Основные положения классической механики

ТЕМА 2. Основные положения классической
механики
В ходе изучения важно запомнить: разделы механики,
понятие о механическом движении и его свойствах, определение
системы
отсчета,
постулаты
классической
механики,
используемые в механике модели тел и виды движений, теорему о
механическом движении.
2.1. Что изучает механика
Механика – раздел физики, в котором изучается механическое
движение.
Механическим движением называется изменение взаимного
расположения тел или частей тела относительно друг друга в пространстве с
течением времени.
Механика состоит из 3 подразделов – кинематики, динамики и статики.
Кинематика изучает движение тел, не рассматривая те причины,
которые это движение обуславливают.
Динамика изучает законы движения тел и те причины, которые
вызывают или изменяют это движение.
Статика изучает законы равновесия системы тел.
Основным свойством механического движения является его
относительность. Как известно, движение тел происходит в пространстве и
во времени. Мы можем говорить только о взаимном перемещении тел
относительно друг друга. Произвольно выбранное тело, которое условно
считается
неподвижным
и
по
отношению, к которому определяется
положение
материальной
точки,
называется телом отсчета. Тело
отсчета, связанная с ним система
координат и часы для измерения
времени образуют систему отсчета
(СО) положений материальной точки
(рис.2.1).
Изменение
системы
отсчета
приводит как видно из рис. 2.2 к
изменению характера движения, а,
Рис. 2.1. Система отсчета
следовательно,
к
изменению
используемых для этого математических выражений.
Рис. 2.2. Относительность движения
2.2. Анализ основных положений классической механики
Прежде всего, необходимо сделать два замечания.
1) Перечисленные ниже основные постулаты не были непосредственно
сформулированы в момент создания классической механики, в частности в
знаменитом труде Ньютона «Математические начала натуральной
философии». Они появились много позже в процессе анализа классических
трудов и их формулировка, во многом, была вызвана необходимостью понять
суть тех противоречий в физике, которые накопились к началу 20 столетия.
2) Классическая механика создавалась в те времена и теми людьми, для
которых основой мировоззрения была христианская религия, что
непосредственно прослеживается при анализе постулатов.
Постулаты:
•
Пространство – это «пустое» вместилище тел.
•
Пространство непрерывно.
•
Пространство трехмерно.
•
Пространство евклидово.
•
Время одномерно.
•
Течение времени не зависит от системы отсчета.
Дадим краткое пояснение по каждому из постулатов и сравним эти
положения с современными представлениями.
Первый постулат является, по сути, калькой с библейской притчи о
сотворении мира, в которой пространство и планеты создавались в разные
дни творения.
Пространство и время, как известно, являются атрибутами материи,
поэтому могут возникать и уничтожаться только вместе с ней. На рис. 2.3 и
2.4 хорошо видно отличие плоского мира классической механики от
искривленного (вследствие влияния материи) мира современной физики.
Рис. 2.3.Плоский мир классической физики
Рис. 2.4. Искривленное пространство
Требование непрерывности обусловлено формальным условием
применимости аппарата дифференциального и интегрального исчисления для
решения механических задач (этот аппарат специально создавался Ньютоном
и Лейбницем для этих целей). Так как условие непрерывности функции
является более слабым, чем условие дифференцируемости, использование
дифференцируемых функций возможно только в пространстве, обладающем
свойством непрерывности.
В современной физике есть разные взгляды на проблему
непрерывности пространства. В частности, в некоторых моделях
предполагается квантованность пространства (пространство как набор
кубиков) и движение частиц представляется по аналогии с движением
кузнечика с заданной вероятностью перехода из одного кубика в другой.
Однако, мы должны понимать, что проверить эти модели можно только
косвенно, по проверяемым следствиям, и часто в качестве критерия выбора
модели используется критерий красоты (простоты получаемых уравнений).
Под трехмерностью пространства понимается достаточность задания
трех чисел (координат) для определения положения точки в пространстве.
Это утверждение кажется нам очевидным, однако давайте проанализируем
понятие мерности пространства. В целом ряде научно-фантастических и
научно-популярных книг рассмотрено существование двумерных живых
организмов, способных передвигаться и наблюдать явления только вдоль
поверхности. На рис. 2.5 Вы видите, что такое существо способно
одновременно видеть только две стороны квадрата, нарисованного на этой
поверхности.
Рис. 2.5. Восприятие мерности пространства
Чтобы увидеть одновременно все четыре стороны квадрата необходимо
«выйти» в третье измерение. В трехмерном случае человек видит
одновременно только три грани куба, чтобы увидеть сразу все шесть граней
необходимо четвертое измерение, например, время. Проблема мерности
пространства, как это не покажется странным, связана с возможным видом
физических законов. Например, в законе Кулона сила – обратно
пропорциональна квадрату расстояния. Такая закономерность возможна
только для трехмерного пространства, в случае другого количества
измерений показатель степени был бы иной.
Проведенные в конце 19 – начале 20 века исследования трех
выдающихся ученых: француза Анри Пуанкаре, голландца Хендрика Антона
Лоренца и Альберта Эйнштейна, закончившиеся созданием специальной
теории относительности (СТО), сделали общепринятым понимание
неразрывной связи между пространственной и временной координатами и
необходимости использования при описании движения тел четырехмерного
пространства Минковского (четырехмерного пространства-времени).
Начиная с общей теории относительности Альберта Эйнштейна,
проводились попытки описать известные взаимодействия как геометрические
свойства пространства. В частности, Эйнштейн доказал, что гравитационное
взаимодействие может быть описано как искривление четырехмерного
пространства-времени. То есть на смену «плоскому» пространству-времени
СТО приходит искривленное четырехмерное пространство.
Следующим шагом в развитии идей Эйнштейна было создание
чешским физиком Теодором Калуцой теории, которая позволяла описывать
электромагнитное поле как свойство некоторого пятимерного пространствавремени. Причем новое пятое измерение принципиально отличалось от
четырех ранее известных. Оно было замкнутым, причем с очень малым
радиусом порядка 10−34 м. Для наглядности это можно изобразить как
систему колец, прикрепленных к каждой точке четырехмерного
пространства-времени.
В дальнейшем в целях геометризации других взаимодействий
использовались пространства с еще большим количеством размерностей
(шесть, семь, одиннадцать).
Ответить на вопрос существуют эти дополнительные размерности
реально (и сколько их) или они - плод нашего воображения сложно по
нескольким причинам. Во-первых, они являются альтернативным описанием
реально существующих взаимодействий, во-вторых, в силу их цикличности
трудно предложить несвязанный с рассматриваемыми взаимодействиями
способ их обнаружения. Аргументом «за» может служить единообразие в
описании свойств материи (окружающего мира).
Евклидовость пространства подразумевает справедливость в
окружающем мире геометрии Евклида.
Как показано известным немецким математиком Феликсом Клейном в
его «Эрлангенской программе» основным атрибутом всякой геометрии
является некоторый набор взаимно однозначных преобразований некоторого
множества M. Можно показать, что существует несколько десятков
принципиально различных геометрий. Одной из важнейших характеристик
описываемого любой геометрией пространства является его кривизна. Так
какую же геометрию имеет окружающий нас мир (в мире с какой кривизной
мы живем)? Как показано в общей теории относительности Эйнштейна,
существующее гравитационное взаимодействие является причиной
отрицательной кривизны Вселенной. Однако, этот эффект проявляется
только при рассмотрении областей пространства, включающих десятки или
сотни галактик, поэтому мы в обыденной жизни его не замечаем.
Следовательно, при изучении большинства явлений на Земле или в
масштабах Солнечной системы можем считать пространство евклидовым.
Под одномерностью времени понимается достаточность задания
одного числа для определения положения события во времени. При этом
подразумевается, что время может течь (изменяться) только в одном
направлении, то есть говорят о стреле времени.
В классической механике течение времени не зависит от системы
отсчета, то есть рассматривается единое время. Это противоречит
специальной теории относительности Эйнштейна, описывающей процессы в
четырехмерном пространстве-времени, каждая из координат которого
зависит от выбранной системы отсчета. Однако нужно отметить, что если мы
рассматриваем движения тел со скоростями много меньше скорости света, то
можно не принимать во внимание влияние системы отсчета на ход времени.
2.3 Используемые в механике модели тел.
В предыдущей главе мы ввели важнейшее для естественных наук
понятие – понятие модели. В физике используются механические и
математические модели явлений. Важнейшими моделями механики являются
материальная точка и абсолютно твердое тело.
Материальная точка – тело, обладающее конечной массой, размерами
которого можно пренебречь в условиях данной задачи.
Понятие материальной точки – абстрактное понятие (существующее
только в нашем воображении), но его введение облегчает решение
конкретных задач.
На рис 2.6 дана иллюстрация понятия материальная точка. Мы можем
применять модель, если размеры тела существенно меньше размеров области
его возможного движения.
Рис. 2.6. Материальная точка
Например, легкоатлета, бегущего по дорожке стадиона, можно
рассматривать как материальную точку, а майского жука внутри спичечного
коробка – нет.
Абсолютно твердым телом называется тело, форма и размер которого
при наличии внешних воздействий могут считаться неизменными, а
расстояние между двумя частицами этого тела остается постоянным в
процессе движения.
Естественно, что это тоже абстрактное понятие. Как известно, все тела
состоят из атомов, находящихся, как и их компоненты – электроны и
протоны, в непрерывном движении. Кроме того при достаточно сильном
воздействии любые тела деформируются. Надо отметить, что возможность
применения модели абсолютно твердого тела не всегда очевидна. Гранитный
булыжник на первый взгляд является очень хорошим кандидатом для
использования применительно к нему модели абсолютно твердого тела. И
действительно для большинства возможных движений это приближение
справедливо, так как форма и размеры камня при движении не изменяются.
Однако если мы рассмотрим вход такого камня в плотную атмосферу Земли
из космоса, то модель окажется не применимой, так как тело при этом
частично или полностью сгорает. С другой стороны такой объект как
воздушный шарик никак не похож на твердое тело, но если он движется
достаточно медленно, то рассматриваемую модель к нему можно применить.
Это еще раз демонстрирует тот факт, что выбор модели зависит от
рассматриваемой задачи, в частности возможность использования модели
абсолютно твердого тела зависит не только от характеристик самого тела, но
и от вида рассматриваемого движения.
Рассмотрим еще одну полезную модель.
Абсолютно упругим телом называется тело, деформации которого
остаются упругими при любых нагрузках.
Деформация – изменение размеров и формы тела (рис.2.7).
Рис. 2.7. Деформация
Деформация называется упругой если она полностью исчезает после
снятия нагрузки.
2.4. Виды механического движения
Простейшими видами механического движения абсолютно твердого
тела являются поступательное и вращательное движение.
Движение тела называется поступательным, если любая прямая,
жестко связанная с телом, остается
параллельна самой себе в процессе
движения (рис. 2.8).На рисунке
также
изображены
векторы
скоростей некоторых точек тела.
Иногда дают другое определение
поступательного
движения.
Движение
тела
называется
поступательным, если скорости
Рис. 2.8. Поступательное движение
всех точек тела параллельны.
Однако, это определение обладает
одним существенным недостатком,
мы не определили пока что такое
скорость.
Вращательным
называется
такое движение твердого тела, при
котором все точки его движутся по
окружностям,
и
центры
этих
Рис. 2.9. Вращательное движение
окружностей расположены на одной
прямой, которая называется осью вращения (рис. 2.9).
Сформулируем теперь важнейшую теорему, результат которой
принципиальным образом определяет структуру механики.
Теорема о механическом движении.
Любое механическое движение абсолютно твердого тела может
быть представлено как комбинация поступательного и вращательного
движений.
Мы не будем доказывать теорему, а просто проиллюстрируем ее
рисунком. На рис.2.10 изображен прямоугольник, совершающий двухмерное
движение. Построим центральную линию
в прямоугольнике и рассмотрим 2
положения тела: в начальный момент и
через промежуток времени t . Хорошо
видно, что переход из начального
положения
в
конечное
можно
осуществить
последовательно
как
горизонтальный и вертикальный перенос
и
поворот на угол  вокруг
оси,
перпендикулярной плоскости рисунка. То
Рис. 2.10. К теореме о
есть указанный переход представляет
механическом движении
комбинацию
поступательного
и
вращательного движений. Так как t промежуток времени, выбранный произвольно, то вывод справедлив для
любого момента времени. Приведенные рассуждения не являются
доказательством теоремы, так как рассмотренное тело не произвольное, а
движение не трехмерное. Полное доказательство желающие могут
посмотреть в курсах теоретической механики.
Таким образом, становится понятным, что достаточно уметь описывать
только два вида движения – поступательное и вращательное, так как из них
можно скомбинировать почти любое механическое движение.