Слайд 1 - Институт теплофизики экстремальных состояний

Энергетический спектр вакансий и
плавление
А. Г. Храпак
Объединенный институт высоких температур РАН, Москва
NPP-2012, Москва, 7 декабря 2012
Содержание
•
•
•
•
•
•
•
Введение
Потенциальная энергия деформации полости
Кинетическая энергия деформированной среды
Энергетический спектр осциллирующей полости
Твердый Ar при T = 0
Твердый Ar вдоль кривой плавления
Вакансии или субнанометровые пузырьки в
жидкостях, вакансионная модель плавления
Потенциальная энергия деформации полости
В рамках модели изотропной сплошной среды образование полости
приводит к изменению потенциальной энергии среды за счет
деформации и работы против поверхностных и объемных сил:
U  U d  U s  U v  U d  4R 2  (4 / 3) pR3
В равновесии энергия деформации дается известным
выражением теории упругости
 2
2 3
U d    uii  uik d r
2

Здесь λ и μ – коэффициенты Ламе, а uik - тензор деформации.
В случае сферической полости вектор деформации u зависит
только от сферической координаты r
u  u(r )nr
R3 (t )
u (r ; t )  2
r
Потенциальная энергия деформации полости
Вычисляя компоненты тензора деформации
2
2
2
6
du
u
du
u
R






uii2    2   0, uik2     2   6 6
r
r
 dr
 dr 
r
входящие в выражение для потенциальной энергии
 2
2 3
U d    uii  uik d r ,
2

получаем

U d  4  uik2 r 2dr  8R3
R
Кинетическая энергия деформированной среды
Кинетическая энергия радиального движения среды вокруг
полости имеет вид
где
2
2

u 3
PR
3 2
Td  
d r  6R R 
,
2
2M R
R2 R
u  3 3 ,
r
PR  4R R ,
3
4
3
MR 
R
3
представляют собой локальную скорость, обобщенный импульс и
эффективную массу радиального движения окружающего
полость вещества.
Полная энергия деформированного
вещества
Итак, изменение полной энергии деформированного вещества в
результате образования полости имеет вид
PR2
4
E 
 U ( R)  6R3 R 2  4R 2 
pR3  8R3
2M R
3
Энергия любого колебания квантуется.
Закон дисперсии этих колебаний может быть
определен с помощью правила квантования
Бора-Зоммерфельда
3

 PR dR  2 n  4 , n  0,1,...


Energy
В случае ΔE ≠ 0 это уравнение описывает колебательное движение стенок полости под действием
упругих сил, поверхностного натяжения и внешнего давления.
E
T
0
U
R
Энергетический спектр осциллирующей
полости
Подстановка обобщенного импульса
PR  4R3R  {8R3[E  U ( R)] / 3}1/ 2
в правила квантования Бора-Зоммерфельда приводит к
интегральному уравнению для определения энергии образования
полости ΔEn
Rn
R
0
1/ 2
4  3 

En  4R   8  3 p  R 

 

3/ 2 
2
1/ 2
 3 
dR   
 8 
3

 n  
4

где максимальный размер полости Rn определяется уравнением
4  3

En  4R   8 
p  Rn  0
3 

2
Энергетический спектр осциллирующей
полости
В двух предельных случаях энергетический спектр может быть
получен аналитически. При (6μ+p)Rn/3σ >> 1 можно пренебречь
поверхностной энергией, что дает
4

8



3
En  
I 3/ 4

p

5/8
 3 
 
 8 
3/8
3

3 / 4  n  
4

3/ 4
1
, I  x
3/ 2
1  x 
3 1/ 2
0
В противоположном пределе (6μ+p)Rn/3σ << 1 поверхностное
натяжение играет доминирующую роль и энергетический спектр
определяется уравнением
5/ 7

3
12 / 7 2 / 7
4/7
En  2 3  2 / 7   n  
4


4/7
dx
Энергетический спектр осциллирующей
полости
Мы показали, что энергия образования и радиус полости в
упругой конденсированной среде квантуются и не могут быть
сколь угодно малыми. Основное состояние с минимальными
значениями En и Rn реализуется при n = 0. Благодаря своей
квантовой природе, нулевые колебания полости не могут
затухать, например, вследствие излучения звуковых волн. Это
дает основание считать, что в рамках модели упругой
сплошной среды основное состояние осциллирующей полости
соответствует вакансии в реальном кристалле.
Твердый аргон при T = 0
При T = 0 плотность Ar ρs = 1.77 г·см-3, а модуль сдвига μ = 14.6
кбар [Burakovsky et al. 2003]. При T = 0 вкладом поверхностных
сил можно пренебречь. Полагая p = 0, получаем для основного
состояния вакансий
E0 
9/8
3
 
23 / 4 I 3 / 4
5/ 8 3/ 4

s3 / 8
1/ 8
 3 
 1290 K, R0   5 2 
 2 I  


3 2
 1.2 108 cm
Величина ΔE0 неплохо согласуется с экспериментальными
оценками энергии образования вакансий при T = 0, Ev ≈ 905 K (см,
например, Chadwick and Glyde 1977).
Твердый аргон вдоль кривой плавления
Приведем оценки свойств вакансий в твердом Ar используя
предложенную модель. В тройной точке аргона T = Tt = 83.8 K, ρs
= 1.62 г·см-3, μ = 6.00 кбар, σs = 22.7 дин·см-1. Это дает ΔE0 = 880 K.
Это значение неплохо согласуется с оценкой энергии образования
моновакансий в аргоне Ev = 790 K [Bhatia and March 1984].
Модуль сдвига μ = ρsct2 (ct  скорость поперечного звука) растет с
ростом температуры плавления Tm и плотности ρm. В Ar ct
измерена вдоль кривой плавления в относительно широкой
области температур от Tt до 205.6 K [Moeller and Squire 1966,
Ishizaki et al. 1975]. Соответствующие значения μ были
приведены в работе Burakovsky et al. (2003) совместно с аналитической зависимостью μ(Tm), которая допускает экстраполяцию
в область экстремально высоких температур Tm~ 3000 K.
Твердый аргон вдоль кривой плавления
Энергия образования вакансий в твердом Ar в
зависимости от температуры плавления.
Вакансии или субнанометровые пузырьки в
жидкостях, вакансионная модель плавления
Локальные незатухающие осцилляции вещества окружающего
вакансию не являются артефактом модели упругой сплошной
среды. В реальных кристаллах образование вакансии должно
приводить к перестройке спектра колебаний и к появлению
новых квантованных мод. Частота осцилляций стенок полости
ω0= ΔE0/ħ ~ 1014 Гц в тройной точке и растет с Tm. Эта частота
существенно превышает максвелловскую частоту релаксации
ωM = η/μ ~ 1012 Гц. Этот эффект важен при построении самосогласованной вакансионной теории плавления.
Вакансии или субнанометровые пузырьки в
жидкостях, вакансионная модель плавления
Существующие теории интерпретируют плавление как фазовый
переход первого рода в подсистеме вакансий: вблизи кривой
плавления имеет место равновесие между кристаллической
системой с относительно низкой концентрацией вакансий с =
nv/na ~ 10-3 и квазикристаллической системой (расплавом) с
относительно высокой концентрацией вакансий с ~ 10-1. Однако
свойства вакансий (пузырьков субнанометрового размера) в
расплавах неизвестны. Мы полагаем, что вследствие высокой
частоты осцилляций вещества окружающего вакансии, значительно превышающей максвелловскую частоту релаксации,
вакансии (пузырьки субнанометрового размера) в жидкости
сохраняют основные свойства вакансий в твердом теле.
Спасибо за внимание!