САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 5 ПРИЛОЖЕНИЯ

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 5
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ.
Сдать 1.04.2012
ВАРИАНТ 1.
ЗАДАНИЕ 1. На параболе y  x 2 взяты две точки с абсциссами x1  1 и x2  3 . Через эти точки
проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней параллельна секущей?
ЗАДАНИЕ 2. Зависимость температуры Т тела от времени задана уравнением Т=½ t2-2t+3. C какой
скоростью нагревается это тело в момент времени t=10 с?
ЗАДАНИЕ 3. Найдите величину силы F, действующую на точку массой m, движущуюся по закону
s(t )  t 2  4t 4 (м) при t=3 сек.
ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала:
ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :
y
а)
3
7,76
в) cos 1510
x  1 x
e
x 1
ВАРИАНТ 2.
ЗАДАНИЕ 1. Определить, под каким углом кривая y 
x 1
пересекает ось абсцисс.
1 x2
ЗАДАНИЕ 2 Зависимость пути от времени при прямолинейном движении тела массой 12 кг задана
уравнением s=t2+2t+3. Найти кинетическую энергию тела Ek=
mv 2
через 5 секунд
2
после начала движения.
ЗАДАНИЕ 3. Доказать, что если тело движется по закону s(t )  ae t  be t , то его ускорение равно
пройденному пути.
ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала:
ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y : y  x 2 ln x
а) arcsin 0,08 в)
3
27,54
ВАРИАНТ 3.
ЗАДАНИЕ 1. Найти точки, в которых касательные к графикам функций
f ( x)  x 3  x  1 и
g ( x)  3x 2  4 x  1 параллельны.
ЗАДАНИЕ 2. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении двух тел задана
уравнениями s1=⅔ t3+t2-t+14; s2=⅔ t3-½ t2+11t-8. В какой момент времени их
скорости будут равны?
ЗАДАНИЕ 3. Тело массой m движется по закону s(t )  3t 2  5t  7 . Доказать, что сила,
действующая на тело, постоянна.
ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала:
ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :
а)
3
26,46
в) log11
y  ln cot 4 x
ВАРИАНТ 4.
ЗАДАНИЕ 1. Найдите точки, в которых касательная к параболе y  x 2 перпендикулярна прямой
y  4x  1  0 .
ЗАДАНИЕ 2. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении двух тел задана
равнениями s1=⅓ t3+2t2-45; s2=½ t2+4t+115. В какой момент времени их скорости
будут равны?
ЗАДАНИЕ 3. Найти момент времени t, в который ускорение точки, движущейся прямолинейно по
закону s(t )  t 3  3t 2  8 , равно нулю. Какова при этом скорость точки?
ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала:
ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :
y  2 cot 3 x
а) 1,02111
в) e2,01
ВАРИАНТ 5.
ЗАДАНИЕ 1. Записать уравнения касательных к кривой y  4 x  x 3 в точках пересечения её с осью
ОХ.
ЗАДАНИЕ 2. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением
s=⅓ t3-2t2+3. Вычислить ее скорость в момент времени t=3 сек.
ЗАДАНИЕ 3. Найти скорость и ускорение точки, движущейся прямолинейно по закону
s (t )   cos
 t
3
в момент t=1.
ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала:
а) 0,998 21
в) tan590
y  xe x
ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :
ВАРИАНТ 6.
ЗАДАНИЕ 1. Записать уравнение касательных к гиперболе xy  4 в точках с абсциссами x1  1 ,
x2  4 .
ЗАДАНИЕ 2. Количество электричества, протекшее через проводник за t секунд, определяется по
формуле Q=2t2+3t+1 (кулонов). Найти силу тока в конце пятой секунды.
ЗАДАНИЕ 3. Найти скорость и ускорение точки, движущейся прямолинейно по закону
s (t )  sin
 t
4
в момент t=1.
ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала: а) 2,016
ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :
y  x 1 x2
в) arcsin 0,6
ВАРИАНТ 7.
4x  x 2
ЗАДАНИЕ 1. У параболы y 
проведена касательная в точке (2; 1). Найти угол наклона
4
касательной к оси ОХ.
ЗАДАНИЕ 2. Точка движется прямолинейно по закону s=
1
t . Найти ее скорость в
2
момент t=2,25.
ЗАДАНИЕ 3. Точка движется прямолинейно по закону s  t . Показать, что ускорение движения
пропорционально кубу скорости.
ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала:
y
ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :
а) 1,996 7
в) cos 610
ln x
x
ВАРИАНТ 8.
ЗАДАНИЕ 1. Найти координаты точки, в которых касательная к параболе y  x 2  3x  10 образует
угол в 1350 с осью ОХ.
ЗАДАНИЕ 2. Движение точки задана уравнением s=¼ t4-4t3+16t2. В какие моменты времени точка
была в начальном пункте? В какие моменты времени скорость ее равна нулю?
ЗАДАНИЕ 3. Определить момент t, когда ускорение прямолинейного движения, совершаемого по
1
6
закону s   t 3  3t 2  5 , равно нулю. Какова при этом скорость?
ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала: а)
ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :
y  x 3e 5 x
3
8,36
в) arctan0,95
ВАРИАНТ 9.
ЗАДАНИЕ 1. Найти угол наклона касательной к кубической параболе y  x 3 в точке с абсциссой
x
3
.
3
ЗАДАНИЕ 2. Пуля вылетает из пистолета вверх со скоростью 300 м/сек. Найти скорость пули в
момент t=10 сек и определить, сколько времени пуля поднимается вверх.
Сопротивление воздуха не учитывается. ( Высота s (м) , которую достигает за t секунд
тело, брошенное вертикально вверх со скоростью v0 м/с, орпределяется из формулы
s=v0 t-4,9t2 )
ЗАДАНИЕ 3. Точка движется так, что её скорость v  a  ln
b
, где a, b  R . Найти ускорение
t
движения как функцию скорости.
ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала: а) 2,002 7 в) arcsin0,54
ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :
y  e x cos 4 x
ВАРИАНТ 10.
ЗАДАНИЕ 1. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к параболе y  x 2  3x  5 ,
проведенная в точке М0(2; 3)? Составить уравнение этой касательной.
ЗАДАНИЕ 2. С крыши дома, имеющего высоту, равную 50 м, брошен вертикально вверх мяч со
скоростью 20 м/с. Найти: 1) скорость подъема в конце второй секунды; 2) момент
начала падения; 3) наибольшую высоту подъема относительно поверхности земли. (
Высота s (м) , которую достигает за t секунд тело, брошенное вертикально вверх со
скоростью v0 м/с, орпределяется из формулы s=v0 t-4,9t2 )
ЗАДАНИЕ 3. Точка массы m движется по закону s  at 2  bt  c, где a, b, c - постоянные
величины. Доказать, что сила, действующая на точку, постоянна.
ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала:
ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :
y
xe x
а) 0,98 3
в) e 0, 2
ВАРИАНТ 11.
ЗАДАНИЕ 1. Записать уравнения нормалей к кривой y  4 x  x 3 в точках пересечения её с осью
ОХ.
ЗАДАНИЕ 2. Тело, масса которого m=3 кг, движется прямолинейно по закону s=1+t+t2, где s- (см), а
mv 2
t- (сек). Найти кинетическую энергию (Ek=
) тела через 5 секунд после начала
2
движения.
ЗАДАНИЕ 3. Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом, за t сек поворачивается на
угол   a  bt  ct 2 , где a, b, c- положительные постоянные. Определить угловую
скорость и ускорение вращение колеса. Когда колесо остановится?
ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала:
ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :
y
а)
5
1,03 2 в) sin930
x
1 x2
ВАРИАНТ 12.
ЗАДАНИЕ 1. Составьте уравнения касательных к графику функции y  x 3  2 x 2  x  2 ,
параллельных прямой 4 y  7 x  28 .
ЗАДАНИЕ 2. Угол поворота шкива в зависимости от времени определяется из равенства φ=t2+3t-5.
Найти: 1) среднюю угловую скорость в промежутке времени от t=3 до t=5. 2) угловую
скорость в момент времени t=5.
ЗАДАНИЕ 3. Определить силу, под действием которой материальная точка массы m совершает
колебательное движение по закону s  A sin t   0 
ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала:
ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :
y  x 2 ln x 3
а)
3
7,64 в) log101
ВАРИАНТ 13.
ЗАДАНИЕ 1. Составьте уравнения касательных к графику функции y  x 3  x 2 , угловые
коэффициенты которых равны 8.
ЗАДАНИЕ 2. Тело вращается вокруг оси, причем закон изменения угла φ в зависимости от времени t
задан равенством φ=0,1t2. Найти угловую скорость вращения тела в момент t=5.
ЗАДАНИЕ 3. Тело движется по прямой линии по закону s 
1 3
t  2t 2  3t . Определить скорость и
3
ускорение движения тела в момент времени t.
ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала:
ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :

а)
3
1,21
в) e0,25

y  1  x 2  tan x
ВАРИАНТ 14.
ЗАДАНИЕ 1. Найдите точки, в которых касательная к параболе y  x 2 параллельна прямой
y  4x  1  0 .
ЗАДАНИЕ 2. Угол φ, на который поворачивается колесо через t секунд, определяется из равенства
φ=аt2-вt+с, где а,в,с- постоянные величины. Найти: 1) угловую скорость вращения
колеса; 2) момент его остановки.
ЗАДАНИЕ 3. Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом, за t секунд поворачивается
на угол
  a  bt  ct 2 , где a, b, c - постоянные
положительные величины.
Определить: 1) угловую скорость и ускорение вращения; 2) момент остановки колеса.
ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала:
ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :
y  e  x cos x
а) 3 1,03 2
в) cos590
ВАРИАНТ 15.
ЗАДАНИЕ 1. Докажите, что касательная, проведенная к графику функции y 
1
, ни в какой точке
x
не может быть параллельна оси ОХ.
ЗАДАНИЕ 2. Тело движется прямолинейно по закону s= a cos
t
2
. Найти: 1) скорость движения
точки для любого момента времени; 2) при каких значениях t скорость точки рана
нулю.
ЗАДАНИЕ 3. Высота s(м), которой достигает за t секунд тело, брошенное вертикально вверх со
скоростью v0 м/сек, определяется уравнением s  v0 t  4,9t 2 . Найти скорость и
ускорение движения в моменты t=3 сек и t=10 сек, если v0  200 м/сек.
(сопротивление воздуха не учитывается)
ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала:
ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :
y  xe x
а) 3 8,24
в) log9,5
3
ВАРИАНТ 16.
ЗАДАНИЕ 1. Под каким углом к положительному направлению оси ОХ проведена касательная к
кривой y 
1 2
3
x в точке её с абсциссой, равной 
3
2
?
ЗАДАНИЕ 2. Зависимость между количеством х вещества, получаемого в некоторой химической
реакции, и временем t выражается уравнением х= А(1-е-кt). Определить скорость
реакции.
ЗАДАНИЕ 3. Найти силу F, действующую на материальную точку массы m, которая движетс
я прямолинейно по закону s  sin 2t , t 

8
.
ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала:
ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :
y  x 3 ln x
а) cot290
в)
15
ВАРИАНТ 17.
x
ЗАДАНИЕ 1. Составьте уравнение касательной, проведенной к графику функции y  e 2 в точках
его пересечения с осью Оу.
ЗАДАНИЕ 2. Найти скорость точки, движущейся прямолинейно по закону s= 3 cos
t
3
в момент
времени t=1.
ЗАДАНИЕ 3. Тело движется прямолинейно по закону s  ae t  be  t , где a и b- постоянные числа.
Показать, что ускорение его движения всегда равно пройденному пути.
ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала:
ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :
а) log0,9
в) 41,2
 x 
y  ln tan   
 4 2
ВАРИАНТ 18.
ЗАДАНИЕ 1. В какой точке касательная к графику функции y  ln x параллельна прямой
y  x  2?
ЗАДАНИЕ 2. Найти скорость точки, движущейся прямолинейно по закону s=2sint в момент времени
t=π/4.
ЗАДАНИЕ 3. Тело совершает прямолинейное движение по закону s  ae  kt . Определить скорость и
ускорение движения в момент t=0
ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала:
ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :
y
x
x 1
2
а) 2,997 5 в) 22,1
ВАРИАНТ 19.
ЗАДАНИЕ 1. В какой точке касательная к параболе y   x 2  2 x  3 наклонена к оси ОХ под углом
00?
ЗАДАНИЕ 2. Определить момент t, когда скорость прямолинейного движения, совершаемого по
закону s= -
1 3 2
t +3t -5, равна нулю.
6
ЗАДАНИЕ 3. Пуля, попадая в твердое тело, движется по закону s 
1
ln 1  kv0 t , где v0 - скорость,
k
с которой пуля входит в тело; k- постоянная положительная величина. Найти
ускорение движения пули.
ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала:
ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :
а) 3,998 4
в)
640
1
y  sin x  cos 3 x
3
ВАРИАНТ 20.
ЗАДАНИЕ 1. В какой точке касательная к параболе y   x 2  2 x  3 наклонена к оси ОХ под углом
450?
ЗАДАНИЕ 2. Пуля вылетает из пистолета вверх со скоростью 300 м/сек. Найти скорость пули в
момент t=10 сек и определить, сколько времени пуля поднимается вверх.
Сопротивление воздуха не учитывается. ( Высота s (м) , которую достигает за t секунд
тело, брошенное вертикально вверх со скоростью v0 м/с, орпределяется из формулы
s=v0 t-4,9t2 )
t3
ЗАДАНИЕ 3. В период разгона маховик вращается по закону  
. Через какое время после
10
начала движения угловая скорость маховика будет равна 60 рад/сек? Чему будет
равно угловое ускорение тела в этот момент?
ЗАДАНИЕ 4. Вычислить приближенно при помощи дифференциала:
ЗАДАНИЕ 5. Найти d2y :

y  ln x  x

а) log21,9
в)
17