L5-1

Лекция 5
Закон сохранения импульса
Механическая система. Степени свободы. Механическое состояние
системы. Роль законов сохранения в физике. Закон сохранения
импульса. Центр инерции, или центр масс механической системы.
Теорема о движении центра масс. Система отсчета, связанная с
центром инерции.
Механическая система.
Во многих задачах, представляющих теоретический и практический интерес, мы имеем дело с движением
механических систем, состоящих из двух или более тел. Примерами систем являются атомы, молекулы, которые
являются системами заряженных частиц, Солнечная система, наша звездная система – Галактика, скопления галактик и
т.д.
Механическая система – это любая группа тел, движение которой подлежит исследованию.
В механической системе частицы могут взаимодействовать друг с другом или не взаимодействовать. Примером
системы невзаимодействующих частиц является идеальный газ. Взаимодействие частиц в системе может иметь полевой
характер или осуществляться непосредственными столкновениями.
Степени свободы механической системы.
Для исследования механического движения системы необходимо определить его положение в пространстве.
Независимые координаты, которые однозначно определяют положение системы в пространстве,
называются степенями свободы.
Материальная точка имеет три степени свободы. В прямоугольной системе координат – это координаты x, y, z
частицы. Если какие-то перемещения частицы запрещены, то говорят, что на движение частицы наложены связи.
Например, если частица подвешена к точке O жесткой нитью длины
происходить на сфере радиуса
, уравнение
x
2
y z 
2
2
2

, то его возможные перемещения будут
которой позволяет выразить одну из координат
частицы через две другие. Значит, частица с одной связью имеет две степени свободы. Если частица движется по
заранее заданной кривой, то ее положение однозначно определится одной координатой (дуговая координата в
естественном методе). В этом случае частица наделена одной степенью свободы.
Любая связь уменьшает степень свободы системы на единицу.
Сказанное без каких-либо затруднений можно обобщить на случай механической системы, состоящей из
произвольного числа n частиц. Если перемещения этих частиц никак не ограничены, то система будет иметь 3n степеней
свободы. Если на движение системы наложено s связей, то число степеней свободы этой системы будет равно
f  3n  s . Например, система, состоящая из трех частиц, имеет 3·3=9 степеней свободы (рис.5.1а). Если соединить
две из них стержнем длиной
1 , то получим между координатами частиц дополнительную связь:
x
 x1    y2  y1    z2  z1  
2
а
2
2
б
в
Рис. 5.1
2
2
,
1
(5.1)
г
которая уменьшит число степеней свободы системы на единицу (рис. 5.1б). если соединить стержнем длиной
2
еще и вторую и третью частицы
x
2
 x3    y2  y3    z2  z3  
2
2
2
2
,
2
(5.2)
то число степеней свободы уменьшится еще на одну (рис. 5.1в). И, наконец, соединив стержнем длиной ℓ 3 < ℓ1 + ℓ2
также первую и третью частицы
x x    y  y   z z 
2
1
3
2
1
3
1
3
2

2
,
3
(5.3)
мы доведем число степеней свободы системы до 6 (рис. 5.1г).
Покажем, что абсолютно твердое тело наделено шестью степенями свободы. Для этого заметим, что
положение твердого тела в пространстве будет однозначно определено, если будут даны координаты трех его точек, не
лежащих на одной прямой. В этом случае координаты любых других точек твердого тела могут быть выражены через
координаты этих трех точек. Так как эти точки принадлежат твердому телу, то расстояние между ними не меняется.
Следовательно, число степеней свободы абсолютно твердого тела равно числу степеней свободы системы, состоящей из
трех точек с тремя связями, т.е. 3·3 – 3 = 6.
Число степеней свободы системы одновременно показывает число его независимых движений.
Действительно, уравнения движения – это соотношения, выражающие временные зависимости степеней свободы координат системы. А каждая из них описывает одно независимое движение. Одновременно ясно, что число степеней
свободы это то число дифференциальных уравнений, которые нужно решить, чтобы получить закон движения системы.
Из изложенного следует, что при исследовании движения системы необходимо написать столько
дифференциальных уравнений, каково число степеней свободы этой системы, и решить их с учетом
соответствующих начальных условий.
Механическое состояние системы.
Независимые координаты и скорости (или импульсы) системы в произвольный момент времени,
определяют механическое состояние системы. Решая уравнения движения можно получить состояние системы в
любой последующий момент времени. Очевидно, механическое состояние системы не может изменяться без ее
механического движения.
Исследование механического состояния системы с помощью уравнений движения – сложная математическая задача,
которая не всегда может быть решена. А в тех случаях, когда неизвестны характеры сил, действующих в системе,
законы их изменения, то подобные исследования становятся принципиально невозможными. Кроме того, в некоторых
системах (например, в газах) доскональное изучение движения отдельных частиц просто не имеет смысла, а
практически – невозможно. В подобных условиях возникает естественный вопрос: не существуют ли общие
принципы, основанные на законах динамики, которые давали бы возможность обойти указанные трудности
и по-другому подойти к исследованию движения системы?
Оказывается - такие принципы существуют: это законы сохранения.
Как мы уже указали, механическое движение системы изменяет его механическое состояние (т.е. координаты и
скорости) с течением времени. Однако существуют зависящие от механического состояния физические величины (так
называемые функции состояния), которые во время изменения механического состояния системы остаются
неизменными, т.е. сохраняются. Из них в физике наиболее важны энергия, импульс и момент импульса. Законы
сохранения этих величин причисляются к небольшому числу фундаментальных законов природы, на которых
основана современная физика и естествознание вообще.
Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса связаны со свойствами пространства и времени в
инерциальных системах отсчета. Оказывается, закон сохранения энергии связан с однородностью времени, закон
сохранения импульса – с однородностью пространства, а закон сохранения момента импульса – с
изотропностью пространства. Сказанное нужно понимать в том смысле, что эти законы сохранения можно получить из
второго закона Ньютона, учитывая указанные свойства пространства и времени. Эти вопросы более подробно будут
рассматриваться в курсе теоретической механики.
Законы сохранения – мощный инструмент изучения физических систем и явлений. С их помощью можно выявить
наиболее общие свойства и закономерности. Важность метода исследования физических систем с помощью законов
сохранения обусловлена тем, что он независим от вида траектории движения частиц в системе и от конкретного
вида или характера действующих сил. Если какое-либо явление противоречит законам сохранения, то бессмысленно
пытаться его осуществить. В процессе развития физики человечество делало бесчисленные попытки создания разного
пода вечных двигателей, невозможность которых в последствии была доказана законом сохранения энергии.
Независимость законов сохранения от характера сил, действующих в системе, позволяет использовать их при
изучении тех систем, для которых вообще неизвестны действующие силы. В подобных случаях метод законов
сохранения – это единственное орудие изучения. В основном такова ситуация в ядерной физике.
Даже в тех случаях, когда известны действующие силы, законы сохранения могут существенно упростить решение
задачи, часто давая возможность обходить многие сложные, нудные математические выкладки. С этой целью, решая
какую-либо новую задачу (которая, обычно, имеет довольно сложную математическую структуру), целесообразно
применить в первую очередь законы сохранения. Таким образом, можно получить дополнительные соотношения,
которые могут существенно упростить уравнения движения.
Отметим следующее важное замечание:
Решение уравнений движения дает исчерпывающую картину изучаемого явления. Здесь законы сохранения
прибавить что-то новое не могут.
Ситуация иная, когда задача решена с применением законов сохранения. Подобное решение выражает, как мы уже
отмечали, наиболее общие закономерности. А ряд вопросов, касающихся подробностей данного явления, остаются
неопределенными. Ответы на них можно получить, только лишь решив уравнения движения.
Закон изменения импульса механической системы.
Одной из важнейших величин, характеризующих механическое состояние системы, является ее импульс.
Импульс материальной точки определяется формулой
p  mv ,
(5.4)
v
где
- скорость частицы массы m в выбранной системе отсчета. Для частицы, двигающейся с большой скоростью, нужно
учитывать зависимость массы от скорости
mv
p
Рассмотрим ньютоновскую систему, состоящую из
они имеют скорости
n
1 v 2 c 2
.
(5.5)
m1 , m2 ,..., mn . Пусть в выбранной ИСО
частиц с массами
v1 , v2 ,..., vn , т.е. обладают импульсами
p1  m1v1 , p2  m2 v2 , ..., pn  mn vn .
Полный импульс ньютоновской системы – это векторная сумма импульсов составляющих ее частиц:
n
n
i 1
i 1
P   mi vi   pi .
(5.6)
Если в выбранной системе отсчета частицы двигаются с релятивистскими скоростями и взаимодействуют
посредством полей, то полный релятивистский импульс системы включает в себя не только сумму
релятивистских импульсов частиц, но и импульс, который несут поля, осуществляющие взаимодействие
частиц:
mi vi
n
P
i 1
1 vi 2 c 2
 Pполя .
(5.7)
Если частицы в системе не взаимодействуют или взаимодействие осуществляется посредством контактных
столкновений, то
Pполе  0
и полный релятивистский импульс будет равен
n
P
i 1
mi vi
1 vi 2 c 2
.
(5.8)
Второй закон Ньютона, как и релятивистское уравнение движения с помощью импульса представили в следующем
виде:
dP
F .
dt
(5.9)
Выясним закон изменения полного импульса системы в ньютоновской механике. С этой целью рассмотрим изменение
импульса
i -той частицы системы (рис.5.2). Согласно (5.9)
dpi
 Fi ,
dt
где
Fi
- равнодействующая сил, действующих на данную частицу.
(5.10)
Рис. 5.2
Силы, действующие на частицу в механической системе, можно подразделить на внутренние и внешние силы (рис.
5.2). Внутренними называются силы, которые обусловлены взаимодействием частиц системы между собой. Внешние
силы характеризуют действие не входящих в систему (т.е. внешних) тел, на частицы системы.
Система, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой.
Если система не замкнута, то сила, действующая
равнодействующей внутренних и внешних сил:
на
произвольную
i -тую
частицу
системы,
является
Fi  Fi внут  Fi внеш .
(5.11)
Естественно, что внутренняя сила, действующая на i-тую частицу – это сумма всех сил, действующих на эту частицу
со стороны остальных частиц системы:
n
Fi внут  Fi1  Fi 2  ...  Fin   Fik ,
(k  i),
(5.12)
k 1
где мы особо указали, что
k  i , поскольку частица сама с собой не взаимодействует.
i -той частицы будем иметь:
Учитывая (5.11) и (5.12) для быстроты изменения импульса
dpi n
  Fik  Fi внеш , (k  i).
dt k 1
Поочередно присваивая
i
(5.13)
значения 1, 2, ..., n получим соответствующие уравнения для всех частиц системы:
dp1
 F12  F13  ...  F1n  F1внеш ;
dt
dp2
 F21  F23  ...  F2 n  F2внеш ;
dt
...............................................
dpn
 Fn1  Fn 3  ...  Fn ,n1  Fnвнеш .
dt
И так, импульс любой из частиц системы изменяется как под воздействием внутренних, так и внешних сил.
(5.14)