Лекция 3. ПАРА СИЛ И МОМЕНТЫ СИЛ

Лекция 3.
ПАРА СИЛ И МОМЕНТЫ СИЛ
Пара сил и ее действие на тело
Две равные и параллельные силы, направленные в противоположные стороны и не лежащие
на одной прямой, называются парой сил. Примером такой системы сил могут служить
усилия, передаваемые руками шофера на рулевое колесо автомобиля. Пара сил имеет
большое значение в практике. Именно поэтому свойства пары как специфической меры
механического взаимодействия тел изучаются отдельно.
Сумма проекций сил пары на ось х и на ось у равна нулю (рис. 19, а), поэтому пара сил не
имеет равнодействующей. Несмотря на это тело под действием пары сил не находится в
равновесии.
Действие пары сил на твердое тело состоит в том, что она стремится вращать это тело. Способность пары сил производить вращение определяется моментом пары, равным произведению силы на кратчайшее расстояние (взятое по перпендикуляру к силам) между линиями
действия сил. Обозначим момент пары М, а кратчайшее расстояние между силами а, тогда
абсолютное значение момента (рис. 19, а):
Кратчайшее расстояние между линиями действия сил называется плечом пары, поэтому
можно сказать, что момент пары сил по абсолютному значению равен произведению одной
из сил на ее плечо.
Эффект действия пары сил полностью определяется ее моментом. Поэтому момент пары сил
можно показывать дугообразной стрелкой, указывающей направление вращения. Так как
пара сил не имеет равнодействующей, ее нельзя уравновесить одной силой. Момент пары в
СИ измеряется в ньютонометрах (Нм) или в единицах, кратных ньютонометру: кНм, МНм и
т. д.
Момент пары сил будем считать положительным, если пара стремится повернуть тело по
направлению хода часовой стрелки (рис. 19, а), и отрицательным, если пара стремится
вращать тело против хода часовой стрелки (рис. 19, б). Принятое правило знаков для
моментов пар условно: можно было бы принять противоположное правило.
Упражнение 1.
1. Определить, на каком рисунке изображена пара сил:
А. Рис. 20, а.
Б. Рис. 20, б.
В. Рис. 20, в.
Г. Рис. 20, г.
2. Что определяет эффект действия пары сил?
А. Произведение силы на плечо. Б. Момент пары и направление поворота.
3. Чем можно уравновесить пару сил?
А. Одной силой.
Б. Парой сил.
Эквивалентность пар
Две пары сил считаются эквивалентными в том случае, если
после замены одной пары другой парой механическое состояние тела не изменяется, т. е. не изменяется движение тела или
не нарушается его равновесие.
Эффект действия пары сил на твердое тело не зависит от ее
положения в плоскости. Таким образом, пару сил можно переносить в плоскости ее действия в любое положение.
Рассмотрим еще одно свойство пары сил, которое является
основой для сложения пар.
Не нарушая состояния тела, можно как угодно изменять модули сил и плечо пары, только бы
момент пары оставался неизменным.
Заменим пару сил F 1 F 2 ' с плечом а (рис. 21, а) новой парой F 1 F 2 ' с плечом b (рис. 21, б)
так, чтобы момент пары оставался тем же.
Момент заданной пары сил M1  F1a . Момент новой пары сил М2 = F2b. По определению
пары сил эквивалентны, т. е. производят одинаковое действие, если их моменты равны.
Если, изменив значения сил и плечо новой пары, мы сохраним равенство их моментов М 1 =
М2 или F1a = F2b, то состояние тела от такой замены не нарушится. Итак, вместо заданной
пары F 1 F 1 ' с плечом а мы получили эквивалентную пару F 2 F 2 ' с плечом b.
Упражнение 2
1. Зависит ли эффект действия пары сил на тело от ее положения в плоскости?
А. Да.
Б. Нет.
2. Какие из приведенных ниже пар эквивалентны?
А. а) сила пары 100 кН, плечо 0,5 м; б) сила пары 20 кН, плечо 2,5 м; в) сила пары
1000 кН, плечо 0,05 м. Направление всех трех пар одинаково.
Б. а) Мг = —300 Нм; б) М2 = 300 Нм.
3. Момент пары сил равен 100 Нм, плечо пары 0,2 м. Определить значение сил пары. Как
изменится значение сил пары, если плечо увеличить в два раза при сохранении
численного значения момента.
Сложение и равновесие пар сил на плоскости
Подобно силам, пары можно складывать. Пара, заменяющая собой действие данных пар,
называется результирующей.
Как показано выше, действие пары сил полностью определяется ее моментом и направлением
вращения. Исходя из этого, сложение производится алгебраическим суммированием их
моментов, т.е. момент результирующей пары равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.
Это применимо к любому количеству пар, лежащих в одной плоскости. Поэтому при
произвольном числе слагаемых пар, лежащих в одной плоскости или параллельных
плоскостях, момент результирующей пары определится по формуле
где моменты пар, вращающие по часовой стрелке принимаются положительными, а против
часовой стрелки — отрицательными.
На основании приведенного правила сложения пар устанавливается условие равновесия
системы пар, лежащих в одной плоскости, а именно: для равновесия системы пар необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары равнялся нулю или чтобы
алгебраическая сумма моментов пар равнялась нулю:
Пример.
Определить момент результирующей пары, эквивалентной системе трех пар, лежащих в
одной плоскости. Первая пара образована силами F1 = F'1 = 2 кН, имеет плечо h1 = 1,25 м и
действует по часовой стрелке; вторая пара образована силами F2 = F'2 = 3 кН, имеет плечо h2
=. 2 м и действует против часовой стрелки; третья пара образована силами F3 = F'3 = 4,5 кН,
имеет плечо h3 = 1,2 м и действует по часовой стрелке (рис. 22).
Решение.
Вычисляем моменты составляющих пар:
Для определения момента результирующей пары складываем алгебраически моменты
заданных пар
Момент сил относительно точки и оси
Момент силы относительно точки определяется произведением модуля силы на длину
перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы (рис. 23, а).
При закреплении тела в точке О сила F стремится поворачивать его вокруг этой точки.
Точка О, относительно которой берется момент, называется центром момента, а длина
перпендикуляра а называется плечом силы относительно центра момента.
Момент силы F относительно О определяется произведением силы на плечо
Измеряют моменты сил в ньютонометрах (Нм) или в соответствующих кратных и дольных
единицах, как и моменты пар.
Момент принято считать положительным, если сила стремится вращать тело по часовой
стрелке (рис. 23, а), а отрицательным — против часовой стрелки (рис. 23, б). Когда линия
действия силы проходит через данную точку, момент силы относительно этой точки равен
нулю, так как в рассматриваемом случае плечо а = 0 (рис. 23, в).
Между моментом пары и моментом силы есть одно существенное различие. Численное
значение и направление момента пары сил не зависят от положения этой пары в плоскости.
Значение и направление (знак) момента силы зависят от положения точки, относительно
которой определяется момент.
Рассмотрим, как определяется момент силы относительно оси.
Из опыта известно, что ни сила F1 (рис. 24), линия действия которой пересекает ось Oz, ни
сила F2, параллельная оси, не смогут повернуть тело вокруг этой оси, т. е. не дают момента.
Пусть на тело в какой-то точке (рис. 25) действует сила F . Проведем плоскость H, перпендикулярную оси Oz и проходящую через начало вектора силы. Разложим заданную силу F на
две составляющие: F1 расположенную в плоскости H, и F2 , параллельную оси Oz.
Составляющая F2 параллельна оси Oz и момента относительно этой оси не создает. Составляющая F1 действует в плоскости H и создает момент относительно оси Oz или, что то же самое, относительно точки О. Момент силы F1 измеряется произведением модуля самой силы
на длину а перпендикуляра, опущенного из точки О на направление этой силы, т.е.:
Знак момента по общему правилу определяется направлением вращения тела: плюс (+) – при
движении по часовой стрелке, минус (—) – при движении против часовой стрелки. Для определения знака момента наблюдатель должен непременно находиться со стороны положительного направления оси. На рис. 25 момент силы F относительно оси Oz положителен, так
как для наблюдателя, смотрящего со стороны положительного направления оси (сверху),
тело под действием заданной силы представляется вращающимся вокруг оси по ходу часовой
стрелки.
Если сила F (рис. 24) расположена в плоскости H, перпендикулярной оси Оz, момент этой
силы определится произведением полной ее величины на плечо l относительно точки
пересечения оси О и плоскости H:
Следовательно, для определения момента силы относительно оси нужно спроецировать силу
на плоскость, перпендикулярную оси, и найти момент проекции силы относительно точки
пересечения оси с этой плоскостью.
Упражнение 3
1. Будет ли тело находиться в равновесии, если на него действуют три пары сил, приложенных в одной плоскости, и моменты этих пар имеют следующие значения: М1 = —600
Нм; М2 = 320 Нм и М3 = 280 Нм.
А. Тело будет находиться в равновесии
Б. Тело не будет находиться в равновесии.
2. Определить плечо силы F относительно точки О (рис. 26).
А Отрезок ОВ.
Б. Отрезок ОА.
В. Отрезок ОК.
3. Чему равен момент силы F относительно точки К (рис. 26)?
A. MK( F ) = FAK.
Б. M K( F ) = FBK.
В.M K( F ) = 0.
4. Зависят ли значение и направление момента силы относительно точки от взаимного расположения этой точки и линии действия силы?
А. Не зависят.
Б. Зависят.
5.Когда момент силы относительно оси равен нулю?
A. Когда сила параллельна оси.
Б. Когда линия действия силы пересекает ось.
В. Когда сила и ось расположены в одной плоскости.
6.Определите момент силы F относительно оси z (рис. 27):


D
D
А. M z ( F )  F 1 Б. M z ( F )   F2 1
2
2


D1
B. M z ( F )   F1
Г. M z ( F )  F1 D1
2
7. Вычислите момент силы F ' относительно оси z (рис. 27), если задано D2 = 1 м; F' = 50 Н.