Основное уравнение математической модели движения воды и

ОЦЕНКА РАСХОДА НАНОСОВ ДЛЯ НЕИЗУЧЕННЫХ РЕК
Шмакова М.В.
Государственный гидрологический институт, Санкт-Петербург
m-shmakova@yandex.ru
На основании баланса сил, действующих в потоке получена аналитическая
формула расхода наносов. Формула расхода наносов представлена двумя
основными группами сил – силы гравитации и сопротивления. Для параметров
формулы (сила сцепления грунта при сдвиге и коэффициент внутреннего трения)
получены зависимости от категории крупности донного грунта. В данной статье
приводятся рекомендации по расчету расхода наносов по формуле для изученных и
неизученных рек.
CALCULATION SEDIMENT DISCHARGE FOR THE UNSTUDIED RIVERS
Shmakova M. V.
State Hydrology Institute, St.-Petersburg
m-shmakova@yandex.ru
Analytical formula of sediment discharge is based from balance of river flow
forces. Formula sediment discharge is represented by two major groups of forces - gravity
and resistance. The dependences are obtained for the formula’s parameters (adhesive
force of soil shear and internal friction coefficient) from the size category of bottom soil.
At this article the recommendations are provides of the calculation sediment discharge of
the formula for the studied and unstudied rivers.
Формула расхода наносов. Основное уравнение математической модели движения воды и
твердого вещества в речном потоке имеет вид [3]
dv
dvч
 H 
(1  f )( mg  I 

m
)

N
m
 N act mч g  cS  0,
act
ч
L 
dt
dt

где m – масса объема воды, заключенного между двумя расчетными створами, кг; g – ускорение
свободного падения, м/с2; I – уклон дна; H – глубина потока, м; L – расстояние, м; v – скорость
потока, м/с; t – время, с; mч – масса частицы, кг; vч – скорость движения частицы, м/с; f –
коэффициент внутреннего трения, б/р; c – сцепление частиц грунта при сдвиге, кг/(м·с2) (для
несвязного грунта с=0); S – площадь приложения силы, м2; Nact – количество перемещаемых частиц в
потоке.
Для условий равномерного установившегося движения после некоторых преобразований этого
уравнения получено, что расход наносов G, то есть масса твердого вещества, проходящая через
поперечное сечение потока за единицу времени (кг/с), приведенный на один продольный метр длины
потока l равен:
 cB

G  N act mч vч / l  vч   (1  f )mI  / l ,
g

где B – ширина потока, м. Или, если записать, что m=ρводыhB и Q=vhB, получается [3]
c

G  Q   (1  f )1000 I 
 hg

1
Таким образом, после сокращений и преобразований в формуле осталось две основные группы
членов
- сила гравитации (1000I);
- сила трения или сопротивление грунта сдвигу(c/(hg)+1000 f I).
Полученная формула является аналитической. Расход наносов в этой формуле является общим,
в него включены и взвешенные и влекомые наносы. Пересчет для влекомых или взвешенных наносов
может быть осуществлен по известным соотношениям между последними, например, [1]. Из этой
формулы следует, что расход наносов G зависит от физико-механических свойств грунта (сцепление
грунта при сдвиге и коэффициента внутреннего трения) и от сдвигающей проекции силы тяжести
водного потока.
Необходимо заметить, что в представленной формуле расхода наносов рассчитывается масса
твердого вещества в воде, и эту массу надо привести к истинной массе твердого вещества


 грунта

G '  G 1 





грунта
в оды 

Для плотности переносимых частиц равной 2700 кг/м3, поправочный коэффициент равен 1.59,
то есть
c

G '  1.59 G  1.59Q   (1  f )1000 I .
 hg

(1)
Результаты апробации. Результаты апробации формулы (1) на данных экспериментов на
лотках (показавшие хорошее соответствие рассчитанных и наблюденных расходов наносов), были
представлены в [2].
Вычисление расхода наносов для реальных водотоков дало следующие результаты.
Для расчетов принимались реки бывшей территории СССР – всего 50 водотоков и 437
измерений на этих водотоках. Площади водосборов и уклоны водотоков, принятых для расчета,
меняются в диапазонах 0.018 – 5.1 ‰ для уклонов и 31.5 – 1 790 000 км2 для площадей водосбора.
Для сравнения измеренных и рассчитанных расходов наносов в качестве критерия качества
использовалось относительное отклонение наблюденных и рассчитанных расходов наносов
N
  100

i 1
i
G iрас  Gнаб
i
Gнаб
N
%.
(2)
Параметры формулы расхода наносов f и c подбирались для условия минимального значения
критерия качества с соблюдением физических пределов f Є (0, 1) и с >0. Для условий несвязанного
грунта с=0 кг/(м·с2).
Отклонение между рассчитанными и наблюденными расходами наносов для различных
водотоков в среднем составило 50%. В качестве измеренного расхода наносов принимается
измеренный расход взвешенных наносов, так как в период большой и средней водности доля
влекомых наносов в общем расходе наносов незначительна.
В результате подбора параметров формулы расчета наносов f и c были получены зависимость
сцепления частиц грунта при сдвиге от категории крупности донных отложений и зависимость
коэффициента внутреннего трения от категории крупности донных отложений (рис. 1 и 2). Рисунки 1
и 2 иллюстрируют, что с увеличением крупности донных отложений увеличиваются коэффициент
внутреннего трения и сцепление частиц грунта при сдвиге. Этот результат подтверждает физичность
данной формулы и правомерное использование параметров f и c.
2
Сцепление грунта при сдвиге, кг/(м с^2)
6
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
Категория крупности донных отложений
Коэффициент внутреннего трения, б/р
Рис. 1. Зависимость сцепления частиц грунта при сдвиге от категории крупности донных
отложений.
0.985
0.98
0.975
0.97
0.965
0.96
0.955
0.95
0.945
0.94
0.935
0
2
4
6
8
Категория крупности донных отложений
Рис. 2. Зависимость коэффициента внутреннего трения от категории крупности донных
отложений.
В качестве категории крупности донных отложений принимались пронумерованные в порядке
возрастания величины крупности донного грунта (таблица 1).
Таблица 1
Категории крупности донного грунта
Вид донных
Категория донных
отложений
отложений
суглинки
2
песок
3
песчано-галечные
4
галька
5
галечно-гравелистые
6
булыжник
7
Основные положения для расчета. Формула (1) обеспечивается следующей исходной
информацией
1. измеренные расходы воды, м3/с;
2. измеренные средние глубины потока в морфометрическом створе, м;
3. уклон водотока, б/р.
Параметрами формулы являются
3
- коэффициент внутреннего трения f , б/р;
- сцепление грунта при сдвиге с (кг/(м·с2)).
В первом приближении величины параметров могут быть получены по зависимостям
1. зависимость сцепления грунта при сдвиге от категории крупности донных отложений (рис.
1);
2. зависимость, полученная для коэффициента внутреннего трения от категории крупности
донных отложений (рис. 2).
Эти зависимости получены в результате обобщения большого массива данных наблюдений за
расходами наносов и в настоящее время уточняются.
Важно заметить, что параметры формулы в оцениваются для конкретного гидрометрического
створа при условии однообразной водохозяйственной деятельности вблизи створа. Если в
последующие годы в переделах гидрометрического створа появилось иное водохозяйственное
влияние на водоток, величины f и с изменятся.
Также важно заметить, что расход наносов в формуле общий. То есть следует полученный по
формуле расход наносов сопоставлять с измеренным общим расходом наносов, либо с измеренным
расходов взвешенных наносов при условии незначительного вклада расхода влекомых наносов в
общий расход наносов. Поэтому измеренные расходы наносов и гидравлические характеристики
потока периодов половодья и межени не следует использовать для подбора параметров формулы и
для дальнейшего сравнения наблюденных и рассчитанных расходов наносов.
Остановимся подробно на расчетах для изученных и неизученных водотоков отдельно.
Расчет расхода наносов для изученных водотоков. Для нескольких измерений расходов воды
и и средней глубины потока значения коэффициента внутреннего трения f и сцепления грунта при
сдвиге с подбираются таким образом, чтобы средняя относительная ошибка расчета (2) была
минимальной.
При подборе параметров формулы f и с следует обратить внимание на диапазоны изменения
этих величин.
Также при подборе параметров формулы следует принимать во внимание обобщенные
зависимости
3. зависимость сцепления грунта при сдвиге от категории крупности донных отложений
4. зависимость, полученная для различных диапазонов уклонов.
В дальнейших расчетах при подобранных параметрах формулы расхождения между
рассчитанными и наблюденными расходами наносов должны быть в переделах, полученных
расхождений при подборе параметров.
Для неизученных водотоков. Для неизученных водотоков для расчета расхода наносов по
формуле необходимо располагать
1. уклоном водотока
2. кривой Q=f(H)
Для построения кривой Q=f(H) используются
величины измеренных расходов воды
(Q) и соответствующие им глубины (H). В большинстве случаев используется однозначная
зависимость расхода воды от уровня, т.е. определенному значению уровня соответствует одно
определенное значение расхода воды. В случаях неоднозначной связи (паводочные петли)
приходится задействовать дополнительные факторы, определяющие расход воды. Ценность
зависимости Q=f(H) определяется тем, что, построив ее на основании сравнительно небольшого
числа величин расходов воды, измеренных в пределах амплитуды колебания глубины (уровня), по
данным наблюдений за уровнями рек несложно получить значения расходов воды, не производя
непрерывно их измерения. При ограниченном диапазоне точек на кривой Q=f(H) возможна
экстраполяция кривой в область крайних значений.
Далее, из зависимостей, представленных на рис. 1 и 2, оцениваются величины параметров
формулы расхода наносов f и с.
Как показывает практика, при таком подходе выдерживается соответствие порядка измеренных
и вычисленных расходов наносов.
Приведем пример вычисления расхода наносов для неизученных водотоков. Рассмотрим реку
Чулым – с. Зырянское, F=92500 км2, I=0.00032, дно песчаное, Западная Сибирь.
На рис. поле точек (H, Q) аппроксимировано полиномиальной функцией третьего порядка. Как
видно на рис. 3 разброс точек вокруг аналитической кривой достаточно велик.
4
3500
Расход воды, м^3/с
3000
3
2
y = -109.29x + 1454.5x - 5374x + 6615.1
2500
2000
1500
1000
500
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Глубина, м
Рис. 3. Кривая Q=f(H), р. Чулым – с. Зырянское
Назначим несколько значений глубин и вычислим по аналитической функции соответствующие
им расходы наносов (табл. 2). Далее, согласно категории крупности донных отложений для р. Чулым
– с. Зырянское (табл. 1), по зависимостям (рис. 1 и 2) получим параметры формулы с (с= 4.2 кг/(м·с2))
и f (f=0.95).
Таблица 2
Пример расчета расхода наносов для неизученных рек,
р. Чулым – с. Зырянское (I=0.00032, f=0.95, c=4.2 кг/(м с2))
hназначенные, м
Qрас, м3/с
hнабл, м
Qнабл, м3/с
Gрас, кг/с
Gнабл, кг/с
, %
5
2446
5.1
2610
264
260
2
4
1397
4.09
1730
197
120
64
3
633
3.14
628
121
52
133
В таблице 2 приведены результаты вычисления расхода наносов по формуле и измеренные
расходы наносов, полученные для похожих наблюденных средних глубин. Как видно из таблицы 2,
выдержался не только порядок вычисления расхода наносов, но и в среднем относительное
отклонение составило 66%.
Выводы. Входная информация в формуле расхода наносов представлена стандартным набором
гидрометрических измерений на водотоке – расходом воды и средней глубиной потока. Параметры в
формуле обобщены для различных по гидравлическим и морфометрическим характеристикам
водотоков. Получены зависимости этих параметров от категории крупности донных отложений.
Таким образом, вычисление расхода наносов по формуле (1) как для изученных, так и для
неизученных водотоков не представляет затруднений.
Литература
1. Карасев И.Ф. Русловые процессы при переброске стока. Л.: Гидрометеоиздат, 1975. – 288 с.
2. Шмакова М.В., Кондратьев А.Н., Математическая модель движения воды и наносов в
открытых руслах. – //Метеорология и гидрология, №6, 2008, с.
3. Шмакова М.В. Математическое моделирование речных потоков. СПб: Издательство Лема,
2011. – 76 с.
11 января 2012 года.
Шмакова М.В.
5