Модификации «универсальных решений» интервальной системы линейных уравнений Зоркальцев Валерий Иванович, проф., д.т.н., Заведующий лабораторией «Методов математического моделирования и оптимизации в энергетике» Института систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, г. Иркутск Составляющие Интервального анализа 1. Аппарат для описания погрешностей данных (исходных, при вычислениях). 2. Инструмент для описания моделей принятия решений в условиях неопределенности (С.П. Шарый, Д.В. Давыдов). 3. Инструмент для повышения эффективности математических моделей и задач вычислительной математики. 2 Общая постановка рассматриваемых задач Принимаемые решения (эндогенные показатели) xt X t на временном этапе t 1, 2, . . . . Реализация экзогенных (априори неопределенных) условий yt Yt на временном этапе t 1, 2, . . . . X t множество вариантов для выбора решения Yt область значений неопределенных показателей 3 Процесс сужения исходной области выбора решения Одноэтапный процесс X 11 {x1 X 1 : y1 Y1 ( x1 , y1 ) D1} D1 область допустимых сочетаний x1 и y1 Двухэтапный процесс ~ X 12 {x1 X 11 : y1 Y1 x2 X 2 ( x1 , y1 , x2 ) C1} C1 область допустимых сочетаний x1, y1, x2 ~ X 12 {x1 X 12 : y1 Y1 x2 X 2 , y2 Y2 ( x1 , y1 , x2 , y2 ) D2 } D2 область допустимых сочетаний x1, y1, x2 , y2 4 Некоторые критерии принятия решения в условиях неопределенности F ( x1, y1 ) минимизируемая функция 1. Математическое ожидание (в т.ч. критерий Лапласса) P1 ( y1 ) F ( x1, y1 ) min1 x1X 1 y1Y1 2. Критерий Вальда max F ( x1, y1 ) min1 y1Y1 3. Критерий Гурвица x1X 1 α max F ( x1, y1 ) (1 α) min F ( x1, y1 ) min1 y1Y1 4. Байесовский критерий y1Y1 x1X 1 P1 ( y1 / x1 ) F ( x1 , y1 ) min1 y1Y1 x1X 1 5 Две области приложения интервального анализа в моделях принятия решений в условиях неопределенности 1. Инструментарий для описания области выбора решений в многоэтапных процессах принятия решений (Шарый С.П. Докторская диссертация «Интервальные алгебраические задачи и их численные решения», 2002 г.) 2. Способ описания критериев оптимизации решений в условиях неопределенности (Ащепков Л.Т., Давыдов Д.В. «Универсальные решения интервальных задач оптимизации и управления». – М.: Наука, 2006 г.; докторская диссертация Давыдова Д.В., 2009 г.) 6 «Универсальные» решения Ащепкова-Давыдова m max fi ( x, y ) f i min i 1 yY xX f i желаемый уровень показателя, i 1, 2, . . . , m fi ( x, y ) фактическое значение Такая постановка тесно связана: 1) с проблематикой многокритериальности; 2) с регуляризацией некорректных задач; 3) с критерием Вальда max fi ( x, y ) f i min m yY i 1 xX 7 Универсальные решения интервальной системы линейных уравнений Исходная система (недоопределенная задача) Ax b, где A m n матрица, b вектор из R m , (1) A A A, b b b. (2) Доопределение: решением системы (1) предлагается считать такой вектор х, при котором достигается решение задачи m (3) ε j min, j 1 Ax b ε (4) при всех А, b, удовлетворяющих (2). 8 Предлагаемые модификации I. В описании интервалов возможных отклонений Вместо интервала [ε, ε ] предлагается ввести интервал [ g , d ] при g 0, d 0. Вектор х назовем d, g решением ИСЛАУ (1), если (5) g Ax b d при любых А и b, удовлетворяющих (2). Такое представление сужает интервал возможных отклонений. 9 Предлагаемые модификации II. В способах определения минимальных интервалов Класс штрафных функций F, состоящий из непрерывных функций f от двух векторов из Rm таких, что при ~ 0 g~ g , 0 d d , (6) m m ~ m m ~ (7) g j d j g j d j j 1 j 1 j 1 выполняется неравенство j 1 ~ ~ f ( g , d ) f ( g , d ). m p 1 , h , k R Примеры: при заданных m (8) m f ( g , d ) k j (d j ) h j ( g j ) p , j 1 p m j 1 ~ f ( g , d ) k j (d j h j ) p . j 1 10 Модифицированное универсальное решение, порождаемое функцией f из F Так назовем тройку векторов x( f ), g ( f ), d ( f ), являющихся решением задачи f ( g , d ) min (9) g 0, d 0, (10) g Ax b d , (11) при ограничениях для всех А и b, удовлетворяющих (2). Теорема 1. Для любого f F существует x( f ), g ( f ), d ( f ). Если f строго выпуклая функция по обоим аргументам, то g ( f ), d ( f ) единственные. 11 Парето-оптимальные решения Многокритериальная задача: d j min, g j min, j 1, . . . , m, (12) при ограничениях (10), (11) Теорема 2. Множество Парето-оптимальных решений многокритериальной проблемы (12) совпадает с множеством модифицированных универсальных решений, порождаемых функциями f из F. 12 Замыкание множества модифицированных универсальных решений Теорема 3. Замыкание множества модифицированных универсальных решений x( f ), g ( f ), d ( f ) при m m f ( g , d ) k j (d j ) h j ( g j ) 2 2 j 1 j 1 для разных k j 0, h j 0, j 1, . . . , m, совпадает с множеством Парето-оптимальных решений. Вывод: Старый друг (метод наименьших квадратов) – не хуже новых двух. Любое модифицированное универсальное решение можно получить на базе метода наименьших квадратов за счет подбора весовых коэффициентов k j , h j . 13 Выводы Приведенный и другие факты являются переложением на проблематику универсальных решений ИСЛАУ результатов исследований свойств наименее удаленных от начала координат точек линейных многообразий и полиэдров (в т.ч. ортоэдрических, евклидовых, гёльбертовых, чебышевских проекций). Зоркальцев В.И. Метод наименьших квадратов: геометрические свойства, альтернативные подходы, приложения. – Новосибирск: Наука, 1995 г. 14 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! 15