается три нечетких отношения предпочтения.
0 1 1
RC1  1 1 0
0 1 1
01 1
RC2  1 1 1
101
1 0 1
RC3  1 1 0
1 1 1
Задания для самостоятельной работы:
1.
Классификация
методов
прогнозирования
финансово-
экономических временных рядов.
2. Нечеткий подход к моделированию временных рядов.
3. Нечеткие временные ряды.
4. Прогнозирование временных рядов на основе их нечетких моделей.
Метод Сонга и их модификации.
52
5.
Нечеткие
регрессионные
модели
временных
рядов
и
прогнозирование на их основе.
Рекомендуемая литература:
1. Салахутдинов Р.З., Исмагилов И.И. Моделирование и принятие
решений в экономике на основе теории нечетких множеств. Казань: Хэтер,
2005 – стр. 6 – 23.
2. Ярушкина Н. Г. Интеллектуальный анализ временных рядов:
учебное пособие / Н. Г. Ярушкина, Т. В. Афанасьева, И. Г. Перфильева. –
Ульяновск : УлГТУ, 2010 – стр. 58 - 96.
3. Жданов В.И. Методы прогнозирования финансовых временных
рядов. Классификация. – статья с сайта «BEintrend Финансовый анализ и
инвестиционный анализ» (http://www.beintrend.ru/2010-08-30-11-39-37).
4. Прогнозирование финансовых временных рядов – статья с сайта
«Нabrahabr» (http://habrahabr.ru/post/144405/).
53
8. Анализ экономического риска в условиях неопределенности
(1 занятие)
Форма промежуточной аттестации – опорос
Тематика дискуссии
1. Показатели экономического риска.
2. Соотношения между задолженностью и доходностью капитала в
условиях неопределенности.
3. Обработка доверительных троек как приближения треугольных
чисел.
4. Финансовый риск и неплатежеспособность.
Контрольные вопросы
1. Какие факторы, влияющие на экономический риск, могут затронуть
общую валовую прибыль?
2. Что такое доходность активов в условиях неопределенности?
3. Что такое доходность капитала в условиях неопределенности?
4. В чем заключается разница между доверительной тройкой и
нечетким треугольным числом?
5. Как изменяется доходность капитала по мере того, как собственный
капитал заменяется привлеченным.
6.
Какую
форму
принимает
«Ограничительный
закон»
неплатежеспособности в условиях неопределенности?
Задания для самостоятельной работы
Задача 1:
Рассчитать
отношение
между
изменением
задолженности
и
доходностью капитала в условиях неопределенности:
1. Общая сумма активов составляет – А (100, 116, 130), прибыль – В
(14,16,20), задолженности нет.
2. Общая сумма активов составляет – А (100, 116, 130), прибыль – В
(14,16,20), заемные средства – Е = 15.
54
3. Общая сумма активов составляет – А (100, 116, 130), прибыль – В
(14,16,20), заемные средства – Е = 30.
4. Общая сумма активов составляет – А (100, 116, 130), прибыль – В
(14,16,20), заемные средства – Е = 60.
Задача 2:
Выступая в роли эксперта, оцените истинность и ложность следующего
рекламного текста: «Здесь Вы можете приобрести товар по Вашему вкусу и
очень недорого», если заказчики рекламытак оценивают достоверность ее
высказываний:
р = «Вы можете приобрести товар по вашему вкусу» е [0,6; 0,8),
q — «Вы можете приобрести товар очень недорого» е [0,3; 0,9).
Задача 3:
Дано множество W = {аи аъ ... а3) и два его нечетких подмножества: X =
{х, ^(х)} и У = {г/, ц2(г/)}, х, у е W:
«1
аг
аг
Oi
«5
Яб
а7
й8
ц,(ж)
0,1
0,6
0,9
1
0,5
0,8
0,4
0,5
МУ)
0,7
0,5
1
0,6
0,4
0,3
0
0,2
Требуется:
1) представить X и У геометрически;
2) найти функции принадлежности и представить геометрически множества:
X, Y, X U Y, X П Y, X ф Y ;
3) найти расстояние между множествами X и У:
• абсолютное и относительное расстояние Хемминга,
• абсолютное и относительное Евклидово расстояния;
4) найти подмножества (обычные), ближайшие к X и У. Вычислить индексы
нечеткости X и У.
Задача 4.
Дать количественную оценку истинности экспертного заключения о риске
банкротства предприятия. Лингвистическая переменная g = «риск банкротства
55
предприятия». Универсальным множеством для переменной g является отрезок
[0, 1], а множеством значений переменной g — терм-множество G = {Gu G2,
G3, G4, G5), где
О Gx = «предельный риск банкротства»;
О G2 = «степень риска банкротства высокая»;
О G3 = «степень риска банкротства средняя»;
О GA = «низкая степень риска банкротства»;
О G5 = «риск банкротства незначительный».
Каждый терм из множества G является именем нечеткого подмножества
на отрезке [0, 1]. Рассматривать эти нечеткие подмножества как
трапециевидные нечеткие числа:
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
g
Рекомендуемая литература
1. Финансовый анализ в условиях неопределенности. А.М Хил
Лафуенте. Изд – во: «Технология». 1998 – стр. 85 – 96.
2. Конышева Л. К., Назаров Д. М. Основы теории нечетких множеств:
Учебное пособие. — СПб.: Питер, 2011 – стр. 178 – 189.
3. Недосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых
инвестиций (http:/sedok.narod.ru/index.html), стр. 9-25, 80 – 93, 113 – 119.
56
Тема 9. Оценка стоимости капитала при неопределенности (1
занятие)
Форма промежуточной аттестации – опорос.
Тематика дискуссии
1. Понятие и характеристика стоимости капитала.
2. Стоимость привлеченных средств финансирования.
3. Стоимость привлеченного капитала при неопределенности.
4. Стоимость собственных финансовых средств.
5. Определение стоимости капитала.
Контрольные вопросы:
1.
Какие
Вы
знаете
источники
внутреннего
финансирования
предприятия (организации)?
2. Какие Вы знаете источники внешнего финансирования предприятия
(организации)?
3. Как называется цена, которую платит компания за использование
финансовых ресурсов, полученных от поставщиков капитала?
4. Как называется учетная банковская ставка, которая уравнивает
потоки поступления и расходования, ассоциируемые с возможностью
финансирования?
5. Как называется норма окупаемости, ассоциированная с оптимальной
альтернативой инвестирования, которая отвергается в случае принятия
определенного проекта?
6. Какие Вы знаете ограничительные гипотезы исследований стоимости
капитала?
7. Как находится стоимость долга, если она не рассматривается, как
налог на акционерные компании?
8. Что понимается под моментом выплаты единого финансового
капитала, эквивалентного совокупности, ожидаемых платежей?
Задача 1:
При анализе продажи четырех различных магазинов было отмечено:
О магазин Л обеспечивает уровень продаж в течение месяца на сумму
от 40 до 100 тыс. руб. в зависимости от спроса, но с наибольшей
вероятностью можно ожидать сумму продаж от 50 до 70 тыс. руб.;
О магазин В надежно обеспечивает высокий уровень продаж на сумму
от 100 — НО тыс. руб. в месяц;
О магазин С ненадежен и обеспечивает уровень продаж не более 20
тыс. в месяц;
О расходы D составят около 50 — 100 тыс. руб., но наиболее вероятна
выплата 80 тыс. руб.
Таким образом, имеем три источника доходов и один источник
расхода. Построить на основе их описаний трапециевидные функции
принадлежности для каждой из четырех нечетких переменных.
Задача 2:
Крупный московский автодилер торгует автомобилями популярной
французской марки. Большую часть времени продажи автомашин колебались
от 4 до 7 в неделю, в конце ноября и начале декабря была проведена
рекламная акция общей стоимостью 30 тыс. долларов, в результате продажи
автомашин выросли и составили около 16 автомобилей в неделю. Удельная
прибыль от продажи каждого автомобиля составила 1,5 тыс. долл. Время
действия акции 3 недели. Оценить эффективность проведенной рекламы.
Задача 3:
Даны параметры модели натурального объема продаж товара местного
производства .Fmax, jmsx, и t05. Используя значения функции сезонности спроса
d(t) (таблица), найти для указанных месяцев множества a-уровня (Lu L, L2)
натурального объема продаж товара местного производства.
58
Таблица: Варианты заданий
Параметр
Номер варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Fmax млнед. 3,2 3,3
3,5 3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
/max
1,0 0,9
0,8 0,7
0,6
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
*0,5
2,0 2,5
3,0 3,5
4,0
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
Месяцы
1-5 2-6
3-7 9-12, 1
10-12,1, 2
И, 12, 13
12,1-4
1-5
2-6
1-3, И, 12
а
0,7 0,75
0,8 0,85
0,9
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
Задача 4:
1. Выполнить первичную обработку финансовых показателей работы
предприятия;
2. Найти значения функций принадлежности лингвистических переменных «риск банкротства предприятия в I квартале» и «риск банкротства
предприятия во втором квартале»;
3. Дать словесное описание состояния предприятия за I и II кварталы и
сравнить степень риска банкротства предприятия в каждом из этих периодов.
Варианты заданий
Номер варианта
1
2
3
4
5
II
кварта
л
I
кварта
л
П
кварт
ал
0,12
0,15
0,02
0,15
0
0,02
од
0
0
1,64
1,7
1,0
1,7
1,6
1,6
0,5
0,53
0,55
0,45
0,35
0,55
0,55
0,8
0,82
0,88
0,8
0,98
0,8
0,1
0,12
0,11
0,11
0,21
0,82
0,15
0,8
0,1
I
кварта
л
I
кварта
л
Iква
ртал
II
кварта
л
х,
0,15
0,15
0,16
0,15
0,2
0,1
х2
0,32
0,32
0,001
0,002
0,012
Х3
0,92
0,92
1,6
1,3
х4
0,7
0,7
0,55
х5
1,0
1,0
х6
0,3
0,3
I
I
II
кварта
квартал квартал
л
0,1
59
6
7
I
I
кварта
квартал
л
8
Xi
0,16
0,12
I
П
кварт кварта
л
ал
0,2
0,15
х2
0,001
0,02
0,012
Х3
1,6
1,0
х4
0,55
х5
х6
9
10
II
кварт
ал
0,1
0,15
0,02
0,15
0,15
I
кварта
л
0,15
0,32
0,1
0
0,32
0,002
0
0
1,64
0,92
1,7
1,6
0,92
1,3
1,6
1,7
0,45
0,53
0,7
0,35
0,55
0,7
0,5
0,55
0,55
0,8
0,98
0,88
1,0
0,82
0,8
1,0
0,82
0,8
0,8
0,1
0,21
0,11
0,3
0,15
0,1
0,3
0,12
0,1
0,11
I
кварта
л
I
II
кварта
квартал
л
II
квартал
Рекомендуемая литература
1. Финансовый анализ в условиях неопределенности. А.М Хил
Лафуенте. Изд – во: «Технология». 1998 – стр. 117 – 141.
2. Конышева Л. К., Назаров Д. М. Основы теории нечетких множеств:
Учебное пособие. — СПб.: Питер, 2011 – стр. 170 – 177.
3. Недосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых
инвестиций (http:/sedok.narod.ru/index.html), стр. 42-65.
60