Ознакомительные курсы для желающих познакомиться с

Уровень математического
образования в Германии.
Содержание:
1. Система образования Германии
2. Схема поступления в университеты
абитуриентов из Украины.
3. Комментарии к "Схеме"
4. Экзамен по математическому анализу
2012 год с решением
5. Экзамен по алгебре 2012 год с решением
6. Заключительное слово
7. Авторы
СИСТЕМА ОБРАЗОВАНИЯ ГЕРМАНИИ
ВЫСШАЯ ШКОЛА
(ИНСТИТУТ)
6-8 СЕМЕСТРОВ
ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ
ОБРАЗОВАНИЕ
(разноуровневое)
1-3,5 ГОДА
ОСНОВНАЯ
ШКОЛА
5 -10 КЛАССЫ
УНИВЕРСИТЕТ
6-10
СЕМЕСТРОВ
КОЛЛЕДЖ=
ПРОФ. АБИТУРА
ИЛИ
ГИМНАЗИЧЕСКАЯ
АБИТУРА
11-12 КЛАССЫ
РЕАЛЬНАЯ
ШКОЛА
5 -10 КЛАССЫ
НАЧАЛЬНАЯ
ШКОЛА
1 - 4 КЛАССЫ
ГИМНАЗИЧЕСКАЯ
АБИТУРА
11-12 КЛАССЫ
ГИМНАЗИЯ
5 -10 КЛАССЫ
СХЕМА ПОСТУПЛЕНИЯ В УНИВЕРСИТЕТЫ ИЛИ ВЫСШИЕ
ШКОЛЫ (ИНСТИТУТЫ) ГЕРМАНИИ ИНОСТРАННЫХ
АБИТУРИЕНТОВ
ВЫСШАЯ ШКОЛА
(по проф.
направлению)
6-8 СЕМЕСТРОВ
СЕРТИФИКАТ,
ПОДТВЕРЖДАЮЩИЙ
ЗНАНИЕ НЕМЕЦКОГО
ЯЗЫКА
УКРАИНСКИЙ
ИЛИ
РОССИЙСКИЙ
ДИПЛОМ О ВЫСШЕМ
ОБРАЗОВАНИИ
2 КУРСА ОЧНОГО
ИЛИ
3 КУРСА ЗАОЧНОГО
ФАКУЛЬТЕТА УКР. (РОС.)
ВУЗа
АТТЕСТАТ О
СРЕДНЕМ
ПОЛНОМ
ОБРАЗОВАНИИ
УНИВЕРСИТЕТ
6-10
СЕМЕСТРОВ
СТУДЕНЧЕСКИЙ
КОЛЛЕДЖ
2 СЕМЕСТРА
(1 ГОД)
1 КУРС ОЧНОГО
ИЛИ
2 КУРСА ЗАОЧНОГО
ФАКУЛЬТЕТА УКР. (РОС.)
ВУЗа
АТТЕСТАТ О СРЕДНЕМ
ПОЛНОМ ОБРАЗОВАНИИ
(ШКОЛА С УГЛУБЛЁННЫМ
ИЗУЧЕНИЕМ НЕМЕЦКОГО
ЯЗЫКА)
Путь 1. Всем доступная информация:
после наших 2 курсов очного (3 заочного) высшего учебного заведения
можно поступить на 1 курс университета
в Германии. При этом нужно сдать очень
высокий по уровню немецкий тест - C1
(это немецкая высшая языковая ступень
допуска в университеты)
Путь 2. Окончить гимназию в Германии с плавным переходом в университет. Вопрос,
который у родителей может возникнуть: а как закончить немецкую гимназию, да
и для чего, собственно. если после 2-х курсов института поступить можно?
Отвечаем: после нашей школы здесь можно устроить ребёнка в Беруфсколлег
(колледж), где за 2-3 года ученик получает профессиональную абитуру+полную
абитуру, попутно вживается и осваивает язык.
Чем хорош этот путь по сравнению с поступлением, описанным в пункте №1?
•
Не надо сдавать язык на наивысшем уровне, что сложно даже для самого
старательного ученика;
•
Языковые знания будут приобретены на практике, значит, переход к высшему
образованию не такой шокирующий;
•
Аттестат уже немецкий;
•
Человек имеет время осмотреться, определить спектр ВУЗов, разослать свои
данные в большее количество учреждений, а значит - больше шансов.
Один большой минус - выпускник школы ещё довольно ветреный человек.
Вот здесь и пригодится подготовка по математике, чтобы переход был не слишком
тяжёлым.
Путь 3. Возможность называется «Штудиенколлег». Принимают туда
после 1 курса очного, 2 курсов заочного или сразу после школы, если
школа с углубленным изучением немецкого языка. Учёба бесплатная,
длится 1 год (2 семестра). Начало может быть летом или зимой. По
окончании - экзамены. Окончание Штудиенколлега приравнивается к
окончанию немецкой гимназии. Предметы - по направлению будущей
специальности и обязательно усиленный немецкий. Есть эти колледжи
не при всех университетах: к примеру, в земле Рейн-Вестфалии
остался только один.
Преимущество:
• язык выучивается на месте, экзамен в колледже.
• эти колледжи образованы специально для иностранцев - все студенты
примерно на одном языковом уровне.
Конечно, предварительный курс немецкого языка на родине необходим.
Чем интересен такой путь поступления для наших учеников? Мы
готовим и к предстоящему уровню математики, и к экзамену по
математике.
Экзамен по
математическому анализу
2012 год
Дана рациональная функция 3-го порядка. В начале координат проведена
касательная к графику функции, тангенс угла наклона которой к оси ОХ имеет
значение 144. Р (8; 128) — точка перегиба графика функции.
а). Найдите уравнение функции.
(12 баллов)
Используйте в дальнейшем
b). Вычислите координаты точек пересечения графика функции с осями координат и
экстремумы функции.
(14 баллов)
Скорость наполнения водой горного озера после сильного ливня в течение первых 12
часов можно описать с помощью графика функции f(t)
с). Обоснуйте с помощью графика, что в течение более 7 часов
озеро наполняется со скоростью не менее 120 м3/ч.
(4 балла)
d). Рассчитайте площадь криволинейной трапеции, образованной
графиком функции f(t) и осью ОХ в промежутке [0;12].
Объясните полученный результат во взаимосвязи с заданием.
(9 баллов)
е). Вычислите количество воды, наполнившей озеро в течение
первых 2-х часов. Определите 2-х часовой интервал времени,
когда в озеро попало наибольшее количество воды (показать
только путь решения).
(11 баллов)
РЕШЕНИЕ экзамена по
математическому анализу
2012 год
ЭКЗАМЕН 2007 Решение
а). Уравнение рациональной функции 3-го порядка:
По условию: (1) f(0)=0, (2) f’(0)=144, (3) f(8)=128, (4) f’’(8)=0.
Из (1) и (2) следует: d=0 и c=144.
512a + 64b = - 1024
Условия (3) и (4) приводят к системе уравнений:
48a + 2b = 0,
откуда a = 1, b = - 24.
Следовательно, уравнение
b). Точки пересечения с осями координат.
функции:
1. f(0) = 0, значит Sy (0; 0)—точка пересечения с осью OY.
2. t3 – 24t2 + 144t = 0
t . (t2 – 24t + 144) = 0
Нули функции: t1 = 0 и t2 = 12.
N1 (0; 0), N2 (12; 0)—точки пересечения с осью OX.
3. Экстремумы функции.
f’(t) = 3t2 – 48t + 144
3t2 – 48t + 144 = 0
t1 =4 или t2 = 12
т.к. f’’(t) = 6t – 48 , то
f’’(4) < 0, здесь локальный max: H(4; 256),
f’’(12) > 0, здесь локальный min: T(12; 0)
с). По графику функции можно определить, что в 1 час скорость впадения воды была 120 м 3/ч, затем скорость
увеличивалась примерно до 255 м3/ч и снова уменьшалась. Следующая отметка скорости 120 м3/ч произошла
примерно в 8 часов15 минут. Из этого следует, что в течение более 7 часов озеро наполняется со скоростью не
менее 120 м3/ч.
12
d). 12
∫ f(t) . dt = (1/4 t4 -8t3 + 72t2)│ =1728.
0
0
0
0
Поскольку функция f(t) определяет, сколько кубометров воды попадает в озеро в течение часа, то площадь
криволинейной трапеции показывает, сколько воды попало в озеро за 12 часов, т.е. объём 1728 м 3.
2
e). 2
∫ f(t) . dt = (1/4 t4 -8t3 + 72t2)│ =228 (м3).
x+2
Произвольный 2-х часовой интервал времени [x; x + 2], где 0 ≤ х ≤ 10. Необходимо найти max для
x
∫ f(t) . dt
Экзамен по алгебре
2012 год
Ежегодное цикличное развитие одной из разновидностей майского жука может быть
представлено в виде матрицы:
А=
0
1/3
0
0
0
0
1/5
0
0
0
0
1/4
60
0
0
0
В мае первого года цикла самка откладывает яйца и вскоре после этого умирает.
Примерно из 60 яиц через некоторое время вылупляются личинки. Последующие годы
личинки живут и развиваются в земле. Осенью 4-го года личинки превращаются в куколки.
Часть из них – самочки – зимуют в земле и в мае следующего года снова откладывают
яйца. В представленной модели ¼ личинок превращается в самочек.
а). Представьте развитие популяции майского жука в виде графика перехода. Опишите
биологическое значение коэффициентов матрицы А и произведения
А* , где вектор
представляет начальное распределение личинок разного
возраста.
(10 баллов)
b). С помощью данных из таблицы, представляющих начальную популяцию,
рассчитайте развитие майского жука в последующие 4 года (1 цикл).
Количество личинок
в конце
1-го года
30 000
2-го года
20 000
3-го года
1 000
Количество самочек в конце 4-го года
8 000
(4 балла)
c). Рассчитайте значение матрицы А2 и опишите, как рассчитывается элемент 3
строки и 1 столбца. Особенно просто выглядит матрица 4-й степени:
А4 =
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
Объясните, какую роль этот результат играет в развитии популяции. Рассчитайте популяцию
майского жука через 14 лет.
(16 баллов)
d). Выясните, существует ли популяция, .которая в следующем году снова повторится
(количество личинок разных поколений и жуков-самочек).
(10 баллов)
е). В результате изменившихся климатических условий теперь 1/3 однолетних личинок уже в
конце 2-го года развития превращается в куколки. ¼ из них в последующем году разовьётся
также в самочек. Остальные представители однолетних личинок развиваются по предыдущей
схеме. Представьте новую матрицу развития майского жука.
(10
баллов)
РЕШЕНИЕ экзамена по
алгебре
2012 год
Матрицу перехода интерпретируют следующим образом:
Переход
От
1 года
2 года
3 года
Самочки
1 году
0
0
0
60
2 году
1/3
0
0
0
3 году
0
1/5
0
0
Самочке
0
0
¼
0
К
а). График перехода может быть следующим:
Количество личинок 1-го
года
1/3
60
Количество личинок 2-го
года
Количество самочек
1/5
1/4
Количество личинок 3-го
года
Из 60 яичек, отложенных самочкой майского жука, 1/3 однолетних переходит в стадию
2-х летних. Из них 1/5 доживает до 3-х летнего возраста и ¼ последних
превращается в жуков-самочек.
А*
представляет распределение популяции в следующем году.
b). Из данных таблицы следует, что начальную популяцию можно представить в виде вектора
=
30 000
20 000
1 600
8 000
Последующие популяции рассчитываются как произведение матрицы перехода А с вектором
начальной популяции
480 000
10 000
4 000
400
=
4
=
=
60 000
8 000
32 000
500
С)
А2 =
0
0
1/15
0
0
15
0
0
0
0
1/20 0
0
20
0
0
24 000
160 000
2 000
1 000
=
60 000
8 000
32 000
500
Элемент 1/15 - это сумма произведений элементов 3-й строки с 1-м столбцом.
Матрица 4-й степени является единичной, что подтверждает нашу модель 4-х летнего цикла
развития популяции майского жука.
Матрицу 14-й степени проще всего рассчитать так: А14 =(A4) 3 *A2. Изменение популяции через
14 лет, соответственно:
30 000
20 000
1 600
8 000
А14 *
d). Если такая популяция
=
х1
х2
х3
х4
=
24 000
16 000
2 000
1 000
существует, то для
нужно рассчитать А*
=
Получаем систему уравнений:
х1
60
60 х4 = х1
60 х4 = х1
х2
20
х
4
1/3x1 = x 2 откуда 20 х4 = х2 значит
= х4 *
3
х4
1
1/5x2 = x3
4 х4 = х3
¼ x3 = x4
х4 = х4
Соответственно при таком распределении существует бесконечное множество
популяций, которые остаются постоянными.
е). Сначала подготавливаем наглядное графическое представление:
Количество личинок 1-го
года
1/3
60
Количество личинок 2-го
года
1/4*1
/3
Количество самочек
1/5*2
/3
1/4
Количество личинок 3-го
года
Новая матрица перехода:
0
0
0 60
1/3 0
0
0
0 2/15 0
0
0 1/12 1/4 0
•
Кому нужна такая математика? Да любому,
поступающему в студенческий колледж. Эти
задания показывают и направляют на
"немецкую" интерпретацию математики в
гимназии. А значит, готовят к такому повороту
событий. Если ученик всё это прорешает и
освоит, то в колледже для него будет
математика просто повторением уже
пройденного, только на немецком языке. В чём
и весь смысл: язык по знакомым заданиям
учить легче. Конечно, никто не гарантирует, что
задания одинаково будут звучать во всех землях
Германии. Но уровень будет тот же.
• Что касается "после 2 го курса", это
значит, человек хочет напрямую
поступать в университет. И тут вся наша
подготовка тоже пригодится. Просто в
данном случае человек будет знать, с
какими знаниями пришёл немецкий
абитуриент и сам будет владеть этими
же знаниями. Нужно только оговориться,
что такие знания не нужны для
гуманитарных факультетов. Многие
технические специальности требуют
ещё более высокого уровня.
Автор презентации и адаптированных решений
учитель частной школы «Привилегия»
г.Мариуполь Абрамова Валентина Викторовна.
Информация и образцы заданий любезно
предоставлены преподавателем ABACUSInstitut Еленой Шольц-Мамонтовой