ЗАДАНИЕ 4. Исследование динамики подъёмного механизма

ЗАДАНИЕ 4. Исследование динамики подъёмного механизма
Постановка задачи.
Подъемное устройство состоит из двух колес 1, 2 и поднимаемого тела 3
[4]. Массы тел m1, m2 и m3 соответственно; радиусы больших и малых
окружностей колес R1, r1, R2, r2 соответственно для тел 1 и 2 даны в таблице.
Для определения моментов инерции тел даны их радиусы инерции ρ1 и ρ2. (В
этом случае моменты инерции тел относительно их осей вращения следует
вычислять по формуле Iz= m ρ2).
На колесо 1 действует или вращающий момент Мвр или сила Р, значения
которых также даны в таблице. Силы сопротивления заданы или в виде пары
сил с моментом Мс, или в виде силы Rс, действующей на тело 3. В тех
вариантах, в которых тело скользит по поверхности, следует учитывать и
силу трения скольжения. Коэффициент трения f=0,1.
Движение механизма начинается из состояния покоя.
Требования к заданию
1. Определить грузоподъемность устройства и установить направление
движения звеньев механизма под действием заданной нагрузки.
2. Установить кинематические зависимости между параметрами
движения звеньев механизма: скоростями и угловыми скоростями;
ускорениями и угловыми ускорениями; линейными и угловыми
перемещениями.
3. Применяя теорему об изменении кинетической энергии механической
системы, составить дифференциальное уравнение движения
механизма, отнеся его к телу 1. Проинтегрировать дифференциальное
уравнение движения и определить закон движения тела 1, а также
зависимость скорости этого тела от времени v1(t).
4. Определить законы изменения скоростей, ускорений и перемещений
всех тел .
5. Построить график изменения скорости тела 1. Установить значение его
скорости при установившемся движении*. Определить время
установления движения tуст..
6. Используя принцип Даламбера, определить реакции внешних опор, а
также силы натяжения всех ветвей тросов (или ремней) и усилий в
точках соприкосновения зубчатых колес. Вычислить значения этих сил
для моментов времени t1=0 и t2=tуст. Для вариантов, в которых нет
установившегося движения, взять t2=3с.
7. Определить изменение мощности ведущего усилия (Мвр или Р) по
времени, вычислить значение мощности для указанных в пункте 6
моментов времени.
8. Вычислить
работу
ведущего
соответствующем времени t2.
усилия
на
перемещении,
9. Применяя принцип возможных перемещений, установить каким
должно быть усилие, прижимающее тормозную колодку к колесу 2 в
точке А, для того чтобы в начальный момент времени t=0 механизм не
тронулся с места.
10.Сделайте выводы.
*Замечание: установившееся движение – это движение с постоянной
скоростью.
№
вар
1
№
ри
с
1
m1,
кг
m2,
кг
m3
кг
300
100
300
r1
м
R1
м
r2
м
R2
м
0,6
0,5
0,7
1
Мс
Мвр
А
2
1
Rc
3
ρ1
м
ρ2
м
Мвр
Нм
0,6
1800
Р
Н
Rc
Н
Мс
Нм
0
34ω2
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАА/ДАНИЯ 4.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
Исследуемая механическая система, изображенная на рисунке, состоит из
колес 1, 2 и груза 3. На колесо 1 действует сила P = 3500 Н м. На колесо 2
действует момент сил сопротивления Мс = 60ω2 Н м, зависящий от угловой
скорости тела 2.
В начальный момент времени t = 0 система находилась в покое. Массы тел
1, 2, 3 соответственно равны m1 = 250 кг, m2 = 200 кг, m3 = 500 кг. Радиусы
больших и малых окружностей колес R1 = 0,5 м, r1 =0,2м, R2 = 0,4м, r2 = 0,3м.
Радиусы инерции колес 1 и 2 относительно их осей вращения. iz1 =0,4м,
iz2 = 0,3м.
Номер тела приведения - 1.
1
2
15°
О2
О1
Мс
Р
3
Рис.1 Схема механизма
2.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУЗОПОДЪЕМНОСТИ МЕХАНИЗМА
Требуется провести статический анализ механизма, определить значение
массы m3гр, при которой возможно равновесие системы. Найти усилия в
тросе, соединяющем колеса 1 и 2 а также в тросе, на котором висит груз 3,
определить реакции внешних опор колес. Сравнивая массы m3гр и массу m3,
данную в условии, установить направление движения звеньев механизма.
1
2
S1
N2y
S2
N2x
m2g
N1y
m1g
N1x
3
Р
m3g
Рис.2 Статическая схема механизма
.
Для решения рассматривается равновесие каждого звена под действием
сил, показанных на рисунке. Здесь mg-силы тяжести; Nx ‘, Ny-реакции
подшипников; S1 и S2- силы действия и противодействия в тросе,
соединяющем звенья 1 и 2. S1=S2.
Уравнения равновесия для звена 1:
Σ Fix=0 N1x - S1 cos15° =0;
(2.1)
Σ Fiy=0 N1y - m1 g-S1sin15°–P =0;
(2.2)
Σ Mо1(Fi) = 0 -P R1 + S1 r1 =0.
(2.3)
Для колеса 2 с грузом 3
Σ Fix=0, N2x + S2 cos15° = 0;
(2.4)
Σ Fiy=0, N2y – m2 g+ S2sin15° – m3 g =0;
(2.5)
Σ Mo1(Fi) = 0, S2 r2 – m3 g R2 =0.
(2.6)
Из (2.3) S2=S1= P R1 / r1=3500∙0,5/0,2=8750 H. Тогда из (2.6) m3g=S2 r2 /
R2=8750∙0,3/0,4=6562,5 Н, отсюда m3гр = 669,643кг.
Определим реакции опор из остальных уравнений. Из (2.1) и(2.2)
N1x=8451,9 Н, N1y= 8207,5 Н, N2x=-8451,5 Н, N2y=4658,5 Н.
В равновесии натяжение троса, на котором висит груз, равно весу груза
S3=m3 g =4905 H.
Сравнивая заданную массу m3=500кг массой m3гр, видим, что m3< m3гр,
значит сила Р будет поднимать груз 3.
3. КИНЕМАТИКА МЕХАНИЗМА
Требуется
установить
кинематические
зависимости,
кинематические параметры тел 2 и 3 через параметры тела 1.
ω1 ε 1 φ 1
выразив
δφ1
ε2 φ2
ω2
δφ2
2
а3
v3
y3
δy3
3
1
Рис.3 Кинематическая схема
На рисунке введены обозначения: ω1, ε1, φ1- угловая скорость, угловое
ускорение, угловое перемещение тела 1; ω2 ε2 φ2-то же для тела 2; v3, a3, y3линейная скорость, ускорение и перемещение тела 3.
Движение от тела 1 к телу 2 передается тросом и скорости точек, лежащих
на окружностях колес малого радиуса, равны ω1 r1=. ω2 r2, отсюда
ω2= ω1 r1 / r2, ω2=2/3 ω1.
Касательные ускорения этих точек тоже равны, следовательно r2 ε2= r1 ε1.
(3.1)
ε2= r1 ε1 / r2,
ε2=2/3 ε1.
(3.2)
Равны и линейные перемещения этих точек, r2 φ2= r1 φ1:
φ2= r1 φ1 / r2,
φ2=2/3 φ1.
(3.3)
Груз 3 висит на тросе, который намотан на колесо радиуса R2, поэтому
v3 = R2 ω2, а с учетом (3.1):
v3= ω1 r1 R2 / r2, v3=0,2667 ω1.
(3.4)
Ускорение груза 3 равно касательному ускорению точки, которая
принадлежит большой окружности колеса 2, a3= ε2 R2. С учетом (3.2):
a3= r1 ε1 R2 / r2, a3=0,2667 ε1.
(3.5)
Линейные перемещения груза 3 и точки на окружности радиуса R2 равны
y3= φ1 r1 R2 / r2, y3=0,2667 φ1.
(3.6)
Формулы, полученные в этом параграфе, будут использоваться в дальнейших
вычислениях.
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЗМА
Требуется составить динамическое дифференциальное уравнение движения
механизма, приведя его к 1-ому телу, применяя теорему об изменении
кинетической энергии системы в дифференциальной форме.
По теореме об изменении кинетической энергии в дифференциальной
форме: производная по времени от кинетической энергии механической
системы равна сумме мощностей всех сил, действующих на систему
dT/dt= Σ NFi.
(4.1)
Система состоит из твердых тел, тросы, передающие движение от одного
тела к другому нерастяжимые и невесомые, поэтому сумма мощностей всех
внутренних сил системы равна нулю.
Вычисление кинетической энергии механизма выполняется с учетом
формул, полученных в главе 3. Кинетическая энергия системы равна сумме
кинетических энергий всех звеньев, участвующих в движении
Т=Т1+Т2+Т3.
Тела 1 и 2 вращаются вокруг неподвижных осей, поэтому их кинетическая
энергия вычисляется по следующим формулам:
Т1=Iz1 ω12 / 2;
Т1=Iz2 ω22 / 2.
Тело 3 движется поступательно, поэтому Т3=m3v32 / 2.
Iz1 - момент инерции тела 1 относительно его оси вращения, он равен
Iz1=m1 iz12=15,625кгм2. Iz2- момент инерции тела 2 относительно его оси
вращения, он равен Iz2=m2 iz22= 18 кг м2.
С учетом формул (3.1)-(3.6) получается выражение для кинетической
энергии
T= m1 iz12 ω12 / 2 + m2(iz2 r1 ω1)2 / 2 r22 + m3(r1 R2 ω1)2 / 2 r22
или
T=(m1 iz12+ m2 iz22 r12/ r22+ m3r13 R22 / r22) ω12 / 2;
Т=(250∙0,42+200∙0,32∙0,22 / 0,32+500∙0.22∙0,42 / 0,32)ω12/2;
T=84ω12/2.
(4.2)
dT/dt=84ω1ε1.
Для заданной механической системы, состоящей из твердых тел,
соединенных нерастяжимыми, невесомыми тросами мощность всех
внутренних сил равна нулю, поэтому необходимо вычислить мощность
внешних сил.
В общем случае мощность силы определяется формулой N=F v cosα, где
F=величина силы, v-скорость точки приложения силы, α - угол между
направлением силы и направлением скорости. Силы тяжести тел 1 и 2, а
также реакции опор N1x, N1y, N2x, N2y приложены к неподвижным точкам О1 и
О2 поэтому их мощности равны нулю (см. рисунок в гл.4). Мощность силы Р
равна
Np=Р R1∙ω1,
мощность силы тяжести m3g равна
N m3 g = -m3g v3.
Мощность пары сил, действующей на вращающееся тело, вычисляется как
взятое со знаком + или – произведение момента пары на угловую скорость
тела, поэтому мощность момента сил сопротивления вычисляется по
формуле NМс= -Мс ω2
Сумма мощностей всех внешних сил с учетом формул п.3 равна
Σ NFi= Np+ N m3 g+ NМс= ω1(Р R1-Mc r1/r2-m3g r1 R2/ r2)ω1
Σ NFi =(Р R1-Mc r1/r2-m3g r1 R2/r2)ω1.
(4.3)
Подстановка заданных величин позволяет вычислить суммарную
мощность.
Пример для вариантов(1-60)*:
Σ NFi = (3500· 0,5-60∙(0,2)2/(0,3)2 ω1-500·10·0,2·0,4/0,3) ω1=(416,67-26,67 ω1)
ω1 ;
Σ NFi =(416,67-26,67 ω1) ω1.
(4.4)
Уравнение (12.1) имеет вид
84 ε1=416,67-26,67 ω1.
Дифференциальное уравнение движения имеет вид


1
1 =4,987.
+ 0,312 
(4.5)
ω1
ω2
N2y
N1y
N2x
N1x
Mc
P
V3
m3 g
Рис.4 Динамическая схема к вычислению мощностей сил
Замечание: приводимый расчет и составленное дифференциальное уравнение соответствует иар.1-60. Пример расчёта для вариантов
61-100 см. на стр .
5. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Дифференциальное уравнение (4.7) является линейным неоднородным
уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Если
разделить его на коэффициент перед старшей производной, то уравнение
приобретает вид
d 21
d
+0,312 1 =4,987.
2
dt
dt
(5.1)
Решение этого уравнения отыскивается в виде φ1= φобщ+ φчаст, где φобщ –
решение однородного уравнения
d 2 общ
dt 2
+0,312
d общ
dt
=0,
а φчаст - частное решение уравнения (5.1). Для решения однородного
уравнения составляется характеристическое уравнение
p2+0, 0312p=0.
Корни характеристического уравнения
р1=0, р2= -0,312.
Решение, соответствующее корням характеристического уравнения, имеет
вид
φобщ=С1+С2е-9.96t,
где С1 и С2 - константы интегрирования.
Частное решение уравнения (5.1) отыскивается по виду правой части:
φчаст=А∙t.
Константа А определяется после подстановки φчаст в уравнение (5.1)
0,312А=4,987, отсюда А=15,984.
Общее решение уравнения (5.1) имеет вид
φ1= С1+С2 е- 0,312t+15,984∙t.
(5.2)
Константы С1 и С2 определяются из начальных условий: при t=0 φ1=0 и
ω1=0. Вычислим угловую скорость, взяв производную
ω1=d φ1/dt=C2(-0,312) е- 0,312t+15,984.
Выполнение начальных условий дает два алгебраических уравнения:
С1+С2=0, C2(-0,312)+ 15,984=0. Из этих уравнений С2=-С1=51,23.
Окончательно решение уравнения (5.1) имеет вид
φ1= 51,23(-1+ е- 0,312t)+15,984∙t;
ω1=15,984(1- е- 0,312t) .
(5.3)
(5.4)
6.ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ ВСЕХ ТЕЛ МЕХАНИЗМА, ФОРМУЛЫ СКОРОСТЕЙ
И УСКОРЕНИЙ ЭТИХ ТЕЛ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ВРЕМЕНИ
В предыдущем параграфе формула
φ1= 51,23(-1+ е- 0,312t)+15,984∙t
определяет закон движения тела 1, а формула
(6.1)
ω1=15,984(1- е- 0,312t) с-1
(6.2)
дает закон изменения угловой скорости тела 1 по времени.
Продифференцируем правую и левую части последнего равенства и
определим угловое ускорение колеса 1
ε1=4,987 е- 0,312t с-2.
(6.3)
Воспользовавшись кинематическими зависимостями (3.1-3.3), получим
закон движения тела 2 и формулы ω2= ω2(t) и ε2= ε2(t):
φ2=34,153(-1+ е- 0,312t)+10,656t;
(6.4)
- 0,312t
-1
ω2=10.656 (1- е
)с ;
(6.5)
ε2= 3,325 е- 0,312t с-2.
(6.6)
С помощью формул (3.4-3.6) получим законы изменения параметров
движения тела 3:
y3=(17,0765(-1+ е- 0,312t)+5,328∙t)), м;
(6.7)
- 0,312t
v3=5,328(1- е
)), м/с;
(6.8)
- 0,312t
2
a3= 1,662 е
, м/с .
(6.9)
7. ГРАФИК ИЗМЕНЕНИЯ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ω1 И УСКОРЕНИЯ ε1.
Требуется с помощью уравнений, полученных в п.6, построить графики
угловой скорости, ускорения и перемещения колеса 1 по формулам из п.7 и
по ним определить характеристики установившегося движения.
Для построения графиков воспользуемся программой Miсrosoft Excel.
На рисунке видно, что при t→∞, ε1→0 а ω1→15 ,984 с –1. Отсюда можно
сделать вывод, что примерно через 15 с после начала разгона механизма из
состояния покоя его движение «устанавливается» и все звенья продолжают
двигаться с постоянными скоростями.
Таким образом, время установления движения
tуст=15 c.
Параметры установившегося движения: ω1=15,984 с-1, ω2=10.656 с-1,
v3=5,328м/с.
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Series
1
0
5
10
15
20
25 t,c
Угловая скорость(ω 1/c-ряд1) и ускорение (ε1/с-2 –ряд2) тела 1
8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ ОПОР
Требуется вычислить реакции внешних опор колес 1 и 2, а также силы
натяжения всех ветвей тросов.
Для определения сил реакций опор и силы натяжения троса между телами
1 и 2 воспользуемся уравнениями, выражающими принцип Даламбера.
Согласно принципу Даламбера, если в данный момент времени ко всем
действующим на механическую систему силам присоединить силы инерции
Даламбера, то получившаяся система сил будет эквивалентна нулю и для неё
выполняются уравнения статики.
Нужно изобразить активные силы и реакции внешних опор так же, как в
пп. 2 и к ним добавить момент пары сопротивления Мс.
Силы инерции вращающихся тел 1 и 2 приводятся к парам сил с
соответствующими моментами М1Ф=-Iz1ε1 , М2Ф=-Iz2ε2. Знак минус в этих
формулах указывает на то, что моменты и угловые ускорения
противоположны по направлениям. Iz1=m1ρ12 и Iz2= m2ρ22 - моменты инерции
колес относительно их осей вращения. Сила инерции тела 3, которое


движется поступательно, равна Ф3  m3a3 . Все силы и моменты изображены
на рисунке.
Составим уравнения, выражающие принцип Даламбера, для каждого
тела в отдельности. При этом учтём силы натяжения троса, который передаёт
движение от первого тела ко второму. Это внутренние силы S1 и S2,, по
3-му закону Ньютона они равны по величине и противоположны по
направлению.
Система сил, действующих на тело 1, плоская, поэтому следует составить
три уравнения. Сумма проекций всех сил на ось x равна 0
Σ Fix=0, N1x – S1 cos15° =0.
(8.1)
Сумма проекций всех сил на ось y равна 0
Σ Fiy=0, N1y –m1g- S1 sin15° =0.
(8.2)
Сумма моментов всех сил относительно точки О1 равна 0
Σ Mо1(Fi) = 0, -P R1 + S1 r1+ М1Ф =0.
(8.3)
Аналогично составляются уравнения для сил, действующих на тело 2.
Σ Fix=0, N2x + S2 cos15° = 0;
(8.4)
Σ Fiy=0, N2y – m2 g+ S2sin15° – m3 g –Ф3 =0;
(8.5)
Σ Mo1(Fi) = 0, S2 r2 – m3 g R2 - Ф3 R2- Мс. - М2Ф =0.
(8.6)
Из уравнения (8.3) определим S1
S1= (P R1 - М1Ф)∙ 1/ r1=(P R1- Iz1ε1)∙ 1/ r1.
М1 Ф
1
М2Ф
N2y
S1
N2x
m2g
v3
S2
15˚
N1y
N1x
m1g
Мс
P
3
Ф3
m3g
Рис.5 Динамическая схема.
. Подставляя значения всех величин и используя формулу (6.3) для углового
ускорения ε1, получим значение силы натяжения троса между колесами 1 и 2
в виде функции от времени.
S1=(1750-199,48 е- 0,312t)Н.
(8.7)
Для оценки максимального значения, рассмотрим функцию е - 0,312t. При
t=0 эта функция рана 1, а если t→∞, то функция е- 0,312t →0. Отсюда можно
сделать вывод, что сила S1 имеет максимальное значение при
установившемся движении: S1max=1750 Н.
Из уравнений (8.1) и (8.2) найдем реакции неподвижной шарнирной
опоры N1x и N1y, а из (8.4) и (8,5) найдем N2x и N2y.
N1x= S1 cos15° ; N1y= m1g+S1 sin15°;
N1x=(1690,37-192,68 е- 0,312t)Н;
(8.2)
N1y=(2952,93-51,6 е- 0,312t)Н.
(8.3)
max
Максимальные значения сил: N1x =1690,37Н; N1y=2952,93Н.
Аналогично
N2x=- S1 cos15°; N2y =+ m2 g- S2sin15° + m3 g +Ф3;
N2x=-(1690,37-192,68 е- 0,312t)Н;
(8.3)
N2y=( 6547, 067+784,7 е- 0,312t)Н.
(8.4)
max
max
Максимальные значения сил: N1x =1690,37Н; N1y =2952,93Н; N2xmax
=1690,37Н при установившемся движении.
Сила N2y имеет максимальное значение в момент времени t=0, когда
механизм трогается с места. N2ymax=7331, 177Н.
Для определения силы натяжения троса, на котором висит груз 3,
применим принцип Даламбера к грузу.
y
S3
3
m3g
Ф3
Кинетостатика
груза 3
Векторная сумма всех сил , действующих на тело 1,
включая силу инерции Даламбера, равна 0. В проекции
на ось y будем иметь
S3- m3g- Ф3 =0;
S3= m3g+ Ф3 .
Подставляя известные значения, получим
S3=(5000+831 е- 0,312t)Н.
Максимальное значение эта сила имеет в момент времени t=0
S3max=5831Н.
9. МОЩНОСТИ ВЕДУЩЕГО УСИЛИЯ
Ведущим усилием для рассматриваемого механизма является сила Р.
Мощность силы Р вычисляется по формуле NP=Pv cos0˚, где v-скорость точки
приложения силы Р, 0˚-угол между направлением силы и скорости.
Используя формулу (6.2), получим
V=ω1·R1= 15,984(1- е- 0,312t)0,5=7,992(1- е- 0,312t)м/с;
NP=27972(1- е- 0,312t)Вт.
Максимальное значение мощность ведущего усилия имеет при
установившемся движении NPmax=27,972кВт.
10. РАБОТА СИЛЫ Р НА ПЕРЕМЕЩЕНИИ, СООТВЕТСТВУЮЩЕМ tуст
Работа силы, приложенной к вращающемуся телу, вычисляется по
формуле
1
АР=   M z1 ( P)d ,
0
где МZ(P) -момент силы Р относительно оси вращения тела 1.
В нашем случае момент силы Р относительно оси вращения постоянен и
равен Мz1=Р·R1=1750 Нм, поэтому работу силы Р следует вычислять по
формуле
АР=Р·R1 φ1.
Знак + выбран потому, что направление момента силы Р и направление
вращения колеса 1 совпадают. Вычислим значение угла поворота φ1для
момента времени, за которое движение механизма устанавливается tуст=15 c,
по формуле (5.3)
φ1(15)= 51,23(-1+ е- 0,312·15)+15,984·15 =29,165рад.
Искомое значение работы:
АР=1750·29,165=51039Дж=51,039кДж.
10.ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ.
Требуется, применяя принцип возможных перемещений, определить
при каком значении силы давления Q на тормозную колодку в начальный
момент времени t=0 механизм не тронелся с места, если колодка действует на
колесо 2 в точке А.
Согласно принципу возможных перемещений для равновесия
механической системы с идеальными связями, необходимо и достаточно,
чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил
при любом возможном перемещении системы была равна нулю.[1]
Σ δАк=0.
Определим предельное значение силы , которая будет удерживать
механизм в равновесии при заданных массах звеньев. Сопротивление,
зависящее от скорости в этом случае равно 0.
На рисунке 2 изображены активные силы, действующие на механизм. Это
сила Р, силы тяжести звеньев и груза 3. Действие силы Q на колодку
передаётся на колесо 2 в точке А через силу давления N и силу трения Fтр. В
случае равновесия механизма, возможные перемещения звеньев механизма
будут соответственно δφ1,δφ2 и δy3.
Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы,
связи, наложенные на систему, являются стационарными и голономными,
поэтому зависимости между возможными перемещениями такие же, как
между действительными перемещениями, определенными формулами (3.3),
(3.6), (3.9).
δφ2= r1/r2 δφ1;
δy3= r1 R2/r2 δφ1.
Дадим механизму возможное перемещение и вычислим возможную работу
активных сил.
Σ δАк = δАР+ δАFтр+ δАm1g;
Σ δАк =РR1 δφ1-m3g δy3 –FтрR2δφ2=0;
Σ δАк =Р R1 δφ1 -m3g r1 R2/r2 δφ1-fQ R2 r1/r2 δφ1=0;
Р R1 -m3g r1 R2/r2- fQ R2 r1/r2 =0.
Получаем значение искомой силы
PR1  m3 g
Q=
r1 R2
r2
rR
fQ 1 2
r2
=1562,3Н
При значении силы Q=1562,3Н механизм не тронется с места.
δφ1
δφ2
1
2
P
AN
δy3
Fтр
Q
3
m3 g
Рис.6 .
ВЫВОДЫ.
Методами статики исследовано состояние равновесия подъемного механизма
и установлена грузоподъемность, реакции внешних опор и сил натяжения
тросов при максимальной нагрузке.
Исследована кинематика механизма и установлены зависимости между
параметрами движения его звеньев.
С помощью теоремы об изменении кинетической энергии в
дифференциальной форме получено дифференциальное уравнение движения
механической системы, после интегрирования которого, установлены законы
движения всех тел и получены формулы изменения их скоростей и
ускорений.
Для определения сил натяжения тросов и реакций связей при движения
механической системы был применен принцип Даламбера.
Построены графики изменения параметров движения тела 1. По графику
угловой скорости видно, что через некоторое время угловая скорость колеса
1 становится постоянной и равной ω1уст=15,984с-1, это значит, что движение
устанавливается, и все тела движутся равномерно. Время установления tуст=
15 c.
Определены силы натяжения тросов. Установлены законы изменения
значений этих сил и определены их максимальные значения. Вычислены
реакции внешних связей и их максимальные значения.
Установлена зависимость мощности ведущего усилия Р от времени и
определено её максимальное значение Nрмах=10,474кВт. Определена работа
ведущего усилия на перемещении, соответствующем времени установления
движения.
Принцип возможных перемещений применен для определения
тормозящего
усилия Q, необходимого для удержания механизма в
равновесии.
Таким образом, методами теоретической механики исследована
статика, кинематика и динамика подъёмного механизма.